Матриці та системи лінійних рівнянь (матрица системных линейных уравнений)

ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

О.Л.ГОРБАЧУК, Л.І.КОМАРНИЦЬКА, Ю.П.МАТУРІН

МАТРИЦІ ТА СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Дрогобич - 2007

УДК 512.64(09)

К 63

Матриці та системи лінійних рівнянь: Навчально-методичний посібник / Горбачук О.Л., Комарницька Л.І., Матурін Ю.П. – Дрогобич: Редакційно-видавничий відділ ДДПУ, 2007. – 50 с.

Посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” для підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальностей “Математика”, “Математика та основи економіки”, “Математика та фізика”, затвердженої Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Посібник містить виклад теоретичного матеріалу з даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправи для самостійної роботи.

          Розрахований на студентів-математиків, які вивчають курс алгебри в педагогічних та класичних університетах, на вчителів математики та старшокласників, які цікавляться математикою.

Бібліографія  5 назв.

Рекомендовано до друку Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

(протокол  № 8  від  29 червня 2007 р.)

Відповідальний за випуск:  доцент Галь Ю.М.

Редактор:  Невмержицька Ірина Михайлівна

Рецензенти:

          Пташник Б.Й., доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України, завідувач відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки та математики імені Я.С.Підстригача НАН України;

Зарічний М.М., доктор фізико-математичних наук, професор, декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

© Горбачук О.Л.,

Комарницька Л.І.,

Матурін Ю.П.

ЗМІСТ

     Вступ ……………………………………………………………………….4

1.      Матриці та дії над ними .........................................................................5    

            Означення матриць ………………………………………………5

            Види матриць ……………………………………………………..5

            Означення дій над матрицями …………………………………..8

1.4.         Властивості додавання матриць

          та множення матриць на числа …………………………………10

1.5.         Символ суми……………………………………………………...11

1.6.         Властивості множення матриць ………………………………..12

1.7.         Властивості транспонування …………………………………...14

1.8.         Обернена матриця у випадку квадратних матриць

          другого порядку…………………………………………………. 15

1.9.         Приклади матриць, елементами яких є вектори……………….18

1.10.    Числовий n-вимірний простір………………………………….. 20

1.11.    Подібні матриці…………………………………………………. 21

1.12.    Вправи…………………………………………………………… 21

2.      Системи лінійних рівнянь……………………………………………23

2.1.         Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими………… 23

2.2.         Системи лінійних рівнянь: основні означення………………   25

2.3.         Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь……….. 27

2.4.         Східчасті системи………………………………………………  30

2.5.         Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду

          (Метод Гаусса)………………………………………………….. 33

2.6.         Вправи ………………………………………………………….. 36 

3.     Жорданова форма матриць та матричні рівняння…………37

3.1.         Слід квадратної матриці……………………………………….. 37

3.2.         Жорданова форма квадратних матриць. Основна теорема….  38

3.3.         Зведення до жорданової форми нижніх трикутних матриць другого порядку…………………………………………………39

3.4.         Власні значення і власні вектори квадратної матриці другого порядку…………………………………………………………  41

3.5.         Зведення квадратної матриці другого порядку до нижньої трикутної форми…………………………………………………42

3.6.         Загальний випадок………………………………………………43

3.7.         Однозначність визначення жорданової форми з точністю до порядку слідування діагональних блоків………………………44

3.8.         Спектр квадратної матриці другого порядку………………….47

3.9.         Рівняння  

3.10.    Вправи……………………………………………………………49

Список літератури……………………………………………………. 50

Вступ

 Метою даного навчального посібника є ознайомлення читача  з елементами теорії матриць та систем лінійних рівнянь. Цей матеріал є доступним не лише для студентів-першокурсників, але й для старшокласників.  

Серед розглядуваних питань найважливішими є властивості дій над матрицями, рівносильні перетворення систем лінійних рівнянь,  жорданова форма матриць та матричні рівняння. Останні питання мають поглибити знання студентів в галузі теорії матриць, користуючись при цьому тільки елементарними засобами.

Кожний із розділів закінчується вправами, які ілюструють й доповнюють теоретичний матеріал.

Теорія матриць відіграє важливу роль не тільки у всіх галузях математики, але й  у фізиці. Тому її вивчення повинно бути дуже ретельним. Матриці з числовими елементами є природнім узагальненням чисел і широко використовуються в алгебрі, як приклади алгебраїчних структур. Так, наприклад, кватерніони Гамільтона можна представляти у вигляді певних квадратних матриць 4-го порядку з дійсними елементами. Якщо ж дозволити елементам матриць пробігати множину елементів певного кільця, то можна отримати приклади нових кілець. Таким способом отримуються кільця із заданими властивостями.

