Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная  работа № 43

на тему:

Решение смешанной задачи для уравнения

гиперболического типа методом сеток

Группа М-2136

Выполнил студент                   _______________________

Проверил преподаватель       Воронова Лилия Ивановна        

Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового  уравнения            ( ¶   ² u/ ¶  t²) =  c ² * ( ¶   ²u/ ¶   x²) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t £ T, начальным условиям u(x,0) = f(x),  ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 £  x £  a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ®   ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶   ² u/ ¶  t²) =  ( ¶  ²u/ ¶  x²), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 £  x £  a, 0 £  t £  T } сетку x_i = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, t_j = j* ttt  , j = 0,1 ... , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

(4)

Здесь u_ij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (x_i,t_j).

Полагая, что  l  =  t / h , получаем трехслойную разностную схему

u_i,j+1 = 2(1-  l   ² )u_i,j + l   ² (u_i+1,j- u_i-1,j) - u_i,j-1 , i = 1,2 ...  n.             (5)

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m  ₁(t) º  0, m  ₂(t) º  0. Значит, в схеме (5) u_0,j= 0, u_nj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить u_i,j через значения u с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений u_i,j решения u(x,t) в узлах (x_i,t_j) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия u_i0 = f(x_i).

Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ¶   u(x,0)/ ¶  t  »  ( u( x, t  ) - u(x,0) )/ t   (6) , то u_i1=u_i0+       + t  (x_i), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h²). Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта  t   < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h  ®     0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.

Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага  t    по переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем.

Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.

Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев.

Входные параметры :

hx - шаг сетки h по переменной х;

ht - шаг сетки   t    по переменной t;

k - количество узлов сетки по x, a = hn;

u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;

u3 - рабочий массив из k действительных чисел.

Выходные параметры :

u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ...  .

К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.

Порядок работы программы:

1) описание массивов u1, u2, u3;

2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;

3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;

4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k  ³   2 ).

Пример:

Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом  t     по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид

( ¶   ² u/ ¶  t²) =  ( ¶  ² u/ ¶  x ²) , x  Π   [ 0 , 1 ] ,  t   Π   [ 0 , T ] ,

u ( x , 0 ) = f (x) , x  Π   [ 0 , a ],    ¶  u(x,0)/ ¶  t = g(x) ,  x   Π   [ 0 , a ],

u ( 0 , t ) = 0,  u ( 1 , t ) = 0,   t  Π   [ 0 , 0.8 ],

                æ  2x , x  Π   [ 0 , 0.5 ] ,

f(x) =      í                                                 g( x ) = 0

                î  2 - 2x , x  Π   [ 0.5 , 1 ] ,

Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.