Метод построения графиков функций (с использованием теории относительности)

I.      Введение

При рассмотрении различных явлений и процессов, происходящих в природе, приходится учитывать изменения одних величин в зависимости от изменения других. Например, при движении мы рассматриваем зависимость пройденного пути от времени, при нахождении площади круга рассматривается зависимость между площадью круга и его радиусом и т.д. Такие зависимости называют функциональными. В основе функциональной зависимости лежит не просто зависимость, а полная определенность соответствия между переменными величинами.

            Впервые определение функции было дано русским математиком Н.И. Лобачевским.

            Переменную величину S называют функцией другой переменной величины t, если каждому значению величины t (из некоторой области) поставлено в соответствие вполне определенное значение величины S.

II.      Преимущества и недостатки аналитического и графического способов задания

            Термин “функция” введен Лейбницем, а символическая запись функциональной зависимости

            Такой способ часто применяется  в естествознании, технике и т.д., например, при использовании самопишущих приборов, автоматически записывающих изменения одной величины от изменения другой. К недостаткам графического способа задания функции можно отнести: нахождение приближенного значения функции при определенном значении аргумента, функции заданные аналитически, могут быть изображены и графически, к графику нельзя непосредственно применить аппарат математического анализа, но график имеет преимущество – наглядность. По графику функции можно многое узнать о “поведении” этой функции.

Для функции , график которой изображен на рисунке, можно указать несколько ее свойств.

1)      При

2)       и ) график функции пересекает ось абцисс, т.е. в этих точках

3)       и при , график расположен выше оси абсцисс, т.е. функция принимает положительные значения. При , функция принимает трицательные значения.

Рис.1

4)      функция возрастает, а при убывает. При х>0 функция только возрастает и т.д. Часто для получения графика функции наносят на координатную плоскость несколько точек графика, а затем проводят через эти точки плавную кривую. Построение графика функции “по точкам” не является точным изображением графика функции, поэтому так важно проводить дополнительные исследования, чтобы построеный график был приближен к точному графику. Исследование функций, заданных аналитически, проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматривать и графики этих функций. Т.о. умение строить графики функций, заданных аналитически, является важным элементом в общей математической подготовке учащихся.

В школьном курсе математики рассматриваются элементарные функции.

III.      Элементарные функции.

К основным элементарным функциям относятся следующие функции:

1)  степенная функция , где n – вещественное число.

2)  показательная функция , где .

3)  логарифмическая функция где .

4)  тригонометрические функции  .

5)  обратные тригонометрические функции .

Функции , так же являются элементарными.

IV.      Методы построения графиков функции

В школьном курсе математики построение графиков элементарных функций:  даже для очень слабо подготовленных учащихся не составляет особого труда. Но если требуется построить график функции, тесно связанный с уже известными функциями, для некоторых учащихся эта задача представляет трудность.

Например, при работе с такими функциями, как

Кроме того , ошибки могут возникнуть на стадии выбора значений аргумента: их недостаточность или большой разрыв между соседними значениями аргумента. При работе с функцией необходимо учитывать область определения функции , т.е. отделить те значения аргумента, при которых выражение, задающее функцию, теряет смысл. Чтобы избежать этого, можно применить уже известные приемы.

В школьном курсе построение графика такой функции строится в два приема:

• Строится по точкам график функции .
• Выполняется  параллельный перенос построенного графика на определенные расстояния в определенном направлении в зависимости от знаков a и b.

№ 1.   Алгоритм построения.

1)      Построим прямоугольную систему координат и выполним разметку по осям карандашом (впоследствии эта разметка нам не пригодится).

2)      К построенной системе координат построим график функции

3)      Выполним параллельный перенос оси Оу в положительном направлении на 3 единицы (вправо).

4)      Выполним разметку (уже ручкой).

5)      В данной системе координат построенный график является графиком функции

№3. Алгоритм построения.

1)      Построим систему координат х^/о^/у^/

2)      По точкам построим функции

3)      Выполним параллельный перенос оси о^/х^/ на 4 единицы в отрицательном направлении (вниз).

4)      Выполним разметку в системе координат хоу.

Для более точного построения графика функции,  и . При отсутствии шаблона построение графика функции , становится более трудоемким. Особенно это относится к построению графика гармонического колебания.

Упростить эту работу можно, с помощью следующих приемов.

Прием №1. Для того, чтобы построить график функции  и сдвинуть ось ОУ на |a| единиц (точка О “ползет” по оси Ох).

Если, а>0, то ось Оу надо сдвинуть в положительном направлении на |a| единиц (т.е. вправо). Если же a<0, то ось Оу надо сдвинуть на |a| единиц в отрицательном направлении (т.е. влево).  

1)      х^/о^/у^/

2)     

3)      а.

4)      Выполнить новую разметку.

Рассмотрим несколько примеров.

№1 Построить график функции

  Алгоритм построения.

6)      Построим прямоугольную систему координат и выполним разметку по осям карандашом (впоследствии эта разметка нам не пригодится).

7)      К построенной системе координат построим график функции

8)      Выполним параллельный перенос оси Оу в положительном направлении на 3 единицы (вправо).

9)      Выполним разметку (уже ручкой).

10)  В данной системе координат построенный график является графиком функции

№2 Построить график функции  

Алгоритм построения.

1)       по точкам в  х^/о^/у^/

2)     

3)      Выполним новую разметку.

Рассмотрим построение графика функции .

Прием №2. Для того, чтобы построить график функции ,надо построить график функции |b| единиц (точка О “ползет” по Оу).

Если b>0, то ось Ох смещается на |b| единиц в отрицательном направлении (вниз). Если же b<0, то ось Ох смещается на |b| единиц в положительном направлении (вверх).

Составим алгоритм построения графика функции .

1)      х^/о^/у^/

2)      Построить график функции

3)      ^/х^/  в зависимости от знака b.

4)      хоу.

Рассмотрим несколько примеров

№3 Построить график функции

  Алгоритм построения.

5)      Построим систему координат х^/о^/у^/

6)      По точкам построим функции

7)      Выполним параллельный перенос оси о^/х^/ на 4 единицы в отрицательном направлении (вниз).

8)      Выполним разметку в системе координат хоу.

№4 Построить график функции .

Алгоритм построения.

1)      х^/о^/у^/ построим график функции

2)     

3)      Выполним разметку в хоу.

Правило 3.

Для построения графика функции  надо использовать прием №1 и №2 последовательно.

№5 Построить график функции

Алгоритм построения.

1)     

2)     

№6 Построить график функции

Алгоритм построения.

1)      х^/о^/у^/ построим график функции

2)     

Рассмотрим прием № 4

Для того, чтобы построить график функции ^/(-а:b). Во вспомогательной системе координат построить график функции . Тогда в данной системе координат построенный график будет графиком функции

Алгоритм построения.

1)      хоу.

2)      о^/

3)      х^/о^/у^/, где о^/х^/ || ох и о^/у^/ || oy.

4)      х^/о^/у^/ построим график .

5)     

6)     

№7  х^/о^/у^/ построим график о^/ (-3:-4)

Прием № 4 более удобен для работы по сравнению с приемами №1- №3, кроме того, этот прием более приближен к приемам построения кривых второго порядка, заданных общим каноническим уравнением второго порядка в аналитической геометрии, изучаемой в вузах.

№8 Построить график функции:  

Во вспомогательной системе х^/о^/у^/, где о^/-вершина параболы

О^/ (Хо;Уо)

О^/(1;-2).

№9 Построить график функции:

Во вспомогательной системе координатной х^/о^/у^/, где о^/ (-3;2) построим график функции

№10

Во вспомогательной системе координат х^/о^/у^/ построим график функции

о^/ (-2;1)

V.