Методические указания по курсу "Математика" для студентов I курса исторического факультета
Сыктывкарский государственный университет
Кафедра математического анализа
Методические указания по курсу “Математика”
для студентов I курса исторического факультета
(заочное отделение)
Преподаватель Попова Н.А.
Сыктывкар 2001
Учебный план по курсу “Математика”
для I курса исторического факультета (заочное отделение)
на 2001-02 уч.год преподавателя Поповой Н.А.
I семестр. Лекции (4 часа)
1. Краткий исторический очерк развития математики. Обзор литературы.
2. Множества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую логику, знакомство с графами.
Консультация (1 час). Методические указания к выполнению контрольной работы.
Задания для самостоятельной работы:
1. Контрольная работа (5 задач. См. приложение 1).
2. Подготовка (написание) реферата по выбранной теме (список тем – приложение 2).
II семестр. Практические занятия (12 часов). Решение задач.
1. Множества. Элементы комбинаторики.
2. Элементы теории графов и математической логики.
3. Элементы теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия, их применение в математической статистике.
4. Функции и их графики.
Семинары.
5–6. Некоторые вопросы истории развития математики (основные вехи развития общества и развития математики).
Консультации (к зачету) – 13 часов.
Зачет ставится с учетом оценок за:
1) контрольную работу,
2) реферат (по индивидуальной теме),
3) участие в работе практических занятий (общая оценка за 6 занятий),
4) ответы на вопросы зачета по двум частям (2 вопроса, приложение 3).
Список основной литературы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Приложение 1.
Контрольная работа по математике
для I курса исторического факультета СГУ (заочное отделение)
Задание 1. (Множества. Комбинаторика.)
1)
2)
3)
4)
5)
6) ? В каждой из аббревиатур использовать каждую букву из множества С только по одному разу (т.е. без повторений).
7) ? Что собой представляют наборы букв этих слов – сочетания или размещения?
8) ?
Пример решения такой задачи. Пусть автор – Пафнутий Львович Чебышёв (будем считать е и ё за одну и ту же букву). Тогда
1) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, И, Ч}, С={Ч, Е, Б, Ы, Ш, В}.
2) П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, Л, Ь, В, О, Ч}.
3) Æ, то и
4) {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.
|
П А Ф Н У Т Й И |
|
Б Е
Ч Ш Ы
|
|
П А Ф Н У Т Й Й |
|
Ч Б Е Ш Ы Е Ш ВЫ |
|
Л Ь В О И |
|
Л Ь О В ЧЧ |
{П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.
Ответ: Т.к. получилось одно и то же множество, то равенство верно.
Ч
И
О
В
Ь
Л
П А Ф Н У Т И Й
6) Так как аббревиатуры составляются из всех букв множества С и без повторений, то их количество равно множеству порядков на множестве С:
7) Т.к. при перестановке букв в слове получаются другие (новые) слова (например, ЛОВ и ВОЛ), то наборы букв для слов – это размещения, т.к. важен порядок выбора букв. Всех размещений из букв множества В по 3 - “ь”, поэтому такие наборы надо исключить, их количество равно
Ответ: 100.
8) Т.к.
Задание 2 (Графы)
Пусть множество А из предыдущего задания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множества точек V.
1) а) полный граф - б) двудольный граф - в) полный двудольный граф - г) регулярный граф - (указать его степень), д) односвязный граф с одним “мостом” - е) непростой граф - (т.е выполнить не менее шести рисунков).
2) а) эйлеров граф, б) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).
3)
Например.
b
a c полный граф с пятью вершинами; он же регулярный
(однородный), степень вершин r = 4; а также он эйлеров;
l d односвязный.
n двудольный и двусвязный граф; (двудольный -
m неполный).
l
k o
p q
s
t u непростой, односвязный с одним “мостом”,
полуэйлеров граф.
x v
z w
y
Задание 3 (Теория вероятностей)
Возьмем множества А и В из задания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).
Вычислить вероятность того, что при выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разные буквы; в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные варианты решения, то покажите все решения).
Например, ) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, В, И, Ч}. Тогда: а) общая буква только одна – И; вероятность ее выбора из А равна вероятность ее выбора из А и из В – (правило произведения); б) т.к. во всех остальных случаях буквы будут различны, то вероятность выбора двух разных букв равна (можно ее найти и другим способом); в) если задумана буква “И”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 случая: “И” из А и любая другая буква из В, “И” из В и любая другая буква из А, а также “И” – из А и В; сложив вероятности, получим: Аналогично для других букв (2 случ.).
Внимание! В заданиях 4 и 5 каждый студент должен выполнить свой вариант. Номер варианта соответствует Вашему номеру зачетной книжки следующим образом: а) если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число не больше тридцати, то это и есть номер Вашего варианта; б) если две последние цифры составляют число большее тридцати, то из него следует вычесть 30 столько раз, сколько возможно; остаток и есть номер Вашего варианта; если две последние цифры номера зачетной книжки 60 ли 90, то Вы выполняете вариант 30. Например, номер зачетной книжки …41 – вариант 11, т.к. 41=30+11, …62 – вариант 2, …97 – вариант 7; …208 – т.е. …08 – вариант 8.
Задание 4 (Математическая логика).
А. В вариантах 1 – 15 составить таблицу истинности формулы:
1. ù x & y Ú (ù y º xÚ ù y); 2. ù (x &ù y )Ú (ù x & y) º ù y);
3. y Ú ù x & ( y & x ® ù x); 4. x Ú y º (ù x & ù y ® y );
5. x º ( x Ú ù y ® ù y & ù x); 6. (y ® ù x Ú ( x & y)) º xÚ y;
7. ù (x Ú ù y) ® (xÚ ù y); 8. x Ú ( y ® y Ú ù (xÚ y));
9. x Ú y ® ù y & ( x ® y); 10. x & ( ù y ® xÚ y);
11. x º ( y ® ù xÚ ( x º ù y)); 12. (xÚ y) ® ( y & ù x);
13. ( x® y) ® (ù x & ù (y Ú x)); 14. x º ( ù y ® x) Ú ( x® ù y));
15. (x Ú ù y) & ( ù xÚ y) º ù y;
Б. В вариантах 16-30 проверить, является ли формула тавтологией:
16. (y ® (xÚ ù y)) & ( x ® ( y Ú ù x)); 17. ( x Ú y) ® ( y Ú ù x);
18. x º ( x Ú ù y ) & ù y); 19. x ® ( x Ú (ù y & x ));
20. x ® (( y & ù x) ® x); 21. (x ® y) ® xÚ y º ù (ù x & ù y);
22. xÚ y º ù (ù x & ù y); 23. ( ù xÚ y ® y ) º xÚ y;
24. ( ù xÚ y ® x ) º x & y; 25. ù (x ® y) Ú ( ù y ® ù x);
26. ù (x ® y) & ù ( y ® ù x); 27. x & ù y ® (xÚ y º ù x);
28. x Ú ù y ® (ù y & ù x) º ù x; 29. x º ( y ® x & ù y );
30. ù x º ( y Ú ( x ® ù y)).
Примеры. А. Составить таблицу истинности формулы
(x ® ù y) & (xÚ y)) º x Ú ù y.
Решение. Порядок выполнения действий:
x ® t
Ú
& z º
y ù Ú v
|
x |
y |
ù y |
x Ú y |
z ù y & (x Ú y) |
t (x® z) |
v ( x Ú ù y ) |
Ответ: t º v |
|
И И Л Л |
И Л И Л |
Л И Л И |
И И И Л |
Л И Л Л |
Л И И И |
И И Л И |
Л И Л И |
Б. Проверить, является ли формула (x ® ù y) & (xÚ y)) º (x ® ù y) тавтологией.
Решение (аналогично решению предыдущей задачи, отличается лишь v: x ® ù y.
|
x |
y |
ù y |
x Ú y |
z ù y & (x Ú y) |
t x® z |
v x® ù y |
Ответ: t º v |
|
И И Л Л |
И Л И Л |
Л И Л И |
И И И Л |
Л И Л Л |
Л И И И |
Л И И И |
И И И И |
Ответ: да, тавтология.
Задание 5.
Построить график дробно-рациональной функции (варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:
1) (для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);
2)
3)
4)
5) легко находятся;
6)
7)
8)
9) (нули функции), то найти их теперь по графику;
10)
Варианты:
1) 11) 21)
2) 12) 22)
3) 13) 23)
4) 14) 24)
5) 15) 25)
6) 16) 26)
7) 17) 27)
8) 18) 28)
9) 19) 29)
10) 20) 30)
Пример. Исследовать функцию
Решение. 1) = при (корни квадратного трехчлена найдены по обратной теореме Виета (в уме)),
значит,
2) а) при слева (1)
|
-8 |
-7,5 |
-7,1 |
… |
|
|
-90 |
-159,5 |
-719,1 |
… |
при справа (2)
|
-6 |
-6,5 |
-6,9 |
… |
|
|
52 |
121,5 |
681,1 |
… |
Значит, - вертикальная асимптота;
б) при (и слева и справа)
|
1,9 |
2,1 |
|
асимптоты нет; - исключенная точка (т. разрыва). (3)
3)
т.к. при
- наклонная асимптота.
4)
и т.е. и общего вида (не обладает ни четностью, ни нечетностью); не является периодической как дробно-рациональная функция (многочлены – непериодические функции).
5) при значит,
- точка пересечения графика с осью ординат; (4)
б) при или
и - точки пересечения графика с осью абсцисс. (5)
С учетом точек разрыва и найденных значений функции (по (1), (2), (3) и (4), (5)) получаем: при при
при при
6)
(использована формула: );
а) нет критических точек, где не существует, т.к. не имеет значе-
ния только при
б) при и
значит, и - критические точки, а
7)
|
+ |
0 |
- |
нет зн. |
- |
0 |
+ |
+ |
|
|
нет зн. |
||||||||
|
выводы |
от до |
max |
от до |
вертик. асимпт |
от до |
min |
от до |
от до |
Т.к. при тогда
поэтому
8)
|
-17 |
-14 |
-12 |
-3 |
3 |
8 |
13 |
|
|
-36 |
-36 |
-38 |
2,5 |
-2 |
2/3 |
4,5 |
9) см. 5).
10)
5 y
-21 -17 -14 -12 -7 -2 0 7 12 x
-2
-12
-36
-38
-40
Приложение 2.
Темы рефератов
1.
2.
3.
4.
5.
6. *)
7.
8.
9.
10. I-V века; Александрийская школа).
11.
12. VIII-XIII века, Улугбек, Омар Хайам и др.).
13. VIII-XIII века).
14. XII-XV века).
15. XV век.
16. XV век.
17. XVI век.
18. XVI век.
19. XVI век.
20. XVI век.
21. XVII век.
22. XVII век.
23. XVII век.
24. XVII век.
25. XVII век.
26. XVIII век.
27. XVIII век.
28. XVIII век.
29. XVIII век.
30. XVIII век.
31. XVIII век.
32. XVII-XVIII веков (Роль реформ Петра I; Екатерина II).
33.
34. XVIII века).
35.
36. V постулата Евклида (до XIX в. н.э.).
37.
38.
39. XIX век.
40. XIX век.
41. XIX век.
42. XIX век.
43. XIX век.
44. XIX век.
45. XIX век.
46. XIX век.
47. XIX век.
48. XIX век.
49. XIX века.
50. XIX века.
51. XVII-XX в.в.).
52. XVII-XX в.в.).
53. XVII-XX в.в.).
54. XVIII-началоXX в.в.).
55.
56. XIX-X X в.в.).
57.
58.
59. XX века; основные направления развития.
60.
Примечание. Дополнительная литература к работе над рефератом не указана, т.к. подбор литературы входит как часть в самостоятельную работу студента (этому надо научиться). В пособии Д.Я.Стройка [11] в конце каждой главы есть список рекомендуемой литературы. Можно использовать то, что найдется в личной библиотеке или в ближайшей общественной, в т.ч. и статьи из журналов “Квант”, “Математика в школе” и других периодических изданий, а также энциклопедические словари.
Приложение 3.
Вопросы к зачету по курсу “Математика”
для студентов I курса исторического факультета СГУ
Часть 1. Математика.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. элементов.
9. элементов по элементов.
10. элементов по по
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Часть 2. История математики.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. XVII веке.
11. XIV-XVII в. (влияние татаро-монгольского ига и отношений с Западной Европой).
12. XVIII веке в Западной Европе.
13.
14.
15. XIX век.
16.
17.
18.
19.
20.
Сентябрь 2001 года Н.А.Попова
*) Здесь и далее имя ученого означает, что требуется изложить сведения о его жизни и его вкладе в историю развития математики.