Математика и живые организмы

Содержание

       I.      Введение

    II.      Основная часть

1)    Как считают нейроны

2)    Клетка в числах

3)    Глаза и логарифмы

4)    Объект восприятия – пространство

5)    Зачем кошке вектор

6)    Векторы в мозгу обезьяны и человека

7)    Математическая модель теплообмена в носовой полости

8)    Интенсивность метаболизма

9)    Симметрия

10) Спиральные образования

 III.      Заключение

IV.      Список использованной литературы

      I.      Введение

Недавно мне попалась в руки увесистая монография, где чуть ли не каждая страница была испещрена формулами. А речь шла всего лишь о том, как человек стоит. Что же произойдет, когда он сделает два- три шага? Какого размера должна быть страница, чтобы на ней уместилось хотя бы одно из алгебраических уравнений, описывающих движение? А разве менее сложна геометрия живых форм, начиная от амебы и кончая замысловатыми букетами животных-цветов—морских анемонов?

Живая природа сделала множество «изобретений», которые люди поняли и смогли повторить лишь при соответствующем уровне развития науки и техники. Например, принцип эхолокации эффективно используют и дельфины, и летучие мыши, а в технике он появился только в XX веке; поиск добычи по инфракрасному излучению используют многие виды змей, в то время как очки для ночного видения созданы лишь недавно и т. д. До последнего времени бытовало убеждение, что природа не изобрела колеса, что здесь техника пошла своим оригинальным путем. Но оказалось, что жгутики бактерий вращаются в специальных «подшипниках» и, значит, колесо тоже «изобретено» природой еще на самых ранних этапах эволюции. Существует специальная наука — бионика, которая изучает «патенты природы». Оказывается, что их можно иногда использовать и в «человеческой» технике.

Менее известно, что в живых организмах происходят явления, которые позволяют считать, что природе принадлежит «приоритет» и в создании своеобразных ЭВМ — устройств, производящих операции, весьма сходные с математическими операциями, которые мы склонны считать достижением. Две руки, два глаза. Десять пальцев на руках — древнейший счетный прибор и основа десятичной системы счисления. Уже беглый взгляд на наше собственное тело открывает то, что можно было бы назвать арифметикой живого. Прибавьте к этому удивительную способность природы многократно копировать из поколения в поколение эти бесконечно прихотливые и, казалось бы, неповторимые комбинации линий, фигур и поверхностей— и станет понятно, что математический расчет внутренне присущ живой материи ничуть не меньше, чем миру «стальных машин, где дышит интеграл». Попробуем уяснить себе, в чем именно проявляется присутствие математики в биологическом организме.

Цель работы: исследовать связь математики с живой природой; доказать наличие у представителей флоры и фауны тех признаков, которые позволяют создать их математическую модель; объяснить естественные процессы с точки зрения математики; рассказать о некоторых «изобретениях» природы, которые используются и будут использоваться в науке и технике; показать, как знания из области математики могут помочь в биологии.

Задачи научной проблемы: научиться создавать технические объекты на основе математических моделей представителей флоры и фауны; решать вопросы, связанные с живыми организмами, используя математические законы; «перенять» у природы ее «изобретения».

   II.      Основная часть

1)    Как считают нейроны

Первое знакомство с математикой — это счет: «Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять». И самым простым кажется и считается натуральное число. Уже отрицательные числа очень медленно входили в математику. Появившись в раннем средневековье у математиков Индии, они лишь в XIII—XIV веках проникают в европейскую науку, встречая там поначалу весьма сдержанное отношение. Их называют «ложными», «абсурдными» числами. Но постепенно отрицательные числа доказали свое право на существование и стали привычными не только для специалистов — то, что было «на переднем крае науки» в средние века, сегодня спокойно воспринимают пятиклассники.

А вот в живых организмах, оказывается «все наоборот»: нервной клетке (нейрону) естественно и просто осуществлять операции с положительными и отрицательными действительными «числами», а для того чтобы «считать» даже до двух, требуется система из нескольких нейронов — примитивный «мозг».

Как же работает нейрон? Как всякая клетка, нейрон отделен от наружной межклеточной среды особой оболочкой — мембраной. Между внутренним содержимым клетки и наружной средой существует разность потенциалов. Если клетка находится в покое, разность потенциалов на ее мембране не меняется. Эту разность потенциалов в покое естественно принять за нулевой уровень (подобно тому, как приняли за нулевую температуру таяния льда).

На нейрон могут действовать другие нервные клетки — возбуждающие и тормозные. Сигналы, полученные от этих клеток, вызывают изменения разности потенциалов на мембране в двух противоположных направлениях. Когда разные сигналы приходят к нейрону одновременно, они складываются, причем, естественно, с учетом знака, т. е. нейрон суммирует приходящие к нему положительные и отрицательные сигналы; эта сумма может быть положительной или отрицательной.

Интересная особенность работы нейрона состоит в том, что в отличие от технических сумматоров — от древнего абака до ЭВМ — полученную сумму он «помнит» недолго: если внешние воздействия прекратились, то накопленная сумма начинает убывать по абсолютной величине, чтобы нейрон возвратился в состояние  покоя  (потенциал   на  мембране стремится к значению, которое мы приняли за нуль).

Такая вроде бы «ненадежность» нейрона связана с тем, что он предназначен не для хранения, а для передачи и преобразования информации: полученный сигнал нейрон передает другим клеткам нервной сети (клеткам-«мишеням» или «адресатам»). По способу передачи сигнала существуют два разных типа нейронов с разными принципами работы: «аналоговые»    и    «пороговые»    нейроны.

Нейрон первого типа действует на клетки-мишени с силой, пропорциональной накопленной сумме,— но только в том случае, когда эта сумма положительна. Когда же сумма отрицательна, то она дальше не передается — нейрон заторможен. Правило преобразования сигналов аналоговыми нейронами описывается формулой y = k(x +|x|)/2, где х — накопленный потенциал, у — величина переданного сигнала, а k — коэффициент пропорциональности.

Нейроны второго типа работают иначе. Такой нейрон «молчит», пока сумма воздействий не достигнет некоторой определенной положительной величины — «порога». Тогда нейрон возбуждается и посылает по своему выходному отростку — аксону — электрический импульс (всегда одной и той же величины), который и действует на клетки-мишени. После возбуждения нейрон некоторое время «отдыхает» — молчит, независимо от того, действуют на него другие клетки или нет, а затем, если к концу отдыха накопленная сумма выше порога, посылает новый импульс. В результате в зависимости от величины входного сигнала, его длительности и в зависимости от характеристик нейрона на выходе получается сигнал в виде серии импульсов постоянной величины, но разной частоты. Таким образом, пороговые нейроны используют совершенно нетривиальный принцип кодирования информации частотой сигнала.

Однако, как и непрерывный выходной сигнал нейронов аналогового типа, изменение частоты несет информацию только о величине входного сигнала, меняющейся непрерывно. В то же время известно, что животные умеют считать (например, выдавать реакцию только на каждый третий стимул). Естественно предположить, что в нервной системе имеются устройства, которые по-разному реагируют, например, на двукратное воздействие и на однократное. То, что известно о принципах работы нейронов, позволяет утверждать: одиночной нервной клетке такая «простая» с человеческой точки зрения операция, как счет, не под силу. Недостаток места не позволяет нам описать устройство из нескольких нейронов, способное выдавать ответ, например, на каждый второй стимул.

2)    Клетка в числах

К одностороннему (гаплоидному) набору материнских хромосом добавился такой же отцовский набор. Простейший пример па сложение: один плюс один. Но с него начинается возрастающая геометрическая прогрессия — цепная реакция делений клетки-прародительницы. Сумма ее потомков зависит, по известной формуле, от знаменателя прогрессии, а в переводе на биологический язык — от темпа делений. Для того чтобы произошло очередное деление, клетка должна удвоить количество ядерной ДНК. Иначе говоря, скорость счета задается концентрацией ферментов, регулирующих скорость тиражирования (репликации) ДНК.

Попробуем представить себе работу воображаемого вычислительно программирующего    устройства, управляющего ростом зародыша. Сначала на стадии бластулы появляются отделы, которые условно можно обозначить как верхний и нижний, правый и левый. Они зеркально симметричны. Бластулу сменяет гастула — образуется шар из клеток. И тут наступает первая «катастрофа». Этот не слишком удачный, но уже прижившийся термин обозначает нарушение симметрии. Внутренняя программа генетического развития срабатывает таким образом, что дальнейшее разбухание шара — нарастание массы одинаковых клеток — приостанавливается. Но в отдельных участках деление продолжается — оно становится ассиметричным. Прежде клетки зародыша были все на одно лицо. Теперь начинается их дифференцировка.

На этом стоит остановиться подробнее, потому что суть процесса, по-видимому, одинакова, идет ли речь о закладке первичной трубки или об «отделочных работах», к которым можно отнести закладку боковых придатков.    В результате нескольких асимметричных делений накапливаются группы клеток с особым пространственным расположением и собственным темпом счета (размножения). Почему это происходит? Об этом можно высказываться лишь предположительно. Полагают, что гены сами по себе не предопределяют пространственное построение зародыша. То есть они задают лишь общий план, замысел, « а не конкретный макет будущего здания. В самой общей форме схема дифференцировки (возникновения катастроф) может быть представлена так. Открытые (активированные) гены обеспечивают синтез нескольких активных белков-организаторов. В свою очередь белки способны активизировать (открыть) гены, ответственные за последующие организаторы, и т. д. Предположим, что эти вещества-организаторы имеют различные коэффициенты диффузии (вполне правдоподобное допущение). При достижении определенной концентрации такого вещества наступает критическое состояние, когда появляется    новая    асимметрия.

Другими словами — если вернуться к нашей вычислительной машине—мы получаем приблизительно такую программу: решение первое (организатор № 1) дает 10 последовательных делений — образуется 210 клеток. Они составляют «критическую массу». Катастрофа. Асимметричное деление в новом пространственном положении включает организатор № 2. Далее происходит, скажем, девять симметричных делений, дающих новую «критическую массу», из которой формируется гребень, уплотнение, тяж...

