Проекции точки

It`s help you!   By Taras, Stavropol.

На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущность метода ортогонального прое­цирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендику­лярные плоскости лучами, ортогональны­ми (перпендикулярными) к этим плоско­стям..

Одну из плоскостей проекций H распо­лагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H назы­вают горизонтальной плоскостью проек­ций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называ­ется осью координат и обозначается OX. Плоскости проекций делят пространст­во на четыре двугранных угла — четверти.

Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то види­мыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые располо­жены в пределах той же первой четверти.

При построении проекций необходимо по­мнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание пер­пендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

На рисунке показаны точка А и ее орто­гональные проекции а₁ и а₂.

Точку а₁ называют горизонталь­ной проекцией точки А, точку а₂ — ее фронтальной проекцией. Каждая из них является основанием перпендику­ляра, опущенного из точки А соответ­ственно на плоскости H и V.

Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпенди­кулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи Аа₁ и Аа₂ определя­ют плоскость, перпендикулярную плоско­стям проекций и линии их пересечения — оси ОХ.  Эта плоскость пересекает H и V по прямым а₁ а_x и а₁ а_x,, которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке а_x.

Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a₁ и a₂, расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересече­нием перпендикуляров, восставленных из точек a₁  и  a₂  к плоскостям H и V.

Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае дока­занное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относи­тельно оси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоя­щий из указанных выше проекций, плос­кость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками на рисунке. В результате пе­редняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полупло­скостью V.

Проекционный чертеж, на котором плос­кости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным об­разом одна с другой, называется эпю­ром (от франц. еpure – чертеж). На рисунке показан эпюр точки А .

При таком способе совмещения плоско­стей H и V проекции a₁ и a₂ окажутся расположенными на одном перпендикуля­ре к оси OX. При этом расстояние a₁a_x — от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a₂a_x — от фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H.

Прямые линии, соединяющие разнои­менные проекции точки на эпюре, усло­вимся называть линиями проекци­онной связи.

Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находит­ся данная точка. Так, если точка В распо­ложена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проек­ции окажутся лежащими над осью OX.

Если точка С находится в третьей чет­верти, то ее горизонтальная проекция по­сле совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX. На­конец, если точка D расположена в чет­вертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX. На рисунке пока­заны точки М и N, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, дру­гая же проекция ее оказывается лежа­щей на оси OX. Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с ко­торой совпадает сама точка, пишется за­главная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или чет­вертой четверти на одинаковом расстоя­нии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если послед­няя расположена на оси OX.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и две орто­гональные проекции предмета (при нали­чии буквенных обозначений) вполне опре­деляют его форму.

Однако в практике изображения строи­тельных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необ­ходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается бук­вой W и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обоз­начают их заглавными буквами или циф­рами с индексом 3 (aз, bз, cз, ... 1з, 2з, 3₃...).

Плоскости проекций, попарно пересека­ясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Сис­тема знаков, указанная на рисунке, со­ответствует «правой системе» координат.

Три плоскости проекций делят про­странство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты. Нумера­ция октантов дана на рисунке.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель, рассматривающий предмет, находит­ся в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результа­те вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя полупло­скость W — с левой полуплоскостью V.

Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY показана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY на эпюре совме­щается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX.

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, — ОY, — ОZ) указываться не будут.

ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе­ния ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоу­гольных декартовых координат х, у и z.

Координату х называют абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от дан­ной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плос­кости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Ка­кая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).

Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ­ка А, все    координаты которой положитель­ны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы, направ­ленные соответственно вдоль координат­ных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = ОA_xi+ОА_yj + ОА_zk                                      ,где ОА_Х, ОА_У, ОА_г — координаты векто­ра ОА

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез­ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини­цам длины. На этих отрезках ( Оa_x , Оa_y , Оa_z ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, проти­воположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заме­тить, что для определения точки А доста­точно построить только три ребра парал­лелепипеда, например Оa_x , a_xa₁  и a₁А или Оa_y , a_ya₁  и a₁A    и т. д. Эти ребра образу­ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со­ответствующей координатой точки.

Однако построение параллелепипеда по­зволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плос­кости H, V, W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.

Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоско­сти, определяется только двумя координа­тами.

Так, горизонтальная проекция a₁ опре­деляется координатами х и у, фронтальная проекция a₂ — координатами х и z, про­фильная проекция a₃ — координатами у и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно за­данию точки тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a₁ и a₂ окажутся на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a₂ и a₃  — на одном пер­пендикуляре к оси OZ.

Что касается проекций a₁ и a₃ , то и они связаны прямыми a₁a_y и a₃a_y , перпендикулярными оси ОY. Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отре­зок a₁a_y не может быть продолжением отрезка  a₃a_y .

Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполня­ют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок Оa_x = х (в нашем случае х = 5), затем через точку a_x прово­дят перпендикуляр к оси ОX, на котором с учетом знаков откладываем отрезки a_xa₁ = у (получаем a₁ ) и a_xa₂ = z (получаем a₂ ). Остается построить профильную проекцию точки a₃ . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a₃ проводят прямую  a₂a_z ^ OZ.

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси ОZ должна находиться  a₃ ?

Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a_za₃  = Oa_y =  a_xa₁ = y заключаем, что ис­комое расстояние a_za₃  равно у. Отрезок a_za₃ откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.

Проследим за тем, какие изменения про­изойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикуляр­ной плоскости V. При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V. Постоянными будут оста­ваться координаты х и z , а проекция точ­ки, определяемая этими координатами, т. е. a₂ не изменит своего положения.

Что касается проекций a₁ и a₃ , то пер­вая начнет приближаться к оси ОX, вто­рая — к оси ОZ. На рисунках новому положению точки соответствуют обозначе­ния a¹ (a₁¹  a₂¹  a₃¹ ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций      (a₁²и a₃²) будут лежать на осях.

Переместившись из I октанта во II, точ­ка начнет удаляться от плоскости V, ко­ордината у станет отрицательной, ее абсо­лютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H, на эпюре окажется выше оси ОX, а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W,  на эпюре будет слева от оси ОZ. Как всегда, отрезок a_z a₃³ = у.

На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения ко­ординатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чер­теж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе­ние предмета, а не его положение относи­тельно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельно­го переноса (рисунок). Их обычно переме­щают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказа­лись над плоскостью H и перед плоско­стью V. Так как положение оси X₁₂ оказы­вается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были распо­ложены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок △x характери­зует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А расположе­на левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстоя­ние, равное △y.

Наконец, отрезок △z показывает превы­шение точки А над точкой В.

Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя при­знать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выпол­нению чертежей, но и к решению различ­ных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи про­странственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет отно­сительно декартовых осей координат. Ука­занные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксономет­рия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций.