Математическое моделирование

 Математические модели, классификация моделей, свойства моделей. Подобие математических моделей.

Модель – явление, техническое устройство, знаковое образование или иной условный образ, который находится в определенном соответствии (сходстве) с изучаемым объектом-оригиналом и способен замещать оригинал в процессе исследования, давая о нем необходимую информацию.

Свойства модели:

1.      

2.      

3.      

4.     

Такие свойства модели должны иметь для того, чтобы с их помощью можно было сконструировать, испытать любое инженерное решение, оценить его эффективность и затем перенести на реальную систему.

Математическая модель:

1.     

2.     

Классификация моделей

По назначению:

1.     

2.     

3.     

-    

-    

-    

-    

-    

По закону изменения выходных переменных модели:

1.     

2.     

3.     

4.      [1].

5.     

По способу описания объекта (см. также вопрос 9)

1.      Модель «внутреннего механизма» («в большом») – математическая  модель, отображающая все стадии превращения энергии или вещества внутри объекта. Модель «в большом», как правило, строится на основе известных фундаментальных законов естественных наук, она подробно отображает все, что происходит внутри объекта. Как правило, эти модели сложны, нелинейны; описывают поведение исследуемого объекта во всем возможном диапазоне изменений входных и выходных воздействий. Они содержат много неизвестных коэффициентов, которые необходимо уточнять для конкретных условий функционирования объекта. Они зачастую содержат некорректные математические операторы и поэтому чувствительны к ошибкам использования данных об изменении входных и выходных воздействий.

2.      Функциональная модель (кибернетическая) – математическая модель, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между входными и выходным воздействиями  объекта (системы) без отображения происходящих внутри процессов. Функциональные модели, как правило, более просты по структуре и строятся экспериментальными методами.

3.     

ПМ

+

+

+

 -

Vн

Vм

Yн*

Yм

dY

dV

а)                                                      б)

Рис.1

ФМ

Vм

Yм
Разновидностью функциональной модели является пересчетная модель (модель в приращениях), имеющая следующую структуру (рис.1). Отличительная особенность этой модели в том, что она имеет три входа и один выход функционирует в приращениях к натурным (измеренным в действующей системе контроля) входным и выходным воздействиям. Эти натурные воздействия должны поступать из действующей системы либо оперативно в темпе с процессом, либо ретроспективно, с предварительной записью и последующим воспроизведением. С помощью такой модели можно ответить на вопрос: что будет на выходе рассматриваемого объекта, если вместо натурных входных воздействий будет иметь место модельное. Соответственно:

4.     

Подобие. Подобие моделей см. вопрос10: Физические модели. Согласно теории подобия оригинал и математическая модель являются подобными, если описываются одникими математическими выражениями. Например, маятник, уровень жидкости в баке, R-C цепочка описываются одними дифференциальными уравнениями и при моделировании эти процессы взаимозаменяемы.

Объектная ориентация математических моделей, адекватность, воспроизводимость, устойчивость моделей. Требования к математической модели

Требования к модели:

5.   

6.   

7.   

8.   

Такие свойства модели должны иметь для того, чтобы с их помощью можно было сконструировать, испытать любое инженерное решение, оценить его эффективность и затем перенести на реальную систему.

Назначение моделей:

1.   

2.   

3.   

-    

-    

-    

-    

-    

Отметим, что модели внутреннего механизма, функциональные и комбинированные имеют свои различные области эффективного применения.

1. Модели внутреннего механизма имеют то достоинство, что позволяют отобразить поведение реального объекта (системы) во всем большом диапазоне изменений его входных, выходных воздействий и состояний. Они подробно описывают все стадии преобразования вещества, энергии и поэтому структурно сложны, содержат много неизвестных параметров, значения которых необходимо уточнять для каждого конкретного объекта и процесса. Статические модели внутреннего механизма, как правило, конкретизируются, уточняются путем составления материальных и тепловых балансов для промышленных объектов, для чего на объектах проводят специальные регистрационные эксперименты. Динамические модели внутреннего механизма основываются на известных законах физики, химии и их разделах и структурно представляют собой совокупность интегральных и дифференциальных уравнений, в том числе и в частных производных. В теории управления модели внутреннего механизма применялись в основном для решения задач стабилизации: нахождение наилучших с заданной точки зрения режимов ведения технологических процессов, траектории движения тел и так далее.