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса фактично зводиться до певних перетворень над їх розширеними матрицями, а тому ця тема є органічним продовженням першого розділу даного посібника.

Вивчення теми про жорданову форму матриць дозволить досить просто розв’язувати деякі типи матричних рівнянь.

Джерела із списку літератури допоможуть зацікавленим студентам продовжити вивчення тем , викладених у посібнику.

Розділ 1. Матриці та дії над ними

1.1. Означення матриць

Матрицею називається прямокутна таблиця, що заповнена певними математичними об’єктами, які називаються елементами матриці. Тут будемо розглядати лише такі матриці, елементами яких є числа. Елементи матриці будемо позначати однією буквою з двома індексами, де перший індекс вказує номер рядка елемента матриці, а другий ­– номер його стовпця.

Таким чином, матриця записується у формі:

            або         

Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то про таку матрицю кажуть, що вона має розмір k × n.

Якщо кількість рядків і кількість стовпців матриці рівні, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків (стовпців) називається її порядком.

Матрицю також позначають великими латинськими літерами або за допомогою відповідних малих літер з двома індексами:

А =  =                 В =  =

Дві матриці однакових розмірів називають рівними, якщо їх відповідні елементи рівні.

Наприклад, матриці

A =          В =

не є рівними ( А ≠ В ), оскільки

1.2. Види матриць

Матриця, що складається з одного рядка [стовпця], називається матрицею-рядком  [матрицею-стовпцем].

Матрицю-рядок також називають рядком, а матрицю-стовпець – стовпцем. Використовуються також наступні терміни: вектор-рядок, вектор-стовпець. Вектор, що складається з n елементів, називається n-вимірним.

Матриця О довільних розмірів, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею:

О =

Рядок [стовпець], всі елементи якого є нулі, називається нульовим рядком [стовпцем] або нуль-вектором.

Одиничною матрицею називається квадратна матриця Е n-го порядку наступного вигляду:

Е =  = [_ij],

де _ij =  – символ Кронекера.

Квадратна матриця D називається діагональною, якщо вона має наступний вигляд:

D =

тобто d_ij = 0, якщо і ¹ j. Таку матрицю також позначають наступним чином:

D = diag .

Наприклад, 

Зрозуміло, що одинична матриця є діагональною.

        Квадратна матриця А називається нижньою трикутною, якщо вона має вигляд:                             

А =,

тобто а_ij = 0, якщо і < j.

Квадратна матриця А називається верхньою трикутною, якщо вона має вигляд:                      

А = ,

тобто а_ij = 0, якщо і > j .

Матриця, яка є або нуль-матрицею, або матрицею виду

  ,

де  0,  0, ..., 0 називають верхньою трапецієподібною матрицею.

Приклади:                    

1).   нуль-матриця;

2).  ― вектор-стовпець;

3).  ― діагональна матриця;

4).  ― одинична матриця;

5).  ― нижня трикутна матриця;

6).  ― верхні трапецієподібні матриці.

Східчастою називають матрицю А, яка має наступні властивості:

1). Якщо і-ий рядок нульовий, то (ί+1)-ий  рядок також нульовий;

2). Якщо перші ненульові елементи ί-го і (ί+1)-го рядків є в стовпцях К_і і К_і+1 відповідно, то К_і < К_і+1.

Приклад.    

 ― східчаста матриця, де

1.3.        Означення дій над матрицями

         Сумою двох матриць однакових розмірів А і В називають матрицю С, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В, тобто

С=А+В=

(або  для всіх i,  j).

          Добутком матриці А на число λ називають таку матрицю В, кожний елемент якої дорівнює добутку числа λ і відповідного елемента матриці А, тобто:

В = λ А = λ  =  =

      (або  для всіх

       Матрицю (-1) А позначатимемо через –А і називатимемо її матрицею, протилежною до матриці А.

Під різницею матриць А і В (А – В) будемо розуміти суму А + (-В). Зрозуміло, що А – А = О, А + О = О +А = А для всякої матриці А і нуль-матриці О тих же розмірів.

Транспонованою до матриці А розмірів k n називається така матриця В  розмірів n  k, що

 для всіх і, j. Тобто матриця В має за рядки відповідні стовпці матриці А.

Транспоновану матрицю позначають через А^T, а елементи її через     ( = а).

