Легко заметить, что отношение          равно тангенсу угла a, образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В (соответствующие точкам х и х+Dх), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперь приращение Dх будет стремиться к нулю, точка В будет стремиться к А, то угол a будет стремиться к s, образованному положительным направлением касательной с положительным направлением оси Ох, а tg a будет стремиться к tg s.

Таким образом, можно утверждать следующее:

Производная в данной точке х равна тангенсу угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительным направлением оси Ох.

1.2  Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение Dу в этой точке можно представить в виде

      где                a (Dх) = 0

0           , Dх = 0

При таком определении a имеет для всех Dх 

Dу = f’(х)Dх +a(Dх)Dх .

что и требовалось.            

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные.

                      то главную линейную часть f’(х)Dх, её приращения будем обозначать d_ху, d_хf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х.

Написав для симметрии d_хх вместо Dх, получим следующую формулу:

откуда                  = f’(х).

Заметим ещё, что дифференциалы d_ху и d_хх являются функциями переменной х, причём функция d_хх принимает постоянное значение Dх.

 1.3 Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

                      Dу = f’(х)Dх или d_хх = f’(х)d_хх (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,

                      х = х(t).

Теорема.        Если функции х = j(t) и у = y(t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t­₁ и х = х₁ = j(t₁), то дифференциал  сложной функции у = f(j(t)) = y(t) может быть представлен в виде

                      d_tу = f’(х₁) d_tх.

Доказательство:  Согласно определению дифференциала имеем

                      d_tх = j’(t₁) d_tt (1¹)  

                      d_tу = y’(t₁) d_tt  (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

                      y’(t₁) = f’(х₁) j’(t₁)

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

                      d_tу = f’(х₁) j’(t₁) d_tt,

отсюда в силу формулы (1¹)

                      d_tу = f’(х₁) d_tх  (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде

                      dу = f’(х) dх  (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t.

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_хх и d_ху или, соответственно, d_tх и d_tу.

Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то

                      у’_х = f’(х);

когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то

                       у’_х = f’(и)и’_х.

При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:

                      d_ху = f’(х) d_хх,     d_ху = f’(и) d_хи

                                        или

                      dу = f’(х) dх,       dу = f’(и) dи.

1.4  Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и J — функции от х:

                      и = f(х), J = j(х),

имеющие непрерывные частные производные.

Если положить у = и + J,

то                   у’_х = и’_х + J’_х,

откуда            у’_х dх = и’_х dх + J’_хdх,

следовательно  dу = dи + dJ,

то есть            d(и + J) = dи + dJ.

Аналогично    dси = сdи,

где  с – постоянное число;

                      d (   ) =               .

Замечание.     На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.   

1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала.

Дифференциал можно геометрически представить следующим образом:

Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = tg a ^. dх = СД.

Таким образом, если Dу – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.

                                          =         a (Dх) = 0

На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать

                      Dу = dу = f’(х)dх.  

2.   Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

2.1.      Первообразная функция и неопределённый интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной  f’(х)  или дифференциала f’(х)dх данной функции  f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Дана функция  f(х); требуется найти такую функцию  F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции  f(х), то есть, в этой области функции  f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

Определение.  Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции  f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или  dF(х) = f(х)dх.

Примеры.       1) Пусть  f(х) = cos х.

                      Решение: Тогда F(х) = sin х, так как                    F’(х) = cos х = f(х) или  dF(х) = cos х dх = f(х)dх

                      Решение: Тогда F(х) =    , так как F’(х) = х² = f(х)  или dF(х) = х²dх = f(х)dх.

Известно, что если две функции  f(х) и j(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если  f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j’(х) или  f’(х)dх = j’(х)dх.

Известно также, что и наоборот, если две функции  f(х) и j(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если 

                      f’(х) = j’(х) или dхf(х) = dj(х), то

                      f(х) = j(х) + С.

Замечание.     Действительно, если производная  f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.

В самом деле, если х₁Î (а,в) и х₂ Î (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х₂) – f(х₁) = (х₂–х₁) f’(х₀), где х₁< х₀< х₂ . Но, так как f’(х₀) = 0, то f(х₂) – f(х₁) = 0.

Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

                            f(х)dх    

                            f(х)dх = F(х) + С,  (А) 

Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции  f(х) называется интегрированием

2.2.      Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

2.3.      Основные свойства неопределённого интеграла.

1)   Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

                           f(х)dх = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f(х)

                         [   f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,

                          [   f(х)dх ]’ = F’(х) + С¹ = F’(х) = f(х) .

2)  

                      d   f(х)dх = f(х)dх     

                 d  f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3)  

                          dF(х) = F(х) + С, (v)

                         d   dF(х) = dF(х) (по свойству 2)

                           dF(х) = F(х) + С

4)   Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть

   и                 d [ a   f(х)dx ] = ad    f(х)dх =а f(х)dх

                      (в силу свойства дифференциала)

                          а f(х)dх = а   f(х)dх.

5)  

                [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх =   f₁(х)dх +   f₃(х)dх –   f₃(х)dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

                      d   [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

                      = d   f₁(х)dх +   f₂(х)dх –    f₃(х)dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

      f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх = [ f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).

2.4.  Метод непосредственного интегрирования.

Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.

1)     

2)     

3)   

                                       =                

Применяя формулу, получаем  tg3х + С

В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.

3)     

                      = 2   х³dх + 9   х²dх – 5   х^1/2  + 4   dх/  х   =

                      = х⁴ / 2 + 3х³ – 10/3 х   х  + 8  х  + С.

2.5.  Метод замены переменной (способ подстановки).

                            f(х)dх  =     f[j(t)]j’(t)dt,  (1)

где  х = j(t) – дифференцируемая функция от t, производная которой j’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.

                      d [   f(х)dх ] =  f(х)dх = f [j(t)] j’(t)dt

                      d   f [j(t)] j’(t)dt = f [ j(t) ] j’(t)dt

Таким образом, формула (1) справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = j(t), dt = j’(t)dх.

1)             (2х + 3)⁴dх.  

Данный интеграл можно свести к табличному интегралу (V). Подстановка выбирается из простого соображения: в подынтегральном выражении табличного интеграла (V) в основании степени и под знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение и.

                      = 1/2 * и⁵/5 + С =              + С.

2.6   Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а,в). имеем тогда

                      (uv)’ = uv’ + vu’

так что           uv’ = (uv)’ – vu’

Если оба интеграла существуют.

                         udv = uv –   vdu.  (2)

1) J =    хе^хdх.

                      v =   е^хdх = е^х

Следовательно,

                      J = хе^х –   е^хdх = хе^х – е^х + С.

Положим,       u = ln х,      dи = dх/х

                      J = х ln х –   dх = х ln х – х + С..

2.7.  Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть интервал [а,в], на котором задана функция у = f(х), разбит точками деления х₁< х₂ < … < х_{п – 1} на п частичных интервалов D₁ = [х₀,х₁], D₂ = [х₁,х₂], …, D_n = [х_п–1,х_п], где а =х₀ , в = х_п, причём в каждом частичном интервале D_i выбрана какая–либо точка a_i:

х_i–1 £ a_i £ х_i  (i = 1, 2, …, п). Пусть, далее, Dх_i – длина интервала D_i, то есть,

                      х_i  – х_i–1 = Dх_i  (i = 1, 2, …, п),

а max Dх_i – наибольшее из чисел Dх_i.

(1)  f(a₁) Dх₁ + f(a₂) Dх₂ + … + f(a_п) Dх_п = å f(a_i) Dх_i,

когда длины  Dх_i всех частичных интервалов D_i стремятся к нулю (при этом с необходимостью число п этих интервалов будет стремиться к бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой суммы при max Dх_i® 0, так как условие, что максимальная из длин частичных интервалов D_i стремится к нулю, равносильно условию, что все Dх_i® 0.

                      lim å f(х_i) Dх_i.

Определение.  Сумму (1) называют интегральной суммой.

                      lim å f(a_i) Dх_i, (2)

                      не зависящий от того, каким образом интервал [а,в] делится на частичные интервалы и каким образом выбираются точки a_i на этих частичных интервалах, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю. Этот предел называется определённым интегралом от функции f(х) на интервале  [а,в] и обозначается символом

Для того чтобы не оставалось неясностей, сформулируем точно, как следует понимать предел (2).

                      |å f(a_i)Dх_i – J |< e

                      при любом выборе частных интервалов, D₁, D₂, …, D_п и точек a₁, a₂, …, a_п на этих интервалах, лишь бы только выполнялось требование max Dх_i® 0, то есть лишь бы длина наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов была меньше d.

Из определения определённого интеграла отнюдь не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Можно подобрать такие функции, для которых определённый интеграл не существует, то есть для которых интегральная сумма не стремится к определённому пределу. Существование определённого интеграла от функции, заданной на интервале [а,в], обеспечивает непрерывность этой функции на [а,в], поэтому непрерывность функции на [а,в] является достаточным условием её интегрируемости на этом интервале, то есть

Теорема 1.      Если функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале [а,в], то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет определённый интеграл

Иногда на практике приходится интегрировать и разрывные функции. Приведём несколько более широкое достаточное условие существования интеграла.

Теорема 2.      Если на интервале [а,в] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [а,в].

2.8.  Основные свойства определённого интеграла.

                        f(х)dх =    f(х)dх +   f(х)dх,

                      если все эти три интеграла существуют.

                      å f(a_i)Dх_i   

                      å f(a_i)Dх_i = å f(a_i)Dх_i = å f(a_i)Dх_i

соответствующие интервалам [а,с] и [с,в].

Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала Dх_i, то есть, при max Dх_i® 0, будем иметь

                        k f(х)dх = k  f(х)dх.   

Теорема 3.      Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов  от этих функций.

   [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх =   f₁(х)dх  +   f₂(х)dх  –   f₃(х)dх

=   f₁(х)dх  +   f₂(х)dх  –   f₃(х)dх

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

   f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство:  Так как функция  f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов D_i длиной Dх_i = х f(a_i) ³ т – х_i–1 (i = 1, …, п).

Так как  f(a_i) ³ т при любом a_i, то 

так как å Dх_i = Dх₁+Dх₂ + … + Dх_п = в – а.

Так как, далее, f(a_i) £ т, при любом a_i, то

то есть,           å f(a_i)Dх_i £ М(в – а).

                      т(в – а) £ å f(a_i)Dх_i £ М(в – а).

                      т(в – а) £   f(х)dх £ М(в – а)

                                (в – а)

                                  f(х)dх

                                  (в – а)

можно принять за значение  f(с) функции  f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т £ f(с)£ М).

                      (   f(х)dх) / (в – а) = f(с)

или

в а

ò

2.9.  Геометрический смысл определённого интеграла.

                      S =   f(х)dх 

Таким образом, в случае, когда f(х) ³ 0, то есть, когда график функции у = f(х)  располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции. 

Если же f(х) = 0 при а £ х £ в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом  [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной кривой  у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция  f  непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а £ х £ в, то есть, для любого х Î [а,в], существует интеграл

Если f(t)³0 " tÎ[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)