Например, на руке у человека пять пальцев. Каким образом эмбрион считает до пяти? На самом деле он считает не до пяти, а до двух. Сначала два симметричных «рукава». Это так называемый креод, или канал развития будущих рук.

Креод можно образно назвать судьбой        недифференцированной клетки: очутившись в некоторой пространственной ситуации, клетка под действием организаторов почти неотвратимо следует   своему   предназначению — кладет начало определенному органу. Происходит это вот как. В определенный момент своего развития креод плечевой кости терпит катастрофу — образуется гребень, который разграничивает зачаток руки на два субкреода. Это зачатки будущих костей предплечья — локтевой и лучевой.

Если почему-либо процесс счета на этом оборвется, может родиться ребенок с врожденным дефектом — так называемой клешневидной рукой. Нормальную работу «вычислительной машины» нарушает постороннее вмешательство — сюрприз вне программы. Его может преподнести попавшее извне мутагенное химическое вещество, искажающее генетическую программу, или, например, вирус краснухи — хорошо известная причина врожденных уродств. В норме, однако, за первым счетом до двух следует второй, тоже до двух — новое разделение субкреодов на два дочерних зачатка. После этого должна наступить катастрофа — асимметричное деление в одном из зачатков; в итоге получится искомое число 5. Если же деление произойдет симметрично, то будет не пять пальцев, а шесть. Известно, что шестипалость наследуется. То есть в некоторых случаях вычислительная машина дает систематическую и притом всегда двустороннюю (на обеих руках) ошибку.

Известны и другие варианты живой арифметики. Например, деление первичной нервной трубки на 32—35 сегментов — будущих позвонков. При таких относительно больших числах возможна ошибка на две-три единицы за счет копчика — рудиментарного хвоста. Фактически счет прерывается, когда иссякают организаторы, т. е. с момента, когда генетический план оказывается полностью реализованным. Словно некий прораб окидывает взглядом готовое здание, сверяет его с чертежом и убеждается, что все этажи на месте. А что будет, если уже возведенную постройку частично разобрать? Эксперименты такого рода провел на некоторых кольчатых червях Б. Момент. Он отсекал от червя несколько сегментов, и каждый раз регенерировало ровно столько сегментов, сколько их недоставало. Каждый раз восстанавливался стандарт — 22 сегмента. Значит, вычислительное устройство функционирует и во взрослом организме.

3)    Глаза и логарифмы

Зрительные рецепторы, так же, как и другие — слуховые, температурные и т. д., получают сигналы из внешнего мира; они должны передать зрительную информацию в мозг точно и своевременно. Передача сигналов от глаза к мозгу осуществляется нейронами «порогового» типа—аналоговый способ оказывается неприменимым при передаче сигналов на достаточно большие расстояния. А у пороговых нейронов, как уже говорилось, все импульсы совершенно одинаковы, и сведения о величине входного сигнала эти нейроны передают меняя частоту импульсации.

Тут возникает вот какая проблема. Освещенность в сумерках, когда предметы еле видны, отличается от освещенности при ярком солнечном свете примерно в миллиард (т. е. в 109) раз. Максимальная же частота, с которой может работать нейрон — 1000 импульсов в секунду. Легко сообразить, что нельзя передавать информацию, меняя частоту работы нейрона пропорционально освещенности: если при ярком свете частота импульсов будет максимальной (1000 имп/с), то при уменьшении освещенности в миллион раз сигнал будет поступать всего один раз в 15 минут. Но за это время он совершенно потеряет свою актуальность!

Но может быть, разумно такое устройство зрительной системы, когда разные ее элементы, разные нейроны работают каждый в своем диапазоне освещенности: одни в сумерки, другие в пасмурный день, третьи на ярком солнце. Простой подсчет показывает, что если принять за нижнюю границу частоты работы нейрона, необходимой для достаточно своевременной передачи информации, 1 имп/с, то для охвата диапазона изменения освещенности в миллиард раз потребуется миллион нейронов — и это без всякого «запаса» прочности, без дублирования их работы! Но главное вот что: в каждый момент будет работать только одна клетка из миллиона, а остальные 999 999 будут «даром есть хлеб»: ведь в отличие от технических, живые «механизмы» потребляют энергию (свой «бензин») не только во время работы. А экономия энергии в живой природе — одно из главных условий выживания.

Итак, линейная зависимость между входными и выходными сигналами в случае глаза оказывается нецелесообразной. И действительно, в природе в этом случае используется другая функция, по школьным меркам довольно сложная.

Экспериментально это было установлено в 1932 году английским ученым X. Харлайном. На рисунке 1 приведены результаты его исследования. Он регистрировал нервные импульсы, идущие по одиночному нервному волокну от глаза к мозгу, у мечехвоста (морского членистоногого, похожего на вымерших трилобитов. На графике показана зависимость частоты импульсации от яркости света.

«Но позвольте! — скажете вы.— На графике прямая линия — значит, это линейная функция» Не торопитесь, вглядитесь в шкалу на горизонтальной оси, она ведь неравномерна, нелинейна: при сдвиге на одно деление аргумент (яркость) меняется не на одну и ту же величину, а в одно и то же число раз.

При линейной зависимости равным приращениям аргумента соответствуют равные приращения функции, или, что то же самое, линейная зависимость переводит арифметическую прогрессию значений аргумента в арифметическую же прогрессию значений функции. Когда мы имеем дело с показательной функцией у = а^х, то равным приращениям аргумента соответствует равномерный относительный прирост функции. Например, при постоянных условиях обитания и неограниченных ресурсах так растет численность какой-либо популяции: число особей за каждый год увеличивается на 10 %, т. е. в 1,1 раза. Другими словами, показательная функция «переводит» арифметическую прогрессию в геометрическую. На нашем графике ситуация обратная: частота импульсации нейрона меняется на одну и ту же величину, когда воздействие меняется в одно и то же число раз. Значит, мы имеем дело с функцией, обратной к показательной, т. е. с логарифмической; иными словами, нейроны глаза мечехвоста превращают геометрическую прогрессию раздражений в арифметическую прогрессию сигналов.

Это свойство зрительных рецепторов,    выработавшееся в ходе эволюции, позволяет глазу работать эффективно и экономно, обеспечивает возможность хорошо воспринимать контраст. Пусть светлый и темный предметы различаются по способности отражать свет в десять раз. Тогда и на ярком солнце, и в сумерках светлый предмет будет отражать в десять раз больше света, чем темный. Поэтому сравнительная яркость этих предметов не меняется; не меняется и расстояние между соответствующими точками на оси абсцисс. А это означает, что разница частот работы рецепторов, на которые падает свет от этих двух предметов, будет оставаться неизменной при разных освещенностях. Так что «умение логарифмировать» позволяет глазу не только работать в широком диапазоне освещенностей, но и при малой освещенности различать предметы, абсолютная разность освещенностей которых очень мала.

Интересно, что описанная зависимость между внешним сигналом (раздражением) и сигналом, воспринимаемым мозгом (ощущением), первоначально была обнаружена психологами. Сделал это французский ученый П. Бугер еще в XVIII веке. В начале XIX века немецкий физиолог и психолог Э. Вебер детально изучил связь между раздражением и ощущением. Он выяснял, как нужно изменить какой-то раздражитель, чтобы человек заметил это изменение. Оказалось, отношение изменения величины раздражителя к его первоначальному значению   есть   величина    постоянная:  I — мера раздражителя, ∆I — прирост раздражителя,  k — константа Вебера.

Константа Вебера зависит от того, какой рецептор раздражается. Например, при восприятии веса й=1/30. Это значит, что, когда человек держит груз в 100 г, он замечает его изменение при увеличении веса на 3,4 г, а для груза в 200 г требуется прибавка в 6,7 г. Для высоты звука константа Вебера равна 0,003, для громкости звука — 0,09 и т. д.

Исходя из экспериментов Вебера, другой немецкий физиолог и психолог Г. Фехнер сформулировал знаменитый закон Вебера — Фехнера: ощущения растут в арифметической прогрессии, когда раздражение растет в геометрической прогрессии.

Этот закон был опубликован в книге Фехнера «Элементы психофизики» в 1859 году. Там же было приведено и математическое выражение закона:

E=alog I + b

где  Е — мера  ощущения,   а   и   Ь — константы,   I — мера    раздражения.

Рис. 1

4)    Объект восприятия – пространство

Здесь уподобление мозга вычислительной машине стало настолько тривиальным, что эти слова можно даже не брать в кавычки. Но тождественность результатов на «выходе» (задачку можно решить в голове, можно и на ЭВМ) еще не значит, что оба устройства работают одинаково. К тому же нас в данном случае интересует не столько способность мозга распутывать математические или какие-нибудь другие задачи как таковые, сколько его умение управлять телом. Точность движений роднит человека со всем животным миром, хотя надо признать, что в этой области он как раз не чемпион.

Предметы, окружающие нас, трехмерны. Однако изображение их на сетчатке двухмерно. Формирование образа трехмерного объекта – процесс далеко не простой. В нем участвуют как бессознательные, так и логические операции.

Соотношение между зрительным ощущением перспективы и третьим измерением интересовало еще древних греков. Пифагорийцы выдвинули идею об особом флюиде, который испускается глазами и «ощупывает» предметы. Атомисты, например, были сторонниками испускания предметами «призраков», которые,… попадая в глаза, приносят ощущение формы и глубины.

Согласно Платону, от предметов исходит специальный флюид, который встречается со «светом дня», бьющим из наших глаз. Если оба флюида подобны друг другу, то, встречаясь, они «связываются» и газа получают ощущение глубины видимого. Если же «свет очей» встречается с несхожим флюидом, он гаснет и не дает ощущение.

Несмотря на наивность физической трактовки восприятия, древние греки достигли больших успехов в геометрической оптике. Евклид старался подчеркнуть геометрический характер оптических изображений. Великий астроном Птоломей не ограничился, как Евклид, рассмотрением геометрической оптики, он обсуждал физические процессы, лежавшие в основе зрения, и связанные с ними оптические иллюзии.

Знаменитый французский монах Роджер Бэкон, живший в XIII в., писал о том, что опыт не может основываться лишь на внешних ощущениях, потому что он не полностью говорит о духовных. Огромную роль в пространственной ориентации играет наше сознание.

В мозгу производиться синтез зрительного образа и извлечение информации о его геометрической протяженности и пространственной ориентации из двух несовершенных, перевернутых и искривленных шарообразной формой глазного яблока изображений. Чтобы получить информацию о глубине, необходимо иметь, по крайней мере, два плоских изображения, смещенных на некоторый угол.

Глаза человека могут поворачиваться в глазных впадинах более чем на 80˚ в вертикальном и горизонтальном направлениях. Мозг регистрирует сигналы о натяжении мышц глаза, кроме того, существенная роль принадлежит тремору – мелким движениям глазного яблока. Корректирующая работа мозга при пространственном восприятии чрезвычайно велика. Именно этим объясняется постоянство в восприятии размеров предметов в некотором диапазоне расстояний, когда изображения на сетчатке претерпевают изменения. Иногда наблюдается обратное явление, например не нашедшее еще объяснения кажущееся увеличение размеров Солнца и Луны у Лии горизонта. Этот парадокс был известен еще Архимеду.

Сейчас нам довольно подробно известно, каким образом проприоцептивные рецепторы, поставляющие информацию о взаимном расположении всех частей нашего тела, создают в мозгу внутренний образ тела. Мы не только видим себя, но и ощущаем собственное тело как границу нашего Я в беспредельном мире. Эти ощущения привычны для нас, они дают нам реальную картину соотношений внутреннего и внешнего. Лишь в особых случаях — при некоторых заболеваниях — в сознании возникают пространственные иллюзии: огромная рука, неимоверно длинные ноги, тяжелые пальцы... Известны и более причудливые искажения так называемой схемы тела. Рассматривая эти и подобные им сбои в работе мозга как вычислительной машины, мы можем сказать, что в нервных центрах происходит сложнейшая интеграция постоянного потока разнородных импульсов, в результате чего на внутреннем экране возникает подвижное    изображение. Нарушение же настройки приводит к помехам, искажениям этого изображения.

Конечно, аналогию с телевизором не следует толковать буквально. Нам пока недостаточно известно, как «видит» мозг. Есть основания предполагать, что уже в мозгу формируется трехмерное, т. е. объемное изображение предметов. Но эксперименты, которые могли бы это подтвердить, едва лишь начаты. Нам важно понять и запомнить другое: в ходе развития живого организма формируется аппарат самоуправления, который можно моделировать в виде самопрограммирующейся вычислительной машины. На ранних этапах эта машина совпадает со всем развивающимся телом, но по мере его созревания функции управления сосредоточиваются в центральной нервной системе.

5)    Зачем кошке векторы?  

Слово «вектор», можно сказать, совсем «младенец» — по-видимому, оно появилось впервые в работе английского математика У. Гамильтона в 1845 году. Но соответствующее понятие использовалось в физике еще за несколько столетий до этого в связи с рассмотрением закона сложения сил («правила параллелограмма»). Про векторы же в организме животных мы узнали только в самые последние годы.

Началось с кошек. В 1988 году канадский ученый Дж. Макферсон выполнила интересную  работу.  Она ставила кошку на специальную платформу, толкала эту платформу в каком-нибудь направлении и смотрела, каким образом кошка сохраняет равновесие. Допустим, она толкнула платформу вперед. Ноги кошки вместе с платформой стали уходить вперед, а тело остается на месте. Тогда кошка, чтобы возвратить центр тяжести в правильное положение над точками опоры активирует мышцы лап и, отталкиваясь от платформы, двигает тело вперед. Если платформу толкнуть вправо, центр тяжести отклонится влево по отношению к опоре и лапы должны создать силу, направленную вправо, и т. д.

Как же происходит эта работа лап при сохранении равновесия?

Самое естественное — это предположить, что каждая из двух задних лап при толчке вперед создает силу, направленную вперед; сумма этих двух сил и восстанавливает правильное положение тела (рис. 2, а). Если платформу толкнули вправо, каждая лапа создает силу, направленную вправо, и т. д. Такая гипотеза согласуется с тем, что у кошки есть мощные мышцы, которые двигают лапу вперед или назад — они используются для ходьбы и прыжков, а также мышцы, отводящие лапу наружу или по направлению к оси тела. Однако когда Макферсон стала выяснять, что происходит на самом деле, оказалось, что картина совершенно другая: при толчке платформы, независимо от направления движения, задние лапы кошки создают силы, направленные вдоль двух прямых (каждая лапа — вдоль своей), расположенных примерно под углом 45° к оси тела. Даже в простейшем случае, когда платформу толкают прямо вперед, силы, создаваемые лапами, направлены не вперед, а тоже под углом 45° к оси тела (снова см. рис. 2, а). И только их сумма имеет нужное направление и величину.  На  рисунке  2,  б показано,  как получается сила, направленная перпендикулярно телу, а на рисунке 2, в — сила, направленная под углом 30 ° к оси тела.

Значит, нервная система кошки решает следующую задачу. При толчке платформы по информации, полученной от разных рецепторов, определяется, какой вектор (силу) нужно получить, затем этот вектор раскладывается по фиксированным осям координат. При таком способе получается, что каждой из двух задних лап нужно передать всего одно число — координату вектора силы (положительную или отрицательную), которую должна создать эта лапа вдоль своей фиксированной оси.

