Лекции по сопромату
1. Основные понятия в сопромате.
Задачи и методы сопромата.
Все элементы конструкции обладают прочностью и жесткостью.
Задачи сопромата: создание методов оценки прочности.
Сопромат характеризуется приближенными приемами расчета.
Расчетные схемы и модели.
Оценка прочности проводится по схеме (модели).
Модель – совокупность основных представлений от основного описания объекта.
Для одной и той же детали можно составить несколько подобных схем. В то же время для одной расчетной схемы можно найти различные детали схем материала, форм, нагружения и разгружения сил.
Модели надежности.
SHAPE * MERGEFORMAT
|
Модели прочностной надежности. |
|
Модель материала |
|
Модель формы |
|
Модель нагрузки |
|
Модель разрушения |
|
Запас прочности, вероятность разрушения |
Модели материала.
Материал бывает однородным, сплошным, непрерывным (можно применить математические формулы), изотропным.
Однородность материала – материал, по всему объему одинаков.
Расчетная модель материала обладает свойствами упругости, пластичности и ползучести.
Упругость – свойство материала восстанавливать форму.
Пластичность – свойство тела сохранять измененную форму.
Ползучесть – свойство тела изменять форму с течением времени (смола).
Модели формы.
Геометрическая форма тел очень сложна. Учесть в формулах все формы не возможно, поэтому их приводят к 4 схемам:
1.Стержень, брус.
2.Пластина.
3.Оболочка.
4.Массив.
Разновидности формы.
Стержень – форма детали, у которой один размер на порядок больше, чем два других.
Пластина – форма детали, у которой один размер меньше на порядок, чем два других.
Массив – все размеры разные, но отличаются меньше, чем на порядок.
Модели нагружения.
Сила – мера взаимодействия двух тел.
Сила бывает внешняя и внутренняя. Внешняя в сою очередь бывает сосредоточенной, распределенной и объемной.
Сосредоточенная – сила, приложенная на малой площади, которую можно считать точкой.
Распределенная – сила, действующая на значительной поверхности, размер которой нужно учитывать.
Объемная – сила, распределенная по всей массе тела.
Модели времени действия сил.
Различают
1. Статические
2. Переменные
a) Малоцикловые
b) Многоцикловые (больше 100 тыс. изменений)
Модели разрушения.
Разрушение детали – изменение ее формы в плоть до разделения на части.
Изменение формы и разделение на части произойдет тогда, когда внутренние силы превысят силы сцепления отдельных частей материала.
Для суждения о прочности сравнивают внутренние силы с пределами прочности. Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия возникающие при действии внешних сил.
Рассмотрим тело (а), находящееся в равновесии под действием внешних сил мысленно рассечем это тело на 2 части плоскостью П и рассмотрим 1-у из них (б). Действие одной из них на другую следует заменить системой внутренних сил в сечении. Внутренние силы в сечениях частей тела всегда взаимны (действие равно противодействию). В сопромате изучаются тела находящиеся в равновесии.
Для нахождения равнодействующей (R) и момента (M) воспользуемся уравнениями равновесия.
Проектируем R и М на выбранные оси координат.
Возьмем систему координат xyz и разложим и на составляющие части.
Тогда проекции и М на эти оси называются внутренними силовыми факторами.
- продольная сила, - поперечные силы.
- крутящий момент, - изгибающие моменты.
Для вычисления внутренних сил. Факторов необходимо решить 6 уравнений равновесия.
Напряжение и деформация.
Напряжение – интенсивность внутренних сил. факторов.
Напряжение в точке
Касательные и нормальные напряжения.
Силу ΔR разложим на составляющие ΔN – нормальная и ΔQ – касательная силы.
σ – нормальное и τ – касательное напряжения.
Напряжение имеет наименование силы деленной на площадь (Н/
В системе СИ выражается в Паскалях (Па).
Связь напряжения с внутренними силовыми факторами.
, где
N-продольная сила, вызывающая напряжение стержня
- поперечные силы, вызывающие сдвиг.
- крутящий момент – скручивание
- изгибающие моменты – искривление продольной оси.
Если на тело действует сила, значит, оно деформируется. В сопромате все тела деформируются, но они крайне малы.
Центральное растяжение – сжатие.
Продольная сила.
Растяжение – вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает внутренняя продольная сила N, при этом длина увеличивается, а ширина уменьшается.
В условиях растяжения будет находиться стержень под действием осевых сил на краях (а). Равнодействующая системы равна F.
Для определения продольной внутренней силы N используют метод сечений.
Условимся считать эту силу положительной (т.е. присвоим знак «+»), если она растягивает стержень, и отрицательной – если сжимает – правило знаков.
Для определения N в произвольном сечении x стержня а) рассмотрим равновесие верхней отсеченной части б). Составляем уравнение равновесия
-F+N=0
F=N
Знак «+» показывает, что стержень растянут.
Эпюра продольных сил.
Для суждения о прочности стержня нужно знать продольную силу в любой точке.
График (эпюру) изменения внутренних сил стоит на линии проведенной параллельно оси стержня. Каждая ордината эпюры равна N.
Участок – некоторая длина стержня, на котором отсутствует изменение площади или сил.
Пример.
Пусть стержень ОАВ нагружен силами и имеет 2 участка ОА и АВ, на них выбраны сечения на расстоянии и от начала координат. В сечении продольная сила
в сечении
Напряжения.
Сила N, приложенная в центре тяжести произвольного сечения стержня является равнодействующей внутренних сил, действующих на бесконечно малой площади dA поперечного сечения площади А и
В пределах действия закона Гука ( (гипотеза Бернулли) и тогда
При сжатии стержня напряжение имеют лишь другой (отрицательный) знак (нормальная сила направлена в тело стержня).
Деформация.
Стержень постоянного сечения площадью А под действием осевых растягивающих сил удлиняется на величину - длины стержня в деформированном и не деформированном состоянии. Это приращение длины называется полным или абсолютным удлинением.
Относительное удлинение – удлинение отнесенное к первоначальной длине стержня назыв. линейной деформацией. Измеряется ε в %.
При растяжении (сжатии) возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня
Отношение поперечной деформации к продольной взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона.
Закон Гука. Удлинение стержня.
Между напряжением и малой деформацией существует линейная зависимость, называемая законом Гука. Для растяжения (сжатия) она имеет вид σ=Еε, где Е – коэффициент пропорциональности, модуль упругости.
Е – напряжение, которое вызывает деформацию
Закон Гука для растяжения (сжатия) стержня.
Δl=Fe/EA=λF, где λ – коэффициент продольной податливости стержня.
ЕА – жесткость сечения стержня при растяжении.
Для стержня переменного (ступенчатого) сечения удлинение определяется по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:
Диаграмм испытания материала.
В расчетах прочности стержня при растяжении и сжатии необходимо знать механич. Свойства материала, которые выявляются при испытаниях образцов на растяжение под нагрузкой. Испытание на растяжение позволяет судить о поведении материала и при сжатии, сдвиге, кручении и изгибе. График зависимости между растягивающей силой F и удлинением образца Δl называют диаграммой растяжения.
Для исключения зависимости от размеров диаграмму перестаивают в координатах σ – ε.
Характеристики прочности и текучести.
Т.А – участок пропорциональности (закон сохранения Гука).
До т. С – текучесть материала.
Т. В – max значение.
Зоны:
ОА – упругости,
АД – пластичности,
ДВ – упрочения,
ВМ – местной текучести.
В зоне ОА справедлив закон Гука
Величина предела упругости близка к пределу пропорциональности.
Зона АД – зона общей пластичности. Для нее характерно существенное увеличение деформации (длины) образца без заметного увеличения нагрузки – площадка текучести (СД). Образование пластичной деформации вызвано сдвигом в кристаллической решетке.
Для оценки напряженности используют характеристику механ. свойств материала – предел текучести - напряжение, при котором в материале появляется заметное удлинение без увеличения напряжения.
Предел прочности.
Зона ДВ – зона упрочения; здесь удлинение образца возрастает более интенсивно с увеличением нагрузки по сравнению с зоной ОА. В т. В напряжение σ достигает максимума.
Если нагрузить образец в т. F, то при последующем нагружении материал приобретает способность воспринимать без остаточных деформаций воспринимать большие нагрузки.
Явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного деформирования носит название наклепа.
Зону ВМ называют зоной местной текучести. Здесь удлинение образца происходит с уменьшением силы и сопровождается образованием местного сужения – шейки. Напряжение в поперечном сечении шейки возрастает. В т. М наступает разрушение образца. Максимальное напряжение на диаграмме, которое способен выдержать образец, называют пределом прочности (временное сопротивление).
Пластичность и хрупкость.
Под пластичностью понимают способность материала получать большие остаточные деформации без разрушения.
Хрупкость - способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций.
Допускаемые напряжения. Расчетные конструкции.
Условие прочности при растяжении запишется в виде n.
n – величина показывающая, во сколько раз предельное напряжение для данного материала больше рабочих [σ]
Как правило, за предельное напряжение принимают предел текучести (прочности).
Сдвиг и кручение.
Основные вопросы:
1. Понятие сдвига
2. Закон Гука при сдвиге
3. Инженерные расчеты на сдвиг материала бруса
4. Понятие кручения бруса круглого сечения
5. Выражения касательных напряжений углов закручивания
6. Условие прочности и жесткости
7. Определение опасных сечений
8. Инженерные расчеты на кручение.
Внутренние силовые факторы и деформации. Сдвиг – вид деформации, когда в поперечном сечении стержня действует только перерезывающая сила, остальные силовые факторы – отсутствуют. Элементарные кубики искажаются, на боковых гранях возникает напряжение
Схема сдвига. Закон Гука. Напряженное состояние, при к-м на гранях выделен. элемента возникает только касательные напряжение а-абсолютный сдвиг,
Уравнение равновесия отсеченной части G – модуль упругости, GA- жесткость при сдвиге -з-н Гука при сдвиге,
Расчет конструкций на сдвиг. Многие детали (склеенные, сваренные,...) подвержены сдвигу.
Условие прочности
Кручение.
Кручение- вид деформации, при к-м действует только крутящий момент.
Внутренние силовые факторы. Чтобы построить эпюру, разбивают на участки, рассекая сечениями на расстояниях х1,х2,... Диаграмму, показывающую расраспределение значений крут. моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Правило знаков: момент, направленный против часовой стрелки- положителен, по стрелке- отриц.
Построение эпюры крутящих моментов. Ур-е равновесия или
Вывод: в любом сечении вала действует крутящий момент, = сумме вращающих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения. Эпюра крутящих моментов - ступенчатая линия, к-я показывает степень нагружаемости каждого из участков вала.
Деформации при кручении. При кручении образующие цилиндра обращаются в винтовые линии, круглые и плоские сечения сохраняют свою форму, поворот одного сечения относительно другого происходит на некоторый угол закручивания, расстояние между поперечными сечениями почти не меняется. Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания, радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.
Кручение – результат сдвигов при взаимном повороте сечений.
Схема нагружения бруса.
Геометрия сдвига.
Значения касат. напряжений в точках сечения пропорциональны расст. её от оси стержня.
Момент кручения.
Напряжение при кручении.
Полярный момент инерции и сопротивления.
-поляр. момент инерции.
Расчетные формулы. условие жесткости:
Расчеты на прочность и жесткость.
Условие прочности:
Вал рассчитывают по 2 условиям и из найденных значений находят большее.
Изгиб.
Основные вопросы:
1. классификация изгибов
2. нагрузки и внутренние силовые факторы
3. построение эпюр нагрузок, правило знаков
4. нормальные напряжение при чистом изгибе
5. касательные напряжения при чистом изгибе
6. перемещение при изгибе
7. дифференциальное уравнение упругой линии балки
8. определение перемещений методом непосредственного интегрирования
Классификация изгибов. Изгиб – вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечном сечении стержня (бруса) возникают изгибающие моменты.
Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, наз-ся чистым. Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами действуют и поперечные силы, изгиб наз-ся поперечным.
Иногда в поперечном стержне возникает несколько силовых факторов. Это сложное сопротивление. Расчеты стержней основываются на принципе независимости действия сил.
