Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РЭС (РТС)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По курсу «Методы проектирования и оптимизации РЭA»
Вариант №7
|
Выполнил: ст.гр. РТз – 98 – 1 Чернов В.В. Шифр 8209127 |
Проверил: Карташов В. И. ____________________ |
Харьков 2003
Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими значениями.
Решение
Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0x.
а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.
Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:
МХ = (1.1)
второй центральный момент (дисперсия):
D = 0.086 , (1.2)
среднеквадратичное отклонение:
s = . (1.3)
Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,
МХ = (1.4)
D = 0.085 , (1.5)
s = (1.6)
Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.
Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности:
pравн(x) = , (1.7)
математическое ожидание:
Mx = , (1.8)
дисперсия:
Dx =
=, (1.9)
что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной случайной величины.
Решение
а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):
Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен:
DX = (2.1)
Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения (1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения
|
Номеринтер-вала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Диапа-зон значе-ний |
0-0.1 |
0.1-0.2 |
0.2-0.3 |
0.3-0.4 |
0.4-0.5 |
0.5-0.6 |
0.6-0.7 |
0.7-0.8 |
0.8-0.9 |
0.9-1 |
|
Коли-чество попа-даний |
151 |
174 |
149 |
189 |
190 |
161 |
166 |
182 |
177 |
161 |
|
Часто-та по-пада-ния Pi |
0.089 |
0.102 |
0.088 |
0.111 |
0.112 |
0.095 |
0.098 |
0.107 |
0.104 |
0.095 |
|
Оцен-ка плот-ности pi |
0.888 |
1.024 |
0.876 |
1.112 |
1.118 |
0.947 |
0.976 |
1.071 |
1.041 |
0.947 |
Рисунок 2.2 Гистограмма распределений
Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной случайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):
Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения математического ожидания и дисперсии:
M = (3.1)
D = 0.088 . (3.2)
в) функция корреляции:
R(j) = , (3.3)
значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 , значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.
Таблица 3.1 Значения функции корреляции:
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
R(j) |
-9.6·10-4 |
3.53·10-3 |
2.7·10-4 |
4.24·10-3 |
-1.73·10-3 |
6.61·10-4 |
4.11·10-4 |
6.74·10-5 |
3.95·10-4 |
1.12·10-3 |
Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, s2 = 27.
Решение
Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применим метод обратной функции:
а) для распределения Релея
p(x) = (4.1)
случайная величина
x = F(x) = (4.2)
равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1):
xi = ,
xi = , (4.3)
где xi – значения выборки БСВ
Результат моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1:
Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.
2. Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио, 1970. – 600 стр.
3. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник. М. – Радио и связь, 1988. – 304 с.