Для решения задач регулирования используются функционально более простые модели, но в последнее время с зарождением и развитием синергетической теории управления, моделям внутреннего механизма, по-видимому, будет уделяться больший интерес, и они будут применяться и в задачах регулирования.

Эти модели, в общем, нелинейны, содержат некорректные математические процедуры[2] и потому очень чувствительны к ошибкам в исходных данных. Такого рода модели всегда перед практическим применением необходимо проверять на их чувствительность к координатным и параметрическим возмущениям (ошибкам).

2. Функциональными моделями будем называть такие математические модели, которые, в отличие от модели внутреннего механизма отображают лишь внешнее поведение (внешние стороны) объекта управления, полностью пренебрегая процессами происходящие внутри объекта (эти модели называют: кибернетические, поведенческие). Их особенности:

4.   

5.   

6.   

Их основной недостаток: применение лишь для тех условий функционирования реального объекта, при которых были поставлены эксперименты и получены данные. Экстраполяция за пределы этих условий не допускается! Таким образом, функциональные модели являются приспособленными к зашумленным данным, а значит, для них могут быть использованы непосредственно результаты на выходе действующих систем контроля. Но их основной недостаток заключается в том, что они являются работоспособными в узком, небольшом диапазоне изменения входных и выходных воздействий, а именно в том диапазоне, который характеризуется полученными экспериментальными данными.

В практике моделирования промышленных объектов часто целесообразно использовать комбинированные модели, то есть комбинацию модели внутреннего механизма и функциональной модели.

Математическое моделирование, основанное на применении математических моделей является эффективным для чисто технических объектов и процессов, причем не сложной, небольшой структуры. особенно это касается таких систем, как системы автоматического регулирования входных и выходных воздействий сравнительно простых технических систем, для воспроизведения режима функционирования которых оказываются адекватными сравнительно простые статические и динамические модели невысокого порядка. Но для большинства таких систем сложность может возникнуть при воспроизведении внешних воздействий и возмущений, так как они являются нестационарными и предсказать характер не стационарности достаточно трудная и часто нереализуемая задача.

Примерами таких систем являются системы автоматического регулирования некоторых входных и выходных воздействий технических агрегатов и технологических процессов, в частности, системы стабилизации температур работающего пространства печи и так далее.

Если речь идет о моделировании сложных процессов – доменный, сталеплавильный, а тем более таких систем управления, в составе которых работают люди, то воспроизведение функционирования таких систем, как показывает опыт последних лет невозможно с заданной точностью с помощью только математических моделей, так такие системы являются нелинейными и работают в нестационарных условиях.

Многие сложные социально-технические комплексы характеризуются большой степенью информационной неопределенности, обусловленной:

7.   

8.   

9.   

10. 

11. 

12. 

 Именно наличие такой неопределенности приводит к тому, что чисто математические модели являются неадекватными для большинства действующих систем управления, поэтому для моделирования в последние годы все чаще используют комбинированные модели, сочетающие в своем составе как математические, так и натурные блоки. Достоинства математического моделирования заключаются в универсальности и доступности технических средств моделирования, возможности выбора многих вариантов и оптимизации параметров наглядности  и быстроте получения результатов. Недостаток математического моделирования – практическая невозможность получения адекватного математического ожидания исследуемой системы.

Адекватность

Модель адекватна оригиналу, если при ее интерпретации возникает портрет, в высокой степени сходный с оригиналом. При этом, как правило, сходство оригинала и его портрета, полученного с помощью модели, нуждается в количественной оценке.

