Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла
Министерство науки, высшей школы и технической
политики Российской Федерации.
Новосибирский Государственный
Технический Университет.
Реферат по исследованию операций на тему
«Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла».
Вариант №2.
Факультет: АВТ.
Кафедра: АСУ.
Группа: АС-513.
Студент: Бойко Константин Анатольевич.
Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич.
Дата: 19 октября 1997 года.
Новосибирск
Введение.
Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -Djf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на -Dj , где Dj - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица Dj+1 представляется в виде суммы Dj и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два.
Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.
Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.
Начальный этап.
Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х1 и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D1. Положить y1 = x1, k = j = 1 и перейти к основному этапу.
Основной этап.
Шаг 1. Если çêf(yj) çê< e, то остановиться; в противном случае положить dj = - Djf(yj) и взять в качестве lj оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Положить yj+1 = yj + ljdj. Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y1 = xk+1 = yn+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.
Шаг 2. Построить Dj+1 следующим образом :
(1)
где
pj = ljdj, (2)
qj = f(yj+1) - f(yj). (3)
Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.
Пример.
Рассмотрим следующую задачу :
минимизировать (x1 - 2)4 + (x1 - 2x2)2.
Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.
|
k |
xk f(xk) |
j |
yj f(yj) |
f(yj) |
çêf(yj) çê |
D |
dj |
lj |
yj+1 |
|
1 |
(0.00, 3.00) (52.00) |
1 2 |
(0.00, 3.00) (52.00) (2.70, 1.51) (0.34) |
(-44.00, 24.00) (0.73, 1.28) |
50.12 1.47 |
(44.00, -24.00) (-0.67, -1.31) |
0.062 0.22 |
(2.70, 1.51) (2.55, 1.22) |
|
|
2 |
(2.55, 1.22) (0.1036) |
1 2 |
(2.55, 1.22) (0.1036) (2.45, 1.27) (0.0490) |
(0.89, -0.44) (0.18, 0.36) |
0.99 0.40 |
(-0.89, 0.44) (-0.28, -0.25) |
0.11 0.64 |
(2.45, 1.27) (2.27, 1.11) |
|
|
3 |
(2.27, 1.11) (0.008) |
1 2 |
(2.27, 1.11) (0.008) (2.25, 1.13) (0.004) |
(0.18, -0.20) (0.04, 0.04) |
0.27 0.06 |
(-0.18, 0.20) (-0.05, -0.03) |
0.10 2.64 |
(2.25, 1.13) (2.12, 1.05) |
|
|
4 |
(2.12, 1.05) (0.0005) |
1 2 |
(2.12, 1.05) (0.0005) (2.115, 1.058) (0.0002) |
(0.05, -0.08) (0.004, 0.004) |
0.09 0.006 |
(-0.05, 0.08) |
0.10 |
(2.115, 1.058) |
На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде –Djf(yj), где D1 – единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). При k = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерации p1 = (-0.1, 0.05)T, q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации p1 = (-0.02, 0.02)T, q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке y2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма çêf(y2) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.
Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.
Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска.
Для доказательства леммы нам понадобится :
Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn, точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех l Î (0, d) для некоторого d > 0}.
Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| £ ||x|| ||y||.
Лемма 1.
Пусть y1 Î Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj + ljdj, где dj = –Djf(yj), а lj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Пусть, кроме того, для j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj) ¹ 0 для j = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1, ..., dn – направления спуска.
Доказательство.
Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того, f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j £ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем
(4)
Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая, что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пусть a = Dj1/2x и b = Dj1/2qj. Тогда xTDjx = aTa, qjTDjqj = bTb и xTDjqj = aTb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :
(5)
По неравенству Шварца имеем (aTa)(bTb) ³ (aTb)2. Таким образом, чтобы доказать, что xTDj+1x ³ 0, достаточно показать, что pjTqj > 0 и bTb > 0. Из (2) и (3) следует, что
pjTqj = ljdjT[j+1) – j)]. (6)
По предположениюf(yj) ¹ 0, и Dj положительно определена, так что j)TDjj) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, lj > 0. Тогда из (6) следует, что pjTqj > 0. Кроме того, qj ¹ 0, и , следовательно, bTb= qjTDjqj > 0.
Покажем теперь, что xTDj+1x > 0. Предположим, что xTDj+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (aTa)(bTb) = (aTb)2 и pjTx = 0. Прежде всего заметим, что (aTa)(bTb) = (aTb)2 только при a = lb, т.е. Dj1/2x = lDj1/2qj. Таким образом, x = lqj. Так как x ¹ 0, то l ¹ 0. Далее, 0 = pjTx = l pjTqj противоречит тому, что pjTqj > 0 и l ¹ 0. Следовательно, xTDj+1x > 0, т.е. матрица Dj+1 положительно определена.
Поскольку f(yj+1) ¹ 0 и Dj+1 положительно определена, имеем f(yj+1)Tdj+1 = –f(yj+1)T Dj+1f(yj+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что dj+1 – направление спуска.
Лемма доказана.
Квадратичный случай.
В дальнейшем нам понадобиться :
Теорема 2. Пусть f(x) = cTx + 1 xTHx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1, …, dn и произвольную точку x1. Пусть lk для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации f(xk + ldk) при l Î Е1 и xk+1 = xk + ldk. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения :
1. k+1)Tdj = 0, j = 1, …, k;
2. 1)Tdk = k)Tdk;
3. xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии x - x1 Î L(d1, …, dk), где L(d1, …, dk) – линейное подпространство, натянутое на векторы d1, …, dk, то есть В частности, xn+1 – точка минимума функции f на Еn.
Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1, …, dn, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.
Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cTx + 1 xTHx при условии x Î En. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1. В частности, пусть lj, j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0 и yj+1 = yj + ljdj, где dj = -Djf(yj), а Dj определяется по формулам (1) – (3). Если f(yj) ¹ 0 для всех j, то направления d1, …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1. Кроме того, yn+1 является оптимальным решением задачи.
Доказательство.
Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 £ j £ n, справедливы следующие утверждения :
1. d1, …, dj линейно независимы.
2. djTHdk = 0 для i ¹ k; i, k £ j.
3. Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 £ k £ j, pk = lkdk.
Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства
Hpk = H(lkdk) = H(yk+1 - yk) = k+1) –k) = qk. (7)
В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем
т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.
Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTj+1) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i £ j. Таким образом, для i £ j имеем
0 = diTj+1) = diTHDj+1j+1) = –diTHdj+1.
Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.
Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.
Полагая k £ j+1, имеем
(8)
Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то
pj+1THpk = lklj+1dj+1THdk = 0. (9)
По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем
. (10)
Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем
Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.
Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что j+1, получаем, что положительно определена, так что H положительно определена, то и, следовательно, d1, …, dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.
Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то D имеет обратную, то является оптимальным решением по теореме 2.
Теорема доказана.
Список литературы.
1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.
2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.