Опоры и их реакции. Для передачи нагрузок стержень должен быть зафиксирован относительно корпуса с помощью опор- устройств, воспринимающих внешние силы.
Различают 3 основных вида опор- жесткое защемление: 1) заделка- а) исключает осевые , угловые смещения и воспринимает осевые силы и моментную нагрузку,
2) шарнирно-неподвижная опора –б) ,- допускает поворот вокруг оси и не воспринимает момент,
3) шарнирно- подвижная опопра -в),-не допускает смещение стержня, только в направлении 1 из осей и передает нагрузку вдоль этой силы.
Опорные реакции. Под действием внеш. Нагрузок в местах закрепления стержня возникает опорная реакции. х находят из условий равновесия.
Внутренние силовые факторы. Стержень на 2-х опорах, нагруженный силами F. Из условия равновесия найдем опорные реакции: m1-mi участка CD стержня мысленно разрежем на 2 части , рассмотрим равновесие левой в). Чтобы она была в равновесии, приложим к т. Сi неизвестные внутренние силовые факторы: нормальную силу Nx(xi), перерезывающую
Правило знаков. Положит. изгибающий момент изгибает горизонтально расположенный стержень (балку ) выпуклостью вниз (а), а отриц. – выпуклостью вверх (б).
Положит. поперечная сила стремится сдвинуть левое сечение стержня вверх относительно правого или правое вниз относительно левого (а). Отриц. поперечная сила имеет противоположное направление (б).
Определение силовых факторов. Перерезывающая сила в сечении стержня = сумме проекций на ось у всех внешних сил, действующих на мысленно отсеченную часть, т.е.
Ур-я статики: m2-m2 на участке АС и рассмотреть равновесие левой части, то найдем, что при силовые факторы:
Схема чистого изгиба. Поля прилож. М продольной силы – дуги окружности, поперечного сечения остаются плоскими, т.е. гипотеза плоских сечений справедлива. При чистом изгибе волокна на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой - сжимаются. Существует слой, в котором удлинения отсутствует, его называют нейтральным слоем - нейтральной линией.
Связь напряжений и внутренних факторов. Допускаем, стержень – совокупность растянутых и сжатых элементов стержней длинной l, которые свободно удлиняются и укорачиваются. Нормальные напряжения применяют постоянными по ширине сечения.
Статическая часть задачи. Условие равновесия между силовыми факторами:
Условия б), в),г) удовлет-ся тождественно, условия а),е),д) имеют вид:
Деформация волокон.
Деформация некоторого слоя зависит от его координат z, отсчитываемой от нейтрального слоя. Используем з-н Гука: - постоянно для конкретного материала и конкретного случая изгиба. Поэтому напряжения - линейная функция координат z. Для нахождения величины
Нормальное напряжение при изгибе.
Из уравнений а), д), е) с учетом к.
Из ур-я а), т.к. получим Это центробежный момент инерции, если он = 0 - оси главные, центральные. Из ур-я д) :
где из формулы к.
Расчетные формулы.
условие прочности:
Как следует из характеристики распределения, напряженные внутренние слои материала оказываются недогруженными.
Силовые факторы при поперечном изгибе. Гипотезы сопромата распространяются на поперечный изгиб.
Формула касательных напряжений. Выразим силы через нормальное напряжение, а напряжение - через изгибающие моменты, с учетом продольной силы, вызывающей касательное напряжение получаем:
где А0- площадь отсеченной части. max.
Характер перемещения при изгибе. При изгибе есть 2 типа перемещений: линейные и угловые
при малых перемещениях.
Уравнение изогнутой оси.
Основы направленного состояния материала.
Основные вопросы:
1. виды напряженного состояния
2. напряжения на наклонных площадках
3. закон парности касательных напряжений
4. главные площадки и главные напряжения
5. объемная деформация. Закон Гука
6. удельная потенциальная энергия
7. критерии пластичности и разрушения
8. эквивалентные напряжения
9. гипотезы прочности
Виды напряженного состояния. Оценка прочности детали – это совокупность напряженного состояния в «опасной» точки конструкции с пределом прочности материала. Такая оценка оказывается достаточно точной при одноосновном напряженном состоянии (растяжение, сжатие).
Однако многие элементы конструкции работают в условиях сложного напряженного состояния. Тогда совокупность напряжений в точке элемента сопоставляемыми с механическими характеристиками его материала, то есть вводится эквивалентное напряжение, т.е. напряжение в растянутом образце при котором состояние равноопасно с заданным.
Усилия на наклонных площадках. Растянутый стержень рассечен плоскостью наклонной к поперечному сечению под углом
Разложим ее на составляющие:
Нормальную
И касательную
Площадь наклонного сечения
Нормальные действуют в поперечных сечениях стержня (α=0)
Напряжения на наклонных взаимно перпендикулярных плоскостях. В наклонных сечениях действуют одновременно нормальные и касательные напряжения, Которые зависят от угла наклона α. На площадках при α=45 и 135 градусов
Вывод: 1) в 2-х взаимно перпендикулярных плоскостях алгебраическая сумма нормальных напряжений равна нормальному напряжении в поперечном сечении
2) касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине и пропорциональны по направлению (знаку) закон парности напряжений
3)
4)
Двухосновное растяжение. Пусть на элемент, выделенный из тела, действуют нормальные напряжения. Очевидно, что направление δ1и δ2 являются главным напряжением. Такое напряженное состояние называется двухосным или плоским. Проведем наклонное сечение α, нормаль к которому
По площадке α будут действовать нормальные и касательные напряжения. При действии только δ1 получаем
При действии δ2:
Напряжения при двухосном растяжении. При совместном действии δ1и δ2 нетрудно видеть:
На площадке β:
Вывод:
Если одно напряжение принимает максимум, то второе минимум. В этом положении касательное напряжение равно нулю.
Главные площадки. Выделим из элемента наклонную треугольную призму и рассмотрим ее равновесие, проецируя силы на нормаль и касательную к наклонной площадке.
Исследуя на экстремум выражения можно убедится, что условие экстремума для δα совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений на этих площадках.