Проверяется гипотеза соответствия выбранной структуры модели объекту и возможно ли описание поведения натурного объекта с заданной  точностью. Если в результате оценки адекватности эта гипотеза не подтверждается, то необходимо выбрать иную структуру модели. В основе этой процедуры лежит использование критериев (для регрессионной модели):

13.  F-критерий Фишера.

14.  t-критерий Стьюдента.

15. 

Остановимся на рассмотрении F-критерий Фишера, который представляет собой соотношение двух дисперсий: Fт, то принимается гипотеза о незначимом различии дисперсий (модель адекватна). Дисперсия σ1 характеризует ошибку, разброс расчетных значений выходного воздействия относительно их действительного значений при зафиксированных условиях (включает ошибку ε и ошибка аппроксимации экспериментальных данных с помощью выбранной структуры регрессионной модели). Дисперсия σ2 – дисперсия опыта, которая характеризует разброс данных, вызванный эффектом влияния неучтенных факторов, для ее оценки необходимо провести дублирующие опыты (многократно провести опыты при одних значениях входного воздействия).

Устойчивость

Для определения устойчивости систем используются их математические модели, значит устойчивость математических моделей – то же, что и устойчивость систем.

Система устойчива, если ее реакция на ограниченное воздействие также ограничена и неустойчива, если реакция на ограниченное воздействие неограничена.

Многие фундаментальные результаты теории устойчивости были получены русским математиком А.М. Ляпуновым. Пусть некоторая система описывается системой дифференциальных уравнений:  задачи называется устойчивым по Ляпунову, если для любого  существует  такое, что все решения  задачи бесконечно продолжимы вправо, как только  и для этих решений справедливо неравенство ε-трубка решения  задачи, которые в начальный момент  отстояли от  не более, чем на

Типы устойчивости:

16. 

17.  Н – любое положительное число.

Вопрос об устойчивости рассматривается в одном из трех вариантах:

18. 

19. 

20. 

z0

t0

x(t)

z(t)

ε

Устойчивость по Ляпунову

x2

x1

x(t)

x2

x1

x(t)

Фазовый портрет асимптотически устойчивой траектории

Фазовая траектория, устойчивая по Ляпунову
Необходимое и достаточное условие устойчивости сводится к требованию, чтобы все вещественные корни уравнения системы были отрицательны, а комплексные корни имели отрицательные вещественные части, то есть требуется, чтобы в комплексной плоскости все корни лежали левее мнимой оси. Однако для суждения об устойчивости системы не обязательно вычислять корни характеристического уравнения. Достаточно определить их расположение на комплексной плоскости. Правила. Позволяющие это сделать – критерии устойчивости:

21. 

-    

Для того, чтобы многочлен  с  и  был устойчивым необходимо и достаточно, чтобы были положительны все его главные диагональные миноры матрицы Гурвица:

-     Рауса.

22. 

-    

-     Кртерий Михайлова.

Структура процесса моделирования

Процесс моделирования можно представить в виде следующих этапов:

23. 

24. 

-    

-    

25. 

26. 

Различают два основных подхода к построению моделей:

27. 

28. 

-    

-    

Можно отметить, что возможна комбинация этих подходов в тех случаях, когда комбинированная модель представляет собой сочетание модели внутреннего механизма и функциональной (кибернетической).

Применение моделирования

В настоящее время практически все инженерные задачи решаются с применением моделирования. К таким задачам можно отнести следующие два больших класса задач:

29. 

30. 

В процессе реализации этих задач моделирование может быть использовано:

31. 

32. 

33. 

34. 

В качестве объекта управления может выступать:

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

Все эти объекты моделирования обладают различными свойствами, имеют различную природы. Их взаимодействие с окружающей средой может происходить по различным закономерностям. Их связи друг с другом и окружающей средой являются динамическими и нестационарными во времени. Их структура может меняться, то есть при имитации, при моделировании различных систем необходимо учитывать это многообразие проявлений свойств реальных объектов моделирования. Это необходимо сочетать с областями эффективных применений различных моделей.

