Программа (код) на С++ решения жесткой краевой задачи методом А.Ю.Виноградова

06 сентября 2011 (расчет ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ)

Алексей Юрьевич Виноградов

Кандидат физико-математических наук (1996 года защиты)

Дата рождения: 12 апреля 1970 (а то в интернете много моих полных тезок)

Мои сайты по методам решения краевых задач в интернете:

www.AlexeiVinogradov.narod.ru  www.VinogradovAlexei.narod.ru

www.Vinogradov-Alexei.narod.ru  www.Vinogradov-Math.narod.ru

 

СОДЕРЖАНИЕ:

  1. Программа (код) на С++, написанная в среде MS Visual Studio 2010 (Visual C++), – программа решения «жесткой» краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ПОСТОЯННЫМИ коэффициентами – ЦИЛИНДР. Страницы 2 – 12.
  2. Теория метода Алексея Юрьевича Виноградова «переноса краевых условий» для краевых задач, включая «жесткие» краевые задачи, для реализации которого написана приводимая программа. Страницы 12 - 26.

//from_A_Yu_Vinogradov.cpp: главный файл проекта.

//Решение краевой задачи - цилиндрической оболочки.

//Интервал интегрирования разбит на 100 участков: левый край - точка 0 и правый край - точка 100

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <conio.h>

using namespace std;

//Скалярное произведение векторов - i-й строки матрицы А и j-й строки матрицы С.

double mult(double A[8][8], int i, double C[8][8], int j){

       double result=0.0;

       for(int k=0;k<8;k++){

             result+=A[i][k]*C[j][k];

       }

       return result;

}

//Вычисление нормы вектора, где вектор это i-я строка матрицы А.

double norma(double A[8][8], int i){

       double norma_=0.0;

       for(int k=0;k<8;k++){

             norma_+=A[i][k]*A[i][k];

       }

       norma_=sqrt(norma_);

       return norma_;

}

//Выполнение ортонормирования. Исходная система A*x=b размерности 8х8 приводиться к системе C*x=d, где строки матрицы С ортонормированы.

void orto_norm_8x8(double A[8][8], double b[8], double C[8][8], double d[8]){

       double NORM;

       double mult0,mult1,mult2,mult3,mult4,mult5,mult6,mult7;

       //Получаем 1-ю строку уравнения C*x=d:

       NORM=norma(A,0);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[0][k]=A[0][k]/NORM;

       }

       d[0]=b[0]/NORM;

      

       //Получаем 2-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,1,C,0);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[1][k]=A[1][k]-mult0*C[0][k];

       }

       NORM=norma(C,1);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[1][k]/=NORM;

       }

       d[1]=(b[1]-mult0*d[0])/NORM;

       //Получаем 3-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,2,C,0); mult1=mult(A,2,C,1);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[2][k]=A[2][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k];

       }

       NORM=norma(C,2);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[2][k]/=NORM;

       }

       d[2]=(b[2]-mult0*d[0]-mult1*d[1])/NORM;

       //Получаем 4-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,3,C,0); mult1=mult(A,3,C,1); mult2=mult(A,3,C,2);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[3][k]=A[3][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k];

       }

       NORM=norma(C,3);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[3][k]/=NORM;

       }

       d[3]=(b[3]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2])/NORM;

       //Получаем 5-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,4,C,0); mult1=mult(A,4,C,1); mult2=mult(A,4,C,2); mult3=mult(A,4,C,3);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[4][k]=A[4][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

                                mult3*C[3][k];

       }

       NORM=norma(C,4);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[4][k]/=NORM;

       }

       d[4]=(b[4]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3])/NORM;

       //Получаем 6-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,5,C,0); mult1=mult(A,5,C,1); mult2=mult(A,5,C,2); mult3=mult(A,5,C,3); mult4=mult(A,5,C,4);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[5][k]=A[5][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

                                mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k];

       }

       NORM=norma(C,5);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[5][k]/=NORM;

       }

       d[5]=(b[5]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4])/NORM;

       //Получаем 7-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,6,C,0); mult1=mult(A,6,C,1); mult2=mult(A,6,C,2); mult3=mult(A,6,C,3); mult4=mult(A,6,C,4); mult5=mult(A,6,C,5);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[6][k]=A[6][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

                                  mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k]-mult5*C[5][k];

       }

       NORM=norma(C,6);

       for(int k=0;k<8;k++){

              C[6][k]/=NORM;

       }

       d[6]=(b[6]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4]-

                  mult5*d[5])/NORM;

       //Получаем 8-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,7,C,0); mult1=mult(A,7,C,1); mult2=mult(A,7,C,2); mult3=mult(A,7,C,3); mult4=mult(A,7,C,4); mult5=mult(A,7,C,5);

       mult6=mult(A,7,C,6);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[7][k]=A[7][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

