Методы статистического моделирования в радиотехнике


Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Балтийский государственный технический университет

Кафедра радиоэлектронных систем управления

Методы статистического моделирования в радиотехнике Учебное пособие

Санкт-Петербург 2003

Содержание стр. Введение ......................................................................................................................... 3 Моделирование случайных величин с заданным законом распределения ............... 4 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения ....................... 4 Метод Неймана .......................................................................................................... 4 Метод кусочной аппроксимации .................................................................................. 5 Типовые алгоритмы моделирования случайных величин наиболее распространенными законами распределения ............................................. 7 Равномерный закон распределения ..................................................................... 7 Нормальный закон распределения ...................................................................... 8 Закон распределения Релея .............................................................................. 10 Обобщенный закон распределения Релея (закон Релея-Райса) ............................ 10 Экспоненциальный (показательный) закон распределения ................................. 11 Логарифмически-нормальный закон распределения ........................................... 12 Моделирование случайных векторов ....................................................................... 13 Метод условных распределений ................................................................................ 13 Многомерный метод Неймана .................................................................................... 13 Метод линейного преобразования ............................................................................. 14 Моделирование случайных процессов ..................................................................... 16 Моделирование нормальных случайных процессов ..................................................... 16 Метод скользящего суммирования ..................................................................... 17 Метод рекуррентных разностных уравнений ...................................................... 19 Типовые алгоритмы моделирования нормальных случайных процессов с часто встречающимися корреляционными функциями ......................................................... 19 Случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией .................... 19 Случайный процесс с экспоненциально-косинусной корреляционной функцией .... 20 Случайный процесс с корреляционной функцией вида ........................................ 21 Случайный процесс с прямоугольным спектром корреляционной функцией sin(x)/x ................................................................ 21 Случайный процесс с экспоненциальным спектром корреляционной функцией вида .................................................................... 22 Случайный процесс с треугольной корреляционной функцией ............................. 23 Моделирование случайных процессов с распределениями плотности вероятности отличными от нормальных ...................................................... 25 Типовые алгоритмы моделирования стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения плотности вероятности ...... 26 Случайный процесс с равномерным распределением .......................................... 26 Случайный процесс с распределением Релея ..................................................... 27 Случайный процесс с экспоненциальным распределением .................................. 28 Случайный процесс с логарифмически-нормальным распределением ................... 29 Моделирование многомерных нормальных случайных процессов ................................. 29 Моделирование нестационарных случайных процессов ............................................... 32 Моделирование нестационарности по математическому ожиданию ...................... 32 Моделирование нестационарности по дисперсии ................................................ 32 Моделирование нестационарности по корреляционной функции (спектральной плотности) или одномерной плотности ................................................. 33 Процессы со сложными видами нестационарности .............................................. 33 Моделирование случайных потоков ......................................................................... 34 Моделирование случайных полей ............................................................................ 35

Введение

Математическими моделями радиосигналов, радиопомех и различных комбинаций сигналов и помех являются, в общем случае, случайные функции времени (случайные процессы), которые можно представить в следующем общем виде:

t S ) =F [f (x t 1 , x , ,... f (x t 1 , x2 ,..., ,... v (y t 1 , y2 , ,... v (y t 1 , y ,..., ,... ξ(t ),ξ(t ),...](1)

t1 , 2 ) 2 , ) 1 , ) 2 , 2 ) 12

где t -непрерывное или дискретное время;

(, )(, )

x t 1 f 1 , x , ,... x t 2 f 1 , x2 ,... ,... -детерминированные функции с детерминированными

2

параметрами;

, ))

v1 (x t 1 , x2 , ,... v (x t 1 , x ,... ,... -функции со случайными параметрами;

2 , 2

ξ1 (),ξ(t ),...-случайные процессы (шумы) с заданными свойствами;

t2 Ft-символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от времени.

Реализации (выборочные функции) случайного процесса являются детерминированными функциями.

k k2k ) kk

S ()=F [f (x t 1 , x2 ,..., ,... v (y t 1 , y ,..., ,... ξ(t ),ξ(t ),...] (2)

t1 , )

1 , 12 kk k

где y1 , y ,...,ξ(),ξ(),...-реализации соответствующих случайных величин и случайных

2 1t 2kt

процессов (k -номер реализации).

Функции со случайными параметрами являются разновидностями случайных процессов, отличающихся способом их задания. Их иногда называют параметрически заданными

kk

случайными процессами, в отличие от ξ(t ),ξ(t ),... -задаваемых другими способами, например,

12

с помощью многомерных плотностей распределения вероятностей, и называемых просто случайными процессами.

Параметры y (), y (t ),... -могут быть как непрерывными, так и дискретными случайными

t2

1

величинами. Обычно предполагается, что известны их плотности распределения вероятностей

ω(y1 , y ,...).

2

Преобразование Ftвключает в себя различные операции, осуществляемые, например, при модуляции сигналов или при взаимодействии сигналов и помех (суммирование в случае аддитивной смеси).

Практически любое колебание, наблюдаемое в некоторой точке радиотракта, может быть представлено в форме (1).

Целью моделирования радиосигналов и радиопомех является воспроизведение на ПК случайных процессов вида (1), математически описывающих радиосигналы и радиопомехи.

1. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения

1.1 Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения

y

( ()(

Пусть y W ) = z d z w ) -функция распределения вероятностей случайной величины y ,

∞ −

1 ()1 ()

а Wx -функция обратная y W

(). Тогда случайная величина y =Wx имеет заданный закон распределения y W

(), если случайная величина x равномерно распределена от 0 до 1.

Пример 1.1

Пусть требуется получить алгоритм формирования случайной величины, имеющей закон

распределения Релея: