Маркетинг решение исследовательских задач

Министерство образования Российской Федерации

А. Л. Алифанов

Л. А. Алифанов

маркетинг:

решение исследовательских задач

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей всех форм обучения

Красноярск 2005

УДК 681.3:33(07)

         А 50

Рецензенты:

Л. Ф. Магеря, канд. эконом. наук, доц. кафедры «Экономика и управление предприятием» ;

С. С. Матович, гл. инженер Горно-транспортного предприятия ЗФ ОАО «ГМК «НН»

Алифанов, А. Л.

А. Л. Алифанов

А 50                          Маркетинг: Решение исследовательских задач: Учеб. пособие /                              , Л. А. Алифанов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005. 95 с.

ISBN 5-7636-0720-1

Изложены методы анализа плохо организованных систем с позиций их применяемости при исследованиях, проводимых в маркетинговой деятельности.

Рассмотрены статистические способы оценивания значимости факторов, эффективности рандомизации, однородности наблюдений, статистических связей, резко выделяющихся наблюдений, однородности оценок математических ожиданий и дисперсий, а также ситуации, анализируемые с помощью экспертных методов, дисперсионного анализа, элементов теории массового обслуживания, типовых задач управления запасами, кластерного анализа. Все изложенные методы иллюстрированы примерами с реальными цифрами, взятыми преимущественно из журнальных статей.

Предназначено для студентов экономических специальностей вузов всех форм обучения.

УДК 681.3:33(07)

ISBN 5-7636-0720-1                                                Ó КГТУ, 2005

Алифанов А. Л.,

                                                                                 Ó

                                                                                     Алифанов Л. А.

Аскольд Леонидович Алифанов родился в г. Шахты Ростовской области. Имя ему выбрал отец, Леонид Андреевич, назвав в честь первого киевского князя. Отец, работавший шахтером, ушел на фронт добровольцем и погиб в 1942 г. в бою под Харьковом. Послевоенное детство прошло в деревнях Ростовской области и в Ростове-на-Дону, где он жил то с бабушкой Анной Ефимовной, то с дядей Валентином Андреевичем, который заменил ему отца, то с матерью Марией Федоровной – учителем начальных классов. После окончания средней школы в 1957 г. попытался реализовать свою мечту – стать военным летчиком. Несмотря на отличный аттестат и здоровье поступить в летное училище с первой попытки не удалось. Его знаменитый земляк – Александр Иванович Лебедь, оказавшись в аналогичной ситуации, пошел в Воздушно-десантные войска. Аскольд в то время послушался своего дядю – артиллерийского офицера, преподавателя тактики в РАУ, который, наблюдая падение авторитета армии, советовал воспитаннику прервать старинную семейную традицию. В том же году Аскольд поступил в Ростовский институт инженеров железнодорожного транспорта. В 1962 г., получив квалификацию инженера-механика по строительным и дорожным машинам, был направлен на работу в трест Красноярсктрансстрой Министерства транспортного строительства СССР. До 1969 г. работал по специальности в сфере ремонта и эксплуатации автомобилей и дорожных машин.

В 1969 г. был принят по конкурсу ассистентом на кафедру СДМ Красноярского политехнического института, в 1971 г. поступил в аспирантуру Московского автомобильно-дорожного института. Диссертационную работу выполнял под руководством Льва Владимировича Дехтеринского на кафедре «Производство и ремонт автомобилей и дорожных машин». В Москве Аскольду посчастливилось учиться у известных математиков Елены Сергеевны Вентцель и Сима Борисовича Норкина, определивших его последующий интерес к теории вероятностей и математической статистике.

После защиты в 1974 г. кандидатской диссертации «Исследование эффективности прогнозирования при заводской аттестации качества капитального ремонта коробок передач автомобиля ЗИЛ-130» продолжил работу в Красноярском политехническом институте, а с 1983 г. работал доцентом кафедр ПТ, СДМиО в Норильском индустриальном институте.

В середине 90-х годов XX в. обстоятельства заставили его задуматься о защите докторской диссертации. Поскольку все годы работы в вузах Л. А. Алифанов активно занимался научной работой, то к 1999 г. он сумел подготовить и защитить докторскую диссертацию «Методические основы прогнозирования потребности в ремонтах агрегатов и автомобилей для обеспечения работоспособности автомобильного парка Северного региона» в Московском автомобильно-дорожном институте (техническом университете). До последнего дня жизни А. Л. Алифанов активно трудился в должности профессора в Норильском индустриальном институте.

ВВЕДЕНИЕ

Маркетинг как вид человеческой деятельности, направленной на удовлетворение нужд и потребностей посредством обмена [7], подвержен влиянию огромного количества факторов демографического, экономического, природного, научно-техничес-кого, политического, культурного характера. Они проявляют себя в случайные моменты времени, в различных сочетаниях, с разной степенью воздействия на эффективность маркетинговой деятельности.

Стратегическое планирование, разработка годовых планов и маркетинговый контроль невозможны без знания рыночной ситуации и формирующих ее факторов макро- и микросреды. Поэтому необходимо выявление наиболее значимых их них с целью построения оптимизационных моделей и написания сценариев, позволяющих осуществлять последовательное и глубокое внедрение на рынки.

Маркетинговая ситуация быстро меняется, уровень значимости факторов, существенных в настоящий момент, через относительно малый промежуток времени может повыситься или снизиться; с развитием рынка на первое место могут выходить качественно новые факторы, коренным образом изменяя условия производства, сбыта и потребления.

В настоящем пособии изложены наиболее простые и эффективные способы, лежащие в основе формирования статистических банков – совокупностей «современных методик статистической обработки информации, позволяющих наиболее полно вскрыть взаимозависимости в рамках подборки данных и установить степень их статистической надежности» [7], а также банков моделей.

Как статистические банки, так и банки оптимизационных и прогнозных моделей требуют постоянного поддержания уровня их надежности за счет совершенствования самих методик и моделей. Изложенные в пособии методики и модели представляют собой фундаментальные знания, на основе которых осуществляется повышение уровня их эффективности.

В первой главе рассмотрены методы и примеры решения задач проверки статистических гипотез при исследовании различных аспектов маркетинговой деятельности с помощью критериев математической статистики. Приведены способы оценивания существенности факторов, влияющих на показатели маркетинга, и значимости систематически действующих факторов на результаты работы фирм. Представлены методы проверки однородности объемов продаж ведущими компаниями, оценки статистической связи между показателями функционирования организаций и резко выделяющихся показателей реального денежного дохода населения. Произведен анализ однородности выручки, получаемой от российского экспорта основных видов продукции, и однородности условий маркетинговой деятельности.

Вторая глава посвящена анализу факторов, обуславлива-ющих эффективность маркетинговой деятельности. Здесь приведены методика и решение задачи с помощью однофакторного дисперсионного анализа: оценка значимости влияния местонахождения пункта продаж на цены автомобилей, а также методика и решение задач с помощью двухфакторного дисперсионного анализа: оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга.

В третьей главе на примерах проиллюстрированы приемы применения непараметрических методов исследования в маркетинге для количественного оценивания качественных состояний или свойств объектов. Рассмотрены примеры выявления уровня надежности автомобильных узлов, а также уровни эффективности использования различных видов транспорта крупными отправителями. Изложены элементы кластерного анализа в свете оценивания существенности влияния рейтинга марки товара на прибыль фирм.

В четвертой главе изложен один из важнейших аспектов маркетинга – управление запасами. Приведены описание задач теории и способы определения оптимальных размеров партий товара для двух вариантов: в случае равномерного спроса и в случае модели производственных поставок.

В пятой главе рассмотрены понятия теории массового обслуживания и на примерах показаны варианты использования простейших моделей для вычисления основных показателей систем, находящих применение в различных сферах маркетинговой деятельности.

Изложение приведенных в данном пособии методик ориентировано на выполнение расчетов вручную. На практике более удобно осуществлять исследования в специализированных пакетах программ, либо программировать вычислительные алгоритмы самостоятельно, однако, в процессе обучения «ручной» счет предпочтительнее, так как помогает лучше усвоить материал и закрепить его понимание на интуитивном уровне.

1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

1.1. Предпосылки использования

в маркетинговых исследованиях

статистических методов

При исследованиях показателей маркетинговой деятельности в реальных условиях во многих случаях приходится иметь дело с практически трудно управляемыми или вовсе не управляемыми, трудно изменяемыми или даже не изменяемыми исследователем факторами. Это весьма затрудняет или вовсе исключает целенаправленное варьирование их уровнями по заранее разработанному применительно к конкретной ситуации или выбранному плану, и воплощение его (даже если это принципиально возможно) может оказаться слишком дорогостоящим.

Тем не менее, если хотя бы один фактор управляем, а остальные сравнительно легко контролируемы, проводят эксперименты в разнородных условиях, сообразуясь с целью исследования и материальными возможностями.

Когда эксперименты проводятся с факторами, часть которых управляема, а другая часть неуправляема, но контролируема, то они называются активно-пассивными, если же все факторы управляемы и контролируемы – активными. Активные эксперименты предполагают отбор существенных факторов, задание границ факторного пространства, минимизацию числа опытов, построение модели, адекватной данным, и отыскание оптимума. Но уже только одно ограничение факторного пространства само по себе сильно сужает поиск и процесс формирования новых знаний, поэтому такой подход к экспериментированию в большинстве случаев, скорее, позволяет уточнить знания об объекте и упорядочить их, т. е. по сути активные эксперименты эффективны лишь на горизонтальном уровне.

Главным способом изучения маркетинговых ситуаций является наблюдение – «восприятие объекта без активного вмешательства в его поведение», хотя и «исследователь вынужден пассивно ожидать естественного проявления необходимых эффектов в поведении объекта, что значительно удлиняет ожидаемое время сбора необходимой информации» [2]. Наблюдение особенно эффективно, когда факторы трудно управляемы или неуправляемы, но контролируемы. Современные методики обработки наблюдений позволяют получать приемлемые результаты, делать достаточно точные выводы, выдвигая гипотезы и принимая или отвергая их.

Статистическая гипотеза – любое предположение о свойствах случайной величины. Выдвигаемые гипотезы подразделяются на исходную (основную), так называемую, нуль-гипотезу Н₀, и конкурирующие гипотезы Н₁, Н₂, …Н_n. Если нулевая гипотеза отвергается, то в качестве основной принимается первая из конкурирующих, если и она отвергается, то принимается вторая и т. д.

При проверке статистических гипотез используется понятие уровня значимости a. Уровень значимости (или риск производителя – в терминологии науки о контроле качества) есть вероятность ошибки первого рода – отвергнуть правильную гипотезу. Вероятность противоположного события

                                                     Р_дов = 1 – a.                                            (1.1)

Вероятность ошибки второго рода – принять неправильную гипотезу (риск потребителя) β, вероятность противоположного события 1 – β – мощность критерия. В инженерных экономических и технических расчетах уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,1, поскольку эти значения соответствует, как правило, принятой точности измерений и объему выборок.

Можно уменьшить a – риск производителя, но тогда, вполне естественно, увеличится риск потребителя β, поэтому для уменьшения a и β необходимо увеличивать объем выборок, или увеличивать точность измерений, или увеличивать и то и другое.

Для проверки нуль-гипотезы наблюдаемое значение случайной величины сравнивают с критерием, который также является случайной величиной с известной функцией распределения. Найденные значения критерия могут находиться в критической области маловероятных значений и, напротив, в области принятия гипотез, где значения критерия допускаются с заданной доверительной вероятностью. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотез, называют критическими. Правосторонняя критическая область определяется неравенством

                                                        К > К_кр,                                               (1.2)

где К – случайная величина критерия; К_кр – значение критерия, соответствующее критической точке.

Левосторонняя критическая область имеет место, когда

                                                        К < К_кр.                                               (1.3)

Двусторонняя критическая область отвечает неравенству

                                                       |К| > К_кр.                                               (1.4)

Например, для нахождения правосторонней критической области задаются уровнем значимости α и определяют по соответствующим таблицам критическую точку К_кр, руководствуясь следующим соображением: при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что К > К_кр, равна a:

                                                  Р(К > К_кр) = a.                                         (1.5)

Значит, если К находится в критической области, то нуль-гипотеза отвергается, а вероятность того, что К > К_кр, равна a – вероятности отвергнуть правильную гипотезу.

Двусторонняя критическая область, отвечающая требованиям |К| > К_кр или К < К_1кр и К > К_2кр при К_2кр> К_1кр, определяется как сумма:

                                      Р(К < К_1кр) + Р(К > К_2кр) = a.                              (1.6)

При симметричном распределении критерия имеет место выражение

                                                Р(К > К_кр) = a/2,                                        (1.7)

т. е. вероятность того, что найденный критерий попадает в правостороннюю критическую область, равна a/2 (при такой же вероятности попадания в левостороннюю критическую область, что в сумме дает a).

1.2. Оценка существенности факторов, влияющих

на объем производства товара, с помощью

непараметрического критерия знаков

Критерий знаков является одним из самых простых способов выявления существенных факторов. Он основан на N-ста-тистике и служит для проверки гипотезы о равной вероятности положительного и отрицательного исходов для последовательности независимых событий. Результаты наблюдений (испытаний) независимы, если каждый из них не подвержен влиянию предыдущего и не содержит информации о последующем.

Если гипотеза о равной вероятности исходов независимых испытаний (их число равно n) Р{+} = Р{–} не отвергается, то нужно предположить, что исследуемый фактор, варьируемый экспериментатором, не оказывает влияния на результат испытаний. Единственное условие – отсутствие влияния других значимых факторов, кроме исследуемого.

Если количество положительных исходов равно μ, то для проверки гипотезы Н₀: р = 0,5 (при конкурирующих Н₁: р < 0,5; Н₂: р > 0,5; Н₃: р ≠ 0,5) по табл. 1 приложения определяют критические значения N(a, μ) и N(a, n – μ), соответствующие заданному уровню значимости.

1.   При альтернативе {р < 0,5} основная гипотеза отвергается с уровнем значимости a, если n ≥ N(a, μ).

2.   При альтернативе {р > 0,5} основная гипотеза р = 0,5 отвергается с уровнем значимости a, если n ≥ N(a, n – μ).

3.   При двусторонней альтернативе {р ≠ 0,5} основная гипотеза р = 0,5 отвергается с уровнем значимости 2a, если n ≥ N(a, min {μ, n – μ}).

Пример. По данным источника [16], приведенным в табл. 1, требуется оценить влияние географического расположения района (восток – запад) на производство фальшивых напитков l_i, млн дкл в 1999 г.

Таблица 1

Производство напитков в РФ по районам, млн дкл (значения округлены)

1. Центральные, южные и западные районы РФ

Σ

Калинин-градская область

Волго-Вятский

Централь-ный

Центрально-Черно-земн.

Северо-Кавказск.

Поволжский

2,0

6,0

26,0

3,4

7,8

12,4

57,6

2. Северные и восточные районы РФ

Уральск.

Западно-сибирск.

Восточ.-сибирск.

Дальневосточный

Северный

Северо- западн.

Σ

13,6

9,7

4,9

6,5

3,4

1,4

39,5

Решение. Чтобы можно было воспользоваться рассматриваемым критерием, область возможных значений производства напитков R по обеим группам районов делится на две равные части:

                                       R₁ = R₂ = R/2 = (l_max– l_min)/2,                               (1.8)

R/2 = (26 – 1,4)/2 = 12,3 млн дкл,

где R₁ – область положительных значений производства напитков; R₂ – область отрицательных значений, l_max – значение максимального объема производства (Центральный район), l_min – значение минимального объема производства (Северо-западный район).

Количество положительных исходов для первой группы (больших граничного значения 12,3) равно 2 (Центральный и Поволжский районы); для второй группы районов количество положительных исходов равно 1 (Уральский район). Поэтому μ = 2 + 1 = 3 и при a = 0,1 по табл. 1 приложения N(0,1; 3) = 12. Поскольку число районов также равно n = 12 и, значит, n = N(0,1; 3), то гипотеза (имеется в виду двусторонняя альтернатива) о независимости от географического расположения района объема производства фальшивых напитков отвергается. Скорее всего, место расположения района (в смысле принадлежности его к первой или второй группе) все-таки влияет на объем производства фальшивой продукции.

Если же повторить процедуру отдельно для каждой группы районов, то окажется, что внутри групп расположение района не оказывает влияния на объем производства. Например, для первой группы области положительных r₁ и r₂ отрицательных значений равны:

r₁ = r₂ = r/2 = (l_1max – l_1min)/2; r/2 = (26 – 2)/2 = 12 млн дкл.

Количество положительных исходов для первой группы районов равно 2, поэтому μ = 2. При числе районов первой группы n₁ = 6 и уровне значимости a = 0,1 величина n₁< N_кр (0,1; 2) = 9 (табл. 4, приложения), т. е. гипотеза об отсутствии влияния на объем производства фальшивых напитков расположения района, если он находится в 1-й группе, не отвергается. Вариация же объемов производства внутри групп объясняется другими факторами.

1.3. Оценка значимости систематически действующих

факторов на результат деятельности фирм

с использованием критерия для количества серий

В случае проверки эффективности рандомизации (целью которой является исключение существенного влияния на исследуемый объект систематически действующих факторов) и отсутствия систематических ошибок при осуществлении наблюдений используют критерий для количества серий.

Пример. В табл. 2 представлены данные по числу продаж k компьютеров [15], тыс. шт., лидерами рынка Европы, Ближнего Востока и Африки за 1998 и 1999 гг. Требуется оценить влияние систематически действующих факторов (собственно года продаж, имиджа компании и т. п.) на результат деятельности фирм.

Таблица 2

Число продаж компьютеров компаниями – лидерами рынка

Год

продаж

Компании

Σ

Σ Σ

Compaq

Fujitsu-Siemens

Dell

IBM

Hewlett-Packard

1998

4,8

2,8

2,1

2,4

1,8

13,9

1999

5,5

3,7

2,9

2,8

2,3

17,2

31,1

Решение. Среднее число продаж компьютеров, приходящееся на каждую компанию в год

                                            ,                                            (1.9)

.

где k – объем продаж i-й фирмой; n – число фирм; g – число лет продажи.

Считая, что данные в табл. 2 расположены в порядке их регистрации, присваивают знак (+) соответствующим продажам (и фирмам), которые превышают , и знак (–) продажам, меньшим, чем .

Получаем последовательность из четырех серий: + – – – – + + – – –. Первая серия состоит из (+), вторая – из ( – – – – ), третья – из (+ +), четвертая – из (– – –). Количество минусов n = 7, количество плюсов m = 3.

Если найденное по результатам наблюдений количество серий γ удовлетворяет неравенствам

                                        g(a; m; n) < γ < G(a; m; n),                             (1.10)

то гипотеза о случайном характере данных не отвергается. Если хотя бы одно из неравенств нарушится, то гипотезу следует отвергнуть. Здесь g(a; m; n) и G(a; m; n) – соответственно нижнее и верхнее критические значения для количества серий.

По табл. 2 приложения при уровне значимости a = 0,1 нижнее критическое значение равно 2, верхнее –8, следовательно, неравенство выполняется и можно считать, что в данной совокупности наблюдений систематически действующие факторы не влияют на количество продаж.

1.4. Анализ компьютерного рынка

с позиций однородности объемов продаж

лидирующими компаниями

Для проверки гипотезы об однородности двух выборок ξ₁, ξ₂, … ξ_n и ξ΄₁, ξ΄₂, … ξ΄_m c независимыми элементами используют критерий Вилкоксона W. Проверяется основная гипотеза Н₀, предполагающая, что обе выборки принадлежат одной и той же совокупности:

                                 Н₀: Р{ξ < x} ≡ P{ξ′ < x}    (|x| < ∞).                      (1.11)

Конкурирующей может быть гипотеза

                                           Н₁: Р{ξ < x}≠ P{ξ΄< x}.                                (1.12)

Предполагается, что объем первой выборки m не превышает объема nвторой, т. е. m≤ n, если это не так, то выборки просто перенумеровывают.

Расположив значения выборок в одном вариационном ряду в порядке возрастания и пронумеровав их, находят значение W-статистики (W_набл.) – сумму порядковых номеров для значений первой выборки, затем по табл. 3 приложения находят значение нижней критической точки w_{нижн. кр}(a/2; m; n) при двусторонней критической области, а значение верхней критической точки находят по формуле:

w_{верхн.кр} = (m + n + 1)m – w_{нижн.кр}.                        (1.13)

При w_{нижн.кр}< W_набл. < w_{верхн.кр} нулевую гипотезу не отвергают.

Поскольку таблицы популярных изданий [1, 5] не содержат значений w – критических точек при m и nбольших 25, то значение w_{нижн.кр} вычисляется по приведенным в источнике [1] формулам.

Пример. Оценить однородность долей лидеров компьютерного рынка Европы, Ближнего Востока и Африки в 1998 и 1999 гг. [15]. Данные выборок приведены в табл. 3.

Таблица 3

Исходные данные

для расчета однородности долей рынка в 1998 и 1999 гг.

Годы продаж

Компании

Compaq

Fujitsu-Siemens

Dell

IBM

HewlettPackard

1998

16,8

9,7

7,4

8,5

6,4

1999

16,6

11,1

8,8

8,4

6,8

Решение. Данные табл. 3 располагаются в виде вариационного ряда в порядке возрастания, им присваиваются порядковые номера:

6,4; 6,8; 7,4; 8,4; 8,5; 8,8; 9,7; 11,1; 16,6; 16,8

1     2      3     4      5     6     7       8        9       10

Вычисляется сумма номеров для 1998 г., она составляет:

W_набл. = 1 + 3 + 5 + 7 + 10 = 26.

По табл. 3 приложения при уровне значимости a = 0,1, а для двусторонней критической области a/2 = 0,05 и m= n = 5, значения нижней и соответственно верхней критических точек равно соответственно:

w_{нижн.кр} (0,05; 5; 5) = 19;   w_{верхн.кр} = (5 + 5 +1)5 – 19 = 36.

Поскольку

w_{нижн.кр}(0,05; 5; 5) < W_набл_.(равное 26) < w_{верхн.кр}(0,05; 5; 5),

гипотеза о принадлежности двух выборок одной генеральной совокупности не отвергается. Следовательно, маркетинговые мероприятия, проведенные в течение этих лет, не позволили фирмам существенно увеличить свое влияние на компьютерном рынке и потеснить конкурентов.

1.5. Вычисление количественной оценки

статистической связи между качественными

показателями деятельности фирм

Для оценки наличия и тесноты связи между двумя объектами, свойства которых описываются качественными показателями, используют метод ранжирования, присваивая показателям каждого объекта ранг от 1 до n в порядке, соответствующему ухудшению свойств, и вычисляют коэффициент ранговой корреляции.

Результат такой процедуры может найти применение в случае сравнительной оценки как деятельности фирм, так и производимой ими продукции при сопоставлении ее с более совершенной. Это позволит своевременно скорректировать план маркетинга в части повышения качества и установления оптимальной цены на товар.

Пример 1. В табл. 4 приведена оценка имиджа основных пивоваренных предприятий (ОАО «Ярпиво» и ОАО «Балтика») по девяти показателям на рынке Ярославской области по пятибалльной шкале [14]. Требуется оценить связь между показателями фирм «Ярпиво» и «Балтика», присвоив ранги соответствующим баллам (столбцы 3 и 5), с помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Таблица 4

Сравнительная характеристика предприятий

по основным показателям

Показатели (высказывания потребителей)

ОАО «Ярпиво»

ОАО «Балтика»

Оценка

Ранг (X)

Оценка

Ранг (Y)

Хорошо известная компания

4,9

1

4,9

1

Компания с большим будущим

4,7

2

4,8

2

Компания, способная противопоставить свою продукцию конкурентам

4,5

3

4,6

3

Быстрорастущая компания

4,4

4

4,6

3

Компания, вызывающая доверие

4,3

5

4,5

4

Компания, заботящаяся о потребителе своей продукции

4,2

6

4,3

5

Компания, заботящаяся о качестве своей продукции

4,1

7

4,3

5

Фирма, проводящая хорошо рекламную кампанию

4,0

8

3,9

6

Компания, проводящая правильную ценовую политику

4,0

8

3,5

7

Решение. Для вычисления коэффициента ранговой корреляции определяют разности рангов по каждому показателю:

d_i = x_i – y_i.

d₁ = 1 – 1 = 0; d₂ = 2 – 2 = 0; d₃ = 3 – 3 = 0; d₄ = 4 – 3 = 1;

d₅ = 5 – 4 = 1; d₆ = 6 – 5 = 1; d₇ = 7 – 5 = 2; d₈ = 8 – 6 = 2; d₉ = 8 – 7 = 1.

Сумма квадратов разностей рангов

Значение коэффициента ранговой корреляции при числе объектов, равном n = 9:

Существенность коэффициента корреляции проверяется с помощью t-критерия Стьюдента, затем исследуется гипотеза о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции для генеральных совокупностей Н₀: ρ = 0 при конкурирующей Н₁: ρ ≠ 0. При | ρ | > T_кр нулевая гипотеза отвергается. Величина критической точки вычисляется по формуле

                                     Т_кр = t_кр(a; k)[(1 – ρ²)/(n – 2)]^0,5,                          (1.14)

где a – уровень значимости, a = 0,1; k – число степеней свободы, k = n – 2; n – объем выборки.

По табл. 7 приложения для двусторонней критической области определяется значение t_кр(0,1; 7) = 1,8946, тогда

Т_кр = 1,8946[(1 – 0,9²)/(9 – 2)]^0,5 = 0,31.

Поскольку | ρ | > Т_кр, нулевая гипотеза отвергается, коэффициент ранговой корреляции ρ = 0,9 значим.

Пример 2. По данным табл. 4, записанным в виде табл. 5, рангов требуется оценить связь между показателями деятельности фирм с помощью коэффициента ранговой корреляции Кендалла.

Таблица 5

Ранговые оценки показателей деятельности

ОАО «Ярпиво» и «Балтика»

ОАО «Ярпиво», x_i

1

2

3

4

5

6

7

8

8

ОАО «Балтика» y_i

1

2

3

3

4

5

5

6

7

Решение. Правее у₁ находятся 8 рангов, больших, чем у₁ (2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7), поэтому R₁ = 8. Правее у₂ – 7 рангов (3, 3, 4, 5, 5, 6, 7), поэтому R₂ = 7 и далее: R₃ = 5; R₄ = 5; R₅ = 4; R₆ = 2; R₇ = 2; R₈ =1. Сумма рангов R = 34.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла при n = 9

Значимость коэффициента τ_в оценивается также с помощью t-критерия. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Н₀: ρ_г = 0 при конкурирующей Н₁: ρ_г ≠ 0.

Значение, соответствующее критической точке, вычисляется по формуле

                                       ,                              (1.15)

где z_кр – критическая точка двусторонней критической области, отвечающая равенству Ф(z_кр) = (1 – a)/2; n – объем выборки.

При |τ_в| > Т_кр нулевая гипотеза отвергается.

Для вычисления Т_кр вначале с помощью функции Лапласа (табл. 8 приложения) при уровне значимости a = 0,1 определяется критическая точка z_криз соотношения

Ф(z_кр) = (1 – a)/2 = (1 – 0,1)/2 = 0,45, откуда z_кр = 1,645, тогда

Поскольку |τ_в| > Т_кр, нуль-гипотеза отвергается, согласно альтернативной гипотезе Н₁ выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла так же как и коэффициент, найденный по способу Спирмена, значим. Тот факт, что они несколько разнятся между собой, неважен, так как область возможных значений случайной величины ρ охватывает значение τ_в, являющегося также случайной величиной.

По результатам расчета можно сказать, что и той, и другой компании следует внимательно отнестись к пункту о проведении правильной ценовой политики, а фирме «Ярпиво» обратить внимание еще и на повышение качества своей продукции: при однородности всех остальных показателей качество продукции фирмы «Ярпиво» резко снизило коэффициент ранговой корреляции между показателями фирм. Характер других оценок показывает, что обе фирмы находятся на подъеме, но вся их деятельность направлена только на агрессивный захват рынка любой ценой, включая здоровье покупателей, и потребителю следовало бы обходить стороной их продукцию.

1.6. Оценивание резко выделяющихся показателей

динамики реального денежного дохода населения

Результаты маркетинговых измерений могут содержать грубые ошибки и случайные просчеты, причем далеко не всегда представляется возможность продублировать эксперимент в тех же самых условиях и, таким образом, возникает риск потери ценной информации либо использования искаженной, привносящей недопустимую ошибку в расчеты неверной информации.

В то же время резко выделяющиеся, аномальные наблюдения могут быть абсолютно достоверными, содержащими совершенно новую, ранее не наблюдавшуюся закономерность или явление, и поэтому необходим анализ, выявление причинно-следственных связей, приведших к появлению резко выделяющегося среди других результата. Если же выяснится, что аномальное наблюдение появилось не из-за грубых ошибок или просчетов, а по причине возникновения ранее не встречавшейся ситуации, то использование вновь полученных об объекте знаний может дать в маркетинговой деятельности весьма существенный положительный эффект.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда параметры распределения – математическое ожидание и дисперсии – неизвестны и заменяются их оценками, определяемыми по небольшой выборке.

Результаты опытов х_i располагаются в виде вариационного ряда, нулевая гипотеза, подлежащая проверке, Н₀: m*(x) = x_n при конкурирующей Н₁: m*(x) > x_mi, здесь x_mi – резко выделяющееся наблюдение; m*(x) – оценка математического ожидания исследуемой величины.

Рассчитывается величина дзета-статистики по формуле

                                ,                       (1.16)

где s – оценка среднего квадратического отклонения выборки.

При ς(m*(x), s(x)) < ς(n, a) нулевую гипотезу не отвергают (n – объем выборки).

Пример 1. Данные, приведенные в табл. 6 [12], используются для прогнозирования спроса на рынке бытовой мебели. Оценить принадлежность к выборке резко выделяющихся наблюдений.

Таблица 6

Динамика уровня

реального располагаемого денежного дохода населения (РРДД), %,

в 1992–2002 гг. (за 2002 г. дан прогноз)

РРДД

52,5

116,4

111,9

83,9

100,8

106,3

83,7

86,8

110,9

105,9

105,5

Год

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

После расположения их в виде убывающего вариационного ряда становится очевидным, что последняя цифра резко выделяется от остальных членов ряда:

116,4; 111,9; 110,9; 106,3; 105,9; 105,5; 100,8; 86,8; 83,9; 83,7; 52,5.

Требуется оценить принадлежность величины 52,5 к вариационному ряду.

Решение. Вычисляется оценка математического ожидания показателей динамики уровня РРДД:

.

Вычисляется оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения ряда:

;   ;   D*(x) = 347,6; s(x) = 18,6.

После вычисления значения дзета-статистики и отыскания по табл. 4 приложения критического значения при уровне значимости a = 0,1 устанавливается, что нулевая гипотеза отвергается: значение 52,5 не принадлежит исследуемому вариационному ряду:

В источнике [1] приведены более простые, но несколько менее мощные критерии, статистики которых задаются отношениями:

                                   (1.17)

где x_n, x_n_–₁, x_n_–₂, x₂, x₁ – соответственно последний, предпоследний, третий от конца, второй и первый члены вариационного ряда.

Как и в предыдущем случае, проверяется нулевая гипотеза о принадлежности резко выделяющегося наблюдения к исследуемому вариационному ряду Н₀: x_n = x_i, при конкурирующей Н₁: x_n< x_i.

Численные значения отношений:

При уровне значимости a = 0,1 и n = 11 критические точки (табл. 5 приложения) соответственно равны: 0,332; 0,385; 0,449. Поэтому нуль-гипотеза отвергается, следует признать, что значение 52,5 не принадлежит вариационному ряду.

Показатель динамики уровня реально располагаемого денежного дохода (РРДД) населения в 1992 г. резко отличается от показателей последующих лет. В этом смысле он не принадлежит к исследуемой генеральной совокупности потому, что управление и без того нестабильной, напрямую зависящей от международных цен на природные ресурсы экономики было подвержено в 1992 г. сильному воздействию негативных явлений. Эти явления в последующие годы стабилизировались и стали вполне нормальными, отвечающими современным, так сказать, требованиям, и неулавливаемыми для статистических критериев.

Однако при использовании информации о прошлом для прогнозирования динамики в будущие периоды показатель 1992 г. (как подтверждают сделанные расчеты) применять нельзя, если, конечно, у прогнозиста нет оснований предполагать новый всплеск провалов в управлении экономикой.

1.7. Проверка однородности выручки, получаемой

от российского экспорта основных видов продукции

Для оценки однородности средних значений независимых нормально распределенных величин, дисперсии которых равны (однородны), но неизвестны, может быть использован критерий Аббе, статистика которого задается отношением

                              .                         (1.18)

Проверяется нуль-гипотеза Н₀: m*₁(x) = m*₂(x) = m*₃(x) = m*₄(x) при альтернативе Н₁: |m*_i+₁ (x) – m*_i (x)| > 0.

Если найденное значение q-статистики превышает критическое, то гипотеза о равенстве средних отвергается.

Пример 1. Требуется проверить гипотезу об однородности вкладов, приведенных в табл. 7, видов продукции в выручку от экспорта (данные по четырем федеральным округам РФ) в предположении, что известны только m_i*(x) – средние значения выручки [17], а другой информации нет.

Таблица 7

Экспорт некоторых видов продукции России

в 2000 г. по федеральным округам, млн долл

Федеральные

округа

Нефтехимические товары

Черные и цветные металлы

Машиностроительная продукция

Древесина и изделия из нее

Северо-западный

3,0

2,3

1,5

1,6

Южный

1,6

0,6

0,4

0,0

Сибирский

2,3

5,7

0,5

1,0

Дальневосточный

1,0

0,3

0,6

0,5

m*_i (x)

1,98

2,23

0,75

0,78

D*_i (x)

0,7

6,1

0,3

0,5

Значения средних представляют в виде вариационного ряда: 0,75; 0,78; 1,98; 2,23, со средним 1,43 и вычисляют q-статистику:

В соответствии с табл. 6 приложения значение q-статистики при n = 4 уровне значимости α = 0,05 составляет q_кр = 0,3902 < q = = 0,41, поэтому гипотеза о равенстве средних отвергается.

Следовательно, вклад в экспортную выручку различных видов продукции по указанным районам неодинаков: на первом месте – нефтехимические товары, на втором – черные и цветные металлы, и так далее.

Однако при вычислении q-статистики Аббе используется не вся информация об объектах, поэтому для парного сравнения средних используют критерий Стьюдента (табл. 7 приложения), тогда его статистика:

                           (1.19)

где – исследуемые средние значения; D*(x₃), D*(x₄) – оценки дисперсий случайных величин; n, m – объемы выборок; (n – 1), (m – 1) – числа степеней свободы оценок дисперсий.

Проверяется нулевая гипотеза Н₀: при альтернативной Н₁: при условии однородности оценок дисперсий и нормального распределения X и Y. Нулевая гипотеза отвергается, если |t_набл_.| > t_{двуст.кр}(α/2; k), где a – уровень значимости, k – число степеней свободы, k = n + m – 2.

Пример 2. Оценить с помощью t-критерия однородность средних значений экспортной выручки для трех вариантов:

1) от машиностроительной продукции и древесины и изделий из нее при выполнении условия однородности оценок D*(x₃) и D*(x₄);

2) от нефтехимических товаров, черных и цветных металлов;

3) от нефтехимических товаров и древесины и изделий из нее.

Решение. 1. В соответствии с формулой

Найденное значение t-статистики меньше критического (табл. 7, приложения);

t_набл_.= 0,07 < t_{двуст.кр}(0,1/2; 6) = 1,9432,

поэтому гипотеза о равенстве выручки по четырем районам РФ от машиностроительной продукции и от древесины и изделий из нее не отвергается.

2. Прежде, чем вычислить значение t-статистики для второго варианта, необходимо проверить однородность оценок дисперсий c помощью F-статистики (табл. 10 приложения):

т. е. оценки дисперсий для исследуемых товаров X₁ и X₂ неоднородны, t-критерий не позволяет решать задачу об однородности m*(x₁) и m*(x₂).

3. Здесь очевидно, что оценки дисперсий однородны, значение t-статистики

,

поскольку t_набл_.= 2,19 > t_{двуст.кр}(0,1/2; 6) = 1,9432 (табл. 7 приложения). Средние значения товаров X₁ и X₄ неоднородны, экспортная выручка от товаров нефтехимии больше, чем от древесины и изделий из нее. Все это согласуется с результатом, полученным при использовании критерия Аббе, который дает положительный ответ по поводу однородности средних значений только в случае, когда все средние однородны, но, если хотя бы одно значение неоднородно с каким–либо другим, то и ответ будет отрицательным.

Однородность средних для зависимых выборок проверяется с помощью d-статистики. Проверяется нулевая гипотеза Н₀ : М*(X) = M*(Y) при конкурирующей Н₀: М*(X) ≠ M*(Y).

Пример 3. Средний балл успеваемости группы ИЭ-00 по математике в первом семестре по результатам экзаменационной сессии составил 3,43, во втором – 3,52, в третьем – 3,65, в четвертом – 3,74. Оценить однородность средних баллов, полученных студентами группы ИЭ-00 в 1-м и 4-м семестрах по математике во время экзаменационных сессий (табл. 8).

Таблица 8

Баллы, полученные студентами группы ИЭ-00

по математике в 1-м и 4-м семестрах

Семестр

Балл

1

3

3

3

3

3

4

3

3

3

5

3

4

3

4

3

3

3

5

4

4

3

3

4

4

4

3

3

3

4

5

3

3

4

4

3

4

3

4

4

3

3

5

4

5

4

3

5

Решение. Выборки зависимы, так как баллы 1-го и 4-го семестров в каждом столбце получены одним и тем же студентом и в силу этого являются попарно зависимыми.

Вычисляется среднее значение разностей баллов

d* = Σd_i/n,

где d_i= x_i – y_i; x_i, y_i – баллы студентов, полученные ими в 1-м и 4-м семестрах соответственно, n – число студентов в группе.

d₁ = 3 – 4 = – 1; d₂ = 3 – 3 = 0;…; d₅ = 3 – 4 = – 1;

d₆ = 4 – 5 = – 1;…; d₉ = 3 – 4 = – 1; d₁₀ = 5 – 4 = 1;

d₁₅ = 3 – 4 = – 1;…; d₂₀ = 4 – 5 = – 1; d₂₁ = 3 – 4 = – 1;

d₂₂ = 3 – 3 = 0; d₂₃ = 4 – 5 = –1.

Σd_i = – 1 – 1 – 1 – 1 + 1 – 1 –1 – 1 – 1 = – 7;

d* = –7 / 23 = – 0,304.

Сумма квадратов разностей

Σd²_i = (–1)² + (–1)² +(–1)² + (–1)² + (+1)² + (–1)² +(–1)² + (–1)² + (–1)² = 9.

Среднее квадратическое отклонение разностей

S_d = S_d =

Наблюденное значение Т-статистики

Т_набл= d*n^0,5/S_d = – 0,304·23^0,5/0,559 = – 2,6081.

Поскольку абсолютное значение Т-статистики больше, чем критическое значение t_{двуст.кр}_.(0,10; 32) = 1,70 (табл. 7 приложения), средние баллы 1-го и 4-го семестров неоднородны, поэтому можно считать, что от 1-го к 4-му семестру имеет место небольшое, но значимое повышение успеваемости.

1.8. Оценка однородности условий

маркетинговой деятельности

Все этапы маркетинга как деятельности, направленной на удовлетворение нужд и потребностей людей, от производства товаров до потребления зависят от множества факторов, в том числе от неуправляемых и неконтролируемых. Результаты наблюдений характеризуются оценками математических ожиданий и дисперсий.

Если две (или несколько) выборки исследуемой величины получены при воздействии одних и тех же и с одинаковой интенсивностью влияющих на результат факторов (т. е. в однородных условиях), то оценки их математических ожиданий и дисперсий не должны существенно отличаться (т. е. выборки будут принадлежать одной и той же генеральной совокупности). Поэтому при проверке гипотезы об однородности двух выборок вначале проверяют однородность оценок дисперсий, позволяющую предположить однородность условий проведения наблюдений, и только в случае их однородности проверяют однородность средних.

Если при проведении эксперимента варьируется один (или несколько) из числа предположительно значимых факторов и при фиксации его (или их) на заранее выбранных уровнях, которые могут иметь место в естественных условиях, регистрируются значения исследуемой величины, то оценки дисперсий в выборках должны быть однородными, поскольку условия однородности воспроизведения опытов не нарушаются. Оценки математических ожиданий выборок будут неоднородными, если фактор (или несколько варьируемых факторов) значим, и однородными, если фактор незначим.

Во всех случаях однородность условий проведения опытов предполагает однородность оценок дисперсий. Обратное утверждение (однородность дисперсий означает однородность условий проведения опытов) может быть верным, если имеются все физические предпосылки для этого.

При сравнении двух выборочных независимых дисперсий используется F критерий Фишера, при этом для проверки нулевой гипотезы Н₀: D*(x₁) = D*(x₂) вычисляется отношение большей оценки дисперсии к меньшей. В качестве конкурирующей принимается Н₁: D*(x₁) > D*(x₂) либо Н₂: D*(x₁) ≠ D*(x₂), во втором случае имеет место двусторонняя критическая область.

Найденное F_набл. сравнивается с критическим значением (табл. 10 приложения) при заданном уровне значимости a (a/2 при двусторонней критической области) и числах степеней свободы оценок дисперсий f₁ и f₂ (число степеней свободы оценки дисперсии равно объему наблюдений минус единица).

В случае F_набл. < F_кр(a; f₁; f₂) гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается.

Пример. В качестве сравнительной оценки культурного уровня населения, наличия культурных ценностей в стране существует показатель, характеризующий число посещений очагов культуры в течение года, приходящееся на 1 человека [19].

        Для оценки однородности популярности различных центров культуры (табл. 9) требуется оценить однородность оценок дисперсий с помощью критерия Фишера (табл. 10 приложения).

Таблица 9

Уровень посещаемости музеев и театров

за рубежом и в России на 1 января 1999 г.

Страна

Посещение музеев,

на 1 чел. в год

Посещение театров,

на 1 чел. в год

1

2

3

Россия

0,5

0,3

Окончание табл. 9

1

2

3

США

1,3

1,6

Норвегия

1,9

2,5

Австрия

1,8

2,0

Канада

1,7

2,1

Германия

1,2

1,6

Италия

–

1,4

m*(x)

1,4

1,6

D*(x)

0,27

0,49

Решение. Критерий Фишера F вычисляется по формуле

Следовательно, гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается при уровне значимости α = 0,1. Сравнение средних, исключение резко выделяющихся наблюдений проводить можно. Кроме очевидного последнего места, занимаемого в настоящее время Россией можно предположить, что и музеи, и театры посещает публика одного уровня.

В тех случаях, когда требуется проверить гипотезу об однородности нескольких оценок дисперсий, вычисленных по выборкам одинакового объема, используют критерий Кокрена. Им удобно пользоваться, например, при проведении дисперсионного анализа.

Проверяется гипотеза Н₀: D*₁ (y) = D*₂(y) =…= D*_n(y) при конкурирующей Н₁: D*_j(y) > D*₁ (y) = D*₂ (y) =…= D*_i (y)=… = D*_n (y).

G-статистика критерия Кокрена выражается формулой:

                  ,         (1.20)

где D*_max (y) = max(D*₁ (y); D*₂ (y);… D*_i (y);… D*_n (y)).

Если при уровне значимости α, числе степеней свободы каждой из оценок дисперсий f, равном объему каждой выборки минус единица, а также числе исследуемых оценок дисперсий n имеет место (табл. 11 приложения) выражение:

                                               G_набл.< G_кр.(α; f; n),                                    (1.21)

то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается.

Пример 1. В табл. 10 приведены данные об объемах месячных продаж безалкогольного напитка «Тархун» в течение семи лет с 1993 по 1999 гг. [11]. Требуется оценить однородность оценок дисперсий ежемесячного потребления напитка, предполагающую неизменность воздействия значимых факторов на объем продаж по годам.

Таблица 10

Ежемесячное потребление безалкогольного напитка «Тархун»

в 1993–1999 гг., тыс. дкл

Месяц

Год

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Январь

6,7

7,2

7,7

7,9

8,4

8,5

8,8

Февраль

6,6

6,9

7,3

7,4

7,8

8,4

8,8

Март

8,5

9,1

8,7

8,9

10,2

10,6

11,2

Апрель

8,5

9,1

9,3

9,8

10,4

10,9

10,9

Май

9,1

10,0

10,2

10,1

11,2

11,0

11,9

Июнь

10,6

10,5

10,3

9,8

11,9

12,6

13,0

Июль

10,6

9,8

11,5

11,4

12,0

12,6

12,1

Август

10,5

10,4

11,0

11,9

11,1

12,0

12,8

Сентябрь

9,0

8,9

9,3

10,5

10,5

10,9

11,0

Октябрь

7,8

8,3

9,2

9,9

9,7

9,7

10,5

Ноябрь

7,9

8,1

8,3

8,9

9,8

9,6

9,8

Декабрь

8,1

8,3

8,3

9,3

9,6

9,7

9,4

m*(y)

8,7

8,9

9,3

9,7

10,2

10,5

10,9

D*(y)

1,91

1,38

1,68

1,68

1,62

2,01

2,09

Решение. В двух последних строках табл. 10 представлены оценки математических ожиданий и дисперсий. Значение G-статистики

Следовательно, гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается, что говорит о стабильности и однородности условий в течение семи лет, в которых осуществлялась продажа напитка. Постоянное ежегодное увеличение продаж напитка (m*(y) возрастает) свидетельствует об успешном внедрении маркетинговых мероприятий.

При оценке однородности нескольких оценок дисперсий, найденных по выборкам неодинакового объема (число выборок более трех) из нормально распределенных генеральных совокупностей, используют критерий Бартлетта, основанный на М-статистике:

                        ,              (1.22)

где ; k_i– число степеней свободы i-й дисперсии, равное соответствующему объему выборки минус единица; m – число сравниваемых оценок дисперсий; D*_i(y) – оценка i-й дисперсии.

Проверяется нулевая гипотеза Н₀: D*₁ (y) =…= D*_i (y) = … = D*_m (y) при конкурирующей Н₁: D*₁ (y) ≠ D*_i (y). Табл. 12 приложения содержит критические значения М-статистики в зависимости от наперед заданного уровня значимости α, числа степеней свободы k = m – 1 и величин С₁, С₃, С, ΔС, вычисляемые по формулам

               (1.23)

В некоторых случаях используется функция m(α), вычисляемая по формуле,

                      (1.24)

Правила, применяемые при использовании М-критерия [1]:

1. Вычисляется значение М-статистики (М_набл_.);

2. М_набл. сравнивается со значениями m_a и m_bв строке k табл. 12 приложения; если при всех С₁ величина m_a ≤ M, то гипотезу о равенстве дисперсий Н₀ отвергают, если же при всех С₁ имеет место М ≤ m_b, то Н₀ не отвергается.

3. В тех случаях, когда max m_a > M ≥ min m_b, вычисляют С₁ и по табл. 12, приложения находят m_a(α; k; C₁) и m_b(α; k; C₁); если m_a(α; k; C₁) ≤ M, то Н₀ отвергается; если же М < m_b(α; k; C₁), то Н₀ не отвергается.

4. При m_a(α; k; C₁) > M ≥ m_b(α; k; C₁) вычисляется значение m(α); если m(α) ≤ M, то Н₀ отвергается; если же M < m(α), то Н₀ не отвергается.

Пример 2. По данным табл. 11 проверить однородность оценок дисперсий экспорта продовольственных товаров и сырья для их производств, тыс. долл [17], из субъектов Российской федерации в 2000 г.

Таблица 11

Экспорт продовольственных товаров

и сырья для их производства из субъектов Российской Федерации в 2000 г.

№ п/п

Субъект Российской Федерации

Экспорт (тыс. долл)

1

Субъекты РФ, экспортирующие максимум товаров

m*₁(y)= 151,7

Москва

152,2

Камчатская область

115,0

Ростовская область

187,8

2

Северо-Западный федеральный округ

m*₂ (y) = 34,9

Санкт-Петербург

54,7

Калининградская область

34,5

Мурманская область

37,5

Новгородская область

13,0

3

Южный федеральный округ и Самарская область

m*₃ (y) = 31,6

Краснодарский край

65,6

Ставропольский край

23,0

Астраханская область

16,2

Московская область

57,6

Волгоградская область

16,7

Самарская область

26,9

Белгородская область

15,4

4

Уральский и Сибирский федеральный округ

m*₄ (y) = 31,7

Курганская область

40,9

Челябинская область

12,4

Алтайский край

34,9

Новосибирская область

17,0

Омская область

53,3

5

Дальневосточный федеральный округ

m*₅ (y) = 49,5

Приморский край

81,2

Хабаровский край

16,3

Сахалинская область

51,1

Решение. Вычисляя по каждому j-му округу оценки математических ожиданий и дисперсий величин экспорта, их заносят в табл. 12.

Таблица 12

Вычисление параметров для нахождения М-статистики

№

п/п

D*_i (y)

k_i

1/k_i

k_iD*_i (y)

lnD*_i (y)

k_ilnD*_i (y)

1

1325

2

0,5

2650,4

7,1893

14,3786

2

292,9

3

0,33

878,6

5,6797

17,039

3

441,6

6

0,17

2649,7

6,0904

36,5425

4

287,5

4

0,25

1150,0

5,6612

22,6450

5

1054,8

2

0,5

2109,7

6,9611

13,9223

Σ

17

1,75

9438

104,5274

М-статистика равна

Так как при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k =5 – 1 = 4 величина М-статистики m_b(0,05; 4; C₁) при любых C₁ больше М_набл. (по табл. 12 приложения минимальное значение m_b(0,05; 4; 0,0) = 7,81), то гипотеза об однородности дисперсий не отвергается.

Замечание 1. Если предположить, что наблюдаемое значение М-статистики получилось равным 8,3, тогда необходимо было бы вычислить значение С₁, оно было бы равно:

Используя линейную интерполяцию, по табл. 12 приложения получают m_b(0,05; 4; 1,69) = 8,41. Поскольку оно превышает М_набл_., то и в этом случае гипотеза об однородности дисперсий не отвергалась бы.

2. Если предположить, что наблюдаемое значение М-статис-тики М_набл. = 8,5, т. е. согласно табл. 12 приложения получится, что m_b < M_набл. < m_a, то сначала нужно вычислить С₃, С, ΔС:

.

Далее вычисляется величина m(α):

Поскольку предполагаемое М_набл= 8,5 < m(α) = 9,01, то гипотеза об однородности дисперсий и в этом случае не отвергалась бы.

2. АНАЛИЗ ФАКТОРОВ, ОБУСЛАВЛИВАЮЩИХ УСПЕХ

УПРАВЛЕНИЯ МАРКЕТИНГОМ

2.1. Оценка значимости местонахождения

пункта продаж на средние цены автомобилей

При воздействии на систему множества факторов (оцениваемых количественно или качественно) устанавливается связь между ними и признаком. Факторы – независимые случайные переменные, признак – зависимая случайная переменная. В качестве характеристики изменения признака используется полная дисперсия. Задача дисперсионного анализа – разложение полной дисперсии на составляющие:

                                 ,                          (2.1)

где – полная дисперсия, характеризующая изменчивость признака у в данной серии экспериментов;    – cоставляющая полной дисперсии, обусловленная изменчивостью i-го фактора или взаимодействия факторов; α_i – коэффициент, характеризующий объем наблюдений; – дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов

Для решения вопроса о том, существенно ли влияние данного фактора на признак, используется критерий Фишера:

                                   ,                           (2.2)

где α – уровень значимости, характеризующий вероятность, с которой определяется существенность исследуемого фактора; f_i– число степеней свободы дисперсии (у), характеризующее количество информации, использованное для ее вычисления; f_ош – число степеней свободы дисперсии , характеризующее количество информации, использованное для ее определения, т.е. значимость оценивается на фоне шумового поля, создаваемого действием неучтенных факторов и ошибки эксперимента.

Модель однофакторного дисперсионного анализа

                                                 у_ik = μ + A_i+ ε_ik ,                                         (2.3)

где у_ik – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта; μ – математическое ожидание признака у, оценка которого вычисляется по результатам всех наблюдений; А_i – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); ε_ik ошибка эксперимента и действие неучтенных факторов, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта.

Для проведения анализа необходимо фактору А придавать различные значения, т. е. исследовать на различных уровнях i, i = 2, 3,…, а; а_min= 2; k – число наблюдений на каждом уровне, k = 3, 4, …, n; k_min = 3. В случае однофакторного дисперсионного анализа общее число наблюдений N = a · n.

Проведя опыты, можно найти общую среднюю и средние значения по уровням наблюдений и определить суммарные квадраты.

Q = – полный суммарный квадрат, характеризующий полную изменчивость признака.

– суммарный квадрат, характеризующий отклонения групповых средних от общей средней, он определяет изменчивость признака от действия фактора А и межгрупповой ошибки эксперимента, число степеней свободы f₁ = a – 1.

– суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов внутри групп наблюдений.

Поскольку опыты производятся в однородных условиях (это предпосылка проведения дисперсионного анализа), то межгрупповая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов и общая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов однородны. По сути, это одна и та же дисперсия, оценки которой вычисляются по разному объему выборок из одной и той же совокупности экспериментальных данных, поэтому ее оценка , где f₂ – число степеней свободы, f₂ = N – a. Учтя это и определив оценку дисперсии , можно записать

,

откуда

               и .        (2.4)

Вклад фактора в изменчивость признака вычисляется по формуле

                                         В_вкл= [S²_A(y)/S²_п(у)]·100 %,                                 (2.5)

где S²_A(y), S²_п(y) – соответственно оценка дисперсии, характеризующая вклад фактора в изменчивость признака, и полная дисперсия, характеризующая полную изменчивость признака.

Расчетные зависимости для рационального подсчета численных значений суммарных квадратов имеют вид

; ;

                                   .                            (2.6)

Пример. По данным источника [13] исследовать влияние местонахождения пункта продаж (Минск, Москва) на средние цены (тыс. долл США) легковых подержанных автомобилей марок БМВ, «Опель-Астра», «VW–Гольф», «Форд-Мондео» в ноябре 2000 г., имеющих в первом приближении одинаковое техническое состояние.

В табл. 13 приведены цены на автомобили в Минске и Москве, а также необходимые расчетные параметры.

Таблица 13

Вычисление показателей

для расчета влияния местонахождения пункта продаж

на средние цены подержанных автомобилей

№ п/п

Местонахождение пункта продаж

Суммы

Минск

Москва

1

2

3

4

1

5,0

6,8

2

3,1

4,1

3

2,3

5,0

4

4,1

5,1

5

5,3

7,2

6

2,8

4,2

Окончание табл. 13

1

2

3

4

7

3,4

5,4

8

3,8

5,4

_i

3,7

5,4

_j

1,1

1,2

Σу

29,8

43,2

= 73

Σу²

118,6

241,9

= 360,5

(Σу)²

888,0

1866,2

= 2754,2

Решение. Приведенные значения параметров вычисляют по следующим формулам:

Вначале проверяют однородность оценок дисперсий по уровням наблюдений. Вычисляют значение F-статистики:

.

Следовательно, оценки дисперсий однородны, дисперсионный анализ можно проводить, поскольку с достаточным уровнем доверительной вероятности неучтенные факторы и неизбежная ошибка эксперимента существенно не повлияли на изменчивость признака.

Значения сумм для первого столбца данных (Минск):

Σу = 5,0 + 3,1 + …+ 3,8 = 29,8;

Σу² = 5,0² + 3,1² +…+ 3,8² =118,6;

(Σу)² = 29,8²=888,0.

Для второго столбца (Москва):

Σу = 6,8 + 4,1 +…+ 5,4 = 43,2;

Σу² = 6,8² + 4,1² +…+ 5,4² = 241,9;

(Σу)² = 43,2² = 1866,2.

Для третьего столбца (суммы):

= 29,8 + 43,2 = 73;

= 118,6 + 241,9 =360,5;

= 888,0 + 1866,2 =2754,2.

Вычисляют значения суммарных квадратов:

Оценка дисперсии, характеризующая изменение признака от воздействия фактора (местонахождения пункта продаж) и внутригрупповой ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f₁ = a – 1 = 2 – 1 = 1

Оценка дисперсии, характеризующей воздействие на признак ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f₂ = N – a = 16 – 2 = 14

Значимость фактора (местонахождения пункта продаж) оценивается F-критерием при уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы f₁ = 1 и f₂= 14 (табл. 10 приложения), проверяется нулевая гипотеза Н₀: S²₁(y) > S²₂(y) при конкурирующей Н₁: S²₁(y) ≤ S²₂(y):

Поскольку значение F-статистики превышает критическое значение F_кр, гипотеза о существенности фактора не отвергается.

Значение оценки дисперсии S²_А(у):

Величина оценки полной дисперсии

S²_п(у) = 1,26 + 1,16 = 2,42.

Вклад фактора – местонахождения пункта продаж автомобилей – в формирование цены на подержанный автомобиль

В_вкл= (1,26 / 2,42)100% = 52 %.

Следовательно, цена на подержанный автомобиль на 52% зависит от места нахождения пункта продаж.

2.2. Влияние квалификации специалистов

на продолжительность

технического обслуживания машин

Пример. Исследовать влияние квалификации специалистов, привлекаемых к проведению технических обслуживаний (ТО) машин, на продолжительность ТО. Специалисты разбиты на четыре группы (четыре уровня фактора А) в зависимости от их квалификации, оцениваемой стажем работы по специальности. В первую группу вошли слесари, имеющие стаж работы по специальности – не менее 8 лет, во вторую – не менее 12 лет, в третью – не менее 15 лет, в четвертую – не менее 20 лет. Из 20 автомобилей ЗИЛ-4314 (N = 20), имеющих приблизительно одинаковое техническое состояние, для каждого из специалистов случайным образом выбирается один и подается на таким же образом случайно выбранное рабочее место, причем все рабочие места имеют одинаковое техническое оснащение (эксперименты, поставленные в условиях, обеспечивающих случайный характер их проведения, называются рандомизированными). Результаты эксперимента приведены в табл. 14.

Таблица 14

Продолжительность проведения ТО по группам специалистов, мин

№

машины

Группа специалистов

1

2

3

4

1

56

60

45

42

2

55

61

46

39

3

62

52

45

45

4

59

55

39

43

5

60

56

43

41

Решение. Для упрощения вычислений при ручном счете вычитается из всех данных 50 и формируется табл. 15.

Таблица 15

Расчетные значения параметров дисперсионного анализа

№

машины

Группа специалистов

Суммы

1

2

3

4

1

6

10

–5

–8

2

5

11

–4

–11

3

12

2

–5

–5

4

9

5

–11

–7

5

10

6

–7

–9

42

34

–32

–40

4

386

286

236

340

1248

1764

1156

1024

1600

5544

8,3

13,7

7,8

5,0

Суммы ∑y_ik рассчитываются следующим образом: например, для второго столбца по первой группе специалистов 6 + 5 + +12 + 9 + 10 = 42.

Суммирование полученных значений по горизонтали дает следующий результат:

42 + 34 + (–32) + (–40) = 4.

Суммы рассчитываются так: например, для второго столбца по первой группе специалистов

6² + 5² + 12² + 9² + 10² = 386.

Суммирование полученных значений по горизонтали дает результат

386 + 286 + 236 + 340 = 1248,

который записывается в шестой столбец.

Суммы получают, возводя в квадрат соответствующие суммы по группам специалистов:

42² = 1764; 34² = 1156; (–32)² = 1024; (–40)² = 1600.

Суммируя вычисленные значения по горизонтали, получают сумму шестого столбца:

1764 + 1156 + 1024 + 1600 = 5544.

Проверяют однородность оценок дисперсий в соответствии с критерием Кокрена, вычисляют значение G-статистики:

G = 13,7/(8,3 + 13,7 +7,8 + 5,0) = 0,3940 < G_кр (0,05; 4; 4) = 0,6287.

Гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается, предпосылки дисперсионного анализа не нарушаются, т. е. оценки внутригрупповой и общей дисперсии однородны.

Оценки суммарных квадратов, характеризующие общую дисперсию признака, дисперсию признака от воздействия фактора А, дисперсию признака от воздействия неучтенных факторов и ошибки эксперимента:

Q = 1248 – (4² / 20) = 1247,2; Q₁ = (5544 / 5) – (4² / 20) = 1108;

Q₂ = 1248 – (5544 / 5) = 139,2.

Оценки дисперсий, соответствующие Q₁ и Q₂ при числах степеней свободы f₁ = а – 1 = 4 – 1 = 3; f₂ = N – a = 20 – 4 = 16.

.

Существенность фактора А проверяют с помощью F-критерия:

Значит, влияние квалификации на длительность ТО автомобилей существенно.

Чтобы количественно оценить вклад фактора А (квалификации специалистов) в изменчивость длительности ТО, находят оценки дисперсии вклада фактора А и полной дисперсии:

Вклад фактора А – квалификации специалистов в изменчивость продолжительности ТО

В_вкл = (72,1 / 80,8) 100 % = 89,3 %.

Следовательно, гипотеза о значимости влияния квалификации специалистов на продолжительность технических обслуживаний автомобилей ЗИЛ-4314 не отвергается и продолжительность проведения ТО при данных условиях оснащенности рабочих мест на 89,3 % определяется квалификацией специалистов.

2.3. Оценка существенности влияния двух факторов

и их взаимодействия на показатели маркетинга

Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид

                                  ,                          (2.7)

где у_ijk – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне, фактор В – на j-м уровне при k-м повторении опыта; μ – среднее значение признака по результатам всех опытов; А_i – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); В_j – эффект фактора В; А_iВ_j – эффект взаимодействия факторов А и В, когда фактор А находится на i-м уровне, а фактор В – на j-м уровне; ε_ijk – эффект ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов.

В случае двухфакторного дисперсионного анализа полная дисперсия, обуславливающая изменчивость признака в серии опытов, дифференцируется на составляющие ее дисперсии, обусловленные варьированием независимых случайных переменных (факторов), ошибкой эксперимента и действием неучтенных факторов.

Пример 1. Оценить существенность влияния двух факторов (А – местонахождение пункта продаж автомобилей, В – время, месяц, год) на формирование цены подержанных легковых автомобилей. Данные приведены в табл. 16.

Решение. Вычисляют оценки математических ожиданий и дисперсий по группам наблюдений:

                                          (2.8)

Оценка математического ожидания признака – цены подержанного легкового автомобиля, когда факторы А и В находятся на первом уровне (первый уровень фактора А – местонахождение пункта продаж – Минск, первый уровень фактора В – ноябрь 2000 г.)

Оценка дисперсии

Оценка математического ожидания цены подержанного легкового автомобиля, когда местонахождение пункта продаж – Минск (первый уровень фактора А), а событие происходит в июле 2001 г. (второй уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда местонахождения пункта продаж – Москва (второй уровень фактора А), а распродажа осуществлялась в ноябре 2000 г. (первый уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда факторы А и В находятся на втором уровне (пункт продажи – Москва, событие совершалось в июле 2001 г.)

Оценка дисперсии

Проверка однородности оценок дисперсий осуществляется с помощью критерия Кокрена, вычисляется значение G-статистики:

Поскольку при уровне значимости α = 0,05, четырех независимых оценках дисперсий (k = 4) и равных числах степеней свободы оценок дисперсий f = 3 критическое значение G_кр(0,05;4;3) = = 0,7814 > G_набл.= 0,287 (табл. 11 приложения), то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается. Дисперсионный анализ можно проводить, так как с достаточно высоким уровнем доверительной вероятности можно предположить, что неучтенные факторы и ошибка эксперимента существенно не повлияли на цену подержанных легковых автомобилей ни в Минске, ни в Москве, ни осенью, ни летом.

Таблица 16

Влияние фактора А – местонахождения пункта продаж

и фактора В – времени года на цены подержанных легковых автомобилей

Уровень, сумма фактора В

Уровень фактора А

1

2

1

5,0

6,8

3,1

4,1

2,3

5,0

4,1

5,1

Σ₁у

14,5

21

35,5

35,5²= 1260,25

(Σ₁у)²

210,25

441

170,77

2

5,3

7,2

2,8

4,2

3,4

5,4

3,8

5,4

Σ₂у

15,3

22,2

37,5

37,5²= 1406,25

(Σ₂у)²

234,09

492,84

189,73

29,8

43,2

73,0

888,04

1866,24

2666,50

2754,28

118,64

241,86

360,5

m*₁₁=3,625 D*₁₁=1,39

M*₁₂= 5,25 D*₁₂= 1,27

m*₂₁=3,825 D*₂₁=1,14

M*₂₂= 5,55 D*₂₂= 1,53

Вычисление сумм, представленных в табл. 16, производилось следующим образом.

Суммы для первого уровня фактора В:

Σ₁₁у = 5,0 + …+ 4,1 = 14,5; Σ₁₂у = 6,8+ … + 5,1 = 21;

; ;

(Σ₁₁у)² = 14,5² = 210,25; (Σ₁₂у)² = 21² = 441;

Суммы для второго уровня фактора В:

Σ₂₁ у = 5,3 + … + 3,8 = 15,3; Σ₂₂у = 7,2 + …+ 5,4 = 22,2;

; ;

(Σ₂₁ у)² = 15,3² = 234,09; (Σ₂₂ у)² = 22,2² = 492,84;

;

Далее рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;

Сделаем промежуточную проверку

т. е. 29,8 + 43,2 = 35,5 + 37,5 = 73.

; ; ;;;

;

;

Последняя сумма дает проверку правильности вычислений, так как должно иметь место равенство

Считаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

; ;

;

;

Полный суммарный квадрат

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора В – времени года,

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора А – местонахождения пункта продаж,

Суммарный квадрат эффекта взаимодействия

;

Суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов,

;

Оценки дисперсий, соответствующие суммарным квадратам,

                                             ;                                      (2.9)

где f – число степеней свободы дисперсии.

При общем числе наблюдений

N = abn = 2·2·4 = 16,

здесь а – число уровней фактора А, а = 2; b – число уровней фактора В, b = 2; n – число повторений опытов на каждом уровне, n = 4.

f₀ = N – 1 = 16 – 1 = 15; f₁= b – 1 = 2 – 1 = 1;

f₂ = a – 1 = 2 – 1 = 1; f₃ = (b – 1)(a – 1) = (2 – 1)(2 – 1) = 1;

f₄ = ab(n – 1) = 2·2(4 – 1) = 12.

Оценки полной дисперсии и дисперсий, характеризующих изменчивость признака по всем наблюдениям,

; ; ;

;

Существенность оценок дисперсий проверяют на фоне ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при нулевой гипотезе Н₀:S²(y) > S²₄(y) и конкурирующей Н₁: S²≤ S²₄(y), используя критерий Фишера:

,

т. е. нуль-гипотезу отвергают при уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы f₁ = 1 и f₄ = 12, принимается конкурирующая гипотеза (фактор времени года незначим).

т. е. фактор местонахождения пункта продажи автомобилей существенно влияет на цену.

т. е. эффект взаимодействия факторов (местонахождения пункта продаж автомобилей и времени года) незначим.

Пример 2. Оценить наличие динамики роста продаж колбасных изделий (фактор А) за счет совершенствования этой сферы маркетинга и влияние разновидности колбасы (фактор В) на объем продаж (тыс. кг) в 2000 г. (табл. 17).

Уровни фактора А: 1. Январь, февраль, март; 2. Октябрь, ноябрь, декабрь; уровни фактора В: 1. Вареные колбасы; 2. Сардельки. Округленные данные взяты из источника [18].

Таблица 17

Исходные данные и расчет показателей для определения

существенности факторов и их взаимодействий

Уровень

фактора В

Уровень фактора А

1

2

1

40,5

67,6

40,2

67,3

43,6

73,8

124,3

208,7

333

110889

15450,5

43555,7

19702,7

2

5,6

10,0

6,1

10,6

7,0

10,1

18,7

30,7

49,4

2440,4

349,7

942,5

432,0

143,0

239,4

382,4

20449

57312,4

113329,4

77761,4

5274,8

14859,9

20134,7

Решение. Выполним проверку однородности оценок дисперсий по уровням факторов с помощью критерия Кокрена, для этого определим оценки параметров для соответствующих выборок по табл. 18.

Таблица 18

Параметры выборок по уровням факторов

Параметр

A₁B₁

A₁B₂

A₂B₁

A₂B₂

Сумма

m*_i (y)

41,4

6,2

69,6

10,2

–

D*_i (y)

3,54

0,503

13,46

0,103

17,61

Рассчитаем суммы для первого уровня фактора В:

Σ₁₁y = 40,5 + 40,2 + 43,6 =124,3; Σ₁₂y = 67,6 + 67,3 + 73,8 = 208,7;

(Σ₁₁y)² = 124,3² = 15450,5; (Σ₁₂y)² = 208,7² = 43555,7;

Рассчитаем суммы для второго уровня фактора В:

Σ₂₁y = 5,6 + 6,1 + 7,0 = 18,7; Σ₂₂y = 10,0 + 10,6 + 10,1 = 30,7;

(Σ₂₁y)² = 18,7² = 349,7; (Σ₂₂y)² = 30,7² = 942,5;



Рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;



По формуле (1.20) вычисляем значение G-статистики:

G_набл = 13,46 / (3,54 + 0,503 + 13,46 + 0,103) = 0,764 < G_кр (0,05; 4; 2) = 0,7679.

Поскольку оно меньше критического при уровне значимости α = 0,05, числе исследуемых оценок дисперсий, равном четырем, числах степеней свободы каждой из оценок дисперсий, равных двум, гипотеза об однородности оценок не отвергается [3, табл. 3.4 б]. Дисперсионный анализ можно проводить, поскольку существенного влияния на признак неучитываемые факторы не оказывали.

Рассчитаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

= (143,0 + 239,4)² = 382,4² = 146229,8; = 20134,7; 333² + 49,4² =

= 113329,4; = 143² + 239,4² = 77761,4;

= 15450,5 + 43555,7 +

+ 349,7 + 942,5 = 60298,4;

Полные суммарные квадраты, характеризующие отклонение признака от общей средней, отклонение признака от воздействия фактора А – совершенствования системы маркетинга, отклонение признака от воздействия фактора В – разновидности колбасной продукции, изменчивость признака от взаимодействия факторов А и В, а также суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов будут иметь следующие значения:

Q₀ = 20134,7 – 146229,8 / 12 = 7948,9;

Q₁ = (113329,4 / 3ּ2) – 146229,8 / 12 = 6702,4;

Q₂ = (77761,4 / 3ּ2) – 146229,8 / 12 = 774,4;

Q₃ = (60298,4 / 3) – (113329,4 / 3ּ2) – (77761,4 / 3ּ2) + (146229,8 / 12) = 436,9;

Q₄ = 20134,7 – 60298,4 / 3 = 35,2.

Сделаем проверку: Q₀ = Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄.

7948,9 = 6702,4 + 774,4 + 436,9 + 35,2.

Числа степеней свободы оценок дисперсий имеют следующие значения:

f₀ = N – 1 = 12 – 1 = 11; f₁ = b – 1 = 2 – 1 = 1; f₂ = a – 1 = 2 – 1 = 1;

f₃ = (a –1)(b – 1) = (2 - 1)(2 – 1) = 1; f₄ = ab(n – 1) = 2·2(3 – 1) = 8.

Оценки дисперсий соответственно полной, характеризующей отклонение признака от воздействия фактора А – совершенствования системы маркетинга; характеризующей отклонение признака от воздействия фактора В – разновидности колбасной продукции; характеризующей изменчивость признака от взаимодействия факторов А и В; характеризующей ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов следующие:



Проверим значимость оценок дисперсий с помощью критерия Фишера (табл. 10 приложения):

Оценим дисперсию роста продаж колбасных изделий в 2000 г. за счет динамичного развития этой сферы маркетинга по формуле

Оценим дисперсию, характеризующую влияние разновидности изделия на рост объема продаж:

Оценим дисперсию, характеризующую влияние эффекта взаимодействия факторов А и В (динамичного развития сферы маркетинга в части продаж колбасных изделий и разновидности изделий):

Оценим полную дисперсию изменчивости признака:

Оценим вклад фактора А в изменчивость признака:

Оценим вклад фактора В в изменчивость признака:

Оценим вклад эффекта взаимодействия в изменчивость признака:

Оценим вклад ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов в изменчивость признака:

Таким образом, месячный объем продаж колбасных изделий в 2000 г. более чем на 84 % был обусловлен совершенствованием исследуемой сферы маркетинга в течение года, более чем на 9 % – приемлемым для покупателей ассортиментом, почти на 6 % – их взаимодействием при ошибке расчетов из-за неучтенных факторов и погрешностей эксперимента, составляющей менее одного процента.

3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В МАРКЕТИНГЕ

3.1. Экспертные методы оценивания качества

товаров и услуг

При оценивании качества товаров как совокупности трудно измеряемых свойств очень часто прибегают к экспертным методам. На численном примере (данные взяты из источника [10]) рассматривается методика и последовательность проведения опроса и обработки полученных данных.

Для выявления узлов автомобилей КамАЗ с низкой надежностью свойством, которое является главным показателем качества механических систем, осуществлен опрос экспертов (табл. 19). Они присваивали ранг, равный единице, самому надежному по их мнению узлу и ранг, равный числу объектов, – девяти, наименее надежным. Промежуточные ранги присваивались узлам также в порядке снижения надежности: численное значение ранга увеличивалось по мере снижения надежности. Некоторым объектам присваивались одинаковые ранги, если эксперты считали их надежность одинаковой, соответствующей одному уровню. В принципе, можно было бы присваивать и дробные ранги. Для простоты обработки результатов нужно, чтобы сумма рангов в каждой строке

                                                   s = 0,5k(k + 1),                                          (3.1)

где k – число оцениваемых объектов, в данном случае узлов автомобиля.

По результатам ранжирования вычисляется сумма рангов x_j для каждого объекта, которая и является оценкой исследуемого показателя качества.

Для оценки согласованности мнений экспертов вычисляется коэффициент конкордации. Он представляет собой дробь, в числителе которой сумма квадратов отклонений суммарных рангов x_j от общей средней их величины.

                                                 а = 0,5m(k + 1),                                         (3.2)

где m – число экспертов; k – число ранжируемых узлов.

Сумма квадратов отклонений

                                                                           (3.3)

В знаменателе дроби максимально возможная сумма квадратов отклонений, которая могла бы быть при полном совпадении мнений экспертов и отсутствии одинаковых и дробных рангов по строкам, представлена выражением:

                                       (3.4)

Производим вычисления (см. табл. 19):

a = 0,5m(k+1) = 0,5·9(9 + 1) = 45.

Пример 1.

Таблица 19

Результаты экспертного опроса специалистов о надежности

узлов автомобилей семейства КамАЗ

№ п/п

Эксперты, специалисты, проработавшие в сфере эксплуатации, технического обслуживания и ремонта автомобилей КамАЗ не менее десяти лет

Узлы автомобилей КамАЗ

Двигатель

Сцепление, делитель, КП

Мосты

Задняя подвеска

Пневмопривод тормозной системы

Узлы электрооборудования

Передняя подвеска

Рулевое управление

Другие механизмы и системы управления

1

Главный инженер

1

4

1

4

8

6

9

5

7

2

Заместитель директора

1

3

2

5

9

7

6

4

8

3

Механик-эксплуатационник

1

2

2

4

6

8

7

6

9

4

Технолог-ремонтник

2

3

1

5

6

7

9

4

8

5

Механик-ремонтник

2

1

3

6

5

9

7

4

8

6

Водитель

3

4

1

2

6

8

7

5

9

7

Водитель

2

1

4

4

6

7

8

4

9

8

Водитель

5

2

1

5

4

8

6

5

9

9

Водитель

2

1

2

6

4

8

9

7

6

x_j

19

21

17

41

54

68

68

44

73

x_j – a

–26

–24

–28

–4

9

23

23

–1

28

L_j²

676

576

784

16

81

529

529

1

784

Максимально возможная величина суммы квадратов отклонений, которая может иметь место при полном совпадении мнений экспертов с учетом наличия связанных рангов,

                                                         (3.5)

где r – число строк, имеющих связанные ранги; T_u – величина, учитывающая число типов связанных рангов в строке,

где t – число q-х типов равных рангов в u-й строке; n – число типов связанных рангов в строке.

Первая строка табл. 19 имеет два связанных ранга одного типа (связанных по два ранга): 1, 1 и 4, 4, поэтому

Т₁ = (2³ – 2) + (2³ – 2) = 12.

Вторая строка не имеет связанных рангов, Т₂ = 0, третья строка имеет два связанных ранга одного типа: 2, 2 и 6, 6, поэтому

Т₃ = (2³ – 2) + (2³ – 2) = 12.

Четвертая, пятая и шестая строки связанных рангов не имеют и Т₄ = Т₅ = Т₆ = 0, седьмая срока имеет один тип связанных рангов, но отличный от предыдущих (здесь тройная связка 4,4,4), поэтому

Т₇= (3³ – 3) = 24.

Восьмая строка имеет один трижды связанный ранг: 5,5,5 и Т₈ = (3³ – 3) = 24, а для девятой строки, имеющей связанные ранги 2, 2 и 6, 6 Т₉ = (2³– 2) + (2³ – 2) = 12, поэтому суммарное значение

Т_u = 12 + 12 + 24 + 24 + 12 = 84.

Коэффициент конкордации

Проверка согласованности мнений экспертов осуществляется с использованием – мощного критерия (табл. 9 приложения), минимизирующего ошибку второго рода (принятие неверной гипотезы), при уровне значимости α – вероятности забраковать справедливую гипотезу (ошибка первого рода) и числе степеней свободы f.

Значение – статистики вычисляется по формуле

где m – число экспертов; f – число степеней свободы f =k – 1, W – коэффициент конкордации.

При условии, что величина -статистики превышает критическое значение при уровне значимости α и числе степеней свободы f, т. е. гипотеза о согласованности мнений экспертов не отвергается.

В рассматриваемом примере при m = 9, f = 8, α = 0,05, поэтому

χ² = 9(9 – 1)0,829 = 59,688 > χ²_кр(0,05; 8) = 15,507

(по табл. 9 приложения), следовательно, гипотеза о согласованности мнений экспертов не отвергается.

Пример 2. Проранжировать основные виды транспорта (табл. 20) в свете эффективности их использования для крупных отправителей по шести критериям (m = 6). Данные взяты из источника [7].

Таблица 20

Оценки видов транспорта по критериям крупных отправителей

№ п/п

Критерии эффективности видов транспорта

Железнодорожный

Водный

Автомобильный

Трубопроводный

Воздушный

1

Скорость (время доставки франко склад)

3

4

2

5

1

2

Частота отправок в сутки

4

5

2

1

3

3

Надежность (соблюдение графиков доставки)

3

4

2

1

5

4

Перевозочная способность перевозить широкую номенклатуру грузов

2

1

3

5

4

5

Доступность (число обслуживаемых точек)

2

4

1

5

3

6

Стоимость за тонно-милю

3

1

4

2

5

х_j

17

19

14

19

21

x_j – a

–1

1

–4

1

3

L_j²

1

1

16

1

9

Решение. Сумма рангов по строкам:

S = 0,5k(k + 1) = 0,5·5(5 + 1) = 15.

Общая средняя а = 0,5m(k + 1) = 0,5·6(5 + 1) = 18,

где m – число показателей ранжирования; k – число ранжируемых объектов.

Сумма квадратов отклонений

Максимально возможная сумма квадратов отклонений при отсутствии связанных рангов

Значение коэффициента конкордации

.

Для оценки существенности коэффициента конкордации при числе критериев оценки эффективности транспорта m = 6 и числе степеней свободы, равном числу ранжируемых объектов минус единица (f = k – 1 = 5 – 1 = 4) вычисляется значение -ста-тистики:

= mfW = 6·4·0,078 = 1,872 < _кр(0,05; 4) = 9,488.

Критическое значение (табл. 9 приложения) превышает найденную величину , гипотеза о справедливости присвоенных рангов видам транспорта, представленным в табл. 20, отклоняется, поскольку ранги, образующие совокупность, неразличимы, отличия между ними несущественны, количество использованной информации для их определения мало. По смыслу задачи можно увеличить число критериев оценки эффективности транспорта и тогда из однородной совокупности оценок можно было бы выделить существенные отличия между ними, если они есть в действительности, в смысле эффективности перевозок в сложившихся условиях.

С другой стороны, данная методика не позволяет использовать всю информацию табл. 20: в формулу оценки существенности W вошли m и f, но не сами ранги, имеющиеся в табл. 20, а это существенная информация, так как количество рангов равно тридцати. Методика также позволяет оценивать согласованность сразу всех суммарных рангов в совокупности, но может оказаться, что некоторые ранги определены экспертами четко и однозначно, а остальные практически не различимые суммарные ранги размывают, затушевывают картину. Поэтому для выделения из совокупности отличного от остальных суммарного ранга применяется способ исключения резко выделяющихся наблюдений, позволяющий использовать большую информацию, чем рассматриваемый способ Кендалла.

Суть заключается в том, что последовательно в вариационном ряду суммарных рангов: 14, 17, 19, 19, 21, определяются резко выделяющиеся значения с помощью специального ζ-критерия (табл. 21). И если таковые окажутся, то они и есть ярко выраженные, по праву занимающие свое место в исследуемом ранжире суммарные ранги. Формула, применяемая для этой процедуры, включает оценку среднего квадратического отклонения, вычисляемого по всем тридцати рангам шестерых экспертов (табл. 4 приложения).

Таблица 21

Параметры для вычисления ζ-статистики

Средние значения рангов по столбцам

17/6 = = 2,83

19/6 = = 3,17

14/6 = = 2,33

19/6 = = 3,17

21/ =

= 3,5

Оценки дисперсий по столбцам

0,57

2,97

1,07

4,17

2,3

Сумма оценок дисперсий

11,07/5 = 2,21

Среднее квадратическое отклонение

2,21^0,5 = 1,49

Среднее значение членов вариационного ряда

Значение ζ-статистики вычисляется по формуле

,

где η_j – j-й член вариационного ряда; – среднее значение членов вариационного ряда; s* – среднее квадратическое отклонение членов вариационного ряда.

При ζ(η, s*) > ζ_кр (η, s*) гипотеза о принадлежности η_j к исследуемому вариационному ряду отвергается. Поскольку в данном ряду больше всех выделяется суммарный ранг 14, то значение ζ-статистики

т. е. гипотеза о принадлежности ранга 14 вариационному ряду отвергается (табл. 4 приложения).

Вторым по величине отклонения от среднего значения является суммарный ранг 21, для него значение ζ-статистики, вычисленное по той же формуле,

т. е. гипотеза о принадлежности суммарного ранга 21 к исследуемому вариационному ряду также отвергается (табл. 4 приложения) и может быть принята конкурирующая гипотеза о том, что суммарный ранг 21 так же, как и ранг 14, резко выделяется из членов вариационного ряда.