                                mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k]-mult5*C[5][k]-mult6*C[6][k];

       }

       NORM=norma(C,7);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[7][k]/=NORM;

       }

       d[7]=(b[7]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4]-

                  mult5*d[5]-mult6*d[6])/NORM;

}

//Выполнение ортонормирования системы A*x=b с прямоугольной матрицей A коэффициентов размерности 4х8.

void orto_norm_4x8(double A[4][8], double b[4], double C[4][8], double d[4]){

       double NORM;

       double mult0,mult1,mult2,mult3,mult4,mult5,mult6,mult7;

       //Получаем 1-ю строку уравнения C*x=d:

       NORM=norma(A,0);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[0][k]=A[0][k]/NORM;

       }

       d[0]=b[0]/NORM;

      

       //Получаем 2-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,1,C,0);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[1][k]=A[1][k]-mult0*C[0][k];

       }

       NORM=norma(C,1);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[1][k]/=NORM;

       }

       d[1]=(b[1]-mult0*d[0])/NORM;

       //Получаем 3-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,2,C,0); mult1=mult(A,2,C,1);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[2][k]=A[2][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k];

       }

       NORM=norma(C,2);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[2][k]/=NORM;

       }

       d[2]=(b[2]-mult0*d[0]-mult1*d[1])/NORM;

       //Получаем 4-ю строку уравнения C*x=d:

       mult0=mult(A,3,C,0); mult1=mult(A,3,C,1); mult2=mult(A,3,C,2);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[3][k]=A[3][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k];

       }

       NORM=norma(C,3);

       for(int k=0;k<8;k++){

             C[3][k]/=NORM;

       }

       d[3]=(b[3]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2])/NORM;

}

//Произведение матрицы A1 размерности 4х8 на матрицу А2 размерности 8х8. Получаем матрицу rezult размерности 4х8:

void mat_4x8_on_mat_8x8(double A1[4][8], double A2[8][8], double rezult[4][8]){

       for(int i=0;i<4;i++){

             for(int j=0;j<8;j++){

                    rezult[i][j]=0.0;

                    for(int k=0;k<8;k++){

                           rezult[i][j]+=A1[i][k]*A2[k][j];

                    }

             }

       }

}

//Умножение матрицы A на вектор b и получаем rezult.

void mat_on_vect(double A[8][8], double b[8], double rezult[8]){

       for(int i=0;i<8;i++){

             rezult[i]=0.0;

             for(int k=0;k<8;k++){

             rezult[i]+=A[i][k]*b[k];

             }

       }

}

//Умножение матрицы A размерности 4х8 на вектор b размерности 8 и получаем rezult размерности 4.

void mat_4x8_on_vect_8(double A[4][8], double b[8], double rezult[4]){

       for(int i=0;i<4;i++){

             rezult[i]=0.0;

             for(int k=0;k<8;k++){

             rezult[i]+=A[i][k]*b[k];

             }

       }

}

//Вычитание из вектора u1 вектора u2 и получение вектора rez=u1-u2. Все вектора размерности 4.

void minus(double u1[4], double u2[4], double rez[4]){

       for(int i=0;i<4;i++){

             rez[i]=u1[i]-u2[i];

       }

}

//Вычисление матричной экспоненты EXP=exp(A*delta_x)

void exponent(double A[8][8], double delta_x, double EXP[8][8]) {

       //n - количество членов ряда в экспоненте, m - счетчик членов ряда (m<=n)

       int n=100, m;

       double E[8][8]={0}, TMP1[8][8], TMP2[8][8];

       int i,j,k;

       //E - единичная матрица - первый член ряда экспоненты

       E[0][0]=1.0; E[1][1]=1.0; E[2][2]=1.0; E[3][3]=1.0;

       E[4][4]=1.0; E[5][5]=1.0; E[6][6]=1.0; E[7][7]=1.0;

       //первоначальное заполнение вспомогательного массива TMP1 - предыдущего члена ряда для следующего перемножения

       //и первоначальное заполнение экспоненты первым членом ряда

       for(i=0;i<8;i++) {

             for(j=0;j<8;j++) {

                    TMP1[i][j]=E[i][j];

                    EXP[i][j]=E[i][j];

             }

       }

       //ряд вычисления экспоненты EXP, начиная со 2-го члена ряда (m=2;m<=n)

       for(m=2;m<=n;m++) {

             for(i=0;i<8;i++) {

                    for(j=0;j<8;j++) {

                           TMP2[i][j]=0;

                           for(k=0;k<8;k++) {

                             //TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j]*delta_x/(m-1);

                                  TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j];

