Математическая статистика
1-я контрольная работа
Задача № 1.33
Вычислить центральный момент третьего порядка (m3) по данным таблицы:
|
Производительность труда, м/час |
80.5 – 81.5 |
81.5 – 82.5 |
82.5 – 83.5 |
83.5 – 84.5 |
84.5 – 85.5 |
|
Число рабочих |
7 |
13 |
15 |
11 |
4 |
|
Производительность труда, м/час |
XI |
Число рабочих, mi |
mixi |
(xi-xср)3 |
(xi-xср)3mi |
|
80.5 – 81.5 |
81 |
7 |
567 |
-6,2295 |
-43,6065 |
|
81.5 – 82.5 |
82 |
13 |
1066 |
-0,5927 |
-7,70515 |
|
82.5 – 83.5 |
83 |
15 |
1245 |
0,004096 |
0,06144 |
|
83.5 – 84.5 |
84 |
11 |
924 |
1,560896 |
17,16986 |
|
84.5 – 85.5 |
85 |
4 |
340 |
10,0777 |
40,31078 |
|
Итого: |
50 |
4142 |
6,2304 |
Ответ: m3=0,1246
Задача № 2.45
Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200 пачек чая равен S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до
Р(25<x<27)=PФ(1)-1=0,3634
m=n*p=200*0,3634 » 73
Ответ: n=73
Задача № 3.17
На контрольных испытаниях n=17 было определено =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с
Ответ: [2988<
Задача № 3.69
По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены оценки S=26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью
Ответ: 358
Задача № 3.71
По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала
Ответ: P=0,516
Задача № 3.120
По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.
Ответ: 50,2
Задача № 3.144
На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n=37 рабочих было вычислено S=12 м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.
Ответ: P(11<s<13)=0,8836
Задача № 4.6
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.
|
Mi |
85 |
120 |
25 |
10 |
|
Mti |
117 |
85 |
37 |
9 |
|
mi |
miT |
(mi-miT)2 |
(mi-miT)2/ miT |
|
85 |
117 |
1024 |
8,752137 |
|
120 |
85 |
1225 |
14,41176 |
|
25 |
37 |
144 |
3,891892 |
|
10 |
9 |
1 |
0,111111 |
|
27,1669 |
c2факт.=S(mi- miT)/ miT=27,17
c2табл.= (n=2, a=0,02)=7,824
c2факт>c2табл
Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.
2-я контрольная работа
Задача 4.29
По результатам n =4 измерений в печи найдено ° C. Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с s = 6° C. На уровне значимости a = 0.05 проверить гипотезу H0: m = 250° C против гипотезы H1: m = 260° C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
m1 > m0 Þ выберем правостороннюю критическую область.
Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| - |tнабл |=0,98).
Задача 4.55
На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости a=0,01 мощность критерия при гипотезе H0 :и H1 :
Ответ: 23
Задача 4.70
На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости a = 0.1 проверить гипотезу H0: мм2 при конкурирующей гипотезе
построим левостороннюю критическую область.
Вывод:
Задача 4.84
По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости a = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0: при конкурирующей гипотезе H1:
построим левостороннюю критическую область.
Ответ: 23;
Задача 4.87
Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены 2 и 2. На уровне значимости a = 0.025 проверить гипотезу H0: m1 = m2 против H1: m1 < m2.
Т.к. H1: m1 < m2, будем использовать левостороннюю критическую область.
Вывод: гипотеза отвергается при данном уровне значимости.
Задача 4.96
Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены S1 = 6 мм, S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и a = 0.01 проверить гипотезу H0: m1 = m2 против H1: m1 ¹ m2.
Вывод: при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.