Получается очень экономная схема. Но жизнь так полна неожиданностей! Разбираясь в том, какими мышцами создается это фиксированное направление (казалось бы, чего проще: использовать для единичного вектора одного направления мышцы, двигающие ногу вперед и внутрь, а для создания другого — назад и наружу, а дальше менять пропорционально силу, развиваемую этими мышцами,— умножать на число», и все в порядке), Макферсон получила еще один неожиданный результат. Оказалось, что в создании «единичного» вектора могут участвовать разные мышцы, их сочетание меняется в зависимости от направления толчка. В чем смысл такого, с нашей точки зрения, усложненного решения, еще выяснять и выяснять. Однако здесь проявляется общий принцип живого: избегать жестких схем, иметь всегда избыток «степеней свободы», словом, плюрализм.

Рис. 2

6)    Векторы в мозгу обезьяны и человека

Трудности в выяснении вопроса о том, как на самом деле происходит решение той или иной задачи, связаны с тем, что заглянуть в «управляющий центр» — в мозг — очень трудно. В этом смысле мозг пока что во многом «черный ящик»: можно видеть, какая задача ему предложена, можно видеть, какой он выдает результат,— а вот что происходит внутри, об этом сведений еще очень и очень мало.

Тем более интересна и важна работа, которая позволила почти непосредственно увидеть, как идет работа мозговых нейронов при решении некоторых задач. Эту работу совсем недавно выполнил американский ученый А. Георгопулос. Он экспериментировал с дрессированными обезьянами. Лапа обезьяны помещалась в некоторой точке стола, а в различных точках стола помещались электрические лампочки. Обезьяну научили при вспышке какой-нибудь лампочки двигать лапу по направлению к этой лампочке. В это время экспериментатор регистрировал с помощью вживленных электродов активность (частоту импульсации) нервных клеток коры больших полушарий в той ее зоне, которая управляет движениями этой лапы.

Оказалось, что активность большинства клеток этой зоны мозга зависит от направления движения лапы; и эта зависимость достаточно четкая: для каждой из клеток существует такое направление движения, при котором активность максимальна; при других направлениях активность уменьшается примерно как косинус   угла между данным направлением и направлением максимальной активности. Для тех направлений, для которых косинус отрицателен, клетка вообще перестает импульсировать.

Получается, что с каждой клеткой коры связан определенный вектор максимальной активности A_max (рис. 3). Когда нужно двигать лапу по другому направлению, т. е. задан некоторый единичный вектор направления е, клетка находит проекцию A_max на это направление, т. е. «вычисляет» скалярное произведение A_max ∙e. Выяснив это, Георгопулос поставил обратную задачу: нельзя ли, регистрируя работу нервных клеток, определить направление движения лапы. Математически эта задача может быть сформулирована как вопрос о существовании функции, обратной к заданной. Ясно, что по активности одной клетки направление движения определить нельзя: во-первых, косинус — функция четная, и в том промежутке, который нас интересует, не имеет обратной. Действительно, если, например, направление максимальной активности — это прямо вперед, а активность нейрона составляет половину максимальной, то известно, что лапа движется под углом 60° к преимущественному направлению, но вправо или влево от него — определить невозможно. Во-вторых, у одной клетки слишком велика «мертвая зона» — зона, когда она вообще молчит. Но если регистрировать несколько клеток, то можно успешно определить направление, в котором движется лапа (и даже предсказать, в каком направлении она будет двигаться, так как клетки начинают работать за десятую долю секунды до того, как лапа начинает двигаться). Представляем читателю самостоятельно решить такую задачу: какое минимальное число клеток требуется для того, чтобы уверенно определять направление движения во всех случаях? (Конечно, мы даем эту задачу, так сказать, в математической формулировке, которая, как всегда, упрощает ситуацию — как и мы ее упрощаем в нашем рассказе.)

То, что по активности нейронов можно не только установить, куда движется лапа, но и предсказать, куда обезьяна еще только собирается двигать ее, т. е. как бы подсмотреть мысль о движении, позволило Георгопулосу сделать еще одну, очень красивую работу.

Еще в 1971 году американские психологи Р. Шепард и Дж. Метцлер обнаружили явление, которое они назвали «мысленным вращением». В экспериментах испытуемым показывали две фигуры и спрашивали: это разные фигуры или одна и та же, но повернутая на некоторый угол? Время ответа оказалось линейной функцией величины угла поворота одной фигуры относительно другой.

В другом варианте эксперимента попеременно показывали букву R или ее зеркальное отражение — букву Я; надо быстро определить, какая это буква. При этом букву показывали в разных положениях. И здесь время ответа было пропорционально углу поворота буквы относительно «нормального» положения.

Ученые  предположили,   что   человек в таком эксперименте мысленно вращает образ воспринимаемой фигуры (а по ряду психологических экспериментов, скорее, эталон фигуры, хранимый в памяти) с постоянной угловой скоростью и даже определили эту скорость. Получилось 450°/с. Однако такими экспериментами невозможно доказать гипотезу «мысленного вращения», так как остается неизвестным, что же происходит в действительности в головах испытуемых.