                           }

                           TMP2[i][j]*=delta_x;//вынесено за цикл произведения строки на столбец

                           TMP2[i][j]/=(m-1);//вынесено за цикл произведения строки на столбец

                           EXP[i][j]+=TMP2[i][j];

                    }

             }

             //заполнение вспомогательного массива TMP1 для вычисления следующего члена ряда - TMP2 в следующем шаге цикла по m

             if (m<n) {

                    for(i=0;i<8;i++) {

                           for(j=0;j<8;j++) {

                                  TMP1[i][j]=TMP2[i][j];

                           }

                    }

             }

       }

       }

//Вычисление матрицы MAT_ROW в виде матричного ряда для последующего использования

//при вычислении вектора partial_vector - вектора частного решения неоднородной системы ОДУ на шаге delta_x

void mat_row_for_partial_vector(double A[8][8], double delta_x, double MAT_ROW[8][8]) {

       //n - количество членов ряда в MAT_ROW, m - счетчик членов ряда (m<=n)

       int n=100, m;

       double E[8][8]={0}, TMP1[8][8], TMP2[8][8];

       int i,j,k;

       //E - единичная матрица - первый член ряда MAT_ROW

       E[0][0]=1.0; E[1][1]=1.0; E[2][2]=1.0; E[3][3]=1.0;

       E[4][4]=1.0; E[5][5]=1.0; E[6][6]=1.0; E[7][7]=1.0;

       //первоначальное заполнение вспомогательного массива TMP1 - предыдущего члена ряда для следующего перемножения

       //и первоначальное заполнение MAT_ROW первым членом ряда

       for(i=0;i<8;i++) {

             for(j=0;j<8;j++) {

                    TMP1[i][j]=E[i][j];

                    MAT_ROW[i][j]=E[i][j];

             }

       }

       //ряд вычисления MAT_ROW, начиная со 2-го члена ряда (m=2;m<=n)

       for(m=2;m<=n;m++) {

             for(i=0;i<8;i++) {

                    for(j=0;j<8;j++) {

                           TMP2[i][j]=0;

                           for(k=0;k<8;k++) {

                                  TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j];

                           }

                           TMP2[i][j]*=delta_x;

                           TMP2[i][j]/=m;

                           MAT_ROW[i][j]+=TMP2[i][j];

                    }

             }

             //заполнение вспомогательного массива TMP1 для вычисления следующего члена ряда - TMP2 в следующем шаге цикла по m

             if (m<n) {

                    for(i=0;i<8;i++) {

                           for(j=0;j<8;j++) {

                                  TMP1[i][j]=TMP2[i][j];

                           }

                    }

             }

       }

       }

//Задание вектора внешних воздействий в системе ОДУ - вектора POWER: Y'(x)=A*Y(x)+POWER(x):

void power_vector_for_partial_vector(double x, double POWER[8]){

       POWER[0]=0.0;

       POWER[1]=0.0;

       POWER[2]=0.0;

       POWER[3]=0.0;

       POWER[4]=0.0;

       POWER[5]=0.0;

       POWER[6]=0.0;

       POWER[7]=0.0;

}

//Вычисление vector - НУЛЕВОГО (частный случай) вектора частного решения

//неоднородной системы дифференциальных уравнений на рассматриваемом участке:

void partial_vector(double vector[8]){

       for(int i=0;i<8;i++){

             vector[i]=0.0;

       }

}

//Вычисление vector - вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на рассматриваемом участке delta_x:

void partial_vector_real(double expo_[8][8], double mat_row[8][8], double x_, double delta_x, double vector[8]){

       double POWER_[8]={0};//Вектор внешней нагрузки на оболочку

       double REZ[8]={0};

       double REZ_2[8]={0};

       power_vector_for_partial_vector(x_, POWER_);//Расчитываем POWER_ при координате x_

       mat_on_vect(mat_row, POWER_, REZ);//Умножение матрицы mat_row на вектор POWER_ и получаем вектор REZ

       mat_on_vect(expo_, REZ, REZ_2);//Умножение матрицы expo_ на вектор REZ и получаем вектор REZ_2

       for(int i=0;i<8;i++){

             vector[i]=REZ_2[i]*delta_x;

       }

}

//Решение СЛАУ размерности 8 методом Гаусса с выделением главного элемента

int GAUSS(double AA[8][8], double bb[8], double x[8]){

       double A[8][8];

       double b[8];

       for(int i=0;i<8;i++){

             b[i]=bb[i];//Работать будем с вектором правых частей b, чтобы исходный вектор bb не изменялся при выходе из подпрограммы

             for(int j=0;j<8;j++){

                    A[i][j]=AA[i][j];//Работать будем с матрицей А, чтобы исходная матрица АА не менялась при выходе из подпрограммы