Задача 4.118
Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач. Проверить на уровне значимости a = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
Вывод:
Задача 1.39:
Вычислить центральный момент третьего порядка (m3*) по данным таблицы:
|
Урожайность (ц/га), Х |
34,5-35,5 |
34,5-36,5 |
36,5-37,5 |
37,5-38,5 |
38,5-39,5 |
|
Число колхозов, mi |
4 |
11 |
20 |
11 |
4 |
Решение:
|
Урожайность (ц/га), Х |
Число колхозов, mi |
Xi |
mixi |
(xi-xср)3 |
(xi-xср)3mi |
|
34,5-35,5 |
4 |
35 |
140 |
-8 |
-32 |
|
34,5-36,5 |
11 |
36 |
396 |
-1 |
-11 |
|
36,5-37,5 |
20 |
37 |
740 |
0 |
0 |
|
37,5-38,5 |
11 |
38 |
418 |
1 |
11 |
|
38,5-39,5 |
4 |
39 |
156 |
8 |
32 |
|
Итого: |
=SUM(ABOVE) 50 |
- |
=SUM(ABOVE) 1850 |
- |
0 |
Ответ: m3*=0
Задача 2.34:
В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:
|
Число дефектных изделий |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Число партий |
79 |
55 |
22 |
11 |
3 |
Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
Решение:
|
m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
p |
0.4647 |
0.3235 |
0.1294 |
0.0647 |
0.0176 |
Зпадача 3.28:
В предложении о нормальной генеральной совокупности с s=5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью g=0.96 точность оценки генеральной средней m времени обработки зубчатого колеса будет равна d=2 сек.
Ответ: n=27
Задача 3.48:
На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью g=0.98 точность оценки генеральной средней.
Решение:
St(t,n=n-1)=g=St(t,6)=0.98
Ответ: d=0.4278
Задача 3.82:
На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9 °С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью g=0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.
Решение:
Ответ: 41.4587
Задача 3.103:
Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.
Решение:
t=2.33
Ответ: 0.3
Задача 3.142:
По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью g=0.98 верхнюю границу для оценки s генеральной совокупности.
Решение:
t=2.33
Ответ: 8.457
Задача 4.18:
Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0.05 по следующим данным:
|
mi |
6 |
13 |
22 |
28 |
15 |
3 |
|
miT |
8 |
17 |
29 |
20 |
10 |
3 |
Решение:
|
mi |
miT |
(mi-miT)2 |
(mi-miT)2/ miT |
|
6 |
8 |
4 |
0.5 |
|
13 |
17 |
16 |
0.941 |
|
22 |
29 |
49 |
1.6897 |
|
28 |
20 |
64 |
3.2 |
|
15 |
10 |
25 |
1.9231 |
|
3 |
3 |
||
|
Итого: |
- |
- |
8.2537 |
Ответ: -2.2627
1.36.
Вычислить дисперсию.
|
Производительность труда |
Число рабочих |
Средняя производительность труда |
|
81,5-82,5 |
9 |
82 |
|
82,5-83,5 |
15 |
83 |
|
83,5-84,5 |
16 |
84 |
|
84,5-85,5 |
11 |
85 |
|
85,5-86,5 |
4 |
86 |
|
Итого |
55 |
2.19.
Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.
|
m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Итого |
|
fi |
164 |
76 |
40 |
27 |
10 |
3 |
320 |
|
Pm |
0,34 |
0,116 |
0,026 |
0,004 |
0,001 |
||
|
Pm*fi |
288,75 |
25,84 |
4,64 |
0,702 |
0,04 |
0,003 |
320 |
|
fi теор. |
288 |
26 |
5 |
1 |
0 |
0 |
320 |
m – число дефектных изделий в партии,
fi – число партий,
fi теор. = теоретическое число партий
Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.
Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.
3.20.
По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..
3.40.
3.74.
По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.
3.123.
По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).
3.126
По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.
4.10
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ2).
|
mi |
miT |
(mi-miT)2 |
(mi-miT)2/miT |
|
80 |
100 |
400 |
4 |
|
125 |
52 |
5329 |
102,5 |
|
39 |
38 |
1 |
0,03 |
|
12 |
100 |
4 |
0,4 |
|
∑=256 |
200 |
5734 |
122,63 |
Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.