Георгопулос, обретя возможность «подглядывать» за работой нейронов мозга обезьяны, получил в 1989 году данные, которые делают гипотезу о мысленном вращении более обоснованной.

Теперь обезьяну научили тянуть лапу не к той лампочке, которая горит, а к той, которая находится под углом 90° к ней. Экспериментаторы смогли узнать, что происходит в мозгу обезьяны от момента, когда зажглась лампа, до начала движения лапы. Оказалось, что после вспышки вектор направлен прямо на лампочку, затем начинает вращаться и, когда повернется на 90°, начинается движение лапы. Скорость вращения вектора оказалась равной примерно 730°/с, т. е. была того же порядка, что и в психологических опытах с человеком.

Таким образом, как показывают эти эксперименты, мозг может производить и геометрические преобразования (на самом деле, не только повороты, но, видимо, и многие другие, например   преобразования   подобия).

Сделаем еще один намек на математические способности мозга. Сейчас бурно развивается параллельное программирование. Но когда человек берет предмет, он одновременно управляет работой и плеча, и локтя, и пальцев, осуществляя самое настоящее параллельное программирование.

Рис. 3

7)    Быстрое размножение

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит 3000 зернышек.

Отсюда следует, что будь вокруг макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков.

Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки, содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год будет уже не менее 3000*3000=9 000 000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков одного мака будет уже достигать 9 000 000*3000=27 000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81 000 000 000 000*3000=243 000 000 000 000 000. Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 млн. м² – примерно в 2000 раз менее чем выросло бы экземпляров мака.

Если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре.

В действительности же мы не наблюдаем такого чудовищно быстрого размножения, т. к. огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями или же просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

Это верно не только для растений, но и для животных. Не будь смерти, потомство одной пары любого животного рано или поздно заполонило бы всю землю. Рассмотрим для примера, как быстро размножается всем известная комнатная муха. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых – самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что мха самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

15 апреля – самка отложила 120 яиц; в начале мая – вышло 120 мух, из них 60 самок;

5 мая – каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая – выходит 60*120=7200 мух, из них 3600 самок;

25 мая – каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня – выходит 3600*120=432000 мух, из них 216 000 самок;

14 июня – каждая из 216 00 самок кладет по 120 яиц; в конце июня – выходит 25 920 000 мух, в их числе 12 960 000 самок;

5 июля – каждая из 12 960 000 самок кладет по 120 яиц; в июле – выходит 1 555 200 000 мух, в их числе 777 600 000 самок;

25 июля – выходит 93 312 000 000 мух, среди них 46 656 000 000 самок;

13 августа – выходит 5 598 720 000 000 мух, среди них 2 799 360 000 000 самок;

1 сентября – выходит 355 923 200 000 000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета родиться от одной пары, вообразите, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Т. к. длина одной мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км – в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

8)    Математическая модель теплообмена в носовой полости

Пытаясь изучить носовую полость как теплообменник, мы сталкиваемся с необходимостью учитывать огромное число переменных. При переносе тепла между воздухом и стенками полости вода либо испаряется, либо конденсируется. И при этом происходит либо связывание, либо освобождение значительных количеств скрытой теплоты парообразования. Для потоков тепла и воздуха очевидна важность таких геометрических переменных, как общая поверхность, на которой происходит теплообмен, и расстояние ядра оттока воздуха до стенок полости. Важную роль играют температура воздуха и влажность, поскольку оба эти физические условия оказывают влияние на перенос тепла и испарение. Интенсивность дыхания и объем вдыхаемого воздуха могут варьировать. Оба эти параметра воздействуют на линейную скорость протекающего через носовую полость воздушного потока, а скорость потока непрерывно изменяется на протяжении каждого цикла вдыхания. Не следует забывать и о кровотоке, который не только поставляет испаряющуюся воду, но и переносит тепло от внутренних участков тела к полости носа.

При вдыхании тепло распространяется в поперечном направлении – от стенок носовой полости к воздушному потоку – и водяные пары поступают в воздух по создающемуся таким образом поперечному температурному градиенту. При выдыхании происходит обратный процесс: тепло передается от воздуха к стенкам носовой полости, и по мере снижения температуры водяные пары рассеиваются в поперечном направлении, вновь конденсируясь на этих стенках. Адекватное описание этих процессов при непрерывно изменяющихся линейных скоростях потоков на протяжении одного цикла дыхания оказалось совершенно невыполнимой задачей.

Дж. Коллинз показал, то всем этим нескончаемым числом переменных можно пренебречь и представить носовую полость в виде относительно простой стационарной модели (рис. 4)

Рис.4

Штриховой линией обозначены границы носовой полости и ее влажной выстилки, начинающейся на некотором расстоянии от кончика носа (граница х) и тянущиеся на границе у до границы z, где температура равна температуре глубоких областей тела. По этой полости также проходит поток жидкости (крови). Энергию, переносимую через указанную границу, можно мысленно разделит на несколько составных частей. Прежде всего, следует указать, что содержание энергии в воздухе, пересекающем границу z, не изменяется, поскольку эта граница по определению находится там, где температура воздуха равна таковой у тела и он насыщен влагой. Поток энергии, который проходит через границы х и у, слагается из четырех компонентов:

a)     видоизменение температуры воздуха

b)    испарение воды

c)     теплоотдача во внешнюю среду

d)    изменение температуры крови

Это позволяет построить математическую модель, описывающую устойчивое энергетическое равновесие системы. В этой модели энергия, переносимая из потока жидкости (d – кровоток и перенос тепла от глубоких областей тела к области носа), равна суммарной энергии, переносимой за счет: а – изменения температуры вдыхаемого воздуха, b – испарения и с – непосредственной отдачи тепла во внешнюю среду, происходящее на самом кончике носа, т. е.

а + b + с = d. Все переменные, входящие в это уравнение, за исключением d, могут быть измерены или оценены на основании физиологических данных, что позволяет решить его относительно скорости потока жидкости.

Получив эмпирически значение скорости потока жидкости, можно исключить эту переменную и вывести общее уравнение энергетического равновесия, которое в свою очередь позволяет определить температуру выдыхаемого воздуха, скорость потери воды, скорость потери воды, эффективность сохранения водяных паров для различных внешних условий.

В приведенной ниже таблице 1 содержатся предсказанные моделью температуры носа кенгуровой крысы при различных атмосферных условиях и долю водяных паров, возвращаемых организму благодаря конденсации на внутренних стенках носовой полости. Температура выдыхаемого воздуха в значительной степени зависит от условий среды, причем особенно важное значение имеет относительная влажность вдыхаемого воздуха. При высокой влажности выдыхаемый воздух в среднем охлаждается не так сильно, как в сухой атмосфере.

Таб. 1

Более неожиданными оказались предсказанные моделью данные о возрасте воды, происходящем в носовой полости (таб. 2). В широком диапазоне температур  воздуха (от 10˚ до 36˚) и относительной влажности (от 0 до 100%) среды предсказанная доля возвращаемого организму воды колебалась лишь от 66 до 77%. Иными словами, модель предсказывает, что, несмотря на значительные колебания условий среды, доля возвращаемой организму воды будет оставаться примерно постоянной, около 75%.

Таб. 2

Для того чтобы установить этот факт без помощи вычислительной машины, пришлось бы провести огромное количество однообразных и довольно скучных лабораторных наблюдений.

9)    Интенсивность метаболизма

Один из переменных физиологических параметров млекопитающих представляет для нас гораздо больший интерес, чем размеры их скелета. Этот параметр – интенсивность их метаболизма. Если бы она находилась в прямой зависимости от веса тела, то, построив график в логарифмической шкале, мы получили бы линии регрессии с наклоном 1,0. полная невозможность такой зависимости настолько хорошо известна, что мы не стали бы еще раз упоминать об этом, если бы того не требовало дальнейшее изложение. Более 100 лет назад французские ученые высказали мнение, что у гомеотермных животных теплоотдача должна быть пропорциональна площади поверхности их тела, и, следовательно, у мелких животных, площадь поверхности которых относительно больше, теплопродукция происходит относительно более интенсивно, чем у крупных. Аналогичные соображения лежат в основе правила Бергмана, которое гласит, что животные, обитающие в областях с холодным климатом, обычно крупнее, чем их близкие родственники, обитающие в более теплых областях (Бергман, 1874).

Впервые экспериментальную проверку этих представлений произвел Рубнер, опубликовавший соответствующие данные для собак разного размера (таб. 3). Как видно из первого столбца, вес собаки варьировал примерно от 31 до 3 кг, т.е. в диапазоне 10:1. интенсивность метаболизма в расчете на 1 м² поверхности (пятый столбец) изменяется очень мало, т.е. отношение интенсивности метаболизма к площади поверхности тела почти постоянно. Рубнер объяснил это, как приспособление к сохранению тепла: поскольку теплоотдача происходит с поверхности тела, она должна зависеть от площади этой поверхности. Кроме того, он весьма четко указал, что теплоотдача обусловлена не какой-то особой активностью клеток, а стимуляцией кожных рецепторов, которые стимулируют клетки метаболически активных тканей.

Таб. 3

На основании работ Рубнера был сформулирован «закон поверхности», и площадь поверхности стали широко использовать для оценки интенсивности метаболизма. Однако спустя всего лишь 5 лет после опубликования работ Рубнера стало ясно, что теплоотдача может быть главным фактором, обуславливающим эту зависимость. В 1888 г. Фон Геслин опубликовал результаты своих исследований, проведенных на рыбах. Он установил, что у рыб потребление кислорода гораздо больше зависит от площади поверхности, чем от веса. Между тем, совершенно очевидно, что рыбам нет никакой нужды сохранять тепло пропорционально площади поверхности.

После работ Геслина было проведено множество других исследований на эту тему, но прежде чем заняться их рассмотрением, мы уделим еще некоторое внимание площади поверхности тела. Площадь поверхности тела очень строго зависит от веса тела. Точно ее определить очень трудно, и Клейбер (1967) неоднократно подчеркивает, что нельзя надеяться сделать то с точностью, превышающей 20%.