             }

       }

       int e;//номер строки, где обнаруживается главный (максимальный) коэффициент в столбце jj

       double s, t, main;//Вспомогательная величина

       for(int jj=0;jj<(8-1);jj++){//Цикл по столбцам jj преобразования матрицы А в верхнетреугольную

            

             e=-1; s=0.0; main=A[jj][jj];

             for(int i=jj;i<8;i++){//Находится номер е строки, где лежит главный (максимальный) элемент в столбце jj и делается взаимозамена строк

                    if ((A[i][jj]*A[i][jj])>s) {//Вместо перемножения (удаляется возможный знак минуса) можно было бы использовать функцию по модулю abs()

                           e=i; s=A[i][jj]*A[i][jj];

                    }

             }

                   

             if (e<0) {

             cout<<"Mistake "<<jj<<"\n"; return 0;

             }

             if (e>jj) {//Если главный элемент не в строке с номером jj. а в строке с номером е

                    main=A[e][jj];

                    for(int j=0;j<8;j++){//Взаимная замена двух строк - с номерами e и jj

                           t=A[jj][j]; A[jj][j]=A[e][j]; A[e][j]=t;

                    }

                    t=b[jj]; b[jj]=b[e]; b[e]=t;

             }

            

             for(int i=(jj+1);i<8;i++){//Приведение к верхнетреугольной матрице

                    for(int j=(jj+1);j<8;j++){

                           A[i][j]=A[i][j]-(1/main)*A[jj][j]*A[i][jj];//Перерасчет коэффициентов строки i>(jj+1)

                    }

                    b[i]=b[i]-(1/main)*b[jj]*A[i][jj];

                    A[i][jj]=0.0;//Обнуляемые элементы столбца под диагональным элементом матрицы А

             }

            

       }//Цикл по столбцам jj преобразования матрицы А в верхнетреугольную

      

       x[8-1]=b[8-1]/A[8-1][8-1];//Первоначальное определение последнего элемента искомого решения х (7-го)

       for(int i=(8-2);i>=0;i--){//Вычисление елементов решения x[i] от 6-го до 0-го

             t=0;

             for(int j=1;j<(8-i);j++){

                    t=t+A[i][i+j]*x[i+j];

             }

             x[i]=(1/A[i][i])*(b[i]-t);

       }

       return 0;

}

int main()

{

       int nn;//Номер гармоники, начиная с 1-й (без нулевой)

       int nn_last=50;//Номер последней гармоники

       double Moment[100+1]={0};//Массив физического параметра (момента), что рассчитывается в каждой точке между краями

       double step=0.02; //step=(L/R)/100 - величина шага расчета оболочки - шага интервала интегрирования (должна быть больше нуля, т.е. положительная)

      

       double h_div_R;//Величина h/R

       h_div_R=1.0/100;

       double c2;

       c2=h_div_R*h_div_R/12;//Величина h*h/R/R/12

       double nju;

       nju=0.3;

       double gamma;

       gamma=3.14159265359/4;//Угол распределения силы по левому краю

       //распечатка в файлы:

       FILE *fp;

       // Open for write

    if( (fp = fopen( "C:/test.txt", "w" )) == NULL ) // C4996

       printf( "The file 'C:/test.txt' was not opened\n" );

    else

       printf( "The file 'C:/test.txt' was opened\n" );

      

       for(nn=1;nn<=nn_last;nn++){ //ЦИКЛ ПО ГАРМОНИКАМ, НАЧИНАЯ С 1-ОЙ ГАРМОНИКИ (БЕЗ НУЛЕВОЙ ГАРМОНИКИ)

       double x=0.0;//Координата от левого края - нужна для случая неоднородной системы ОДУ для вычисления частного вектора FF

       double expo_from_minus_step[8][8]={0};//Матрица для расположения в ней экспоненты на шаге типа (0-x1)

       double expo_from_plus_step[8][8]={0};//Матрица для расположения в ней экспоненты на шаге типа (x1-0)

       double mat_row_for_minus_expo[8][8]={0};//вспомогательная матрица для расчета частного вектора при движении на шаге типа (0-x1)

       double mat_row_for_plus_expo[8][8]={0};//вспомогательная матрица для расчета частного вектора при движении на шаге типа (x1-0)

       double MATRIXS[100+1][8][8]={0};//Массив из матриц размерности 8x8 для решения СЛАУ в каждой точке интервала интегрирования

       double VECTORS[100+1][8]={0};//Массив векторов правых частей размерности 8 соответствующих СЛАУ

       double U[4][8]={0};//Матрица краевых условий левого края размерности 4х8

       double u_[4]={0};//Вектор размерности 4 внешнего воздействия для краевых условий левого края

       double V[4][8]={0};//Матрица краевых условий правого края размерности 4х8

       double v_[4]={0};//Вектор размерности 4 внешнего воздействия для краевых условий правого края

       double Y[100+1][8]={0};//Массив векторов-решений соответствующих СЛАУ (в каждой точке интервала между краями): MATRIXS*Y=VECTORS

       double A[8][8]={0};//Матрица коэффициентов системы ОДУ

       double FF[8]={0};//Вектор частного решения неоднородной ОДУ на участке интервала интегрирования

       double Ui[4][8]={0};//Вспомогательная матрица коэффициентов переносимых краевых условий с левого края

       double ui_[4]={0};//Правые части переносимых краевых условий с левого края

       double ui_2[4]={0};//вспомогательный вектор (промежуточный)

       double UiORTO[4][8]={0};//Ортонормированная переносимая матрица с левого края

       double ui_ORTO[4]={0};//Соответственно правые части ортонормированного переносимого уравнения с левого края

       double Vj[4][8]={0};//Вспомогательная матрица коэффициентов переносимых краевых условий с правого края

       double vj_[4]={0};//Правые части переносимых краевых условий с правого края

       double vj_2[4]={0};//Вспомогательный вектор (промежуточный)

       double VjORTO[4][8]={0};//Ортонормированная переносимая матрица с правого края

       double vj_ORTO[4]={0};//Соответственно правые части ортонормированного переносимого уравнения с правого края

       double MATRIX_2[8][8]={0};//Вспомогательная матрица

       double VECTOR_2[8]={0};//Вспомогательный вектор

       double Y_2[8]={0};//Вспомогательный вектор

       double nn2,nn3,nn4,nn5,nn6,nn7,nn8;//Возведенный в соответствующие степени номер гармоники nn

       nn2=nn*nn; nn3=nn2*nn; nn4=nn2*nn2; nn5=nn4*nn; nn6=nn4*nn2; nn7=nn6*nn; nn8=nn4*nn4;

      

       //Заполнение ненулевых элементов матрицы А коэффициентов системы ОДУ

       A[0][1]=1.0;

       A[1][0]=(1-nju)/2*nn2; A[1][3]=-(1+nju)/2*nn; A[1][5]=-nju;

       A[2][3]=1.0; 

       A[3][1]=(1+nju)/(1-nju)*nn; A[3][2]=2*nn2/(1-nju); A[3][4]=2*nn/(1-nju);

       A[4][5]=1.0;

       A[5][6]=1.0;

       A[6][7]=1.0;

       A[7][1]=-nju/c2; A[7][2]=-nn/c2; A[7][4]=-(nn4+1/c2); A[7][6]=2*nn2;

      

       //Здесь надо первоначально заполнить ненулевыми значениями матрицы и вектора краевых условий U*Y[0]=u_ (слева) и V*Y[100]=v_ (справа) :

       U[0][1]=1.0; U[0][2]=nn*nju; U[0][4]=nju; u_[0]=0.0;//Сила T1 на левом крае равна нулю

       U[1][0]=-(1-nju)/2*nn; U[1][3]=(1-nju)/2; U[1][5]=(1-nju)*nn*c2; u_[1]=0.0;//Сила S* на левом краю равна нулю

       U[2][4]=-nju*nn2; U[2][6]=1.0; u_[2]=0;//Момент M1 на левом краю равен нулю

       U[3][5]=(2-nju)*nn2; U[3][7]=-1.0;

       u_[3]=-sin(nn*gamma)/(nn*gamma);//Сила Q1* на левом крае распределена на угол -gamma +gamma

       V[0][0]=1.0; v_[0]=0.0;//Перемещение u на правом крае равно нулю

       V[1][2]=1.0; v_[1]=0.0;//Перемещение v на правом крае равно нулю

       V[2][4]=1.0; v_[2]=0.0;//Перемещение w на правом крае равно нулю

       V[3][5]=1.0; v_[3]=0.0;//Угол поворота на правом крае равен нулю

       //Здесь заканчивается первоначальное заполнение U*Y[0]=u_ и V*Y[100]=v_

      

       orto_norm_4x8(U, u_, UiORTO, ui_ORTO);//Первоначальное ортонормирование краевых условий

       orto_norm_4x8(V, v_, VjORTO, vj_ORTO);

       //Первоначальное заполнение MATRIXS и VECTORS матричными уравнениями краевых условий соответственно

       //UiORTO*Y[0]=ui_ORTO    и    VjORTO*Y[100]=vj_ORTO:

       for(int i=0;i<4;i++){

             for(int j=0;j<8;j++){

                    MATRIXS[0][i][j]=UiORTO[i][j];//Левый край; верхнее матричное уравнение

                    MATRIXS[100][i+4][j]=VjORTO[i][j];//Правый край (точка номер 101 с индексом 100 - отсчет идет с нуля); нижнее матричное уравнение

