Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:

                            b_ix_i-1+c_ix_i+d_ix_i=r_i                                                 (1)

где i=1,2,...,n; b₁=0, d_n=0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:

                                   c₁  d₁ 0  0  ...  0   0   0                   x₁                    r₁

                                   b₂  c₂ d₂ 0  ...  0   0   0                   x₂                    r₂ 

                                   0  b₃  c₃  d₃ ...  0   0   0                   x₃                             r₃         

                                   .   .   .    .    ...   .   .   .            *       ...          =        ...    

                                   0  0  0  0    ...  b_n-1c_n-1 d_n-1                   x_n-1                            r_n-1

                                   0  0  0  0    ...  0   b_n   c_n                         x_n                               r_n

            Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ_i и λ_i (i=1,2,...,n), при которых

                                      x_i= δ_ix_i+1+ λ_i                                                                 (2)

т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение x_i-1= δ_i-1x_i+ λ_i-1 подставим в данное уравнение (1):

                                      b_iδ_i-1 x_i+ b_i λ_i-1+ c_ix_i+ d_ix_i+1= r_i      

откуда

                                      x_i= -((d_i /( c_i+ b_iδ_i-1)) x_i-1+(r_i - b_i λ_i-1)/( c_i - b_i δ_i-1)).

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i=1,2,…,n выполняются рекуррентные соотношения

                                     δ_i = - d_i /( c_i+ b_iδ_i-1) ,   λ _i=(r_i - b_i λ_i-1)/( c_i - b_i δ_i-1)           (3)

Легко видеть, что, в силу условия b₁=0, процесс вычисления δ_i , λ_i  может быть начат со значений

                                      δ₁ = - d₁/ c₁ ,         λ₁ = r₁/ c₁

и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i=2,3,...,n, причем при i=n, в силу d_n=0, получим δ_n=0.Следовательно, полагая в (2) i=n,будем иметь

                                      x_n = λ_n = (r_n – b_n λ_n-1)/( c_n – b_n δ_n-1)

(где λ_n-1 , δ_n-1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся x_n-1 , x_n-2 ,…, x₁ при i=n-1, n-2,...,1 соответственно.

         Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ_i , λ_i  по формулам (3) при i=1,2,…,n (прямая прогонка) и затем неизвестных x_i по формуле (2) при i=n-1, n-2,...,1 (обратная прогонка).

         Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой, если |δ_i|<1 при всех i€{1,2,...,n }.

Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

Теорема

Пусть коэффициенты b_i и d_i  уравнения (1) при i=2,3,...,n-1 отличны от нуля и пусть

                   |c_i|>|b_i|+|d_i|                   i=1,2,…,n.                              (4)

Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. с_i+b_iδ_i-1≠0, |δ_i|<1).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

При i=1, в силу (4), имеем:  

|c₁|>|d₁|≥0

         - неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же

                                      |δ₁|=|- d₁/ c₁|<1   

                   Предположим, что знаменатель (i-1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δ_i-1|<1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем:

                            |с_i+b_iδ_i-1|≥|c_i| - |b_iδ_i-1|>|b_i|+|d_i| - |bi|*|δi_-1|= |d_i|+|bi|(1 - | δ_i-1|)> |d_i|>0

а с учетом этого

                                     |δ_i|=|- d_i/ с_i+b_iδ_i-1|=|δ_i|/| с_i+b_iδ_i-1|<|δ_i|/|δ_i|=1   

Следовательно, с_i+b_iδ_i-1 ≠0 и |δ_i|<1 при всех i€{1,2,...,n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.

         Пусть А – матрица коэффициентов данной системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть

δ₁= - d₁/ c₁  ,  δ_i=|- d_i/ c_i+b_iδ_i-1    (i=2,3,...,n-1),   δ_n=0

- прогоночные коэффициенты, определяемые первой из формул (3), а

                            ∆_i= с_i+b_iδ_i-1          (i=2,3,...,n)

- знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно утверждению теоремы). Непосредственной проверкой легко убедится, что имеет место представление A=LU, где

                                   c₁   0  0   0  ...  0    0    0              

                                   b₂   ∆₂ 0  0  ...  0    0    0                  

                           L=    0  b₃  ∆₃   0  ...  0    0    0                  

                                   …………………………      

                                   0   0   0   0    ...  b_n-1 ∆_n-1 0              

                                   0   0   0   0    ...  0   b_n   ∆_n