Физические модели. Назначение физических моделей, их структура.

            Моделирование бывает материальное и идеальное.

Идеальное моделирование - моделирование, основанное на аналогии идеальной, мыслимой.

Материальное моделирование- моделирование, в котором исследование ведется на основании модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Частый случай материального моделирования - физическое моделирование, при котором  моделируемый объект и модель имеют одну и туже физическую природу. Этот метод моделирования широко распространен в науке и технике, где физическое моделирование используется при проектировании объектов разного типа. Известный пример физического моделирования - исследование моделей летательных аппаратов на основе экспериментов с помощью аэродинамической трубы. Исследование в аэродинамической трубе состоит в "продувании" модели летательного аппарата воздухом в разных режимах и в измерении разных характеристик изучаемых моделей (сил, возникающих при обтекании модели, устойчивости и управляемости, нагревания и т.д.). Далее по характеристикам модели подсчитываются характеристики интересующего нас летательного аппарата. Связь между характеристиками летательного аппарата и его модели устанавливается на основе теории подобия - развитой научной дисциплины. Аэродинамические трубы и другие установки для осуществления физического моделирования позволяют проводить эксперименты при удобных значениях геометрических размеров модели и параметров обтекающего воздуха (давления, температуры, скорости) и затем переносить результаты на менее удобные или, может быть, даже вообще нереализуемые в лабораторном эксперименте параметры.

Физическая модель - установка, устройство или приспособление, позволяющие исследовать системы путем замещения изучаемого физического процесса подобным ему процессом той же или другой физической природы.

Физическое моделирование характеризуется тем, что исследования проводятся на установках, обладающих физическим подобием, то есть сохраняющих полностью или хотя бы в основном природу явлений. Если проведено полное или неполное физическое моделирование и , следовательно, подобие, то по характеристикам модели можно получить все характеристики оригинала пересчетом через масштабные коэффициенты.

Физическое моделирование может быть временным, при котором исследуются только процессы, протекающие во времени (изменение тока в электрической цепи при каких-либо переходных процессах).

Физическое моделирование может быть и полным пространственно- временным (для изучения нестационарных течений рек, морей; исследования на моделях антенн влияния окружающей среды на излучение радиоволн в пространстве).

Физическое моделирование может быть пространственным, предназначенным для изучения процессов, действие которых не рассматриваются во времени. Они изучают только установившееся состояния или «замороженные» процессы (распределение тока в электросети или магнитных и электрических полей в магнитопроводах).

Физическое моделирование основано на теории подобия. Соответствие между оригиналом и физической моделью обычно устанавливается с помощью критериев подобия – отношения членов уравнения, представляющих собой безразмерные величины параметров, численно одинаковые для всех подобных процессов. Согласно теории подобия оригинал и физическая модель являются подобными, то есть примерно одинаково их функционирование независимо от физической природы вещества, материи. Так, например, процесс разливки и кристаллизации жидкой стали моделируют с помощью совершенно других жидкостей (спирт, расплавленный воск), то есть несколько иных физических явлений.

Под структурой модели (и физической в том числе) понимают совокупность элементов, входящих в модель и связей между ними. При этом, как отмечалось выше, модель (её элементы) может иметь ту же или иную физическую природу. Близость структур – одно из главных особенностей при моделировании. Модель по структуре должна соответствовать оригиналу. Упрощение структуры модели снижает точность.

Назначение модели, воспроизводящей объект, состоит в следующем:

1.     

2.     

3.     

a.       предтеорией.

b.     

c.       диф.уравнений более простой системой с допустимой точностью для определенных условий.

d.     

e.      

[1] Математическая форма принципа суперпозиции:

[2] Некорректной математической процедурой будем считать такие математические операторы, которые небольшие ошибки в используемых данных преобразовывают в большие ошибки результатов вычисления (на порядок и выше). Примером такой процедуры можно считать оператор дифференцирования.