             }

             VECTORS[0][i]=ui_ORTO[i];//Левый край; верхнее матричное уравнение

             VECTORS[100][i+4]=vj_ORTO[i];//Правый край (точка номер 101 с индексом 100 - отсчет идет с нуля); нижнее матричное уравнение

       }

       //Цикл по точкам ii интервала интегрирования заполнения ВЕРХНИХ частей матричных уравнений MATRIXS[ii]*Y[ii]=VECTORS[ii],

       //начиная со второй точки - точки с индексом ii=1

       exponent(A,(-step),expo_from_minus_step);//Шаг отрицательный (значение шага меньше нуля из-за направления вычисления матричной экспоненты)

       x=0.0;//начальное значение координаты - для расчета частного вектора

       mat_row_for_partial_vector(A, step, mat_row_for_minus_expo);

       for(int ii=1;ii<=100;ii++){

             x+=step;//Координата для расчета частного вектора на шаге

             mat_4x8_on_mat_8x8(UiORTO,expo_from_minus_step,Ui);//Вычисление матрицы Ui=UiORTO*expo_from_minus_step

             //partial_vector(FF);//Вычисление НУЛЕВОГО вектора частного решения системы ОДУ на шаге

             partial_vector_real(expo_from_minus_step, mat_row_for_minus_expo, x, (-step),FF);// - для движения слева на право

             mat_4x8_on_vect_8(UiORTO,FF,ui_2);//Вычисление вектора ui_2=UiORTO*FF

             minus(ui_ORTO, ui_2, ui_);//Вычисление вектора ui_=ui_ORTO-ui_2

             orto_norm_4x8(Ui, ui_, UiORTO, ui_ORTO);//Ортонормирование для текущего шага по ii

             for(int i=0;i<4;i++){

                    for(int j=0;j<8;j++){

                           MATRIXS[ii][i][j]=UiORTO[i][j];

                    }

                    VECTORS[ii][i]=ui_ORTO[i];

             }     

       }//Цикл по шагам ii (ВЕРХНЕЕ заполнение)

       //Цикл по точкам ii интервала интегрирования заполнения НИЖНИХ частей матричных уравнений MATRIXS[ii]*Y[ii]=VECTORS[ii],

       //начиная с предпоследней точки - точки с индексом ii=(100-1) используем ii-- (уменьшение индекса точки)

       exponent(A,step,expo_from_plus_step);//Шаг положительный (значение шага больше нуля из-за направления вычисления матричной экспоненты)

       x=step*100;//Координата правого края

       mat_row_for_partial_vector(A, (-step), mat_row_for_plus_expo);

       for(int ii=(100-1);ii>=0;ii--){

             x-=step;//Движение справа на лево - для расчета частного вектора

             mat_4x8_on_mat_8x8(VjORTO,expo_from_plus_step,Vj);//Вычисление матрицы Vj=VjORTO*expo_from_plus_step

             //partial_vector(FF);//Вычисление НУЛЕВОГО вектора частного решения системы ОДУ на шаге

             partial_vector_real(expo_from_plus_step,  mat_row_for_plus_expo, x,    step,FF);// - для движения справа на лево

             mat_4x8_on_vect_8(VjORTO,FF,vj_2);//Вычисление вектора vj_2=VjORTO*FF

             minus(vj_ORTO, vj_2, vj_);//Вычисление вектора vj_=vj_ORTO-vj_2

             orto_norm_4x8(Vj, vj_, VjORTO, vj_ORTO);//Ортонормирование для текущего шага по ii

             for(int i=0;i<4;i++){

                    for(int j=0;j<8;j++){

                           MATRIXS[ii][i+4][j]=VjORTO[i][j];

                    }

                    VECTORS[ii][i+4]=vj_ORTO[i];

             }

       }//Цикл по шагам ii (НИЖНЕЕ заполнение)

       //Решение систем линейных алгебраических уравнений

       for(int ii=0;ii<=100;ii++){

             for(int i=0;i<8;i++){

                    for(int j=0;j<8;j++){

                           MATRIX_2[i][j]=MATRIXS[ii][i][j];//Вспомогательное присвоение для соответствия типов в вызывающей функции GAUSS

                    }

                    VECTOR_2[i]=VECTORS[ii][i];//Вспомогательное присвоение для соответствия типов в вызывающей функции GAUSS

             }

             GAUSS(MATRIX_2,VECTOR_2,Y_2);

             for(int i=0;i<8;i++){

                    Y[ii][i]=Y_2[i];

             }

       }

       //Вычисление момента во всех точках между краями

       for(int ii=0;ii<=100;ii++){

             Moment[ii]+=Y[ii][4]*(-nju*nn2)+Y[ii][6]*1.0;//Момент M1 в точке [ii]

             //U[2][4]=-nju*nn2; U[2][6]=1.0; u_[2]=0;//Момент M1

       }

      

       }//ЦИКЛ ПО ГАРМОНИКАМ ЗДЕСЬ ЗАКАНЧИВАЕТСЯ

            

       for(int ii=0;ii<=100;ii++){

             fprintf(fp,"%f\n",Moment[ii]);

       }

       fclose(fp);

      

       printf( "PRESS any key to continue...\n" );   

       _getch();

   

       return 0;

}

 

Метод Алексея Юрьевича Виноградова «переноса краевых условий» для решения краевых задач, включая «жесткие» краевые задачи.

1. Введение.

            Метод проверен и его эффективность выше, чем эффективность (скорость счета) метода ортогональной прогонки С.К.Годунова - до 2 порядков (в 100 раз). Для разных типов задач преимущество по скорости разное. А для некоторых типов задач метод А.Ю.Виноградова не требует применять ортонормирование вовсе.

Рассмотрим метод на примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

,

где  – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1,  – производная искомой вектор-функции размерности 8х1,  – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8,  – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

где       – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1,  – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8,  – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

 – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8,  – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами =const, решение задачи Коши имеет вид [1]:

,

где , где - это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

,

где  это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

2. Случай переменных коэффициентов.

Из теории матриц [1] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

 

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами , решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

, где .

3. Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [1]:

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

.

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

,

,

,

,

,

,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов =const.

Вектор  может рассматриваться на участке  приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести его из под знака интеграла, что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке.

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица  коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор  на участке  приближенно в виде постоянной величины , что позволяет вынести этот вектор из под знаков интегралов:

Известно, что при T=(at+b) имеем

В нашем случае имеем

Тогда получаем .

Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке :

Приведем формулы вычисления вектора частного решения, например,  на рассматриваемом участке  через вектора частного решения , ,  соответствующих подучастков , , .

Имеем .

Также имеем формулу для отдельного подучастка:

.

Можем записать:

,

.

Подставим  в  и получим:

.

Сравним полученное выражение с формулой:

и получим, очевидно, что:

и для частного вектора получаем формулу:

.

То есть вектора подучастков  не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.

            Аналогично запишем  и подставим сюда формулу для  и получим:

            Сравнив полученное выражение с формулой:

очевидно, получаем, что:

и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:

То есть именно так и вычисляется частный вектор – вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор  на рассматриваемом участке  через вычисленные частные вектора , ,  соответствующих подучастков , , .

4. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования.

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

.

Или можно записать:

.

Подставляем это выражение для  в краевые условия левого края и получаем:

,

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где          и      .

Далее запишем аналогично

И подставим это выражение для в перенесенные краевые условия точки :

,

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где          и      .

И так в точку  переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края.

Покажем шаги переноса краевых условий с правого края.

Можем записать:

Подставляем это выражение для  в краевые условия правого края и получаем:

,

,

Или получаем краевые условия правого края, перенесенные в точку :

,

где          и      .

Далее запишем аналогично

И подставим это выражение для в перенесенные краевые условия точки :

,

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где          и      .

И так во внутреннюю точку  интервала интегрирования переносим матричное краевое условие, как показано, и с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

,

.

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

.

5. Случай «жестких» дифференциальных уравнений.

В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [2].

То есть, получив

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

.

И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем

.

И получаем

,

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку :

,

где          и      .

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

И так далее.

И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий. Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента для получения решения  в рассматриваемой точке :

.

6. Контроль точности вычислений.

Для однородной системы дифференциальных уравнений имеем:

.

Можем записать:

 и

Подставляем одну формулу в другую и получаем:

,

то есть получаем:

,

но последнее возможно только когда

 - единичная матрица,

то есть матрицы  и  взаимообратны.

То есть доказано, что

,

то есть

.

            Таким образом, получаем, что точность вычислений можно контролировать при помощи определения точности вычисления матричных экспонент (или иначе говоря - матриц Коши или матрициантов), что можно проверять, удостоверяясь, что на участках интегрирования выполняется условие взаимной обратности соответствующих матричных экспонент:

.

7. Применяемые формулы ортонормирования.

Взято из [2]. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка n:

=.

Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения жирным шрифтом.

Будем рассматривать строки матрицы  системы как векторы:

=(,,…,).

Ортонормируем эту систему векторов.

Первое уравнение системы = делим на .

При этом получим:

++…+=,    =(,,…,),

где =, =, =1.