Главные напряжения. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными. Главные напряжения и положение главных площадок можно найти из первого уравнения. Для определения главных площадок приравниваем второе уравнение к нулю.
Величина напряжений на этих площадках
Объемная деформация материала. Объемной называют деформации элемента под действием взаимно перпендикулярах напряжений, причем принято δ1>δ2>δ3
Для определения деформации в напряжении главных напряжений используют закон Гука. Для линейного напряженного состояния, зависимость между продольной и поперечной деформации и принцип независимости действия сил.
Напряжение δ1 вызывает продольную деформацию
Аналогично от действия δ2 и δ3:
Обобщенный закон Гука.
Суммируя деформации одного напряжения имеет вид после преобразования главные деформации:
ВСЕ уравнение это обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния. Измененный объем элемента при деформации единого размера :
Относительное изменение объема:
Потенциальная энергия. Эквивалентные напряжения. На растяжение бруса затрачивается работа равная:
ДЛЯ ЕДЕНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
Обобщенная формула для объемной деформации:
Для оценки прочности надо сопоставить напряжении в точке конструкции при сложном (плоском, объемном) напряжении состояния надо сопоставить с механическими хара-ми его материала т.е. необходимо установить некоторое эквивалентное напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным.
Гипотезы прочности . 1-я гипотеза. Разработан ряд гипотез прочности, для оценки опасности материала при сложном напряжении. Важных 4:
1. наибольших нормальных напряжений, то есть δэквивал.=δ1, δ2,δ3 отброшены. Его мы и сравниваем с предельным δэквив.≤δ0(предельное), то есть δ1≤[δ] хорошо согласуется при растяжении стержня.
2. теория наибольших линейных деформации разрушается, тогда, когда εмах=ε1≤ε0 после подстановки δэквив.=δ1-ν(δ2+δ3)≤[δ] Может применяться для хрупких материалов.
3. Теория наибольших касательных напряжений. Материал разрушается, если касательные напряжения достигнет предела. При деформации бруса от напряжения δ1,δ2,δ3 касательное напряжение определяется
После замены напряжений их значений δ1>δ2>δ3, то наибольше касательное напряжение
Хорошо подтверждается для пластичных материалов (стали).
4. энергетическая теория: если энергия изменения объема не превышает предела и материал прочен. Из теории изменения объема
Для случая кручения с изгибом применяется вид
Сложное нагружение. Косой изгиб. Изгиб с кручением.
Основные вопросы:
1. сложное нагружение
2. косой изгиб
3. нейтральная ось
4. определение перемещений и напряжений.
5. внецентренное растяжение
6. определение напряжений при внецентренном растяжении
7. изгиб с кручением валов
8. определение усилий
9. определение напряжений и расчет валов
Понятие о сложном сопротивлении. Сложным сопротивлением называется вид нагруженный, при котором в поперечных сечениях бруса действует 2 или более силовых фактора. Поперечный изгиб также является сложным сопротивлением.
В общем случаи в сечении действуют 6 силовых факторов
При действии нескольких факторов использующий принцип суперпозиции для определенного суммарного результата.
К наиболее распространенным видам сложного сопротивления относятся косой изгиб, внецентренное растяжение и изгиб с кручением. Наиболее распространенное применение и теория прочности для деталей.
Схема сложного нагружения. Стержень нагружен силой F имеющий углы α, β, γ с осями координат, начало которых находится в центре тяжести поперечного сечения. Оси Y и Z являются главными центральными осями инерции. Находятся проекции силы F на оси координат. Применяя метод сечений, устанавливаем, что стержень работает на изгиб в 2-х плоскостях и на осевое растяжение. Если сила F будет расположена в плоскости поперечного сечения, то Fx будет отсутствовать.
Косой изгиб. Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции стержня.
Задачу косого изгиба сводят к одновременному рассмотрению двух плоских (прямых ) изгибов, раскрывая изгибающий момент в сечении на 2 момента, действуя в главных плоскостях (проходят через главные оси сечения) Т.к. напряжение от силы Q является второго напряжения порядка от изгиба.
Схема сил при косом изгибе.
На рис. показан консольный стержень , нагруженный силой F, действующий перпендикулярно его оси и составляющей угол φ с главной плоскостью ху. Напряжение в некоторой точке В поперечного сечения на расстоянии х от незакрепленного торца. Моменты, изгибающие стержень в вертикальной и горизонтальной плоскостях х.
Где Fу и Fz - вертикаль и горизонталь, составляющие силы.
F,M- составляющие моменты в сечении
Напряжения и нейтральная ось при косом изгибе. Нормальное напряжение в нейтральной точке с координатами у и z определяются суммой напряжений от моментов Му и Мz т.е.
Максимальное напряжение будет действовать в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.
Положение нейтральной линии при косом изгибе найдем из уравнения полога δ=0 обозначая координаты нейтральной линии Y0 и Z0 получим
Видно что нейтральная линия является прямой проходящей через начало координат (центр тяжести поперечного сечения) обозначая через α угол наклона нейтральной линии к оси Z найдем
Внецентренное растяжении. При внецентренном растяжении стержня равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, а смещена относительно оси Х.
В произвольном поперечном сечении стержня будет действовать внутренние силовые факторы:
Где F – действующая нагрузка
YF,ХF – КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ
MX,MY- изгибающие моменты относительно осей сечения
Схема сил и напряжений в сечении. Для определения нормального напряжения в произвольной точке найдем его составляющие от каждого фактора для случая внецентренного растяжения.
Нормальное напряжение равно:
Т.Е. эпюра напряжений является плоскостью.
Положение точки К и эпюры напряжения от каждого фактора показано на рис. Для определения нейтральной оси заменим моменты сил их значением и приравняем: К ,XК
Изгиб с растяжением. В общем, случаи на стержень могут действовать как продольные, так и поперечные нагрузки.
Если предположить себе сочетание рассмотренного выше косого изгиба с осевым растяжением или сжатием, то такое нагружение приводит к появлению в поперечных сечениях стержня изгибающих моментов MX,MY поперечных сил Qz Qy и продольной силы N. Например в сечении консольного стержня будет действовать следующие силовые факторы (без учета правила знаков).