Приклад:

А = ^T=

Для введення добутку двох матриць визначимо спочатку добуток рядка і стовпця однакової довжини (рядок – лівий множник, стовпець – правий множник, бо порядок співмножників тут важливий !):

  =

У результаті одержимо квадратну матрицю першого порядку, яку можна ототожнити з її єдиним елементом  Добуток АВ матриць А і В визначаємо тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай матриця А має розмір В – n.

Добутком матриць А і В називається матриця  С = АВ, що має розмір kr, а її елемент  дорівнює добутку і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В:

c_ij =  =

i =1, ..., k; j =1, ..., r.

Приклади:

1).     =

2).   

3).   =

4).  

Нехай А – квадратна матриця n-го порядку, Е – одинична матриця n-го порядку, а О – квадратна нуль-матриця n-го порядку. Тоді легко перевірити, що:

АЕ = ЕА = А,

АО = ОА = О.

Слід зауважити, що добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею (нуль-матрицею).

Справді,       

Квадратна матриця В n-го порядку називається оберненою до квадратної матриці А n-го порядку, якщо

АВ = ВА = Е.

Обернену матрицю до матриці А позначають через

Приклад.

Нехай А = В =  – обернена матриця до матриці А.

1.4.             Властивості додавання матриць та множення матриць на числа

Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступні властивості:

1.   А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);

2.    А + О = О + А = А;

3.    А + (-А) = (-А) + А = О;

4.  А + В = В + А (комутативність);

5.  А;

6.  А + В) = А + В;

7.  ( + А = А + А;

8.  А) = (А 

(для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і для довільних чисел

Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічно і залишаються для самостійного доведення читачу.

1.    А + (В + С) =  +

       = =

       =

(тут ми використали асоціативність додавання чисел).

7.   

        =

(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел). 

1.5. Символи суми

Суму  позначають черезі називається індексом підсумовування і його позначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:

1).

Очевидними також є й інші властивості символу суми:

2).  (адитивність);

3).  (однорідність);

де  – будь-яке число (яке не залежить від і).

Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні для підсумовування доданків з двома індексами.

тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці (матриці):

Тут і, j називаються першим і другим індексами підсумовування відповідно.

Очевидно, що сума S всіх елементів даної таблиці дорівнює

S =  

де

Тому

(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).

           З другого боку,

(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).

   Таким чином, має місце наступна властивість символу подвійної суми:

4).

           Взагалі кажучи, символ суми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бути зрозумілим з контексту.

           Тепер нам легко буде оперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку  матриць  і  розмірів  і

1.6. Властивості множення матриць

1.     Множення матриць не є комутативним, тобто існують такі матриці А і В, для яких АВ ≠ ВА.

Наприклад,  

2.     (АВ)С = А(ВС) для довільних матриць А, В, С, для яких існують добутки АВ і ВС (асоціативність).

Справді, нехай А має розмір  Покладемо АВ = U і ВС = V. Зрозуміло, що U має розмір  а UС = АV. Доведемо це.

           Елемент добутку UС дорівнює

але

UС (використана властивість 3 символу суми).

           Знайдемо тепер елемент добутку АV.

(використана властивість 3 символу суми).

           Використавши властивість 4 подвійних сум, матимемо, що UС = АV.

3.      якщо  і  мають однаковий розмір та існує ;

, якщо А і В мають однаковий розмір та існує АС

(дистрибутивність).

           Доведемо першу рівність за вказаних умов. Нехай А має розмір  а В і С - А (В + С) дорівнює

           Елементи добутків АВ, АС дорівнюють відповідно,

.

Тому елемент матриці АВ + АС дорівнює

(тут була використана властивість 2 символу суми – адитивність).

           Отже, відповідні елементи матриць А (В + С), АВ + АС рівні. Тому перша рівність доведена. Друга рівність доводиться аналогічно.

4.     АЕ = ЕА = А,

де А - квадратна матриця, а Е - одинична матриця того ж порядку n.

           Справді, елемент добутку АЕ дорівнює

а елемент добутку ЕА дорівнює

5.     Якщо квадратна матриця А має обернену матрицю, то обернена матриця єдина.

           Справді, нехай В і С – обернені до А матриці. Тоді                                  

                  АВ = ВА = Е і АС = СА = Е.

Тоді       

С = СЕ = С (АВ) = (СА) В = ЕВ = В

(тут використані властивості 4, 2 множення матриць).

6.     Якщо квадратні матриці А і В мають обернені, то

      і

(перевірити самостійно !)

1.7. Властивості транспонування

1.    

для довільної матриці А (ідемпотентність);

2.    

де А і В – довільні матриці однакових розмірів (адитивність);

3.    

для довільної матриці А і довільного числа λ (однорідність);

4.    

для довільних матриць А і В, для яких існує добуток АВ;

5.    

           Доведемо ці властивості.

1. Очевидно.

2. Справді,

        =

        3. Справді,

        4. Нехай U = АВ. Тоді

тобто  = .

         5. Доведемо першу з рівностей. Використаємо попередню і першу властивості:

Матриця А, для якої симетричною.

          Таким чином, матриця  завжди симетрична.

Приклад:

                        – симетрична матриця.

1.8. Обернена матриця у випадку квадратних матриць другого порядку

Приклад.

Розглянемо матрицю     

         отримаємо дві системи:

 і

Оскільки тобто  Очевидно, що така рівність і друга рівність системи виконуватися одночасно не можуть. Отже маємо протиріччя. Таким чином, матриця А оберненої матриці не має.

Приклад.

          Нехай матриця А має обернену матрицю і знайдемо її.

          Існування матриці, оберненої до А, рівносильне існуванню спільного розв’язку  двох матричних рівнянь  і

          Припустимо, що такий розв’язок справді існує, тоді з  отримаємо системи:

          Зрозуміло, що тоді

Отже, з існування розв’язку випливає, що він дорівнює

Легко переконатися, що справді

          Таким чином  існує і дорівнює

          Для кожної квадратної матриці другого порядку існує простий спосіб з’ясування того факту, чи існує для неї обернена матриця. Для цього введемо поняття визначника квадратної матриці другого порядку.

          Визначником матриці  називається число

Зрозуміло, що

Лема. Якщо А і В – дві квадратні матриці другого порядку, то

Доведення. Справді,

= =

–

–

= 

          Лему доведено.

Твердження. Для того, щоб квадратна матриця А другого порядку мала обернену матрицю, необхідно і достатньо, щоб  

Доведення. Нехай матриця А має обернену матрицю В. Тоді АВ = ВА = Е, де

За лемою  

          Навпаки, нехай  Покажемо, що матриця

 є оберненою до А. Справді,

Твердження доведено.

Приклад.

          Нехай  Тоді

Отже, А має обернену матрицю

Приклад.

          Нехай  Тоді

Отже,  існує і дорівнює матриці        

          Квадратна матриця А другого порядку називається особливою (або виродженою), якщо  і неособливою (невиродженою), якщо

1.9. Приклади матриць, елементами яких є вектори

          До цього часу ми розглядали лише такі матриці, елементами яких є числа. Проте в математиці використовуються також і матриці, елементами яких є самі матриці. Неявно ми вже використовували їх, коли визначали добуток двох матриць. Справді, нехай матриця А має розмір  а матриця  тоді

                                                            (1)

де  - рядок матриці А, а  – стовпець матриці АВ ми визначали, як

                                                                     (2)

де                        

Якщо б  в (1) ми вважали б звичайними числами і визначали б добуток А і В звичайним способом (за означенням добутку матриць, елементами яких є числа), то ми також одержали б добуток АВ, визначений формулою (2). Ці міркування можна поширити на більш загальний випадок матриць, елементами яких є матриці. Проте тут ми цього робити не будемо, а лише обмежимося конкретними прикладами.

Приклад 1.

             Нехай  - двовимірні вектори,  - числа. Тоді

Справді,

Приклад 2.

             Нехай  – двовимірні вектори,  – матриця з числовими елементами. Тоді  

(тут на А можна дивитися як на матрицю  з елементом А, при цьому, очевидно, добутки  будуть визначені).

Справді,       

Приклад 3.

             Нехай  – матриця з числовими елементами, а   – двовимірні вектори. Ми не можемо визначити  подібно до того, що було в прикладі 2, оскільки  

          Справді,

Доведемо тепер одне твердження, яке буде потрібне нам далі.

Твердження. Нехай А – матриця  – двовимірні вектори і виконуються рівності:

                                                             (3)

де  – деякі числа  Якщо

де

Доведення. Використаємо попередні приклади. З рівностей (3) отримаємо, що

Тоді з прикладів (2) - (3) маємо, що

 тобто

З твердження про необхідну і достатню умову існування оберненої матриці випливає існування  

1.10. Числовий n - вимірний простір

Множину усіх n - вимірних векторів

з дійсними [комплексними] елементами позначають через і називають дійсним [комплексним] n - вимірним простором.

Властивості дій 1 – 9 числового n - вимірного простору (що подані нижче) випливають з відповідних властивостей 1 – 8 додавання і множення матриць на числа: