Моделирование производственных и экономических процессов

Алматинский Колледж Экономики и права

Курсовой проект

По дисциплине: «Моделирование производственных и экономических процессов»

           Выполнил студент 408 – П гр.

                                                                           Дворный Денис В..

     Проверил преподаватель

                                                                                        Джумабекова Б.Ж.

                                                                       Защитил с оценкой __________ 

Алматы 2006

Содержание

             стр.

Введение ………………………………………………………………………...

Глава 1. Моделирование как метод научного познания…………….………..3

1.1  Особенности применения метода математического моделирования в экономике…………………………………………………………………6

1.2   Классификация экономико-математических моделей…………………7

1.3   Этапы экономико-математического моделирования…………………10

Глава 2. Симплексный метод оптимальных продаж …………………………14

            2.1 Расчеты оптимальных продаж элементов компьютерной продукции.23

            2.2 Алгоритм задачи…………………………………………………………24

  Глава 3.Транспортная задача……………………………………………………25

  3.1 Постановка задачи………………………………………………………25

  3.2 Алгоритм решения транспортной задачи................................................27

 Заключение……………………………………………………………………31

Литература……………………………………………………………………32

Введение

Моделирование как метод научного познания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Глава I

1.1               Особенности применения метода математического моделирования в экономике.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

1.2               Классификация экономико-математических моделей.

Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

1.3               Этапы экономико-математического моделирования.

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью эконномических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной инфориации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дефференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

Глава II

2.2 Симплексный метод

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x₁, x₂, ... , x_n ) при ограничениях g_i ( x₁, x₂, ... , x_n ) * b_i , где g_i - функция, описывающая ограничения, * - один из следующих знаков £ , = , ³ , а b_i - действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели ( целевая функция ).

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max

при условии :

 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n £ b₁ ;

 a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n £ b₂ ;

 _{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

 a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + . . . + a_mn x_n £ b_m ;

 x₁ ³ 0, x₂ ³ 0, _{. . .} , x_n ³ 0 _.

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max c^T x

при условии

A x £ b ;

x ³ 0 ,

где А - матрица ограничений размером ( m´n), b^(m´1) - вектор-столбец свободных членов, x^{(n ´ 1)} - вектор переменных, с^Т = [c₁, c₂, ... , c_n ] - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х₀ называется оптимальным, если для него выполняется условие с^Т х₀ ³ с^Т х , для всех х Î R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему :

 Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

 Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ” или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

 Формируется симплекс-таблица.

 Рассчитываются симплекс-разности.

 Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

 При необходимости выполняются итерации.

 На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m , а в задачи минимизации - с положительными m . Таким образом из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

Модифицированный симплекс – метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

Постановка задачи

 Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - а₁ , оборудованием 2-го типа - а₂ , оборудованием 3-го типа - а₃ . На производство единицы изделия В идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - b₁ , оборудованием 2-го типа - b₂ ,_, оборудованием 3-го типа - b₃ .

На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t₁ , оборудование 2-го типа не более, чем на t₂ , оборудование 3-го типа не более, чем на t₃ часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет a рублей, а изделия В - b рублей.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами.

а₁ = 1 b₁ = 5 t₁ = 10 a = 2

а₂ = 3 b₂ = 2 t₂ = 12 b = 3

а₃ = 2 b₃ = 4 t₃ = 10

Разработка и описание алгоритма решения задачи

Построение математической модели задачи

Построение математической модели осуществляется в три этапа :

1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель.

 Так как требуется определить план производства изделий А и В, то переменными модели будут:

 x₁ - объём производства изделия А, в единицах;

 x₂ - объём производства изделия В, в единицах.

2. Формирование целевой функции.

 Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x₁ + 3x₂ ( рублей ). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции : определить допустимые значения переменных x₁ и x₂ , максимизирующих целевую функцию F = 2x₁ + 3x₂ .

3. Формирование системы ограничений.

 При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет предоставить на изготовления всех изделий. Это приводит к следующим трём ограничениям :

 x₁ + 5x₂ £ 10 ; 3x₁ + 2x₂ £ 12 ; 2x₁ + 4x₂ £ 10 .

 Так как объёмы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то появляются ограничения неотрицательности :

 x₁ ³ 0 ; x₂ ³ 0 .

 Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде : определить план x₁ , x₂ , обеспечивающий максимальное значение функции :

max F = max ( 2x₁ + 3x₂ )

 при наличии ограничений :

 x₁ + 5x₂ £ 10 ;

3x₁ + 2x₂ £ 12 ;

2x₁ + 4x₂ £ 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂ ³ 0 .

3.2 Решение задачи вручную

Табличный метод ещё называется метод последовательного улучшения оценки. Решение задачи осуществляется поэтапно.

1. Приведение задачи к форме :

x₁ + 5x₂ £ 10 ;

3x₁ + 2x₂ £ 12 ;

2x₁ + 4x₂ £ 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂ ³ 0 .

2. Канонизируем систему ограничений :

x₁ + 5x₂ + x₃ = 10 ;

3x₁ + 2x₂ + x₄ = 12 ;

2x₁ + 4x₂ + x₅ = 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂ ³ 0 .

A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₀

3. Заполняется исходная симплекс-таблица и рассчитываются симплекс-разности по формулам :

d₀ =  - текущее значение целевой функции

d_i =  - расчёт симплекс-разностей, где j = 1..6 .

Так как при решении задачи на max не все симплекс-разности положительные, то оптимальное решение можно улучшить.

4. Определяем направляющий столбец j^*. Для задачи на max он определяется минимальной отрицательной симплекс-разностью. В данном случае это вектор А₂

5. Вектор i^*, который нужно вывести из базиса, определяется по отношению :

min  при а_{i j} > 0

В данном случае сначала это А₃ .

5. Заполняется новая симплекс-таблица по исключеню Жордана - Гаусса :

 а). направляющую строку i^* делим на направляющий элемент :

a _{i j} = a _{i j} / a _{i j} , где j = 1..6

 б). преобразование всей оставшейся части матрицы :

a _ij = a_ij - a _{i j} × a_ij , где i ¹ i^* , j ¹ j^*

В результате преобразований получаем новую симплекс-таблицу :

Повторяя пункты 3 - 5, получим следующие таблицы :

Так как все симплекс-разности положительны, то оптимальное решение найдено :

X = ( 7/2 , 3/4 , 11/4 , 0 , 0 ) ( единиц )

max F = 9 1/4 ( рублей )

Анализ модели на яувствительность

Построение двойственной задачи и её численное решение

Проведение анализа на чувствительность связано с теорией двойственности, поэтому в курсовой работе необходимо построить двойственную задачу и найти её численное решение.

Для рассматриваемой модели двойственная задача имеет вид :

min T( y ) = min ( 10y₁ + 12y₂ + 10y₃ ) при условиях

 y₁ + 3y₂ + 2y₃ ³ 2 А₁

 5y₁ + 2y₂ + 4y₃ ³ 3 А₂

 y₁ ³ 0 , y₂ ³0 , y₃ ³ 0. А₃, А₄, А₅

Оптимальное решение двойственной задачи получается при решении прямой задачи из последней симплекс-таблицы. В результате получаем оптимальное решение двойственной задачи :

Y_опт = ( 0, 1/4, 5/8, 0, 0 ), для которого Т(y_опт) = 9 1/4.

Оптимальное значение целевой функции в двойственной задачи совпадает с оптимумом целевой функции прямой задачи, в чём не трудно убедиться.

Определение статуса ресурсов

Ресурсы относятся к дефицитным, если оптимальный план предусматривает их полное использование, при частичном использовании ресурсов, они считаются не дефицитными. Статус ресурсов для любой модели линейного программирования можно установить непосредственно из оптимальной симплекс-таблицы исходной по значению дополнительных переменных. Положительное значение дополнительной переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т.е. на его недефицитность, нулевое значение дополнительной переменной указывает на дефицитность ресурса.

Для данного примера дополнительные переменные х₄ и х₅ равны нулю, следовательно, оборудование второго и третьего типов являются “дефицитными”, а первого типа - “недефицитным” ( х₃ = 2,75 ). Такой же вывод можно сделать из решения двойственной задачи.

Определение значимости ресурсов

Значимость ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения целевой функции F, приходящейся на единицу прироста данного ресурса. Значимость ресурсов всегда можно определить по значению двойственных переменных в оптимальном решении двойственной задачи.

В данном случае Y_опт = ( 0, 1/4, 5/8, 0, 0 ). Таким образом, из двух “дефицитных” ресурсов оборудование второго типа имеет большую значимость и увеличении интервала работы на этом оборудовании более выгодно с точки зрения влияния на значение целевой функции.

 Определение допустимого интервала изменения запаса ресурсов

 Изменение отведённого администрацией предприятия времени ( т.е. правых частей ограничений ) может привести к недопустимости текущего решения. Поэтому важно определить диапазон изменений компонент вектора ограничений, в котором допустимость решений не нарушается.

Оборудование второго типа, которое используется для изготовления изделий, является “дефицитным и имеет большую значимость. Определим диапазон допустимых изменений интервала работы на этом оборудовании. Оптимальная симплекс-таблица задачи имеет вид :

Так как начальными базисными переменными являлись x₁, x₂, x₃ в оптимальной симплексной таблице в соответствующих столбцах расположена матрица А^-1 Изменим время работы на оборудование второго типа на величину D₂, тогда время работы будет 12 + D₂ .

Найдём базисное решение, соответствующее изменённому времени работы на оборудовании второго типа :

 0.75 - D₂ / 4 ³ 0 , D₂ = 3;

2.75 + 3D₂ / 4 ³ 0 , D₂ = -3.66;

3.5 + D₂ / 2 ³ 0 , D₂ = -7.

Отсюда видно, что -3.66 £ D₂ £ 3 , т.е. 8.34 £ b₂ £ 15 .

Таким образом первоначальный интервал работы на оборудовании второго типа может быть увеличен до 15 часов или уменьшен до 8.34 часа без нарушения допустимого решения. Уменьшение времени влечёт за собой уменьшение единиц вырабатываемой продукции, поэтому является не целесообразным.

 Исследование зависимости оптимального решения от изменений запасов ресурсов

Изменение свободного члена ограничения исходной задачи на величину D₂ вызывает изменение целевой функции на DF = D _i × y _j .Если приращение времени работы берется из интервала допустимых изменений, значений двойственных оценок остаются неизменными. Таким образом, изменение целевой функции будет линейно зависеть от изменения времени работы.

В данном примере DF = D _i × 12 = 12 × D _i . Ищется зависимость значений целевой функции от изменения времени работы на оборудовании второго типа. Для этого изменяется время работы начиная от 0 часов с шагом h = 0.5 до 3 часов. Результаты измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1

Т.к. зависимость F( b₂ ) - линейная, то достаточно подсчитать значение функции в двух крайних точках интервала.

Cледовательно, с увеличением времени работы на оборудовании второго типа на 2 часа увеличивается и объём изделий на общей стоимостью 28 рублей.

Графическое представление полученных результатов

Графический метод применим только для двух и менее переменных х, что подходит к данному заданию. Линии, соответствующие ограничения, строятся на осях Ох. Заштрихованная область - область допустимых стратегий.

x₁ + 5x₂ £ 10 ;

3x₁ + 2x₂ £ 12 ;

2x₁ + 4x₂ £ 10 .

x₁ ³ 0 ; x₂ ³ 0 .

1). x₁ + 5x₂ £ 10 ;

 x₁ = 0, x₂ = 2 ;

 x₁ = 10, x₂ = 0 .

2). 3x₁ + 2x₂ £ 12 ;

 x₁ = 0, x₂ = 6 ;

 x₁ = 4, x₂ = 0 .

3). 2x₁ + 4x₂ £ 10 ;

 x₁ = 0, x₂ = 2.5 ;

 x₁ = 5, x₂ = 0 .

4). Найдём экстремум функции :

 F = 2x₁ + 3x₂ ,

2.2 Постановка задачи

Задача об использовании ресурсов.

Фирма производит два вида продукции: а) диски; б) дискеты. В количестве x₁ и x₂ по цене 14 и 2. Имеются три вида ресурсов: b₁=13; b₂=7; b₃=11. Составить модель выпуска продукции с критерием максимального суммарного выпуска. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации была бы максимальной.

Вывод: Таким образом, целевая функция получает  максимальное значение при  x₁ = 2 и x₂ =1,75и f = 4*2+5*1,75 = 18,5.

2.3 Алгоритм решения задачи симплексным методом

1)    Перевести неравенство в равенство путем введения новых переменных;

2)       Исходную расширенную систему занести в первую симплексную таблицу. В первый столбец таблицы занести основные переменные (базис), во втором столбце таблицы записываются свободные члены системы, далее идут столбцы, в которые вносятся все переменные. В последний столбец записываются оценочные отношения (

3)       Проверяется выполнение критерия оптимальности при решении задачи на max (наличие в последней строке отрицательных коэффициентов). Если таких коэффициентов нет, то решение оптимально.

4)       Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный элемент в последней строке определяет разрешающий столбец.

5)       При составлении оценочных ограничений в каждой строке необходимо пользоваться следующими правилами: 

а) если знаки свободного члена и коэффициентов при переменных имеют разные знаки, то

б)если свободные члены равны 0, а коэффициенты при переменной отрицательные, то

в) если коэффициент при переменной равен 0, то

г) если свободный член равен 0, а коэффициент при переменной > 0, то

6)       Найти  min

7)       На пересечении разрешающей строки и столбца найти разрешающий элемент;

8)       Перейти к следующей таблице по правилам:

а) в левом столбце записывается новый базис, вместо основной переменной новую переменную;

б) в столбцах, соответствующих основным переменным, проставляются 0 и 1, 1– напротив своей переменной, 0 – напротив чужой;

в) новая строка получается из старой, путем деления на разрешающий элемент;

г) остальные элементы вычисляются по правилу метода Гаусса;

д) далее перейти к следующей итерации.

Глава III

3.1 Постановка задачи

Метод северо-западного угла

F = 140*4+70*0+70*3+4*120+7*220+8*180=4230

Метод минимального элемента по столбцу

F = 140*0+70*2+190*4+140*6+80*7+180*8=3740

Метод минимального элемента по строке

F = 180+760+220+1540=2700

Метод минимального элемента

F = 190*0 + 200*7 + 80*0 + 10*3 + 100*2 + 300*8 = 4030

Метод потенциалов

δ₁₁ = -5-0-4=-9<0  

δ₁₂ = -3-5=-8<0

δ₁₃ =-6=0<0

δ₂₁ =-5+2=-3<0

δ₂₂ =-3+2-3=-4<0

δ₂₄ =3-1=2

Вывод: Таким образом, целевая функция получает  максимальное значение при  x₁ = 2 и x₂ =1,75и f = 4*2+5*1,75 = 18,5.

3. 2 Алгоритм решения транспортной задачи.

       Важным частным случаем задачи линейного программирования является транспортная задача.

Постановка задачи: Пусть имеется m поставщиков и n  потребителей. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а так же затраты на перевозку груза для каждой пары «поставщик – потребитель» заданы таблицей.

    Найти объемы перевозок каждой пары «поставщик – потребитель» так, чтобы: мощности всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей были удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были бы максимальны.

    Особенности математической модели транспортной задачи:

ü система ограничений есть система уравнений, то есть задача ЛП в каноническом виде;

ü коэффициенты при неизвестных системы ограничений равны единицы или нулю;

ü каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз в систему ограничений поставок, второй раз – в систему ограничений спроса.

Математическая модель транспортной задачи.

Пусть хij – количество груза, перевозимого с i-го в j-й пункт.

Целевая функция:

Система ограничений:

Для решения задачи составляется таблица. В клетки таблицы записывается стоимость соответствующих перевозок сij и в них же заносятся значения перевозок xij, удовлетворяющих поставленным ограничениям. Клетки с не нулевыми перевозками называются базисными, а с нулевыми – свободными. В зависимости от соотношения между запасами и заявками транспортная задача называется сбалансированной или несбалансированной.

Сбалансированная ТЗ:

Несбалансированная ТЗ:

Для сбалансированной ТЗ ограничения принимают вид равенств, то есть получаем m+n ограничений, в которых все переменные линейно зависимы. В результате допустимое решение сбалансированной ТЗ может быть получено, если заполнять клетки транспортной таблицы таким образом, чтобы сумма перевозок в каждой строке  должна быть равна запасам ai, а сумма перевозок в каждом столбце  равна соответствующей заявке вj. Вариантов заполнения транспортной таблицы множество, поэтому искомым решением является то из допустимых решений, для которых общая стоимость перевозок будет минимальной.

Методы решения транспортной задачи.

           Транспортная задача может быть решена симплекс методом. Однако специфическая форма системы ограничений позволяет упростить симплекс метод.

МЕТОД СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА.         Заполнение клеток происходит последовательно по следующему алгоритму: сначала вывозится груз из пункта А1 и завозится в пункт В1, и этой перевозке х11 присваивается максимально возможное значение. Если заявка пункта В1 выполнена, а в пункте А1 еще остается груз, то он вывозится в пункт В2 и т.д. Если в пункте А1 недостаточно было груза для В1, то недостающий груз берется из А2 и т.д.

           После того как спрос потребителя  А1 удовлетворен, он выпадает из рассмотрения и т.д.

           Стоимость перевозки: W=5*15+5*7+25*7+5*4+25*6+10*7+5*4+10*6=605

Существенным недостатком метода северо-западного угла является то, что он построен без учета стоимости перевозок.

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА. Заполнение клеток транспортной таблицы начинается с той клетки, в которой значение минимально. В нее записывается максимально возможное значение перевозки хij, которое может быть равно либо запасу аi, либо заявке вj. Если заявка вj выполнена полностью, то j-й столбец больше не рассматривается. Если не вывезенный груз еще остался, то он вывозится в пункт с наименьшим тарифом.

           Стоимость перевозки: W = 30*4+5*6+15*4+15*5+5*6+25*8+5*6 = 545.

РАСПЕРЕДЕЛЕННЫЙ МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ ПЛАНА ПЕРЕВОЗОК. Для улучшения плана используют цикл транспортной таблицы. Цикл – это несколько клеток, соединенных замкнутой ломанной с прямыми углами.

Изобразим два цикла: А1В1, А1В2, А2В2, А2В1; А1В3,А1В4, А2В4, А2В6, А1В5, А4В5, А4В3.

Каждый цикл имеет четное число вершин и ребер, то есть в таблице в каждой строке или столбце может находтся только четное число клеток, содержащих вершины. Поэтому в клетках-вершинах можно менять значения петевозки так, что в сумма по строкам и столбцам не изменяется. Вершины цикла, в которых увеличиваем перевозки «+», а в которых уменьшаем перевозки «-». Величину изменения обозначим ∆, ее будем перемещать по циклу. Максимальное значение ∆, на которое можно уменьшить перевозку, определяется условием неотрицательности перевозок.

Цена цикла q – это изменение стоимости перевозок при перемещении ∆ по циклу, которая равна разности между суммой стоимостей перевозок, соответствующих «+»-ым вершинам и суммой стоимостей  «-» -ых вершин.

Q1= (с11+с22)-(с12+с21)

Q2 = (с13+с24+с16+с45)-(с14+с26+с15+с43)

При переносе по циклу к единиц груза, стоимость цикла и стоимость плана перевозок измениться на к единиц. Для улучшения плана перевозок нужно найти «-» цикл и переместить по нему максимально возможное количество груза, до тех пор пока таких циклов не останется. Количество груза, которое можно переместить определяется минимальным значением перевозок в «-» вершинах цикла.

Заключение

         Курсовая работа по дисциплине: «Моделирование экономических и производственных процессов» состоит из 3-х глав: задачи линейного программирования, симплексного метода оптимальных продаж, транспортной задачи.

В Главе 1 раскрываются задачи линейного программирования, приведена общая постановка задачи, описана целевая функция и система ограничений, приводятся методы решения задач линейного программирования. Далее описаны основы симплексного метода, который применяется для решения задачи моделирования выпуска кондитерской продукции. Также приведена общая постановка транспортной задачи.

В Главе 2 – приведено решение задачи моделирования выпуска видеотехники симплексным методом. Получено оптимальное распределение поставок видеотехники, при котором целевая функция (стоимость продукции) получила максимальное значение.

В Главе 3 – приведено решение транспортной задачи такими методами, как: метод северо-западного угла, метод минимального элемента по строке, метод минимального элемента по столбцу, метод минимального элемента. Методом потенциалов решена транспортная задача, получено оптимальное минимальное решение.

Литература

1.     Акулич – «Математическое программирование в примерах и задачах»;

2.     Вентцель – «Исследование операций»;

3.     Кремер – «Исследование операций в экономике»;

4.     Кремер – «Математическое программирование»;

5.     Колемаев – «Математические методы принятия решений в экономике»;

6.     Нид – «Линейное программирование».