Значение ζ-статистики для остальных членов вариационного ряда (17, 19, 19), имеющих абсолютное отклонение от среднего значения равное 1,

т. е. гипотеза о принадлежности этих трех членов к исследуемому вариационному ряду не отвергается (табл. 4 приложения).

Следовательно, автомобильный транспорт для перевозок грузов крупными отправителями в создавшихся условиях наиболее эффективен, воздушный – самый неэффективный, водный, железнодорожный и трубопроводный по эффективности однородны (безразлично, каким пользоваться) и делят второе, третье и четвертое места.

3.2. Оценивание существенности влияния

рейтинга марки товара на прибыль фирм

От 50 до 90 % статистических данных, используемых в экономике, социологии, медицине, технике, имеют нечисловую природу и могут быть оценены только качественно [8]. Для количественной оценки качественных признаков используются ранги – числа, определяемые эвристическими методами. Ранги приближенно указывают на уровень качества (как совокупности свойств) объекта. Чаще всего при решении практических задач для нахождения их величин используется метод экспертных оценок. В некоторых случаях, когда часть данных – результат маркетинговых измерений, для преобразования натуральных значений экспериментальных данных в соответствующие ранги применяют интервальный метод. Он предусматривает вычисление длины интервала путем деления величины размаха выборки на количество интервалов, принимаемое исследователем, исходя из точности измерений, удобства обработки и представления результатов и т. п., установление соответствия каждого значения данных наблюдений найденным интервалам и присвоение им рангов, соответствующих уровням качества.

Пример. С целью оценки существенности влияния рейтинга марки товара на долю прибыли в объеме продаж [6] для фирм США и Великобритании проведены расчеты, представленные в табл. 22. Для установления согласованности расчетных данных с фактическими значениями рейтинга с позиций доли прибыли в объеме продаж необходимо заменить данные строки 2 соответствующими рангами.

Таблица 22

Соотношение предварительных оценок

рейтинга марок товаров и долей прибыли в объеме продаж, %

Предварительный рейтинг марки

1

2

3

4

Доля прибыли в объеме продаж, %

17,9

2,8

–0,9

–5,9

Решение. Учитывая, что количество интервалов k = 4; максимальное значение показателя Х_max в строке 2 равно 17,9, а минимальное Х_min = – 5,9 и размах выборки

R = X_max – X_min,; R = 17,9 – (– 5,9) = 23,8,

получим длину интервала:

d = R/k;     d = 23,8/4 = 5,95.

Это позволяет вычислить границы интервалов (табл. 23), например, для первого интервала верхняя граница 17,9, нижняя 17,9 – 5,95 = 11,95 и т. д.

Таблица 23

Номера и границы интервалов фактических значений

долей прибыли в объеме продаж

Номер интервала

1

2

3

4

Граница интервала

17,9–11,95

11,95–6,00

6,00–0,05

0,05–(–5,90)

Из табл. 22 и 23 видно, что значение 17,9 попадает в первый интервал, значение 2,8 – в третий интервал, а (–0,9) и (–5,9) – в четвертый. Следовательно, значению 17,9 соответствует ранг 1, значению 2,8 – ранг 3, значению (–0,9) – ранг, равный 4, и, наконец, значению (–5,9) – тоже ранг 4. Поскольку предварительные рейтинги марок, по сути, и есть их ранги, то для дальнейшей обработки данных табл. 22 их следует преобразовать, заменив количественные показатели второй строки соответствующими рангами (табл. 24).

Таблица 24

Ранги предварительных рейтингов марок

и соответствующих долей прибыли в объеме продаж товара

Предварительный рейтинг марки

1

2

3

4

Ранг доли прибыли в объеме продаж

1

3

4

4

Для оценки согласованности предварительного рейтинга марки и долей прибыли в объеме продаж товара в данном случае может быть использован коэффициент множественной качественной конкордации [8]:

                                                                       (3.6)

где n – объем выборки или число объектов; k – число качественных уровней k = 2, 3, …, q; S(v) – сумма вариаций качественных оценок; m – количество признаков.

Параметр m в формулу (3.6) входит неявно, по нему осуществляется суммирование для каждого из признаков, определяющих в конечном счете S(v):

                               ,                        (3.7)

где средние значения рангов по столбцам; средние квадратов рангов по столбцам.

В соответствии с табл. 24 для первого столбца = (1 + 1)/2 = 1, для второго оно равно 2,5, для третьего – 3,5, для четвертого – 4.

Средняя квадратов по столбцам: для первого столбца = (1² + 1²)/2 = 1, для второго – 6,5, для третьего – 12,5, для четвертого – 16.

Вариации по столбцам: для первого столбца – var₁(x) = 1 – 1² = = 0; для второго var₂(x) = 6,5 – 2,5² = 0,25; для третьего var₃(x) = 12,5 – 3,5² = = 0,25; для четвертого var₄(x) =16 – 4² = 0.

Сумма вариаций (табл. 25): S(v) = 0 + 0,25 + 0,25 + 0 = 0,5.

Таблица 25

Результаты вычислений

Показатель

Ранг

Сумма

Предварительный рейтинг марки

1

2

3

4

Доля прибыли в объеме продаж

1

3

4

4

Средние значения рангов по столбцам

1

2,5

3,5

4

Средняя квадратов по столбцам

1

6,5

12,5

16

Var (x) по столбцам

0

0,25

0,25

0

S(v) = 0,5

Коэффициент множественной качественной конкордации в соответствии с формулой (3.6) при n = 4, k = 4:

Учитывая, что степень согласованности при W(k) < 0,75 – «слабая», при 0,75 < W(k) < 0,85 – «средняя», при 0,85 < W(k) < 0,95 – «выше средней», при W(k) > 0,95 – «сильная», уровни качества товаров с рейтингами 3 и 4 практически не различимы.

Кластер – некоторая совокупность «родственных» объектов, объединенных по набору общих для этих объектов признаков.

В сравнительной характеристике различных видов транспорта (табл. 26) каждому из них присвоены ранги в зависимости от эффективности, определяемой показателями качества перевозок [7]. Ранг 1 присвоен показателям с очень низкой эффективностью, ранг 2 – с низкой эффективностью, 3 – со средней эффективностью, 4 – с хорошей, 5 – с очень хорошей. Анализируются пять видов транспорта по пяти их существенным показателям с целью выявления кластеров для выбора эффективного способа перевозок.

Таблица 26

Показатели качества перевозок различных видов транспорта

Вид

транспорта

Стоимость за милю А₁

Скорость поставки А₂

Стабильность графика поставок А₃

Гибкость обработки груза А₄

Месторасположение А₅

Воздушный

1

5

3

2

2

Водный

5

1

2

5

3

Жел. дор.

3

4

4

5

4

Автомобильный

2

4

4

3

5

Трубопроводный

3

2

5

1

1

Вычисляется (табл. 27) коэффициент сходства для всей совокупности объектов (для всех пяти видов транспорта) по формуле (3.6):

Таблица 27

Параметры вариации уровней качества объектов

Средние

2,8

3,2

3,6

3,2

3,0

Сумма

Средние квадратов

9,6

12,4

14

12,8

11,0

Var(x)

1,76

2,16

1,04

2,56

2,0

S(v) = 9,52

Коэффициент при n = 5 и k = 5:

Для формирования матрицы парных свойств рассчитываются коэффициенты сходства для каждой пары объектов.

Например, расчет коэффициента сходства качественных оценок для воздушного и водного транспорта представлен в табл. 28.

Таблица 28

Расчет параметров для вычисления коэффициента сходства

оценок эффективности воздушного и водного транспорта

Воздушный транспорт

1

5

3

2

2

Водный транспорт

5

1

2

5

3

Средние значения оценок

3

3

2,5

3,5

2,5

Средние квадратов

13

13

6,5

14,5

6,5

Var (x)

4

4

0,25

2,25

0,25

Сумма вариаций качественных оценок

S(v) = 4 + 4 + 0,25 + 2,25 + 0,25 = 10,75,

коэффициент сходства в соответствии с формулой (3.6)

Вычислив коэффициенты сходства для всех пар, получим матрицу парных сходств в виде табл. 29.

Из табл. 29 следует, что первый кластер (А₃, А₄) состоит из элементов с парным коэффициентом сходства, соответствующим «выше средней» плотности оценок. Второй кластер (А₁, А₄, А₅) содержит элементы с парными коэффициентами сходства, соответствующими «средней» плотности.

Таблица 29

Матрица парных сходств

качественных оценок эффективности видов транспорта

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

А₁

1

0,463

0,763

0,838

0,763

А₂

1

0,775

0,625

0,575

А₃

1

0,925

0,625

А₄

1

0,675

А₅

1

Коэффициент сходства между кластерами вычисляется по формуле (3.6), элементами расчетной матрицы служат все элементы, образующие эти кластеры: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ (табл. 30).

Таблица 30

Данные для расчета коэффициента сходства между кластерами

Вид транспорта

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

Воздушный

1

5

3

2

2

Жел. дор.

3

4

4

5

4

Автомобильный

2

4

4

3

5

Трубопроводный

3

2

5

1

1

Средние

2,25

3,75

4

2,75

3

Средние квадратов

5,75

15,25

16,5

9,75

11,5

Var(x)

0,69

1,19

0,5

2,19

2,5

Вычисляем S(v) = 0,69 + 1,19 + 0,5 + 2,19 + 2,5 = 7,07.

Коэффициент сходства,

т. е. первый и второй кластеры практически не имеют сходства, являясь независимыми скоплениями сходных между собой оценок.

Центр кластера [8] – некоторый условный объект, координаты которого есть средние значения соответствующих координат всех объектов, входящих в кластер. Например, для кластера (А₃, А₄) средние значения координат составят:

1) (3 + 2 )/2 = 2,5; 2) (4 + 4)/2 = 4; 3) (4 + 4)/2 = 4; 4) (5 + 3)/2 = 4;

5) (4 + 5)/2 = 4,5, т. е. центр кластера будет иметь координаты, приведенные в табл. 31.

Таблица 31

Координаты центра кластера (А₃, А₄)

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

2,5

4

4

4

4,5

Для нахождения центра второго кластера (А₁, А₄, А₅) необходимо вычислить координаты пар (табл. 9) А₁, А₄, А₁, А₅, а затем подсчитать их средние значения. Координаты пар находят так же, как и координаты центра кластера (А₃, А₄). Координаты центра второго кластера – средние по столбцам табл. 32.

Таблица 32

Координаты пар и центра кластера

Координаты пары А₁, А₄

1,5

4,5

3,5

2,5

3,5

Координаты пары А₁, А₅

2,0

3,5

4,0

1,5

1,5

Данные для расчета коэффициента сходства между кластерами (А₃, А₄) и (А₁, А₄, А₅) представлены в табл. 33.

Таблица 33

Параметры для расчета коэффициента сходства между кластерами

Параметры

А₁

А₂

А₃

А₄

А₅

Центр кластера (A₃, A₄)

2,5

4,0

4,0

4,0

4,5

Центр кластера (A₁, A₄, A₅)

1,75

4

3,75

2

2,5

Средние значения координат

2,13

4

3,88

3,0

3,5

Средние квадратов координат

4,66

16

15

10

13,3

Var (x)

0,14

0

0,02

1

1

Вычисляем S(v) = 0,14 + 0,02 + 1 + 1 = 2,16.

Коэффициент сходства между центрами первого и второго кластеров

Расстояние между кластерами 1 и 2 вычисляется по формуле

R = 1 – W_Ц.

В данном случае R(1,2) = 1 – 0,892 = 0,108.

Расстояние между кластерами, «сгустками» довольно точно согласующихся ранговых оценок, невелико, тем более, что области с низкой плотностью согласования рангов также невелики.

Вычисления показывают, что рейтинговые оценки и на их основании присвоенные ранги достоверны. Показатели по железнодорожному и автомобильному транспорту наиболее точны. В предположении, что уровень квалификации всех экспертов, оценивающих эффективность данных видов транспорта, достаточно высок, результатами расчета можно руководствоваться при выборе вариантов доставки товаров.

4. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

4.1. Термины, постановка задачи

Основной предмет изучения – связь между Q – количеством запаса на складе и временем, для которого рассматривается этот запас [20], т. е. исследуется функция Q = f(t). Затраты, связанные с запасами:

1. Организационные издержки – расходы, обусловленные необходимостью оформления и доставки товара; они зависят также от подготовительно-заключительных операций при поступлении товара и подаче заявок и поэтому имеют место при каждом цикле складирования. Если запасы необходимо пополнить, то на склад завозится очередная партия. Издержки, связанные с поставкой, называются организационными. Количество товара, поставляемое на склад, называется размером партии.

2. Издержки содержания запасов – это затраты, связанные с хранением (содержание или аренда помещений, естественная порча товара).

3. Издержки, связанные с дефицитом (штрафы); если поставки со склада не могут быть выполнены, то возникают дополнительные издержки, обусловленные вынужденным отказом. Это может быть реальный денежный штраф, а может быть просто ухудшение бизнеса в будущем из-за потери разочаровавшихся в поставщике потребителей.

Основная модель управления запасами – определение оптимального размера партии.

В упрощенной модели рассматриваются следующие величины, представленные в табл. 34.

Таблица 34

Исходные данные для вычисления размера партии

Параметр

Обозначение

Единица измерения

Условия эффективности применения модели

1

2

3

4

Интенсивность спроса

d

Единицы товара в год

Спрос постоянен и непрерывен, весь спрос удовлетворяется

Организационные издержки

s

У.е. за

1 партию

Организационные издержки постоянны и не зависят от размера партии

Стоимость товара

c

У.е. за единицу товара

Цена постоянна, рассматривается 1 вид товара

Окончание табл. 34

1

2

3

4

Издержки содержания запаса

h

У.е. за единицу товара в год

Стоимость хранения товара в течение года постоянна

Размер партии

q

Ед. товара в одной партии

Постоянная величина размера партии, поступление мгновенное, как только уровень запаса становится равным нулю

Обычно задача управления запасами ставится так: определить размер партии q, при котором годовые затраты будут минимальны. Для условий задачи, сформулированных в табл. 34, зависимость Q = f(t) имеет вид, представляемый графиком (рис. 4.1).

Время   t

Рис. 4.1. График изменения и пополнения запасов: Q – уровень запаса

(по оси ординат); q – размер поставки (начало цикла); F – площадь под

графиком; T – продолжительность цикла; q/2 – средний уровень запаса

Замечания: 1) чтобы удовлетворить годовой спрос d при размере поставки (партии) q нужно сделать d/q поставок в год; 2) средний уровень запасов q/2 = F/T; F – площадь под графиком за цикл Т.

Уравнение издержек:

С = С₁ (организационные издержки) + С₂ (стоимость товара) + + С₃(общие издержки содержания запасов).

.

Оптимальное значение q находят, положив , т. е.

Рис. 4.2. График для определения оптимального размера партии:

С₄ – суммарные издержки; С_min – минимальные суммарные издержки;

q* – оптимальный размер партии

Решая уравнение относительно q – переменной величины, имеем

где q* – оптимальный размер партии.

Учитывая, что – общие организационные издержки, С₂ = сd – стоимость товара, С₃ = – общие издержки содержания запасов, получим график, приведенный на рис. 4.2.

4.2. Расчет оптимального размера партии

при равномерном спросе

Пример. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 единиц товара в год, организационные издержки для одной партии составляют 50 у.е., цена единицы товара составляет 100 у.е., издержки содержания запаса равны 1 у.е. за единицу товара в год, т. е. d = 2000 ед.товара в год, s = 50 у.е., с = 100 у.е., h = 1 у.е./ед. товара в год. Найти оптимальный размер партии (количество единиц товара в партии), оптимальное число поставок в год, оптимальную продолжительность цикла.

Решение. Поскольку общие издержки

  ,

тогда

Приняв получим откуда q² = 200000, и ед. товара в партии.

Оптимальное число поставок в году:

n* =

Оптимальная продолжительность цикла:

T* = дней.

4.3. Расчет оптимального размера партии

в случае модели производственных поставок

Когда готовые товары доставляются на склад непосредственно с производственной линии, поступление не будет мгновенным. Дополнительный параметр – скорость производства р – равна количеству товаров, выпускаемых линией в течение года; спрос постоянен и равен d. Как только уровень запасов упадет до нуля с производственной линии начнет поступать товар на склад. Величина q – размер партии. График, отвечающий постановке задачи представлен на рис. 4.3.

Общие издержки в течение года, как и в предыдущей модели,

С = С₁ (общие затраты на организацию запаса) + С₂ (стоимость товара) + С₃ (общие затраты на хранение запасов).

При спросе d товаров в год одна поставка содержит q единиц товара, поэтому за год необходимо сделать n = d/q поставок, следовательно,

С₂= сd, С₃ = (средний уровень запасов)×n.

Для определения среднего уровня запасов используются следующие два обстоятельства:

1) максимальный уровень RT = (p – d)t;

2) количество единиц товара в одной поставке q = pt.

Тогда средний уровень запасов:

но , тогда средний уровень запасов а общие затраты на хранение запасов .

Уравнение для общих годовых издержек:

С =

Приравняв получим откуда оптимальный размер партии

Время

Рис. 4.3. Модель производственных поставок: Q – уровень запаса товаров; t – время; RT – максимальный уровень запасов; t₁ – продолжительность

поставок; V’ – скорость пополнения запасов, равная p – d;

V”– постоянный спрос с интенсивностью d

Пример. При тех же данных: d = 2000 ед. товара в год, s = 50 у.е., c = 100 у.е., h = 1 у.е. за ед. товара, p = 4000 ед. товара в год, оптимальный размер партии составит

q* ≈ 633 ед. товара.

Оптимальное число партий в течение года

парт.

Продолжительность поставки

дней.

Продолжительность цикла

дней.

Максимальный уровень запасов

ед. товара.

Средний уровень запасов

0,5RT = 0,5∙317 = 158 ед. товара.

5. МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

5.1. Термины, определения

Очереди как элементы упорядочения процессов в производстве, сбыте и потреблении товаров имеют место во всех сферах маркетинговой деятельности. Основные параметры очереди характеризуются свойствами входящего потока требований, потока обслуживания и дисциплины очереди. Расчеты систем обслуживания производятся с целью уменьшения нагрузок на обслуживающие приборы, уменьшения длины очередей, снижения затрат на обслуживание, увеличения пропускной способности системы и т. п. Основные показатели работы систем: длина очереди, время нахождения требования в системе, доля времени, в течение которого прибор бывает свободен.

Наиболее универсальной моделью системы массового обслуживания является модель с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распределением времени обслуживания.

Распределение Пуассона – распределение вероятностей случайных величин x_i, принимающих целые неотрицательные значения k = 0,1,2,…,n с вероятностями [3, 4, 9, 20]

                                                                         (5.1)

где λ > 0 – параметр.

Математическое ожидание, дисперсия и моменты более высоких порядков равны λ. Сумма независимых случайных величин X_i, имеющих распределение Пуассона с параметрами λ_i, подчиняется также распределению Пуассона с параметрами ∑λ_i. Это предельное распределение безгранично делимо: если сумма случайных величин имеет распределение Пуассона, то каждое слагаемое можно представить как распределенное по закону Пуассона.

Поток событий – это последовательность событий, происхо-дящих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток называют стационарным, если вероятность появления некоторого числа событий в какой-то промежуток времени зависит только от величины временного промежутка.

Поток событий называют потоком без последействия, если для любых не перекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Поток событий называют ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Δt двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток обладает всеми тремя свойствами, он называется простейшим (пуассоновским).

Время обслуживания (как и время между поступлениями в систему обслуживания), когда поток обслуживания (или поступления в систему) обладает этими тремя свойствами, распределено по экспоненциальному закону

                                                      g(t) = μe^–^μt,                                             (5.2)

где μ – параметр, величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки: μ = 1/m_t_обсл.

Величина λ должна быть меньше, чем μ, иначе очередь будет расти до бесконечности по геометрической прогрессии.

Когда входящий поток – пуассоновский, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, при одном приборе обслуживания, система обозначается М/М/1. Буква G в обозначении системы массового обслуживания означает произвольное распределение, E_k – распределение Эрланга порядка k, D – детерминированный поток (равные промежутки времени между поступлениями требований в систему или применительно к прибору обслуживания – неслучайное и одинаковое время обслуживания для всех требований). Например, E₃/G /2 означает, что входящий поток системы – эрланговский третьего порядка, поток обслуживания имеет произвольное распределение времени обслуживания, число обслуживающих приборов равно двум.

5.2. Вычисление показателей простейшей очереди

При формулировании задачи важную роль играет дисциплина очереди, здесь рассматривается следующая: требование приходит в систему и дожидается обслуживания, а например, не уходит, если очередь велика, и, кроме того, каждое требование обслуживается в свою очередь без каких-либо приоритетов.

Отношение λ/μ = ρ – загрузка системы (коэффициент загрузки).

Расчетные формулы для системы М/М/1 имеют следующий вид:

вероятность того, что обслуживающий прибор свободен,

                                                      Р₀ =1 – ρ.                                              (5.3)

среднее число требований в системе (находящихся в очереди и на обслуживании)

                                                  E(n) = ρ/(1 – ρ);                                         (5.4)

среднее время ожидания обслуживания

                                                E(t) = ρ/[μ(1 – ρ)];                                       (5.5)

средняя длина очереди, ожидающей обслуживания,

                                                E(n_o) = ρ²/(1 – ρ);                                        (5.6)

среднее время, проведенное требованием в системе,

                                               E(t_c) = 1/[μ(1 – ρ)].                                       (5.7)

Пример 1. Требования поступают на обслуживающее устройство (в кассу магазина для оплаты покупок) случайно, причем средний промежуток времени между поступлениями требований равен 1,0 мин, среднее время обслуживания – 0,8 мин. Определить: среднее число требований в системе; среднее время ожидания обслуживания; среднюю длину очереди, ожидающей обслуживания; среднее время; проведенное требованием в системе; вероятность отсутствия требований в системе, если она состоит из одного прибора и имеет пуассоновский входящий поток и экспоненциальное время обслуживания (М/М/1).

Решение. Так как средний промежуток времени между поступлениями требований известен: m_t_пост = 1 мин, то среднее число покупателей, приходящих к кассе для расчета за покупки в течение 1 мин,

λ = 1/m_t_пост; λ = 1/1 = 1 покупатель/мин.

Поскольку среднее время обслуживания m_t_обсл = 0,8 мин, то среднее число покупателей, обслуживаемых в 1 мин,

μ = 1/m_t_обсл; μ = 1/0,8 = 1,25,

т. е. в среднем кассир обслуживает более одного покупателя в минуту.

Тогда вероятность простоя системы (в данном случае кассы и кассира)

Р₀ = 1 – ρ; Р₀ = 1 – 0,8 = 0,2,

т. е. 20 % рабочего времени система простаивает.

Среднее число покупателей в системе (стоят в очереди плюс один рассчитывается за покупку)

E(n) = ρ/(1 – ρ); E(n) = 0,8/(1 – 0,8) = 4 покупателя.

Среднее время ожидания в очереди

E(t) = ρ/μ(1 – ρ); E(t) = 0,8/(1,25·0,2) =3,2 мин.

Средняя длина очереди, ожидающей обслуживания,

E(n₀) = ρ²/(1 – ρ); E(n) = 0,8²/ (1 – 0,8) = 3,2 покупателя.

т. е., как правило, немногим больше трех покупателей стоят в очереди.

Среднее время, проведенное покупателем в системе, ожидая сначала в очереди, а потом и собственно своего обслуживания кассиром,

E(t_c) = 1/μ(1 – ρ); E(t_c) = 1/[1,25·(1 – 0,8)] = 4 мин.

Пример 2. При этих же условиях задачи рассматривается ситуация: добавлен еще один кассовый аппарат с кассиром при тех же условиях: все покупатели стоят в одной очереди и, как только один из кассиров освобождается, первый из стоящих в очереди поступает к нему на обслуживание (т. е. имеет место система М/М/2). Как изменятся первые три основных показателя?

Решение. Вероятность простоя системы

Р₀= (2 – ρ)/ (2 + ρ); P₀ = (2 – 0,8)/(2 + 0,8) = 0,43,

т. е. 43 % рабочего времени кассиры будут простаивать.

Среднее число требований в системе

E(n) = 2ρ/(4 – ρ²); E(n) = 2·0,8/(4 – 0,8²) = 0,48,

т. е. практически очереди нет.

Среднее время ожидания обслуживания

E(t) = ρ²/[μ(4 – ρ²)]; E(t) = 0,8²/ 1,25(4 – 0,8²) = 0,15 мин.

При увеличении числа обслуживающих приборов на единицу практически не стало очереди и покупателям не приходится терять время в ней.

Модели М/М/m (здесь m – число обслуживающих приборов) можно использовать в любых случаях, нужно только помнить, что они дают завышенные показатели при одних и тех же значениях λ и μ, когда законы распределения величин, формирующих случайные потоки, более упорядочены.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дисциплина «Маркетинг» занимает одно из важнейших мест в системе подготовки высококвалифицированных инженеров-экономистов в части приобретения ими фундаментальных понятий, знаний терминологии, организации, структуры и методов оптимизации процессов производства, сбыта и потребления товаров.

В практике выполнения дипломных работ собственно маркетинговая тематика является одной из ведущих, помимо этого при выполнении дипломной работы на любую другую тему приходится решать комплекс маркетинговых задач – неотъемлемой составной части экономической проблематики.

Удаленность предприятий Норильского промышленного района от заводов-изготовителей технологического оборудования, машин и материалов предполагает наличие множества вариантов выбора поставщиков, потребителей продукции НПР и видов транспорта, поэтому привитие знаний, умений и навыков исследовательского подхода к решению практических задач является необходимой составляющей процесса обучения.

Кем бы и где бы не работал молодой специалист, он обязательно столкнется с задачами, способы разрешения которых и все основные и необходимые данные приведены в настоящем пособии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Большев, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. М.: Наука, 1983. 416 с.

2. Вознесенский, В. А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях / В. А. Вознесенский. М.: Статистика, 1981. 263 с.

3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. М.: Наука, 1969. 576 с.

4. Вагнер, Г. Основы исследования операций / Г. Вагнер. М.: Наука, 1972. 420 с.

5. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1977. 479 с.

6. Голубков, Е. П. Основы маркетинга: Учебник / Е. П. Голубков. М.: Изд-во «Финпресс», 1999. 656 с.

7. Котлер, Ф. Основы маркетинга / Ф. Котлер. М.: Бизнес-книга, 1995. 702 с.

8. Красильников, В. В. Статистика объектов нечисловой природы / В. В. Красильников. Наб. Челны: Изд-во Камского политехнического института, 2001. 144 с.

9. Саати, Т. Математические методы исследования операций/ Т. Саати. М.: Воениздат, 1963. 219 с.

10. Алифанов, А. Л. Северные регионы. Потребность в ремонтных комплектах для автомобилей / А. Л. Алифанов // Автомобильная промышленность. 1997. № 12. С. 20–22.

11. Бушуева, Л. И. Методы прогнозирования объема продаж / Л. И. Бушуева // Маркетинг в России и за рубежом. 2002. № 1. С. 15–29.

12. Виноградов, В. А. Некоторые вопросы ценообразования на основе спроса на рынке бытовой мебели Российской Федерации / В. А. Виноградов // Маркетинг в России и за рубежом. 2002. № 5. С. 77–85.

13. Канунников, С. И. Автобум по-русски / С. И. Канунников, Д. С. Канунников // Маркетинг в России и за рубежом. 2002. № 2. С. 108–114.

14. Каплина, О. В. Оценка конкурентоспособности массового товара (на примере пива) / О. В. Каплина // Маркетинг в России и за рубежом. 2001. № 4. С. 28–48.

15. Кац, И. С. Компьютерный рынок: настоящее и ближайшее будущее / И. С. Кац, Л. В. Тихонова // Маркетинг в России и за рубежом. 2001. № 3. С. 35–41.

16. Ларионов, В. Г. Проблема фальсификации товарной продукции в России и за рубежом / В. Г. Ларионов, М. Н. Скрыпников // Маркетинг в России и за рубежом. 2001. № 1. С 114–119.

17. Савин, В. А. Роль субъектов Российской Федерации в формировании товарной структуры экспорта страны / В. А. Савин, В. А. Сковорода // Маркетинг в России и за рубежом. 2002. № 3. С. 42–52.

18. Чуровский, С. Р. Продуктовый портфель мясоперерабатывающего предприятия / С. Р. Чуровский, Г. В. Сафонов // Маркетинг в России и за рубежом. 2002. № 4. С. 19–31.

19. Шекова, Е. Л. Маркетинговое исследование рынка культурных услуг в России и за рубежом / Е. Л. Шекова // Маркетинг в России и за рубежом. 2002. № 6. С. 23–29.

20. Тернер, Д. Вероятность, статистика и исследование операций / Д. Тернер. М.: Статистика, 1976. 431 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблицы математической статистики [1]

Таблица 1

Критерий знаков. Доверительные пределы для медианы

μ

Уровень значимости α

μ

Уровень значимости α

0,10

0,05

0,10

0,05

0

4

5

26

64

67

1

7

8

27

66

69

2

9

11

28

68

71

3

12

13

29

70

74

4

14

16

30

72

76

5

17

18

31

75

78

6

19

21

32

77

80

7

21

23

33

79

82

8

24

26

34

81

85

9

26

28

35

83

87

10

28

30

36

85

89

11

31

33

37

87

91

12

33

35

38

90

93

13

35

37

39

92

96

14

37

40

40

94

98

15

39

42

41

96

100

16

42

44

42

98

102

17

44

47

43

100

104

18

46

49

44

102

106

19

48

51

45

105

109

20

51

53

46

107

111

21

53

56

47

109

113

22

55

58

48

111

115

23

57

60

49

113

117

24

59

62

50

115

119

25

62

65

51

117

122

Таблица предназначена для проверки гипотезы р = 0,5 в последовательности независимых испытаний. Если в результате наблюдений было установлено, что количество «положительных исходов» равно μ, то для проверки гипотезы р = 0,5 по таблице следует найти критические значения N(Q, μ) и N(Q, n – μ), соответствующие заданному уровню значимости α.

1. При альтернативе {p < 0,05} основная гипотеза отвергается с уровнем значимости α, если n ≥ N(α, μ).

2 . При альтернативе {p > 0,5} основная гипотеза p = 0,5 отвергается с уровнем значимости α, если n ≥ N(α, n – μ).

3. При двусторонней альтернативе {p ≠ 0,5} основная гипотеза p = 0,5 отвергается с уровнем значимости 2α, если n ≥ N (α, min (μ, n – μ)).

Таблица 2

Критические значения для количества серий

m

n

Уровни значимости

m

n

Уровни значимости

0,10

0,05

0,10

0,05

2

2

1     5

1     5

5

5

3      9

2   10

3

1     6

1     6

6

3   10

3   10

4

1     6

1     6

7

3   10

3   11

5

1     6

1     6

8

3   11

3   11

6

1     6

1     6

9

4   11

3   12

7

1     6

1     6

10

4   11

3   12

8

2     6

1     6

11

4   12

4   12

9

2     6

1     6

12

4   12

4   12

10

2     6

1     6

13

4   12

4   12

12

2     6

2     6

14

5   12

4   12

20

2     6

2     6

18

5   12

5   12

3

3

1     7

1     7

20

5   12

5   12

4

1     7

1     8

6

6

3   11

3   11

5

2     8

1     8

7

4   11

3   12

6

2     8

2     8

8

4   12

3   12

7

2     8

2     8

9

4   12

4   13

8

2     8

2     8

10

5   12

4   13

9

2     8

2     8

11

5   13

4   13

10

3     8

2     8

12

5   13

4   13

11

3     8

2     8

13

5   13

5   14

15

3     8

3     8

14

5   13

5   14

16

3     8

3     8

15

6 14

5   14

17

3     8

3     8

20

6   14

6   14

20

3     8

3     8

7

7

4   12

3   13

4

4

2     8

1     9

8

4   13

4   13

5

2     9

2     9

9

5   13

4   14

6

3     9

2     9

10

5   13

5   14

7

3     9

2   10

11

5   14

5   14

8

3   10

3   10

12

6   14

5   14

9

3   10

3   10

13

6   14

5   15

11

3   10

3   10

14

6   14

5   15

12

4   10

3   10

15

6   15

5   15

13

4   10

3   10

16

6   15

6   16

Окончание табл. 2

m

n

Уровни значимости

m

n

Уровни значимости

0,10

0,05

0,10

0,05

16

4   10

4   10

17

7   15

6   16

20

4   10

4   10

20

7   15

6   16

8

8

5   13

4   14

11

18

10   20

9   20

9

5   14

5   14

19

10   20

9   21

10

6   14

5   15

20

10   20

9   21

11

6   15

5   15

12

12

8 18

7   19

12

6   15

6   16

13

9   18

8   19

14

7   16

6   16

14

9   19

8   20

17

7   16

7   17

15

9 19

8   20

18

8   16

7   17

16

10   20

9   21

19

8   16

7   17

17

10   20

9   21

20

8   17

7   17

18

10   21

9   21

9

9

6   14

5   15

19

10   21

10   22

10

6   15

5   16

20

11 21

10   22

11

6   15

6   16

13

13

9   19

8   20

12

7   16

6   16

14

9   20

9   20

13

7   16

6   17

15

10 20

9   21

14

7   17

7   17

16

10 21

9   21

15

8   17

7   18

17

10   21

10   22

17

8   17

7   18

18

11   21

10   22

18

8 18

8   18

19

11   22

10   23

19

8   18

8   18

20

11   22

10   23

20

9   18

8   18

14

14

10   20

9   21

10

10

6   16

6   16

15

10   21

9   22

11

7   16

6   17

16

11   21

10   22

12

7   17

7   17

17

11   22

10   23

13

8   17

7   18

18

11   22

10   23

14

8   17

7   18

19

12   23

11   23

15

8   18

7   18

20

12   23

11   24

16

8   18

8   19

15

15

11   21

10   22

17

9   18

8   19

16

11 22

10   23

18

9   19

8   19

17

11   22

11   23

19

9   19

8   20

18

12 23

11   24

20

9   19

9   20

19

12 23

11   24

11

11

7   17

7   17

20

12 24

12   25

12

8   17

7   18

16

16

11 23

11   23

13

8   18

7   19

17

12 23

11   24

14

8   18

8   19

18

12 24

11   25

15

9   19

8   19

19

13 24

12   25

16

9   19

8   20

20

13 25

12   25

17

9   19

9   20

–

Таблица 3

Критические значения статистики W-критерия Вилкоксона

m

n

Уровни значимости

m

n

Уровни значимости

0,10

0,05

0,10

0,05

1

2

3

4

5

6

7

8

1

9

1

–

3

14

16

13

18

1

–

15

16

13

19

2

1

16

17

14

25

2

1

17

18

15

2

3

3

–

18

19

15

4

3

–

19

20

16

5

4

3

20

21

17

6

4

3

21

21

17

7

4

3

22

22

18

8

5

4

23

23

19

9

5

4

24

24

19

10

6

4

25

25

20

11

6

4

4

4

13

11

12

7

5

5

14

12

13

7

5

6

15

13

14

8

6

7

16

14

15

8

6

8

17

15

16

8

6

9

19

16

17

9

6

10

20

17

18

9

7

11

21

18

19

10

7

12

22

19

20

10

7

13

23

20

21

11

8

14

25

21

22

11

8

15

26

22

23

12

8

16

27

24

24

12

9

17

28

25

25

12

9

18

30

26

3

3

7

6

19

31

27

4

7

6

20

32

28

5

8

7

21

33

29

6

9

8

22

35

30

7

10

8

23

36

31

8

11

9

24

38

32

9

11

10

25

38

33

10

12

10

5

5

20

19

11

13

11

6

22

20

12

14

11

7

23

21

13

15

12

8

25

23

Продолжение табл. 3

m

n

Уровни значим.

m

n

Уровни значим.

m

n

Уровни значим.

0,10

0,05

0,10

0,05

0,10

0,05

5

9

27

24

7

9

46

43

9

13

83

78

10

28

26

10

49

45

14

86

81

11

30

27

11

51

47

15

90

84

12

32

28

12

54

49

16

93

87

13

33

30

13

56

52

17

97

90

14

35

31

14

59

54

18

100

93

15

37

33

15

61

56

19

103

96

16

38

34

16

64

58

20

107

99

17

40

35

17

66

61

21

110

102

18

42

37

18

69

63

22

113

105

19

43

38

19

71

65

23

117

108

20

45

40

20

74

67

24

120

111

21

47

41

21

76

69

25

123

114

22

48

43

22

79

72

10

10

87

82

23

50

44

23

81

74

11

91

86

24

51

45

24

84

76

12

94

89

25

53

47

25

86

78

13

98

92

6

6

30

28

8

8

55

51

14

102

96

7

32

29

9

58

54

15

106

99

8

34

31

10

60

56

16

109

103

9

36

33

11

63

59

17

113

106

10

38

35

12

66

62

18

117

110

11

40

37

13

69

64

19

121

113

12

42

38

14

72

67

20

125

117

13

44

40

14

75

69

21

128

120

14

46

42

16

78

72

22

132

123

15

48

44

17

81

75

23

136

127

16

50

46

18

84

77

24

140

130

17

52

47

19

87

80

25

144

134

18

55

49

20

90

83

11

11

106

100

19

57

51

21

92

85

12

110

104

20

59

53

22

95

88

13

114

108

21

61

55

23

98

90

14

118

112

22

63

57

24

101

93

15

123

116

23

65

58

25

104

96

16

127

120

24

67

60

9

9

70

66

17

131

123

25

69

62

10

73

69

18

135

127

7

7

41

39

11

76

72

19

139

131

8

44

41

12

80

75

20

144

135

Окончание табл. 3

m

n

Уровни значим.

m

n

Уровни значим.

m

n

Уровни знач.

0,10

0,05

0,10

0,05

0,10

0,05

11

20

144

135

14

18

196

187

17

25

314

300

21

148

139

19

202

192

18

18

291

280

22

152

143

20

207

197

19

299

287

23

156

147

21

213

202

20

306

294

24

161

151

22

218

207

21

313

301

25

165

155

23

224

212

22

321

307

12

12

127

120

24

229

218

23

328

314

13

131

125

25

235

223

24

335

321

14

136

129

15

15

200

192

25

343

328

15

141

133

16

206

197

19

19

325

313

16

145

138

17

212

203

20

333

320

17

150

142

18

218

208

21

341

328

18

155

146

19

224

214

22

349

335

19

159

150

20

230

220

23

357

342

20

164

155

21

236

225

24

364

350

21

169

159

22

242

231

25

372

357

22

173

163

23

248

236

20

20

361

348

23

178

168

24

254

242

21

370

356

24

183

172

25

260

248

22

378

364

25

187

176

16

16

229

219

23

386

371

13

13

149

142

17

235

225

24

394

379

14

154

147

18

242

231

25

403

387

15

159

152

19

248

237

21

21

399

385

16

165

156

20

255

243

22

408

393

17

170

161

21

261

249

23

417

401

18

175

166

22

267

255

24

425

410

19

180

171

23

274

261

25

434

418

20

185

175

24

280

267

22

22

439

424

21

190

180

25

287

273

23

448

432

22

195

185

17

17

259

249

24

457

441

23

200

189

18

266

255

25

467

450

24

205

194

19

273

262

23

23

481

465

25

211

199

20

280

268

24

491

474

14

14

174

166

21

287

274

25

500

483

15

179

171

22

294

281

24

24

525

507

16

185

176

23

300

287

25

535

517

17

190

182

24

307

294

25

25

570

552

Таблица 4

Критерий исключения резко выделяющихся наблюдений

Число членов вариационного ряда n

Уровни значимости

Число членов вариационного ряда n

Уровни значимости

0,10

0,05

0,10

0,05

3

1,412

1,414

28

2,764

2,929

4

1,689

1,710

29

2,778

2,944

5

1,869

1,917

30

2,792

2,958

6

1,996

2,067

31

2,805

2,972

7

2,093

2,182

32

2,818

2,985

8

2,172

2,273

33

2,830

2,998

9

2,238

2,349

34

2,842

3,010

10

2,294

2,414

35

2,853

3,022

11

2,343

2,470

36

2,864

3,033

12

2,387

2,519

37

2,874

3,044

13

2,426

2,563

38

2,885

3,055

14

2,461

2,602

39

2,894

3,065

15

2,494

2,638

40

2,904

3,075

16

2,523

2,670

41

2,913

3,084

17

2,551

2,701

42

2,922

3,094

18

2,577

2,728

43

2,931

3,103

19

2,601

2,754

44

2,940

3,112

20

2,623

2,779

45

2,948

3,120

21

2,644

2,801

46

2,956

3,129

22

2,664

2,823

47

2,964

3,137

23

2,683

2,843

48

2,972

3,145

24

2,701

2,862

49

2,980

3,152

25

2,718

2,880

50

2,987

3,160

26

2,734

2,897

51

2,994

3,167

27

2,749

2,913

52

3,001

3,175

Таблица 5

Критерии исключения резко выделяющихся наблюдений



Число членов вариационного ряда n

Уровни значимости α

Число членов вариационного ряда n

Уровни значимости α

0,10

0,05

0,10

0,05

3

0,886

0,941

11

0,332

0,392

1,000

1,000

0,385

0,450

1,000

1,000

0,449

0,504

Окончание табл. 5

Число членов вариационного ряда n

Уровни значимости α

Число членов вариационного ряда n

Уровни значимости α

0,10

0,05

0,10

0,05

4

0,679

0,765

12

0,318

0,376

0,910

0,955

0,367

0,428

0,935

0,967

0,429

0,481

5

0,557

0,642

15

0,285

0,338

0,728

0,807

0,323

0,381

0,782

0,845

0,382

0,430

6

0,482

0,560

20

0,252

0,300

0,609

0,689

0,282

0,334

0,670

0,736

0,333

0,372

7

0,434

0,507

24

0,234

0,281

0,530

0,610

0,260

0,309

0,596

0,661

0,309

0,347

8

0,399

0,468

30

0,215

0,260

0,479

0,554

0,236

0,283

0,545

0,607

0,285

0,322

9

0,370

0,437

–

–

–

0,441

0,512

–

–

–

0,505

0,565

–

–

–

10

0,319

0,412

–

–

–

0,409

0,477

–

–

–

0,474

0,531

–

–

–

Таблица 6

Критерий Аббе

n

P = 0,05

n

P = 0,05

n

P = 0,05

n

P = 0,05

4

0,3902

19

0,6417

34

0,7256

49

0,7698

5

0,4103

20

0,6498

35

0,7292

50

0,7718

6

0,4451

21

0,6574

36

0,7328

51

0,7739

7

0,4680

22

0,6645

37

0,7363

52

0,7759

8

0,4912

23

0,6713

38

0,7396

53

0,7779

9

0,5121

24

0,6776

39

0,7429

54

0,7799

10

0,5311

25

0,6836

40

0,7461

55

0,7817

11

0,5482

26

0,6893

41

0,7491

56

0,7836

12

0,5638

27

0,6946

42

0,7521

57

0,7853

13

0,5778

28

0,6996

43

0,7550

58

0,7872

14

0,5908

29

0,7046

44

0,7576

59

0,7891

15

0,6027

30

0,7091

45

0,7603

∞

0,7906

16

0,6137

31

0,7136

46

0,7628

–

–

17

0,6237

32

0,7177

47

0,7653

–

–

18

0,6330

33

0,7216

48

0,7676

–

–

Таблица 7

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы k

Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)