Напряжение в стержне. Нормальное напряжение вызывает растягивающую силу FX , во всех поперечных сечениях стержня одинаково и равномерно распределяется по сечению. Это напряжение определяется по формуле: , где А- площадь поперечного сечения стержня
Применяя принцип независимости действия сил с учетом ранее полученной формулы нормальное напряжение в произвольной точке С
Тогда наибольшее напряжение δмах в поперечном сечении:
Условие поперечности по допускаемым напряжениям в расчетном случаи имеет вид: δмах≤[δ]
Изгиб с кручением валов.Многие элементы конструкции машин работают в условиях кручения и изгиба. Например, валы зубчатой передачи от сил в зацеплении зубьев передают крутящие и изгибающие моментов, валы ременной передачи испытывают такие же нагрузки от разности напряжений ремней.
Для решения вопросов работоспособности материала строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов, а затем напряжений.
Схема вала зубчатой передачи. Для определения нагрузок строим схему вала и нагружаем его изгибающими и крутящими моментами и строим эпюры крутящих и изгибающих моментов.
Напряжение в поперечном сечении. Находим опасную тоску С и для нее вычисляем , где Z – расстояние от нейтральной оси ; ρ – радиус вектор от начала осей координат
Т.к. для вала WP=2WY имеет вид
Тогда эквивалентные напряжения по 4-той теории прочности
Устойчивость сжатых стержней
1) Общие понятия об устойчивости систем
2) Продольный изгиб. Критическая сила. Формула Эйлера.
3) Концевые крепления стержней
4) Предел применимости формулы Эйлера.
5) Практические расчеты на сжатие.
Основные понятия об устойчивости. Под устойчивостью равновесия понимается свойство системы сохранять свое состояние при отклонении ее от исходного состояния взаимодействия внешних сил. В реальных условиях есть причина, по которой происходит отклонение системы от исходного равновесия. Если после прекращения действия внешних сил система возвращается в исходное положение, то такое положение называется устойчивым, если не возвращается, переходит в новое состояние – неустойчивым. Переход из одного состояние в другое в этом случае – потеря устойчивости. Потеря устойчивости зависит от величины воздействующей силы. Сила (или другой параметр) характеризуется переходом из устойчивого состояния в неустойчивое – критическая сила. Для обеспечения работоспособности системы необходимо чтобы реальная часть составляла лишь часть от критической силы.
Устойчивость сжатых стержней. Деформируемые тела, в том числе стержни находятся в устойчивом или неустойчивом состоянии. Другие тела, так же как и твердые тела, могут находиться в устойчивом равновесии. Если тонкий прямой стержень сжимать вдоль геометрической оси постоянно увеличивая силу, то сначала он будет прямым под действием напряжений сжатия где А — площадь поперечного сечения стержня. А затем при некоторой нагрузке Fкр, называемой критической, стержень резко изгибается, напряжения в нем быстро возрастают, и возникает опасность разрушения. Это явление называют потерей устойчивости. Если стержень растягивать продольной силой, то он всегда находится в устойчивом (единственном) положении равновесия.
Задача Эйлера. Для выяснения условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия, рассмотрим пример (задача Эйлера) о сжатии стержня. Критическая сила в этой задаче будет равна такой осевой силе, при которой стержень может находиться в слегка изогнутом состоянии.
При малых прогибах стержня можно использовать дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде стремится увеличить отрицательную кривизну упругой линии. Уравнение можно переписать в виде
Решение уравнения., где C1 и С2 — произвольные постоянные, определяемые из краевых условий: 1)при х = 0 у(0) = 0; 2)при х = l у (1) = 0.
Отсюда следует, что С2 = 0; второе условие может быть выполнено лишь при условии, что С1 sin kx = 0. Таким образом уравнение имеет два решения: а) С1 = 0, б) sin kl = 0.
При С1 = С2 = 0 перемещения у тождественно равны нулю и стержень сохраняет прямолинейную форму. Этот случай не удовлетворяет условиям задачи, так как рассматривается изогнутый стержень. Следовательно, стержень может изогнуться лишь при условии при kl = np, где п — произвольное целое число.
При малой силе F, пока величина Как только , , стержень потеряет устойчивость и изогнется.
Эта сила, соответствующая n = 1, называется Эйлеровой силой, или первой критической силой. При этом стержень изгибается по полуволне синусоиды.
Формы прогибов стержней. Стержень изгибается по полуволне синусоиды . При n=1, с максимальным изгибом С1. При п > 1 упругая линия стержня изображается кривой, включающей п полуволн. Однако эти неустойчивые формы равновесия не имеют практического значения, так как уже при п = 1 стержень «теряет» несущую способность.
Влияние закрепления стержня. Величина Fкр зависит от условий закрепления стержня, характера нагружения и формы сечений (момента инерции) стержня. Например, если шарнирно закрепленный стержень связать с еще одной опорой посредине (а), то при потере устойчивости он изогнется по 2-м полуволнам (как двухопорный стержень длиной . Стержень жестко закрепленный на одном конце и свободный на другом, нагруженном конце будет иметь такую же критическую силу как и двухопорный стержень с условной длиной 2l.
Формула Эйлера.
В общем случае формулу Эйлера можно представить в форме, , где m — коэффициент приведения длины. Критической нагрузке соответствует напряжение сжатия
l — коэффициент, характеризующий приведенную гибкость стержня (с учетом условий его нагружения и опирания): где i - радиус инерции сечения: Отметим, что критическую силу и напряжения определяют по минимальному моменту инерции сечения.
Предельные напряжения. Критические напряжения – характеристика конструкций (зависит от λ). Кривая 1 (гипербола Эйлера) это при напряжениях предела пропорциональной
Предел применимости формулы Эйлера. При малых значениях λ<40 стержень теряет работоспособность из-за наступления пластических деформаций, потери устойчивости не происходит и предельное напряжение равно пределу текучести. При средних значениях (40< λ<100) для стержня из стали (Ст3) наблюдается потеря устойчивости стержня, сопровождаемая упругопластическими деформациями (2). Для этого случая нагружения формула Эйлера не справедлива, и критические напряжения вычисляют по эмпирической формуле Ясинского: В реальных деталях стержневой формы (винтах, стойках и др.) неизбежны отклонения оси стержня от прямолинейного направления и внецентренное приложение сжимающих сил, поэтому потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших критических.
Практические расчеты. Расчет сжатых стержней ведется также, как и растянутых стержней, но допускаемые напряжения принимают в зависимости от гибкости: коэффициент снижения допускаемых напряжений. Фактический коэффициент запаса устойчивости в этом случае определяется как:
Усталость материалов.
1. Циклы переменных напряжений
2. Усталость материалов
3. Кривая усталости
4. Предел выносливости
5. Влияние конструктивных и технологических факторов на предел выносливости
6. Расчет прочности при переменных напряжениях.
Переменные напряжения. Большинство деталей машин в рабочих условиях испытывают переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени (циклические напряжения). Они возникают в деталях от изменения нагрузки, а также в связи с изменением положения их сечений по отношению к постоянной нагрузке (напр., при вращении детали). З-ны изменения переменных напряжений могут быть различными, но все их можно представить в форме простейших гармоник синусоиды и косинусоиды.
Периодическое изменение напряжений во времени происходит от наибольшего значения σmax до наименьшего σmin и обратно. Переменные напряжения могут быть также касательными.
Число циклов напряжений в секунду называется частотой нагрузки.
Циклы напряжений
Циклы могут быть знакопостоянными (а и в) или знакопеременными, пульсирующими.
Любой цикл может хар-ся средним напряжением σm = (σmax + σmin )/ 2
и амплитудой переменного напряжения σа = (σmax - σmin )/ 2
Отношение r = σmin / σmax наз-ся коэффициентом асимметрии цикла.
В цикле б среднее напряжение = 0, такой цикл наз-ся симметричным.
(σmax ≥ σа ≥ σmin ; r = -1) Если max или min напряжение цикла =0, то его называют пульсирующим или нулевым (для цикла в, r = 0)
Усталость материалов. Переменные напряжения, появляющиеся в деталях машин от изменения нагрузки или изменения их положения по отношению к постоянной нагрузке.(напр., при вращении) приводят к внезапному разрушению детали, хотя величина этих напряжений существенно ниже предела текучести(допускаемых напряжений). Это явление получило название усталости. Усталостное разрушение начинается с накопления повреждений, появления трещин, постепенно развивающихся внутрь, что приводит к увеличению напряжений неповрежденной части.
Предел выносливости. Число циклов до момента разрушения зависит от амплитуды напряжений в весьма широких пределах. Способность материала противостоять действию переменных нагрузок наз-ся сопротивлением усталости (имеют место случаи, когда деталь разрушается при больших напряжениях через несколько циклов, а при меньших способна работать неограниченно долго).
Оценивают сопротивление усталости с помощью предела выносливости, определяемого экспериментально на спец. машинах или стендах.(предел выносливости- число циклов до разрушения)
Методика испытаний. Если стальной образец выдержал 10млн. циклов, то полагают, что он может выдержать без разруш-я и большее число циклов. 107 – базовое число.
Диаграмма усталости. По результатам испытаний строят кривую усталости. Наибольшее значение напряжения цикла, которое образец выдерживает до базы испытаний, называют пределом выносливости. При симметричном цикле предел выносливости обозначается через σ-1, при пульсирующем -σ0, при ассиметричном –σr. Для расчета деталей не предназначенных на длительный срок службы вводится понятие ограниченного предела выносливости σrN, N – заданное(меньше базового) число циклов
Приближенные значения между пределами выносливости при изгибе и пределами выносливости для других видов деформации:
Уравнение кривой усталости. Зависимость между переменным напряжением σmax и числом циклов до разрушения достаточно точно описывается уравнением σmaxm N=C, где m и с – постоянные для данного матер-ла, температуры и окр. среды; Nσ-базовое число цикла.
В логарифмич.коорд. ур-е кривой уст-ти lgσmax= (I/m)lgN + (1/m) lgC
Тангенс угла наклона прямой β | tgβ | = 1/m
С увелич.знач-я m наклон прямой к оси lg = N уменьш-ся и при m→∞ прямая становится горизонтальной. Обычно m=4…10
Ур-е справедливо и для точки перегиба А кривой уст-ти, т.е.
С=σrm Nσ тогда получим (σmax / σ1 )m = Nσ / N, откуда N= Nσ(σmax / σ1 )m
Эта завис-ть исп-ся для определения ресурса работы Эл-тов констр-ций при известном уровне работы переменных напряж-ий σmax и знач. Nσ и σ
Диаграмма предельных напряж-ий
Пределы выносливости завис.от коэф.ассиметрии цикла. По рез-там испытаний строят диагр.предельных амплитуд напряж-ий. Аппроксимируя ее, получаем линейн.завис-ть sа0 = s-1 - sт, где коэф.,хар-щий чувствит-ть матер.к ассим-ии цикла(для касат.или норм.напряж-ий), зависит от предела прочности матер.
Влияние концентраторов напряж-ий.
Опытами установлено,что в зонах резких изм-ий конст-ий возник.повыш.напряж-я – концентрация напряж-я. Их величина σmax = ασ σn
ασ – коэф.конц-ии, σn – номинальное знач-е.
Эффективный коэф.конц-ии.
Эксперимент-но в реал.матер. коэф.конц-ии кs =s-1/s-1к, где s-1к – предел с конц-ром напряж-я. Коэф.конц. для валов с галтетью.
Чем <ρ, тем конц.напряж-ий выше.
Масштабный эффект.
На конц.влияет размер детали, кот. учит-ют коэф.масштаб.эффекта.
Состояние пов-ти.
Учит-ся коэф.качества β. Коэффициент b < 1 характеризует снижение предела выносливости при ухудшении обработки по сравнению с полировкой. Значения коэффициента b приводятся в справочной литературе.
Условия прочности при перемен.напряж-ях.
Уравнение граничной прямой на диаграммы предельных напряжений
sа0 = s-1 - sт,
для выявления предельного состояния материала преобразуем к виду
sа0 + sfт, £s-1.
Если ввести, как обычно, понятие эквивалентного переменного напряжения
sэкв= sа + fssт,,
то условием надежности материала будет выражение
sэкв £ s-1.
Влияние концентрации напряжений, масштабного эффекта и состояния поверхности следует относить, как показали экспериментальные исследования, только к переменной составляющей цикла.
С учетом этого
sэкв = sакs esbs + fssт
и условие сопротивления усталости примет вид
sэкв = sакs esbs +fssт £ s-1.
При действии касательных напряжений условие сопротивления усталости будет
sэкв = τакτ /e τbτ + fττт ≤ τ-1
Запасы проч-ти при переем.напряж-ях.
Для оценки надежности элемента определяют запас прочности. Принимаем, что в процессе работы переменное и постоянное напряжения изменяются пропорционально. Запас прочности детали в точке - это отношение предельного значения напряжений в точке к действующим эквивалентным ( нормальным и касательным) напряжениям.
Тогда подставляя соответствующие напряжения из условий прочности, получим
.
При совместном действии нормальных и касательных напряжений запас прочности находят по формуле
.
Полученные значения запасов прочности следует сопоставлять с их допустимыми значениями. Обычно принимают п ³ 1,5.
Расчет оболочек вращ-я. Расчеты за пределами упругости.
Понятие тонкостные оболочки вращ-я
Определение напряж-ий
Анализ прочности
Расчет прочности стержня при изгибе и кручении за предел.упр-ти.
Тонкос.обол.вращ-я.
При оценке прочностной надеж-ти ряд распростр.эл-тов констр-ий схематизир-ют в форме тонкост.обол.вращ-я.
Если нагрузка на обол.осесимметрична, то опр-е напряж-ий в стенках не вызывает затруднений. При толщине стенки не свыше 0,1 минимал.радиуса ее кривизны с приемл.для практики точностью принимают, что в стенках от внеш.нагрузки возник.только норм.напряж-я, кот.постоянны по толщине.
В кач-ве примера можно рассм.сосуд под давлением.
Рассм.сосуд(а) под давл.Двумя попереч.и двумя продол.сеч-ями вырежем из стенки беск.малый эл-т с длиной граней dl (б)В этих сечениях действ.осевые sт и окружные(кольцевые) σβ напряж-я, т.е. вырез.эл-ты наход-ся в плоском напряженном состоянии.
Напряж-я в оболочке.
Осевые напряж-я, вызыв.осевой силой:
N=qπR2 = π Dδ σm
R-внутр.радиус сферич.части, отсюда D≈ 2R – сред.диаметр цилиндр.части сосуда
δ – толщина стенки.
Площадь кольцевого сечения Аm = π DS, из этого ур-я σm = N / Аm =qD/4 δ
Окружные напряж-я вызыв-ся силами dN0 = δ0 ⌠∂l, кот.должны уравновеш.силу dFR , обусловл. Давлением q, действ.на пов-ть эл-та dFR =qdl2
Состав.ур-е равновес.,проецируя силы dN0 и dFR на напр.радиуса в середине эл-та 2 dN0 sin(dQ/2)-dFR =0
Анализ напряж-ий.
Тогда 2σ 0 δ dl sin(dQ/2)= q dl2
dl=Rd0 и sin(dQ/2) ≈ dQ/2
Получим σ 0 = qD/2 δ.
Сравнивая с предыдущ. σm напряж-ем в попереч.напр.(по кольцу),сеч. В 2раза больше( в продол.сост.), чем вдоль трубы(попереч.сеч.) Это обст-во учит.на практике при изготов.составных резервуаров. Подол.сварные швы выполняют более прочными, чем попереч.швы. В сферич.сосуде напряж-я на гранях будут одинак.
Схема напряж-ия при расчетах за пределом упругости материала.
Max касат.напряж-я при кручении действ. В крайних волокнах и пластич.деформ.возник.сначала на контуре сечения. Пластич-ая зона при увелич. нагрузки будет развиваться внутрь сечения. Для идеал. Упругопластичного материала переход в предел.состояние показан на рис.
На а) показ.распределение напряж-ий для упруг.сост-я, сохр-ся до τ max= τт,
На б) при τ max= τт, когда впервые появл-ся пластич. Деформ.,
На рис в) – предельное состояние.
Предельный момент кручения.
Предел.знач-е момента легко устанавл-ся из условия равновесия.
Tкр= А∫ dT = А∫ ρ d Fт = А∫ ρ τт dA = А∫ ρ2πρ τт ρ dρ = π τт ρ3/3|a0 = (πD3/12) τт
Найдем отношение Tкр к max знач. Tm момента в упруг.сост.
Tm= Tт Wp = τт Wp
Получим Tкр /Tт =4/3.
Расчет на изгиб за предел.упруг-ти.
Эксперимент. Установлено, что при упругопласт.изгибе з-н плоских сечений сохр-ся. Поэт.деф.лин.зависят от корд. y. На рис. А) показ. попереч.сеч.; упругое распеределение деф. И напряж-ий по высоте сеч-я (б и в); упругопласт.(г) и предельное состояние(д).
Вывод: Расчет предел.момента .Зона пласт.деф. распр-ся внутрь сеч.и, когда во всем сеч.норм.напряж-я достиг.предела текучести, обр-ся предел.состояние и балка не может передавать большей нагрузки. Предел.момент находят путем интегрирования:
Mпред= А∫ dM = h/2∫ σт by dy = σт b h2/4
Max знач.изгиб.момента для упруг.распределения напряж, когда только в крайнем волокне будет: Мτ = σт b h2/6
Отношение Mпред / Мτ = 3/2
Контактные напряж-я.
Контакт.назыв.напряж. в зоне контакта дет.машин. на практике часто появл-ся необх-ть опред-я напряж-ий и деформ.в этих зонах, как при расчете на контакт.прочность(зубч. и фрикционные передачи),так и для оценки предела выносливости(резьбовые и прессовые соед-я).
Конструкционные контакт. задачи решают методами теории купругости, как пр-ло, приближенно. Точные реш-я получены лишь для задач об упруг. Контакте деталей простой формы(цилиндры, шары и т.д.)
Для понимания принципа подхода при решении контактных задач рассм.взаимодействие цилиндра(задача Герца)
Схема контакта двух цилиндров.
Рассм. Напряж.сост. 2-х длинных цилиндров с || осями, сжатых распредел.по длине радиальными нагрузками Р.На расстоянии Е от пл-ти проход.через оси цилиндра, возьмем две точки А1 и А2.
Если контакт цилиндров без нагрузки происх.по линии || их осям, через т.В, то при нагрузке по площадке 2a*l (l – длина стержня).
Контакт однород.материалов.
Если цилиндры изготов.из матер., у кот. Е1 =Е2 и μ1 = μ2, то
qmax = 0,418√ (pE(R1+R2)/R1R2)
a = 1,52√ (p/E * (R1R2)/(R1+R2))
δ = 2(1-ν2)/πE * p* (ln (4R1R2/a2) + 0,815)
а зависит от р, то смещение δ явл-ся нелинейной ф-цией от p, хотя матер.цил.упругий.
Эта задача впервые решена Герцем.
Статически неопределимые системы. Понятие статич.неопредел-ти.
Из матем.известно, что число ур-ий должно быть = числу неизвестных. Величин, иначе система нерешаема.( статич.неопределима).В сопромате статич.неолпр-мыми наз-ся системы, в кот. для опр-я р-ций ( или внутр.сил.факторов) недостаточно ур-я равновесия. Число недостающих Ур-ий – степень неопр-ти.
Метод раскрытия статич.неопр-ти.
- включение в число ур-ий ур-ий совместности деформации стержней. Наиб.распр.метод сил, когда Ур-я совместности деформ. Выр-ся через действующие силы.
Например, задача о составном стержне.
Пусть стержень сост.из двух частей.
Из ур-ий статики 1 ур-е ∑y =0.
∑y = RK + RB –F =0.
Задача статически не решаема
Добавим Ур-е совместности деформ.
ΔF = Δx =0
ΔА = - F l2/E2A2 ;
Δx = x l1/ E1A1 + x l2/E2A2 ;
x = RK = F/( 1 + l1/ l2 * E2A2/ E1A1);
RB= F - RK.
Динамические нагрузки. Удар.
1) Динамические нагрузки
2) Учет сил инерции
3) Напряжения в элементах конструкций, движущихся с ускорением
4) Ударные нагрузки. Определение напряжений и перемещений.
Температурная задача. Вторая группа задач статистики неопределимых систем состоит в учете усилий от стеснения температурной деформации. Определим усилия и напряжения в закрепленном стержне длиной l, с сечением А при изменении температуры на
Решение и анализ. Вводя неизвестное усилие х, устраняем температурное расширение, т.к. по смыслу задачи
Динамические нагрузки. Динамические нагрузки возникают в элементах конструкций при их движении с ускорением. Расчет внутренних силовых факторов и напряжений проводится с учетом сил инерции и механических свойств материалов при высоких скоростях нагружения. Общий метод расчета основан на принципе Даламбера, используя который, элемент конструкции приводят в состояние мгновенного равновесия путем приложения к нему сил инерции. Далее описанным выше методом определяют деформации и напряжения. Рассмотрим учет динамических нагрузок на примере колебательных движений вращения кольца или ударного напряжения.
Схема одномассовой колебательной системы. Простейшая динамическая система включает массу, закрепленную на пружине. При рассмотрении упругих колебаний системы различают собственные и вынужденные колебания. Собственными (свободными) называют колебания которые совершает система при отсутствии внешних воздействий. Если в начальный момент отклонить массу на величину а и предоставить систему самой себе, то возникнут собственные колебания и смещение центра массы в момент времени t будет
Параметры системы. Круговая частота m – масса груза. Промежуток времени между двумя одинаковыми положениями системы называют периодом колебаний - осадка пружины при статистическом действии амплитуды возмущающей силы.
Понятие резонанса. Расчетные модули системы. При совпадении частоты ω возбуждающей силы с частотой собственных колебаний наступает резонанс, и амплитуда колебаний стремится к бесконечности. В действительности благодаря трению амплитуда остается конечной, но достигает большей величины. Резонанс представляет собой большую опасность для прочности конструкций и его следует избегать. Резонансы наиболее часто устраняют за счет изменения собственной частоты колебаний, реже – за счет изменения частоты возбуждающей силы. Основная задача расчета конструкции на колебания (вибрацию) состоит в определении собственных и резонансных частот колебаний. Сложность теоретического анализа колебаний зависит от числа независимых координат, определяющих однозначно положения точек в системе. Математическое описание такой системы может быть выполнено с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. В упрощенных расчетах легкие части считают невесомыми, но деформируемыми, тяжелые части абсолютно твердыми телами – материальными точками. Движение такой системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением.
Ударное нагружение систем. При ударе (внезапном нагружении с очень высокой скоростью), определение сил инерции затруднено, поэтому для приближенного определения динамических напряжений и деформаций используют закон сохранения энергии и предполагают, что ударяющее тело не отскакивает от конструкции после соприкосновения, а перемещается вместе с ней (неупругий удар). Рассмотрим задачу об ударе груза массой m, движущегося со скоростью υ0 по стержню с осевой податливостью
Коэффициент динамичности. Кинетическая энергия греза после касания со стержнем будет накапливаться в нем в виде потенциальной энергии растянутого на величину стержня и изменения потенциальной энергии груза на этом же перемещении - удлинение стержня при статическом нагружении силой тяжести груза;
Динамические напряжения. Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз возрастает перемещение упругого элемента за счет удара по сравнению со статистическим перемещением. Существенно: напряжения в теле возрастают пропорционально
Центробежные нагрузки. Применяя принцип
Даламбера, определим напряжения в равномерно вращающемся кольце. Такая модель
используется в расчетах ремней передач и других деталей. Вращающееся кольцо
деформируется центробежными силами инерции, равномерно распределенными по
окружности (рис. а). Сила инерции, действующая на элемент кольца длиной
Напряжения во вращающемся кольце. Двумя радиальными плоскостями вырежем из кольца бесконечно малый элемент (рис.b). Сила инерции, действующая на элемент длиной q-масса материала). Эта сила уравновешивается нормальными силами N0 в сечении от окружных растягивающих напряжений σ0: N0 на линию действия силы составим уравнения равновесия элемента: