1  e_ne₀ j_ij -j_0j  - e₁e₀  j_0j - j_ij   +   e_ne₀h₁ + e₁e₀h_-1    j_0,j+1 -  j_0j   -   j_0j  - j_0,j-1   =

h^*            h₁                     h_-1                      2h^*r^*_j                   r_j+1                   r_j

= - q  ( Nd_0j - Na_0j ) .  h₁  -  Q_ss

 2                            h^*      h^*

где h^* =  h₁ + h_-1

                   2

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления

Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёт которых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.

Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле:

L_xxU_mn + L_yyU_mn = j(x_m,y_n)                                                        (1)

U_mn|г = Y(s_mn)                                       m,n = 1,2,...,M-1

аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле:

d²U  +  d²U   =  j(x,y)                      0<= x <=1                                      

dx²        dy²                                                                   (2)

 U|г = Y(s)                                         0<= y <=1

Вслучае задачи (1) удаётся провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье.

Способыточного решения задачи (1) выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.

Решение U(x,y) Задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке (x,y) пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция j(x,y)  и Y(s) означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла:

dV = d²V + d²V - j(x,y)

 dt     dx²    dy²

V|г = Y(s)                                                                        (3)

V(x,y,0) = Y₀(x,y)

где j и Y те же что и в задаче (2), а Y₀(x,y) - произвольная.

Поскольку источники теплп j(x,y) и температура на границе Y(s) не зависит от времени, то естественно, что и решение V(x,y,t) с течением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V(x,y,t) в пределе при t àOO превращается в равновесное распределение тмператур U(x,y), описываемое задачей (2). Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t, пока её решение перестаёт менятся в пределах интересующей нас точности. В этом  состоит идеал решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) решается задача (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи (3).

Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему:

U^p+1_mn - U^p_mn = L_xxU^p_mn + L_yyU^p_mn - j(x_m,y_n)

          t

  U^p+1_mn|г = Y(s_mn)                                                             (4)

U⁰_mn = Y₀x_m,y_n)

Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему:

U^p+1_mn - U^p_mn = L_xxU^p+1_mn + L_yyU^p+1_mn - j(x_m,y_n)

t

U^p+1_mn|г = Y(s_mn)                                                             (5)

U⁰_mn = Y₀(x_m,y_n)

и исследуем схему применения направлений

U’_mn - U^p_mn = 1  [ L_xxU’_mn + L_yyU^p_mn  -  j(x_m,y_n)]

         t              2

U^p+1_mn - U’_mn = 1  [ L_xxU’_mn + L_yyU^p+1_mn  -  j(x_m,y_n)]

         t               2                                                              (6)

U^p+1_mn|г = U’_mn|г = Y(s_mn)

U⁰_mn = Y₀(x_m,y_n)

Будем считать, что Y₀(x_m,y_n) по уже известному U^p={U^p_mn} для схемы (4)  оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление U^p+1 = {U^p+1_mn} по схеме (5) требует решения задачи :

L_xxU^p+1_mn + L_yyU^p+1_mn - U^p+1_mn  =  j(x_m,y_n) - U^p_mn

  t                              t              (7)

U^p+1_mn|г = Y(s_mn)

Вычисление U^p+1 = {U^p+1_mn} по уже известным U^p = {U^p_mn} по схеме (6) осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений {U’_mn} одномерных задач при каждом фиксированом n, а затем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений {U^p+1_mn} одномерных задач при каждом фиксированом m.

Для каждой из двух разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность для счёта погрешностеи вычислений:

e^p_mn = U^p_mn - U_mn

между сеточной функцией U^p = {U^p_mn} и точным решением U = {U_mn} задачи (1).

Решение {U_mn} задачи (1) удовлетворяет уравнениям:

U^p_mn - U_mn =  L_xxU_mn - j(x_m,y_n)

         t

U_mn|г = Y(s_mn)

U⁰_mn = U_mn

Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности e^p_mn следующую разностную задачу:

e^p+1_mn - e^p_mn = L_xxe^p_mn + L_yye^p_mn

           t

e^p+1_mn|г = 0                                                                   (9)

e⁰_mn = Y₀(x_m,y_n) - U_mn

Сеточная функция e^p_mn при каждом p (p=0,1,...) обращается в ноль на границе Г.

Метод переменных направлений

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:

dU = LU + f(x,t)   ,  xÎG₀₂ , tÎ[0,t₀]

 dt

U|г = m(x,t)                                                                  (1)

U(x,0) = U₀(x)