0,5

0,10

0,05

1

1,0000

6,3138

12,7062

2

0,8165

2,9200

4,3037

3

0,7649

2,3534

3,1824

4

0,7497

2,1318

2,7764

5

0,7267

2,0150

2,5706

6

0,7176

1,9432

2,4469

7

0,7111

1,8946

2,3646

8

0,7064

1,8595

2,3060

9

0,7027

1,8331

2,2622

10

0,6998

1,8125

2,2281

11

0,6974

1,7959

2,2010

12

0,6955

1,7823

2,1788

13

0,6938

1,7709

2,1604

14

0,6924

1,7613

2,1448

15

0,6912

1,7530

2,1314

16

0,6901

1,7459

2,1190

17

0,6892

1,7396

2,1098

18

0,6884

1,7341

2,1009

19

0,6876

1,7291

2,0930

20

0,6870

1,7247

2,0860

21

0,6864

1,7207

2,0796

22

0,6858

1,7171

2,0739

23

0,6853

1,7139

2,0687

24

0,6848

1,7109

2,0639

25

0,6844

1,7081

2,0595

26

0,6840

1,7056

2,0555

27

0,6837

1,7033

2,0518

28

0,6834

1,7011

2,0484

29

0,6830

1,6991

2,0452

30

0,6828

1,6973

2,0423

40

0,6807

1,6839

2,0211

60

0,6786

1,6706

2,0003

120

0,6765

1,6577

1,9840

∞

0,6750

1,6479

1,9647

–

0,25

0,05

0,025

Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

Таблица 8

Значения функции Лапласа

Х

Ф(x)

х

Ф(х)

Х

Ф(х)

х

Ф(х)

0,00

0,0000

0,38

0,1480

0,75

0,2734

1,12

0,3686

0,01

0,0040

0,39

0,1517

0,76

0,2764

1,13

0,3708

0,02

0,0080

0,40

0,1554

0,77

0,2794

1,14

0,3729

0,03

0,0120

0,41

0,1591

0,78

0,2823

1,15

0,3749

0,04

0,0160

0,42

0,1628

0,79

0,2852

1,16

0,3770

0,05

0,0199

0,43

0,1664

0,80

0,2881

1,17

0,3790

0,06

0,0239

0,44

0,1700

0,81

0,2910

1,18

0,3810

0,07

0,0279

0,45

0,1736

0,82

0,2939

1,20

0,3849

0,08

0,0319

0,46

0,1772

0,83

0,2967

1,21

0,3869

0,09

0,0359

0,47

0,1808

0,84

0,2995

1,22

0,3883

0,10

0,0398

0,48

0,1844

0,85

0,3023

1,23

0,3907

0,12

0,0478

0,49

0,1879

0,86

0,3051

1,24

0,3925

0,13

0,0517

0,50

0,1915

0,87

0,3078

1,25

0,3944

0,14

0,0557

0,51

0,1950

0,88

0,3106

1,26

0,3962

0,15

0,0596

0,52

0,1985

0,89

0,3133

1,27

0,3980

0,16

0,0636

0,53

0,2019

0,90

0,3159

1,28

0,3997

0,17

0,0675

0,54

0,2054

0,91

0,3186

1,29

0,4015

0,18

0,0714

0,55

0,2088

0,92

0,3212

1,30

0,4032

0,19

0,0753

0,56

0,2123

0,93

0,3238

1,31

0,4049

0,20

0,0793

0,57

0,2157

0,94

0,3264

1,32

0,4066

0,21

0,0832

0,58

0,2190

0,95

0,3289

1,33

0,4082

0,22

0,0871

0,59

0,2224

0,96

0,3315

1,34

0,4099

0,23

0,0910

0,60

0,2267

0,97

0,3340

1,35

0,4115

0,24

0,0948

0,61

0,2291

0,98

0,3365

1,36

0,4131

0,25

0,0987

0,62

0,2324

0,99

0,3389

1,37

0,4147

0,26

0,1026

0,63

0,2357

1,00

0,3413

1,38

0,4162

0,27

0,1064

0,64

0,2389

1,01

0,3438

1,39

0,4177

0,28

0,1103

0,65

0,2422

1,02

0,3461

1,40

0,4192

0,29

0,1141

0,66

0,2454

1,03

0,3485

1,41

0,4207

0,30

0,1179

0,67

0,2486

1,04

0,3508

1,42

0,4222

0,31

0,1217

0,68

0,2517

1,05

0,3531

1,43

0,4230

0,32

0,1255

0,69

0,2549

1,06

0,3554

1,44

0,4251

0,33

0,1293

0,70

0,2580

1,07

0,3577

1,45

0,4265

0,34

0,1331

0,71

0,2611

1,08

0,3599

1,46

0,4279

0,35

0,1368

0,72

0,2642

1,09

0,3621

1,47

0,4292

0,36

0,1406

0,73

0,2673

1,10

0,3643

1,48

0,4306

0,37

0,1443

0,74

0,2703

1,11

0,3665

1,49

0,4319

Окончание табл. 8

Х

Ф(х)

х

Ф(х)

х

Ф(х)

х

Ф(х)

1,50

0,4332

1,90

0,4713

2,30

0,4893

2,81

0,4975

1,51

0,4345

1,91

0,4719

2,31

0,4896

2,82

0,4976

1,52

0,4357

1,92

0,4726

2,32

0,4898

2,83

0,4977

1,53

0,4370

1,93

0,4732

2,33

0,4901

2,84

0,4978

1,54

0,4382

1,94

0,4738

2,34

0,4904

2,85

0,49781

1,55

0,4394

1,95

0,4744

2,35

0,4906

2,86

0,49782

1,56

0,4406

1,96

0,4750

2,36

0,4909

2,87

0,49795

1,57

0,4418

1,97

0,4756

2,37

0,4911

2,88

0,49801

1,58

0,4429

1,98

0,4761

2,38

0,4913

2,89

0,49807

1,59

0,4441

1,99

0,4767

2,39

0,4915

2,90

0,49813

1,60

0,4452

2,00

0,4772

2,40

0,4918

2,91

0,49819

1,61

0,4463

2,01

0,4773

2,41

0,4920

2,92

0,49820

1,62

0,4474

2,02

0,4783

2,42

0,4922

2,93

0,49830

1,63

0,4484

2,03

0,4788

2,43

0,4924

2,94

0,49840

1,64

0,4495

2,04

0,4793

2,44

0,4927

2,95

0,49841

1,65

0,4505

2,05

0,4798

2,45

0,4929

2,96

0,49846

1,66

0,4515

2,06

0,4803

2,46

0,4931

2,97

0,49851

1,67

0,4525

2,07

0,4808

2,47

0,4932

2,98

0,49860

1,68

0,4535

2,08

0,4812

2,48

0,4934

2,99

0,49861

1,69

0,4545

2,09

0,4817

2,49

0,4936

3,00

0,49865

1,70

0,4554

2,10

0,4821

2,50

0,4938

3,10

0,49903

1,71

0,4564

2,11

0,4826

2,51

0,4939

3,20

0,49931

1,72

0,4573

2,12

0,4830

2,52

0,4941

3,30

0,49951

1,73

0,4582

2,13

0,4834

2,53

0,4942

3,40

0,49966

1,74

0,4591

2,14

0,4838

2,54

0,4945

3,50

0,49976

1,75

0,4599

2,15

0,4843

2,55

0,4946

3,60

0,499841

1,76

0,4608

2,16

0,4846

2,60

0,4953

3,80

0,499928

1,77

0,4616

2,17

0,4850

2,67

0,4962

4,00

0,499968

1,78

0,4625

2,18

0,4854

2,68

0,4963

4,10

0,499979

1,79

0,4633

2,19

0,4858

2,69

0,4964

4,20

0,499987

1,80

0,4641

2,20

0,4861

2,70

0,4965

4,30

0,499991

1,81

0,4649

2,21

0,4864

2,71

0,4966

4,40

0,499995

1,82

0,4656

2,22

0,4868

2,72

0,4967

4,50

0,499997

1,83

0,4664

2,23

0,4872

2,73

0,4968

4,60

0,499997

1,84

0,4671

2,24

0,4875

2,74

0,4969

4,70

0,499997

1,85

0,4678

2,25

0,4878

2,75

0,4970

4,80

0,499997

1,86

0,4686

2,26

0,4881

2,76

0,4971

4,90

0,499997

1,87

0,4693

2,27

0,4884

2,77

0,4972

5,00

0,499997

1,88

0,4699

2,28

0,4887

2,78

0,4973

–

–

1,89

0,4706

2,29

0,4890

2,80

0,4974

–

–

Таблица 9

Критические точки распределения χ²

Число степеней свободы k

Уровень значимости α

0,20

0,10

0,05

0,025

1

1,642

2,706

3,841

5,024

2

3,219

4,605

5,991

7,378

3

4,642

6,251

7,815

9,348

4

5,989

7,779

9,488

11,143

5

7,289

9,236

11,070

12,832

6

8,558

10,645

12,592

14,449

7

9,803

12,017

14,067

16,013

8

11,030

13,362

15,507

17,535

9

12,242

14,684

16,919

19,023

10

13,442

15,987

18,307

20,483

11

14,631

17,275

19,676

21,920

12

15,812

18,549

21,026

23,336

13

16,985

19,812

22,362

24,736

14

18,151

21,064

23,685

26,129

15

19,311

22,307

24,996

27,488

16

20,465

23,542

26,296

28,845

17

21,615

24,769

27,587

30,191

18

22,766

25,989

28,869

31,536

19

23,900

27,204

30,144

32,852

20

25,038

28,412

31,410

34,170

21

26,171

29,615

32,671

35,479

22

27,301

30,813

33,924

36,781

23

28,429

32,007

35,172

38,076

24

29,553

33,196

36,415

39,364

25

30,675

34,382

37,652

40,646

26

31,795

35,563

38,885

41,923

27

32,912

36,741

40,113

43,194

28

34,027

37,916

41,337

44,461

29

35,139

39,087

42,557

45,722

30

36,250

40,256

43,773

46,979

31

37,350

41,422

44,985

48,232

32

38,466

42,585

46,194

49,480

33

39,572

43,745

47,400

50,725

34

40,676

44,903

48,602

51,966

35

41,778

46,059

49,802

53,203

36

42,879

47,212

50,998

54,437

Таблица 10

Критические точки распределения Фишера. Уровень значимости

α = 0,05 (k₁ – число степеней свободы большей дисперсии,

k₂ – число степеней свободы меньшей дисперсии)

k₂

k₁= 1

k₁ = 2

k₁ = 3

k₁ = 4

k₁ = 5

k₁ = 6

k₁ = 7

k₁ = 8

k₁ = 9

1

161,45

199,50

215,71

224,58

230,16

233,99

236,77

238,88

240,54

2

18,513

19,000

19,164

19,247

19,296

19,330

19,353

19,371

18,385

3

10,128

9,5521

9,2766

9,1172

9,0135

8,9406

8,8868

8,8452

8,8123

4

7,7086

6,9443

6,3914

6,3883

6,2560

6,1631

6,0942

6,0410

5,9988

5

6,6079

5,7861

5,4095

5,1922

5,0503

4,9503

4,8759

4,8183

4,7725

6

5,9874

5,1433

4,7571

4,5337

4,3874

4,2839

4,2066

4,1468

4,0990

7

5,5914

4,7374

4,3468

4,1203

3,9715

3,8660

3,7870

3,7257

3,6767

8

5,3177

4,4590

4,0662

3,8378

3,6875

3,5806

3,5005

3,4381

3,3881

9

5,1174

4,2565

3,8626

3,6331

3,4817

3,3738

3,2927

3,2296

3,1789

10

4,9646

4,1028

3,7083

3,4780

3,3258

3,2172

3,1355

3,0717

3,0204

11

4,8443

3,9823

3,5874

3,3567

3,2039

3,0946

3,0123

2,9480

2,8962

12

4,7472

3,8853

3,4903

3,2592

3,1059

2,9961

2,9134

2,8486

2,7964

13

4,6672

3,8056

3,4105

3,1791

3,0254

2,9153

2,8321

2,7669

2,7144

14

4,6001

3,7289

3,3439

3,1122

2,9582

2,8477

2,7642

2,6987

2,6458

15

4,5431

3,6823

3,2874

3,0556

2,9013

2,7905

2,7066

2,6408

2,5876

16

4,4940

3,6337

3,2389

3,0069

2,8524

2,7413

2,6572

2,5911

2,5377

17

4,4513

3,5913

3,1968

2,9647

2,8100

2,6987

2,6143

2,5480

2,4943

18

4,4139

3,5546

3,1599

2,9277

2,7729

2,6613

2,5767

2,5102

2,4563

19

4,3808

3,5219

3,1274

2,8951

2,7401

2,6283

2,5435

2,4768

2,4227

20

4,3513

3,4928

3,0984

2,8661

2,7109

2,5990

2,5140

2,4471

2,3928

21

4,3248

3,4668

3,0725

2,8401

2,6848

2,5727

2,4876

2,4205

2,3661

22

4,3009

3,4434

3,0491

2,8167

2,6613

2,5491

2,4638

2,3965

2,3419

23

4,2793

3,4221

3,0280

2,7955

2,6400

2,5277

2,4422

2,3748

2,3201

24

4,2597

3,4028

3,0088

2,7763

2,6207

2,5082

2,4226

2,3551

2,3002

25

4,2417

3,3852

2,9912

2,7587

2,6030

2,4904

2,4047

2,3371

2,2821

26

4,2252

3,3690

2,9751

2,7426

2,5868

2,4741

2,3883

2,3205

2,2655

27

4,2100

3,3541

2,9604

2,7278

2,5719

2,4591

2,3732

2,3053

2,2501

28

4,1960

3,3404

2,9467

2,7141

2,5581

2,4453

2,3593

2,2913

2,2360

29

4,1830

3,3277

2,9340

2,7014

2,5454

2,4324

2,3463

2,2782

2,2239

30

4,1709

3,3158

2,9223

2,6896

2,5336

2,4205

2,3343

2,2662

2,2107

40

4,0848

3,2317

2,8387

2,6060

2,4459

2,3359

2,2490

2,1802

2,1240

60

4,0012

3,1904

2,7581

2,5252

2,3683

2,2540

2,1665

2,0970

2,0401

120

3,9201

3,0718

2,6802

2,4472

2,2900

2,1750

2,0868

2,0164

1,9588

∞

3,8415

2,9957

2,6049

2,3719

2,2141

2,0986

2,0096

1,9384

1,8799

Продолжение табл. 10

k₂

k₁ = 10

k₁ = 12

k₁ = 15

k₁ = 20

k₁ = 30

k₁= 40

k₁ = 60

k₁= 120

k₁= ∞

1

241,88

243,91

245,95

248,01

250,09

251,14

252,20

253,25

254,32

2

19,396

19,413

19,429

19,446

19,462

19,471

19,479

19,487

19,496

3

8,7855

8,7446

8,7029

8,6602

8,6166

8,5944

8,5720

8,5484

8,5265

4

5,9644

5,9117

5,8578

5,8025

5,7459

5,7170

5,6878

5,6581

5,6281

5

4,7351

4,6777

4,6188

4,5581

4,4957

4,4638

4,4314

4,3984

4,3650

6

4,0600

3,9999

3,9381

3,8742

3,8082

3,7743

3,7398

3,7047

3,6688

7

3,6365

3,5747

3,5108

3,4445

3,3758

3,3404

3,3043

3,2674

3,2298

8

3,3472

3,2540

3,2184

3,1503

3,0794

3,0428

3,0053

2,9669

2,9276

9

3,1373

3,0729

3,0061

2,9365

2,8637

2,8259

2,7872

2,7445

2,7067

10

2,9783

2,9130

2,8450

2,7740

2,6996

2,6609

2,6211

2,5801

2,5379

11

2,8536

2,7876

2,7186

2,6464

2,5705

2,5309

2,4901

2,4480

2,4045

12

2,7534

2,6866

2,6169

2,5436

2,4663

2,4259

2,3842

2,3410

2,2962

13

2,6710

2,6037

2,5331

2,4589

2,3803

2,3392

2,2966

2,2524

2,2064

14

2,6021

2,5342

2,4630

2,3879

2,3082

2,2664

2,2230

2,1778

2,1307

15

2,5437

2,4753

2,4035

2,3275

2,2468

2,2043

2,1601

2,1141

2,0658

16

2,4935

2,4247

2,3522

2,2756

2,1938

2,1507

2,1058

2,0589

2,0096

17

2,4499

2,3807

2,3077

2,2304

2,1477

2,1040

2,0584

2,0107

1,9604

18

2,4117

2,3421

2,2686

2,1906

2,1071

2,0629

2,0166

1,9681

1,9168

19

2,3779

2,3080

2,2341

2,1555

2,0712

2,0264

1,9796

1,9302

1,8780

20

2,3479

2,2776

2,2033

2,1342

2,0391

1,9938

1,9464

1,8963

1,8432

21

2,3210

2,2504

2,1757

2,0960

2,0102

1,9645

1,9163

1,8657

1,8117

22

2,2967

2,2258

2,1508

2,0707

1,9842

1,9380

1,8895

1,8380

1,7831

23

2,2747

2,2036

2,1282

2,0476

1,9605

1,9139

1,8649

1,8128

1,7570

24

2,2547

2,1834

2,1077

2,0267

1,9390

1,8920

1,8424

1,7897

1,7331

25

2,2365

2,1649

2,0889

2,0075

1,9193

1,8718

1,8217

1,7684

1,7110

26

2,2197

2,1479

2,0716

1,9898

1,9010

1,8533

1,8027

1,7488

1,6906

27

2,2043

2,1323

2,0558

1,9736

1,8842

1,8361

1,7851

1,7307

1,6717

28

2,1900

2,1179

2,0411

1,9586

1,8687

1,8263

1,7689

1,7118

1,6541

29

2,1768

2,1045

2,0275

1,9446

1,8543

1,8055

1,7537

1,6981

1,6377

30

2,1646

2,0921

2,0148

1,9317

1,8409

1,7918

1,7396

1,6815

1,6223

40

2,0772

2,0035

1,9245

1,8389

1,7444

1,6928

1,6373

1,5766

1,5089

60

1,9926

1,9174

1,8364

1,7486

1,6491

1,5943

1,5343

1,4673

1,3893

120

1,9105

1,8337

1,7505

1,6587

1,5543

1,4952

1,4290

1,3519

1,2539

∞

1,8307

1,7522

1,6664

1,5705

1,4591

1,3940

1,3180

1,2214

1,0000

Продолжение табл. 10

Критические точки распределения Фишера. Уровень значимости

α = 0,10 (k₁ – число степеней свободы большей дисперсии,

k₂ – число степеней свободы меньшей дисперсии)

k₂

k₁= 1

k₁ = 2

k₁ = 3

k₁ = 4

k₁ = 5

k₁= 6

k₁= 7

k₁ = 8

k₁ = 9

1

39,864

49,500

53,593

55,833

57,241

58,204

58,906

59,439

59,858

2

8,5263

9,0000

9,1618

9,2434

9,2926

9,3255

9,3491

9,3668

9,3805

3

5,5383

5,4624

5,3908

5,3427

5,3092

5,2847

5,2662

5,2517

5,2400

4

4,5448

4,3246

4,1908

4,1073

4,0506

4,0098

3,9790

3,9549

3,9357

5

4,0604

3,7797

3,6195

3,5202

3,4530

3,4045

3,3679

3,3393

3,3163

6

3,7760

3,4633

3,2888

3,1808

3,1075

3,0546

3,0145

2,9830

2,9577

7

3,5894

3,2574

3,0741

2,9605

2,8833

2,8274

2,7849

2,7516

2,7247

8

3,4579

3,1131

2,9238

2,8064

2,7265

2,6683

2,6241

2,5893

2,5612

9

3,3603

3,0065

2,8129

2,6927

2,6106

2,5509

2,5053

2,4694

2,4403

10

3,2850

2,9245

2,7277

2,6053

2,5216

2,4606

2,4140

2,3772

2,3473

11

3,2252

2,8595

2,6602

2,5362

2,4512

2,3891

2,3416

2,3040

2,2735

12

3,1765

2,8068

2,6055

2,4801

2,3940

2,3310

2,2828

2,2446

2,2135

13

3,1362

2,7632

2,5603

2,4337

2,3467

2,2830

2,2341

2,1953

2,1638

14

3,1022

2,7265

2,5222

2,3947

2,3069

2,2426

2,1931

2,1539

2,1220

15

3,0732

2,6952

2,4898

2,3614

2,2730

2,2081

2,1582

2,1185

2,0862

16

3,0481

2,6682

2,4618

2,3327

2,2438

2,1783

2,1280

2,0880

2,0553

17

3,0262

2,6446

2,4374

2,3077

2,2181

2,1524

2,1017

2,0613

2,0284

18

3,0070

2,6239

2,4160

2,2858

2,1958

2,1296

2,0785

2,0379

2,0047

19

2,9899

2,6056

2,3970

2,2663

2,1760

2,1094

2,0580

2,0171

1,9836

20

2,9747

2,5893

2,3801

2,2489

2,1582

2,0913

2,0397

1,9985

1,9649

21

2,9609

2,5746

2,3649

2,2333

2,1423

2,0751

2,0232

1,9819

1,9480

22

2,9486

2,5613

2,3512

2,2193

2,1279

2,0605

2,0084

1,9668

1,9327

23

2,9374

2,5493

2,3387

2,2065

2,1149

2,0472

1,9949

1,9531

1,9189

24

2,9271

2,5383

2,3274

2,1949

2,1030

2,0351

1,9826

1,9407

1,9063

25

2,9177

2,5283

2,3170

2,1843

2,0922

2,0241

1,9714

1,9292

1,8947

26

2,9091

2,5191

2,3075

2,1745

2,0822

2,0139

1,9610

1,9188

1,8841

27

2,9012

2,5106

2,2987

2,1655

2,0730

2,0045

1,9515

1,9091

1,8743

28

2,8939

2,5028

2,2906

2,1571

2,0645

1,9959

1,9427

1,9001

1,8652

29

2,8871

2,4955

2,2831

2,1494

2,0566

1,9878

1,9345

1,8918

1,8568

30

2,8807

2,4887

2,2761

2,1423

2,0492

1,9803

1,9269

1,8841

1,8490

40

2,8354

2,4404

2,2261

2,0909

1,9968

1,9269

1,8725

1,8289

1,7929

60

2,7914

2,3933

2,1774

2,0410

1,9457

1,8747

1,8194

1,7748

1,7380

120

2,7478

2,3473

2,1300

1,9923

1,8959

1,8238

1,7675

1,7220

1,6843

∞

2,7055

2,3026

2,0838

1,9449

1,8473

1,7741

1,7167

1,6702

1,6315

Окончание табл. 10

k₂

k₁= 10

k₁= 12

k₁= 15

k₁= 20

k₁= 30

k₁= 40

k₁= 60

k₁= 120

k₁= ∞

1

60,195

60,705

61,220

61,740

62,265

63,529

62,794

63,061

63,328

2

9,3916

9,4081

9,4247

9,4413

9,4579

9,4663

9,4746

9,4829

9,4913

3

5,2304

5,2156

5,2003

5,1845

5,1681

5,1597

5,1512

5,1425

5,1337

4

3,9199

3,8955

3,8703

3,8413

3,8174

3,8036

3,7896

3,7753

3,7007

5

3,2974

3,2682

3,2380

3,2067

3,1741

3,1573

3,1402

3,1228

3,1050

6

2,9369

2,9047

2,8712

2,8363

2,8000

2,7812

2,7620

2,7423

2,7222

7

2,7025

2,6681

2,6322

2,5947

2,5555

2,5351

2,5142

2,4928

2,4708

8

2,5380

2,5020

2,4642

2,4246

2,3830

2,3614

2,3391

2,3162

2,2926

9

2,4163

2,3789

2,3396

2,2983

2,2547

2,2320

2,2085

2,1843

2,1592

10

2,3226

2,2841

2,2435

2,2007

2,1554

2,1317

2,1072

2,0819

2,0554

11

2,2482

2,2087

2,1671

2,1230

2,0762

2,0516

2,0261

1,9997

1,9721

12

2,1878

2,1474

2,1049

2,0597

2,0115

1,9861

1,9597

1,9323

1,9036

13

2,1376

2,0966

2,0532

2,0070

1,9576

1,9315

1,9043

1,8759

1,8462

14

2,0954

2,0537

2,0095

1,9525

1,9119

1,8852

1,8572

1,8280

1,7973

15

2,0593

2,0171

1,9722

1,9243

1,8728

1,8454

1,8168

1,7867

1,7551

16

2,0281

1,9854

1,9399

1,8913

1,8388

1,8108

1,7816

1,7507

1,7182

17

2,0009

1,9577

1,9117

1,8624

1,8090

1,7805

1,7506

1,7141

1,6856

18

1,9770

1,9333

1,8888

1,8368

1,7827

1,7537

1,7232

1,6910

1,6567

19

1,9557

1,9117

1,8647

1,8142

1,7592

1,7298

1,6988

1,6659

1,6308

20

1,9367

1,8924

1,8449

1,7938

1,7382

1,7083

1,6768

1,6433

1,6074

21

1,9197

1,8750

1,8272

1,7756

1,7193

1,6890

1,6569

1,6228

1,5862

22

1,9043

1,8593

1,8111

1,7590

1,7021

1,6714

1,6389

1,6042

1,5668

23

1,8903

1,8450

1,7964

1,7439

1,6864

1,6554

1,6224

1,5871

1,5490

24

1,8775

1,8319

1,7831

1,7302

1,6721

1,6407

1,6073

1,5715

1,5327

25

1,8658

1,8300

1,7708

1,7175

1,6589

1,6272

1,5934

1,5570

1,5176

26

1,8550

1,8090

1,7598

1,7059

1,6468

1,6147

1,5805

1,5437

1,5036

27

1,8432

1,7989

1,7492

1,6951

1,6356

1,6032

1,5686

1,5313

1,4906

28

1,8359

1,7895

1,7395

1,6832

1,6252

1,5925

1,5575

1,5198

1,4784

29

1,8274

1,7808

1,7306

1,0759

1,6155

1,5825

1,5472

1,5090

1,4670

30

1,8195

1,7727

1,7223

1,6673

1,6065

1,5732

1,5376

1,4989

1,4564

40

1,7627

1,7146

1,6624

1,6052

1,5411

1,5056

1,4672

1,4248

1,3769

60

1,7070

1,6574

1,6034

1,5435

1,4755

1,4373

1,3952

1,3476

1,2915

120

1,6524

1,6012

1,5450

1,4821

1,4094

1,3676

1,3203

1,2646

1,1926

∞

1,5987

1,5458

1,4871

1,4206

1,3419

1,2951

1,2400

1,1686

1,0000

Критерий Кокрена. Верхние пятипроцентные (α = 0,05)    Таблица 11

критические значения для статистики

построенной по k независимым оценкам дисперсий,

каждая из которых обладает f степенями свободы

k

f = 1

f = 2

f = 3

f = 4

f = 5

f = 6

f = 7

2

0,9985

0,9750

0,9792

0,9057

0,8772

0,8534

0, 8332

3

0,9669

0,8709

0,7977

0,7457

0,7071

0,6771

0, 6530

4

0,9065

0,7679

0,6841

0,6287

0,5895

0,5598

0, 5365

5

0,8412

0,6838

0,5981

0,5440

0,5063

0,4783

0, 4564

6

0,7808

0,6161

0,5321

0,4809

0,4447

0,4184

0, 3980

7

0,7271

0,5612

0,4800

0,4307

0,3974

0,3726

0, 3535

8

0,6798

0,5157

0,4377

0,3910

0,3595

0,3362

0, 3185

9

0,6385

0,4775

0,4027

0,3584

0,3286

0,3067

0, 2910

10

0,6020

0,4450

0,3733

0,3311

0,3029

0,2823

0, 2666

12

0,5410

0,3924

0,3264

0,2880

0,2624

0,2439

0, 2299

15

0,4709

0,3346

0,2758

0,2419

0,2195

0,2034

0, 1911

20

0,3894

0,2705

0,2205

0,1921

0,1735

0,1602

0, 1501

24

0,3434

0,2354

0,1907

0,1656

0,1493

0,1374

0, 1286

30

0,2929

0,1980

0,1593

0,1377

0,1237

0,1137

0, 1051

40

0,2370

0,1576

0,1259

0,1082

0,0968

0,0887

0, 0827

60

0,1737

0,1131

0,0895

0,0765

0,0682

0,0623

0, 0583

120

0,0998

0,0632

0,0495

0,0419

0,0371

0,0337

0, 0312

∞

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

k

f = 8

f = 9

f = 10

f = 16

f = 36

f = 144

f = ∞

2

0,8159

0,8010

0,7880

0,7341

0,6602

0,5813

0,5000

3

0,6333

0,6167

0,6025

0,5466

0,4748

0,4031

0,3333

4

0,5175

0,5017

0,4884

0,4366

0,3720

0,3093

0,2500

5

0,4387

0,4241

0,4118

0,3645

0,3066

0,2513

0,2000

6

0,3817

0,3682

0,3568

0,3135

0,2612

0,2119

0,1667

7

0,3384

0,3259

0,3154

0,2756

0,2278

0,1833

0,1429

8

0,3043

0,2926

0,2829

0,2462

0,2022

0,1616

0,1250

9

0,2768

0,2659

0,2568

0,2226

0,1820

0,1446

0,1111

10

0,2541

0,2439

0,2353

0,2032

0,1635

0,1308

0,1000

12

0,2187

0,2098

0,2020

0,1737

0,1403

0,1100

0,0833

15

0,1815

0,1736

0,1671

0,1429

0,1144

0,0889

0,0667

20

0,1422

0,1357

0,1303

0,1108

0,0879

0,0675

0,0500

24

0,1216

0,1160

0,1113

0,0942

0,0743

0,0567

0,0417

30

0,1002

0,0958

0,0921

0,0771

0,0604

0,0457

0,0333

40

0,0780

0,0745

0,0713

0,0595

0,0462

0,0347

0,0250

60

0,0552

0,0520

0,0497

0,0411

0,0316

0,0234

0,0167

120

0,0292

0,0279

0,0266

0,0218

0,0165

0,0120

0,8300

∞

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

Таблица 12

Критерий Бартлетта. Процентные точки М-статистики, α = 0,05

k

C₁=0,0

C₁=0,5

C₁=1,0

C₁=1,5

C₁=2,0

C₁=2,5

C₁=3,0

C₁=3,5

C₁=4,0

3(a)

5,99

6,47

6,89

7,80

7,38

7,39

7,22

–

–

  (b)

5,99

6,22

6,43

6,64

6,84

7,03

7,22

–

–

4(a)

7,81

8,24

8,63

8,96

9,21

9,38

9,43

9,37

9,18

  (b)

7,81

8,00

8,17

8,35

8,52

8,69

8,85

9,02

9,18

5(a)

9,49

9,88

10,24

10,57

10,86

11,08

11,24

11,32

11,31

  (b)

9,49

9,65

9,80

9,96

10,11

10,27

10,42

10,57

10,72

6(a)

11,07

11,43

11,78

12,11

12,40

12,65

12,86

13,01

13,11

  (b)

11,07

11,22

11,36

11,51

11,65

11,79

11,94

12,08

12,22

7(a)

12,59

12,94

13,27

13,59

13,88

14,15

14,38

14,58

14,73

  (b)

12,59

12,73

12,87

13,00

13,14

13,27

13,41

13,55

13,68

8(a)

14,07

14,40

14,72

15,03

15,32

15,60

15,84

16,06

16,25

  (b)

14,07

14,20

14,33

14,46

14,59

14,72

14,85

14,98

15,11

9(a)

15,51

15,83

16,14

16,44

16,73

17,01

17,26

17,49

17,70

  (b)

15,51

15,63

15,76

15,89

16,02

16,14

16,27

16,40

16,52

10(a)

16,92

17,23

17,54

17,83

18,12

18,39

18,65

18,89

19,11

   (b)

16,92

17,04

17,17

17,29

17,41

17,54

17,66

17,79

17,91

11(a)

18,31

18,61

18,91

19,20

19,48

19,76

20,02

20,26

20,49

   (b)

18,31

18,43

18,55

18,67

18,79

18,91

19,04

19,16

19,28

12(a)

19,68

19,97

20,26

20,55

20,83

21,10

21,36

21,61

21,84

   (b)

19,68

19,79

19,91

20,03

20,15

20,27

20,39

20,51

20,63

13(a)

21,03

21,32

21,60

21,89

22,16

22,43

22,69

22,94

23,18

   (b)

21,03

21,14

21,26

21,38

21,50

21,62

21,74

21,85

21,97

14(a)

22,36

22,65

22,93

23,21

23,48

23,75

24,01

24,26

24,50

   (b)

22,36

22,48

22,60

22,71

22,83

22,95

23,06

23,18

23,30

15(a)

23,68

23,97

24,24

24,52

24,79

25,05

25,31

25,56

25,80

   (b)

23,68

23,80

23,92

24,03

24,15

24,26

24,38

24,50

24,61

Окончание табл. 12

k

C₁=4,5

C₁=5,0

C₁=6,0

C₁=7,0

C₁=8,0

C₁=9,0

C₁=10,0

C₁=12,0

C₁=14,0

3(a)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

(b)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

4(a)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

(b)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

5(a)

11,21

11,02

–

–

–

–

–

–

–

(b)

10,87

11,02

–

–

–

–

–

–

–

6(a)

13,14

13,10

12,78

–

–

–

–

–

–

(b)

12,36

12,50

12,78

–

–

–

–

–

–

7(a)

14,83

14,88

14,81

14,49

–

–

–

–

–

(b)

13,82

13,95

14,32

14,49

–

–

–

–

–

8(a)

16,40

16,51

16,60

16,49

16,16

–

–

–

–

(b)

15,25

15,38

15,64

15,90

16,16

–

–

–

–

9(a)

17,88

18,03

18,22

18,26

18,12

17,79

–

–

–

(b)

16,65

16,78

17,03

17,29

17,54

17,79

–

–

–

10(a)

19,31

19,48

19,75

19,89

19,89

19,73

19,40

–

–

    (b)

18,04

18,16

18,41

18,66

18,91

19,16

19,40

–

–

11(a)

20,70

20,89

21,21

21,42

21,52

21,49

21,32

–

–

    (b)

19,40

19,52

19,77

20,01

20,26

20,50

20,75

–

–

12(a)

22,06

22,27

22,62

22,88

23,06

23,12

23,07

22,56

–

    (b)

20,75

20,87

21,12

21,36

21,60

21,64

22,08

22,56

–

13(a)

23,40

23,62

23,99

24,30

24,53

24,66

24,70

24,44

–

    (b)

22,09

22,21

23,45

22,69

22,92

23,16

23,40

23,88

–

14(a)

24,73

24,95

25,34

25,68

23,93

26,14

26,25

26,17

25,66

    (b)

23,42

23,53

23,77

24,00

24,24

24,48

24,74

25,19

25,65

15(a)

26,04

26,26

26,67

27,03

27,33

27,56

27,73

27,80

27,50

   (b)

24,73

24,85

25,08

25,31

25,55

23,78

26,01

26,48

26,95

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .................................................................................     4

1. Проверка статистических гипотез .....................................     6

1.1. Предпосылки использования в маркетинговых исследо-

ваниях статистических методов .................................     6

1.2. Оценка существенности факторов, влияющих на объем

производства товара, с помощью непараметрического

критерия знаков ..........................................................     8

1.3. Оценка значимости систематически действующих

факторов на результат деятельности фирм с исполь-

зованием критерия для количества серий .................. 10

1.4. Анализ компьютерного рынка с позиций однородности

объемов продаж лидирующими компаниями ............. 12

1.5. Вычисление количественной оценки статистической

связи между качественными показателями деятель-

ности фирм .................................................................. 14

1.6. Оценивание резко выделяющихся показателей дина-

мики реального денежного дохода населения ........... 17

1.7. Проверка однородности выручки, получаемой от рос-

сийского экспорта основных видов продукции ......... 19

1.8. Оценка    однородности      условий     маркетинговой

деятельности ............................................................... 23

2. Анализ факторов, обуславливающих успех   управления

маркетингом ...................................................................... 30

2.1. Оценка значимости местонахождения пункта продаж

на средние цены автомобилей .................................... 30

2.2. Влияние квалификации специалистов на продолжи-

тельность технического обслуживания машин ........... 35

2.3. Оценка существенности влияния двух факторов и их

взаимодействия на показатели маркетинга ............... 38

3. Непараметрические методы исследования в маркетинге . 48

3.1. Экспертные методы оценивания качества товаров

и услуг .......................................................................... 48

3.2. Оценивание существенности влияния рейтинга марки

товара на прибыль фирм ............................................ 55

4. Управление запасами ......................................................... 62

4.1. Термины, постановка задачи ...................................... 62

4.2. Расчет оптимального размера партии при равномер-

ном спросе ................................................................... 64

4.3. Расчет оптимального размера партии в случае модели

производственных поставок ....................................... 65

5. Модели массового обслуживания ...................................... 67

5.1. Термины, определения ................................................ 67

5.2. Вычисление показателей простейшей очереди .......... 69

Заключение ............................................................................ 72

Библиографический список ................................................... 73

Приложение ............................................................................ 75

Учебное издание

Алифанов Аскольд Леонидович

Алифанов Леонид Аскольдович

маркетинг:

решение исследовательских задач

Учебное пособие



Редактор Л. И. Вейсова

Гигиенический сертификат № 24.49.04.953.П.000338.05.01 от 25.05.2001 г.

Подп. в печать 05.04.2005. Формат 60х84/16. Бумага тип. № 1. Офсетная печать.

Усл. печ. л. 5,5. Уч.-изд. л. 4,75. Тираж 200 экз.            Заказ                   С 59

Отпечатано в ИПЦ КГТУ

660074, Красноярск, ул. Киренского, 28

Маркетинг решение исследовательских задач

ВВЕДЕНИЕ

Таблица 8

Баллы, полученные студентами группы ИЭ-00

по математике в 1-м и 4-м семестрах

Σу

= 73

Σу2

Σ1у

В рассматриваемом примере при m = 9, f = 8, α = 0,05, поэтому

Таблица 20

Оценки видов транспорта по критериям крупных отправителей

3.2. Оценивание существенности влияния

рейтинга марки товара на прибыль фирм

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

14. Каплина, О. В. Оценка конкурентоспособности массового товара (на примере пива) / О. В. Каплина // Маркетинг в России и за рубежом. 2001. № 4. С. 28–48.

16. Ларионов, В. Г. Проблема фальсификации товарной продукции в России и за рубежом / В. Г. Ларионов, М. Н. Скрыпников // Маркетинг в России и за рубежом. 2001. № 1. С 114–119.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

Критерий знаков. Доверительные пределы для медианы

Таблица 2

Уровни значимости

P = 0,05

k2

k1 = 10

k1 = 12

k1 = 15

k1 = 20

k1 = 30

k1 = 40

k1 = 60

k1= 120

k1 = ∞

1

60,195

60,705

61,220

61,740

62,265

63,529

62,794

63,061

63,328

2

9,3916

9,4081

9,4247

9,4413

9,4579

9,4663

9,4746

9,4829

9,4913

3

5,2304

5,2156

5,2003

5,1845

5,1681

5,1597

5,1512

5,1425

5,1337

4

3,9199

3,8955

3,8703

3,8413

3,8174

3,8036

3,7896

3,7753

3,7007

5

3,2974

3,2682

3,2380

3,2067

3,1741

Σу²

Σ₁у

k₂

k₁= 10

k₁= 12

k₁= 15

k₁= 20

k₁= 30

k₁= 40

k₁= 60

k₁= 120

k₁= ∞