Метод конечных разностей или метод сеток. Решение бигармонического уравнения методом Зейделя
ВВЕДЕНИЕ
Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.
Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :
2
U = f
Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .
U = 0 Y
x=0 b
Uxxx = 0
x=0
G
Ux = 0
x=a
Uxxx = 0 0 a X
x=a
U = 0 U = 0
y=0 y=b
Uy = 0 Uxx + Uyy = 0
y=0 y=b y=b
Надо решить эту задачу численно.
Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.
По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy соответственно .
Wx={ x(i)=ihx, i=0,1...N, hxN=a }
Wy={ y(j)=jhy, j=0,1...M, hyM=b }
Множество узлов Uij=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :
W={ Uij=(ihx,jhy), i=0,1...N, j=0,1...M, hxN=a, hyM=b }
Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j).
Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.
Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка с шагом h введённая на R т.е.
W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2...}
Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y(Xi) , Xi из W, определяется по формулам :
L1Yi = Yi - Yi-1 , L2Yi=L1Yi+1
h
и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :
L3Yi=Yi+1 - Yi-1 = (L1+L2)Yi
2h 2
Разностные операторы A1, A2, A3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например :
Yxxi=Yxi+1 - Yxi = Yi-1-2Yi+Yi+1
2
h h
Yxxi= Yxi+1-Yxi-1 = Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2
2
2h 4h
которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.
Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.
Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.
МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.
Пусть нам дана система линейных уравнений :
AU = f
или в развёрнутом виде :
M
aijUj = fi , i=1,2...M
i=1
Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде :
i (k+1) M (k)
aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M
j=1 j=i+1
(k)
где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор.
Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1
(k+1) M (k)
a11Y1 = - a1jYj +f1
j=2
(k+1)
Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :
(k+1) (k+1) M (k)
a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2
j=3
(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)
Пусть уже найдены Y1 , Y2 ... Yi-1 . Тогда Yi находится из уравнения :
(k+1) i-1 (k+1) M (k)
aiiYi = - aijYj - aijYj + fi (*)
j=1 j=i+1
Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi.
Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация
2
одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.
Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M.
Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :
A = D + L + U
где
0 0 . . . 0 0 a12 a13 . . . a1M
a21 0 0 0 a23 . . . a2M
a31 a32 0 0 .
L = . U= .
. .
. aM-1M
aM1 aM2 . . . aMM-1 0 0 0
И матрица D - диагональная.
(k) (k) (k)
Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2 ... YM ) вектор k-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :
( D + L )Yk+1 + UYk = f , k=0,1...
Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :
( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f , k=0,1...
Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii.
ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Пусть Yi=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i. Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.
Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.
Так дифференциальное уравнение первого порядка :
dU = f(x) , x > 0
dx
можно заменить разностным уравнением первого порядка :
Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0,1...
h
или Yi+1=Yi+hf(x), где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0,1,2...}. Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i).
При разностной аппроксимации уравнения второго поряда
2
d U = f(x)
2
dx
получим разностное уравнение второго порядка :
2
Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , где yi=h f i
fi = f(xi)
xi = ih
Для разностной aппроксимации производных U’, U’’, U’’’ можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.
Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i,j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона
Uxx + Uyy = f(x,y)
на сетке W выглядит следующим образом :
Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij
2 2
hx hy
где hx - шаг сетки по X
hy - шаг сетки по Y
Сеточное уравнение общего вида можно записать так:
N
CijUj = fi i=0,1...N
j=0
Оно содержит все значения U0, U1 ... UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица.
В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i1 ... ip) с целочисленными компонентами и тогда :
СijUj =fi i Î W
jÎW
где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.
Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.
U=U(x,y)
|
y M b
M-1 Uij j j 1 0 1 2 i N-1 N=a x
i |
Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию Uij=U(xi,yj) ,
где
xi=x0+ihx
yi=y0+jhy
hx = a/N ,
hy = b/M и т.к.
x0=y0
то
xi=ihx, yi=jhy, i=0...N
j=0...M
Найдём разностные производные входящие в уравнение
2
DU = f
(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).
Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j
hx hx
Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j
hx
Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных :
Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j
Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j
4
hx hx
Анологично вычислим производную по y :
Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2
4
hy
Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy :
Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1
(Uxx)yyij = hy hy = Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 =
2
hy hy
= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1
2 2 2 2 2 2
hxhy hxhy hxhy
В силу того что DU = f
имеем:
Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +
4
hx
+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1 +
2 2 2 2 2 2
hxhy hxhy hxhy
+ Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij (*)
4
hy
Это уравнение имеет место для
i=1,2, ... N-1
j=1,2, ... M-1
Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :
x=0 ~ i = 0
x=a ~ xN=a
y=0 ~ Yo=0
y=b ~ YM=b
1) х=0 (левая граница области G)
Заменим условия
U = 0
x=o
Uxxx = 0
x=o
на соответствующие им разностные условия
Uoj=0
U-1j=U2j - 3U1j (1`)
2) х=а (правая граница области G)
i=N
Ux = 0
x=a
Uxxx = 0
x=a из того что Ui+1j - Ui-1j = 0
2hx
UN+1j = UN-1j
UNj = 4 UN-1j - UN-2j (2`)
3
3) у=0 (нижняя граница области G)
j=0
Ui ,-1 = Ui1
Ui0 = 0 (3`)
это есть разностный аналог Uy = 0
y=o
U =0
y=o
4) у=b
i=M
U = 0
y=b т.е. UiM=0 (**)
Распишем через разностные производные Uxx + Uyy =0 и учитывая что j=M и (**) получим
UiM-1 = UiM+1
Итак краевые условия на у=b имеют вид
UiM+1 = UiM-1
UiM = 0 (4`)
Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе области G (или на границе сетки W)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ
Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи (*),(1`) - (4`).
В данном случае неизвестными являются
Uij = U(xi,yj)
где xi = ihx
yj = jhy
при чём hx = a/N ,
hy = b/M
это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b]
Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение
2
DU = f
как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W , начиная с нижней строки.
1 Ui-2j - 4 + 4 Ui-1j + 6 - 8 + 6 Uij - 4 + 4 Ui+1j + 1 Ui+2j + 2Ui-1j-1 -
4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2
hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy hx hxhy
- 4 + 4 Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1 - 4 + 4 Uij+1 + 2 Ui+1j+1 + 1 Uij-2 +
2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy hxhy hy
+ 1 Uij+2 = f ij для i=1 ... N-1, j=1 ... M-1
4
hy
и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:
(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)
6 - 8 + 6 Uij = - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1 + 4 + 4 Uij-1 -
4 2 2 4 4 2 2 2 2 4
hx hxhy hy hy hxhy hxhy hy
(k+1) (k+1) (k+1) (k)
- 2 Ui+1j-1 - 1 Ui-1j + 4 + 4 Ui-1j + 4 + 4 Ui+1j -
2 2 4 4 2 2 4 2 2
hxhy hx hx hxhy hx hxhy
(k) (k) (k) (k) (k)
- 1 Ui+2j - 2 Ui-1j+1 + 4 + 4 Uij+1 - 2 Ui+1j+1 - 1 Uij+2 + fij
4 2 2 2 2 4 2 2 4
hx hxhy hxhy hy hxhy hy
(k)
При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления начинаются с i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1).
Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицы А - для данной задачи.
|
j+2 |
|
j+1 |
|
j |
|
j-1 |
Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной .
|
j-2 |
|
i-1 |
|
i |
|
i+1 |
|
i+2 |
|
i-2 |
|
Шаблон задачи |
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.
Константы используемые в программе :
aq = 1 - правая граница области G
b = 1 - левая граница области G
N = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,a]
M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,b]
h1 = aq/N - шаг сетки по X
h2 = b/M - шаг сетки по Y
Переменные :
u0 - значения сеточной функции U на k-ом шаге
u1 - значения сеточной функции U на (k+1)-ом шаге
a - массив коэффициентов шаблона
Описание процедур :
procedure Prt(u:masa) - печать результата
function ff(x1,x2: real):real - возвращает значение функции f в узле (x1,x2)
procedure Koef - задаёт значения коэффициентов
Действие :
Берётся начальое приближение u0 и с учётом краевых условий ведётся вычисление с i=2 ... N , j=2 ... M. На каждом итерационном шаге получаем u1 по u0. По достижении заданной точности eps>0 вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг (k+1) , а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают итерационный шаг k.
Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7.0
Министерство общего и профессионального образования РФ
Воронежский государственный университет
факультет ПММ
кафедра Дифференциальных уравнении
Курсовой проект
“Решение бигармонического уравнения методом Зейделя”
Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
Никулин Л.А.
Руководитель : старший преподаватель
Рыжков А.В.
Воронеж 1997г.