Второе уравнение системы заменяется на:

++…+=,    =(,,…,),

где =, =,

=-(,),  =-(,).

Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид:

++…+=,    =(,,…,),

где =, =,

=-(,)-(,)-…-(,), 

=-(,)-(,)-…-(,).

Здесь (,) – это скалярное произведение вектора  на вектор  и т.п.

Процесс будет осуществим, если система линейных алгебраических уравнений линейно независима.

В результате мы придем к новой системе , где матрица  будет с ортонормированными строками, то есть обладает свойством , где  - это единичная матрица.

8. Вычислительные эксперименты.

В качестве проверочных задач использовалась схема консольно закрепленных цилиндрической и сферической оболочек с параметрами R/h=50, 100, 200. Длина цилиндрической оболочки рассматривалась L/R=2, а угловые координаты сферической оболочки рассматривались от p/4 до 3p/4. На свободном крае рассматривалось нормальное к поверхности оболочек погонное усилие, равномерно распределенное в интервале [-p/4, p/4]. В качестве среды программирования использовалась система Microsoft Visual Studio 2010 (Visual C++).

Первоначально метод был предложен и обсчитывался в кандидатской диссертации А.Ю.Виноградова в 1993-1995 годах. Тогда оказалось, что без использования ортонормирования в рамках метода успешно решаются задачи осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Расчеты тогда выполнялись на компьютере поколения 286. Задачи же неосесимметричного нагружения оболочек вращения можно было решать на компьютерах поколения 286 только с применением процедур построчного ортонормирования - как это и предлагалось в рамках метода. Без процедур ортонормирования в неосесимметричных случаях выдавались только ошибочные графики, представлявшие собой хаотично скачущие большие отрицательные и большие положительные значения, например, изгибающего обезразмеренного момента М1.

Современные компьютеры имеют значительно более совершенное внутреннее устройство и более точные внутренние операции с числами, чем это было в 1993-1995 годах. Поэтому было интересно рассмотреть возможность расчета неосесимметрично нагруженных оболочек, например, цилиндров, на современном аппаратном и программном обеспечении в рамках предложенного метода «переноса краевых условий» совсем без использования процедур построчного ортонормирования.

Оказалось, что неосесимметрично нагруженные цилиндры при некоторых параметрах на современных компьютерах уже можно решать в рамках предложенного метода «переноса краевых условий» совсем без применения операций построчного ортонормирования. Это, например, при параметрах цилиндра L/R=2 и R/h=100.

При параметрах цилиндра L/R=2 и R/h=200 все же оказываются необходимыми процедуры ортонормирования. Но на современных персональных компьютерах уже не наблюдаются сплошные скачки значений от больших отрицательных до больших положительных по всему интервалу между краями цилиндра - как это было на компьютерах поколения 286. В частном случае L/R=2 и R/h=200 наблюдаются лишь незначительные скачки в районе максимума изгибающего обезразмеренного момента М1 на левом крае и небольшой скачек обезразмеренного момента М1 на правом крае.

Приводятся графики изгибающего обезразмеренного момента М1:

- слева приводятся графики, полученные при использовании операций построчного ортонормирования на каждом из 100 шагов, на которые разделялся участок между краями цилиндра,

- справа приводятся графики, полученные совсем без применения операций построчного ортонормирования.

Следует сказать, что в качестве расчетной среды использовалась 32-х битная операционная система Windows XP и среда программирования Microsoft Visual Studio 2010 (Visual C++) использовалась в тех же рамках 32-х битной организации операций с числами. Параметры компьютера такие: ноутбук ASUS M51V (CPU Duo T5800).

Компьютеры будут и дальше развиваться такими же темпами как сейчас и это означает, что в самое ближайшее время для подобных расчетов типа расчета неосесимметрично нагруженных оболочек вращения совсем не потребуется применять ортонормирование в рамках предложенного метода «переноса краевых условий», что существенно упрощает программирование метода и увеличивает скорость расчетов не только по сравнению с другими известными методами, но и по сравнению с собственными характеристиками метода «переноса краевых условий» предыдущих лет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 548 с.
  2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г., 635 с.

P.S. Метод Алексея Юрьевича Виноградова «переноса краевых условий» первоначально был опубликован в Межвузовском сборнике МИРЭА (кажется в 1995 году). МИРЭА это Московский институт радиотехники, электроники и автоматики. Точное название и год выхода стать можно посмотреть в Ленинской библиотеке в списке литературы моей диссертации. Там у меня только одна статья в МИРЭА. К сожалению, на руках у меня нет экземпляра моей кандидатской диссертации, поэтому не могу привести точное название статьи, но называется она, кажется, что-то вроде «Метод приведения краевых задач к задаче Коши».