Здесь добавление только одной дополнительной переменной  (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

3.2. Решение L-задачи

Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составим таблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).

Т.к. Б₀ = , является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов А_j по базису Б₀

Значение линейной формы  и оценки  для заполнения (m+1)-й строки таблицы определяются следующими соотношениями:

Отсюда получим:

;

…

.

Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1, которая состоит из 2 частей, отвечающих 0-й (исходная таблица) и 1-й итерациям.

Заполняем таблицу 0-й итерации.

Среди оценок  имеются отрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдем к новому базису. В базис будет введен вектор А₁ с наименьшей оценкой t вычисляются для всех позиций столбца t (т.к. все элементы разрешающего столбца положительны). Наименьший элемент  достигается на пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, и вектор А₉ подлежит исключению из базиса.

Составим таблицу, отвечающую первой итерации.

В столбце Б_х, в пятой позиции базиса место вектора А₉ занимает вектор А₁. Соответствующий ему коэффициент линейной формы С₄₁ = 0 помещаем в столбец С_х. Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии с рекуррентными формулами. Так как все  является решением L-задачи. Наибольшее значение линейной формы равно

Таблица 3.2.1 

3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи

Поскольку  L-задачи, то   

4. Решение исходной задачи I алгоритмом симплекс-метода

Описание I алгоритма

Симплекс-метод позволяет, отправляясь от некоторого исходного опорного плана и постепенно улучшая его, получить через конечное число итераций оптимальный план или убедиться в неразрешимости задачи. Каждой итерации соответствует переход от одной таблицы алгоритма к следующей. Таблица, отвечающая опорному плану в ν-й итерации имеет вид табл. 4.1.

Таблица 4.1            

Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорному плану (0-й итерации). Пусть  некоторый опорный план задачи (2.1) - (2.3) с базисом . Тогда  – базисные компоненты, а  – небазисные компоненты.

Вычисляем коэффициенты разложения векторов А_j по базису Б₀

 (в случае, если Б₀ является единичной матрицей,

и находим оценки

Полученные результаты записываем в таблицу 4.1.

В первом столбце N таблицы указываются номера строк. Номера первых m строк совпадают с номерами позиций базиса. Во втором столбце С_х записываются коэффициенты Б_х содержит векторы базиса  опорного плана. Столбцы  по векторам базиса. Все вышесказанное относится только к первым m строкам таблицы. Последняя (m+1)-я строка таблицы заполняется последовательно значением линейной формы F и оценками

В результате заполнена таблица 0-й итерации кроме столбца t.

Столбцы В, А₁,…, A_n (все m+1 позиций) будем называть главной частью таблицы.

Порядок вычислений в отдельной итерации. Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена таблица ν за исключением последнего столбца t.

Каждая итерация состоит из двух этапов.

I этап: проверка исследуемого опорного плана на оптимальность.

Просматривается (m+1)-я строка таблицы ν. Если все ν-й итерации, является оптимальным (случай 1), завершаем решение задачи. Пусть теперь имеются отрицательные оценки. Проверяем знаки элементов  столбцов  с  и все

Если в каждом столбце II этапу.

II этап: построение нового опорного плана с большим значением линейной формы.

Определяется вектор A_k, который должен быть введен в базис, из следующего условия

После этого заполняется последний столбец таблицы ν – столбец t. В него записываются отношения базисных переменных  (элементы столбца В) к соответствующим составляющим  (элементы столбца A_k). Т.о. заполняются только те позиции, для которых i столбца t записывается t₀,

подлежит исключению из базиса (если t₀ достигается на нескольких векторах, то из базиса исключается любой из них).

Столбец A_k , отвечающий вектору, вводимому в базис, и l-я строка, соответствующая вектору , исключаемому из базиса, называется соответственно разрешающим столбцом и разрешающей строкой. Элемент разрешающим элементом.

После выделения разрешающего элемента заполняется (ν+1)-я таблица. В l-е позиции столбцов Б_х, С_х вносятся соответственно А_к, С_к, которые в (ν+1)-й таблице обозначаются как Б_х, С_х вносятся те же параметры, что и в таблице ν.

Далее заполняется главная часть (ν+1)-й таблицы. Прежде всего происходит заполнение ее l-й строки в соответствии с рекуррентной формулой

Рекуррентная формула для заполнения i-й строки (ν+1)-й таблицы имеет вид

Здесь

Заполнение главной части (ν+1)-й таблицы завершает (ν+1)-ю итерацию. Последующие итерации проводятся аналогично. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет получен оптимальный план либо будет установлено, что исследуемая задача неразрешима.

Решение исходной задачи

Весь процесс решения исходной задачи (2.12) - (2.13) приведен в табл. 4.2.

Заполнение таблицы, отвечающей 0-й итерации, происходит на основе табл. 3.2.1 (см. итерацию 1) следующим образом. Главная часть таблицы 0-й итерации исходной задачи (за исключением (m+1)-й строки) полностью повторяет главную часть таблицы заключительной итерации L-задачи без столбца А₉. Также без изменений остается столбец базисных векторов Б_х. Строка С коэффициентов линейной формы исходной задачи и столбец С_х коэффициентов при базисных переменных заполняются исходя из (2.12). С учетом новых коэффициентов С пересчитываются значение линейной формы F и оценки

Заполнение таблиц, отвечающих последующим итерациям, происходит в соответствии с описанным выше первым алгоритмом.

Таблица 4.2 

Решение исходной задачи (2.12) - (2.13) получено за 3 итерации. Оптимальный план ее равен  и

Найденное решение  задачи  в канонической форме (2.12) - (2.13) соответствует решению  (4.1) общей задачи линейного программирования (2.9) - (2.11), записанной для новых переменных  (4.2).

Вернемся к задаче (1.2.1), (1.2.2) со старыми переменными

                                                                                     (4.3)

и

.                                                                  (4.4)

            Таким образом, для получения максимальной цены (142750 руб.) всей продукции необходимо произвести:

-          450 тыс.л. бензина А из полуфабрикатов в следующих количествах:

-       Алкитата

-       Крекинг-бензина

-       Бензина прямой перегонки

-       Изопентона

-           тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

-       Алкитата

-       Крекинг-бензина

-       Бензина прямой перегонки

-       Изопентона

-          300 тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

-       Алкитата

-       Крекинг-бензина

-       Бензина прямой перегонки

-       Изопентона

5. Формирование М-задачи

Далеко не всегда имеет смысл разделять решение задачи линейного программирования на два этапа – вычисление начального опорного плана и определение оптимального плана. Вместо этого решается расширенная задача (М-задача). Она имеет другие опорные планы (один из них всегда легко указать), но те же решения (оптимальные планы), что и исходная задача.

Рассмотрим наряду с исходной задачей (2.1) - (2.3) в канонической форме следующую расширенную задачу (М-задачу):

                                                                     (5.1)

                                                                              (5.2)

                                                                                            (5.3)

Здесь М>0 – достаточно большое число.

Начальный опорный план задачи (5.1) - (5.3) имеет вид

Переменные  называются искусственными переменными.

Таким образом, исходная задача линейного программирования с неизвестным заранее начальным опорным планом сводится к М-задаче, начальный опорный план которой известен. В процессе решения этой расширенной задачи можно либо вычислить оптимальный план задачи (2.1) - (2.3), либо убедиться в ее неразрешимости, если оказывается неразрешимой М-задача.

В соответствии с вышеизложенным имеем: требуется решить задачу (2.12), (2.13), записанную в канонической форме. Введем искусственную неотрицательную переменную х₉ и рассмотрим расширенную М-задачу

                                          (5.4)

при условиях

                      (5.5)

   где  .

где М – сколь угодно большая положительная  величина.

Как и в L-задаче, добавление только одной искусственной переменной  (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

6. Решение М-задачи II алгоритмом симплекс-метода

Описание II алгоритма

Второй алгоритм (или метод обратной матрицы) симплекс метода основан на ином способе вычисления оценок  векторов условий А_j, чем в первом алгоритме.

Рассматривается задача линейного программирования в канонической форме (2.1) - (2.3). Пусть Х – опорный план с базисом . Все параметры, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода к лучшему плану, можно получить, преобразовывая от шага к шагу элементы матрицы

Действительно, зная обратную матрицу

и вычислить оценки векторов условий относительно текущего базиса

                                                               (6.1)

предварительно определив вектор-строку  по формуле

или

                                                                       (6.2)

Здесь

Оценки  позволяют установить оптимальность  рассматриваемого опорного плана и определить вектор А_к, вводимый в базис. Коэффициенты  разложения вектора А_к по текущему базису вычисляются по формуле

Как и в I алгоритме, вектор, подлежащий исключению из базиса, определяется величиной

Таким образом при втором алгоритме на каждом шаге запоминаются базисные компоненты F(X) и вектор Y, соответствующие текущему опорному плану Х. Элементы столбцов матрицы  удобно рассматривать как коэффициенты  разложения единичных векторов  по векторам базиса. Рекуррентные формулы, связывающие параметры двух последовательных итераций

                                                                                      (6.3)

              (6.3)

Здесь

Результаты вычислений сводятся в основные таблицы (вида табл. 6.1) и вспомогательную таблицу (вида табл. 6.2); столбцы В, е₁, …, е_m основных таблиц (все m+1 позиций) называют главной частью этих таблиц. Столбец А_k – разрешающий столбец, строка l – разрешающая строка.

Таблица 6.1                                                  Таблица 6.2

Краткое описание алгоритма.

1. Нулевая итерация:

а) составляется вспомогательная табл. 6.2, в которую вносятся параметры задачи; дополнительная строка таблицы с номером ν заполняется по мере выполнения ν-й итерации;

б) составляется основная табл. 6.1 с номером 0, в которой заполняются первые m строк, за исключением последних двух столбцов Аk и t. Элементы  и  определяются скалярными произведениями (C_x, e_j) и (C_x, B) соответственно. Нулевая итерация заканчивается заполнением нулевой дополнительной строки вспомогательной таблицы с оценками

2. (ν+1)-я итерация.

Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена ν-я основная таблица, за исключением двух последних столбцов, и ν-я дополнительная строка вспомогательной таблицы. Просматривается эта строка. Если все А_k с  (обычно  основной таблицы. В позицию (m+1) этого столбца заносится оценка  вектора А_k. Остальные элементы этого столбца равны

Возможны два случая:

1)       - задача неразрешима;

2)    хотя бы для одного i. В этом случае, также как и в первом алгоритме, заполняется столбец (t) основной таблицы ν, определяется разрешающий элемент ν+1)-я дополнительная строка вспомогательной таблицы. На этом заканчивается (ν+1)-я итерация.

Решение М-задачи

Таблица 6.3

Таблица 6.4

Задача (5.4), (5.5) имеет опорный план Х₀ = (0, 0, 0, , , 0 , 

Решение М-задачи получено за 5 шагов. Оптимальный план ее равен  и х₉ = 0, поэтому  - решение задачи (2.12), (2.13) и .

Окончательное решение задачи определения плана смешения компонентов  полностью повторяет решение, рассмотренное в завершающей части п.4 (см. стр.11-12).

7. Формирование двойственной задачи

Произвольной задаче линейного программирования определенным образом соответствует некоторая другая задача линейного программирования. Будем называть ее двойственной, а первоначальную задачу – исходной.

Обозначим

     (7.1)

Теперь исходная задача (2.1) - (2.3) в канонической форме может быть записана в матричном виде следующим образом.

Требуется определить вектор

                                                                                                        (7.2)

при условиях

AX=B;                                                                                                                  (7.3)

                                                                                                                 (7.4)

Тогда двойственная задача – определить вектор

f(Y)=YB                                                                                                                (7.5)

при условиях

                                                                                                                (7.6)

Транспонируя обе части неравенства (7.6), записанного в виде строки, и учитывая

                                                                                                         (7.7)

Отметим, что в двойственной задаче переменные y_i могут быть и отрицательными.

Рассмотрим в качестве исходной задачу (2.12), (2.13). С учетом (7.1) и (7.7) запишем

С = (120, 100, 150, 0, 0, 0, 0, 0),    B = (, , 

.

Двойственная задача имеет вид

            (7.8)

                 (7.9)

8. Формирование оптимального решения двойственной задачи на основе теоремы о двойственности

Оказывается, что для задач (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6), называемых двойственной парой, справедлива следующая теорема.

Теорема (первая теорема о двойственности). Если одна из задач двойственной пары (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6) имеет решение, то другая задача также разрешима. При этом для любых оптимальных планов  и М_х, М_у – множества планов соответственно прямой и двойственной задач) задач (7.2) - (7.4) и (7.5), (7.6) имеет место равенство

Если линейная форма одной из задач не ограничена (для F(X) –  сверху, для f(Y) - снизу), то другая задача не имеет ни одного плана.

Оптимальное решение двойственной задачи может быть найдено на основе следующего  следствия из этой теоремы.

Следствие. Если вектор  является оптимальным опорным планом задачи (7.2) - (7.4), то вектор

Стоит отметить, что в ходе решения исходной задачи вторым алгоритмом, при каждом шаге вычисляется вектор Х – оптимальный опорный план задачи (7.2) - (7.4), то в (m+1)-й строке, соответствующей основной таблице, находится решение задачи (7.5), (7.6).

Пусть двойственная задача имеет вид (7.8), (7.9).

Так как исходная задача (2.12), (2.13) имеет решение, то на основании рассмотренной теоремы о двойственности двойственная задача также разрешима.

Оптимальным опорным планом исходной является  (см. п.4, п.6). При этом

;  

Вычислим

На основании следствия из теоремы о двойственности можно заключить, что  является оптимальным планом двойственной задачи, при котором m+1)-ю строку основной таблицы (см. табл. 6.3, шаг 5), можно убедиться в том, что оптимальный план двойственной задачи, сформированный на основе теоремы о двойственности, совпадает с оптимальным планом, найденном при решении исходной задачи вторым алгоритмом симплекс-метода. Это говорит о том, что оптимальный план задачи (7.8) - (7.9) найден верно.

9. Анализ результатов и выводы

В данной работе рассматриваются два способа решения исходной задачи линейного программирования.

Первый заключается в том, что сначала решается вспомогательная задача (L-задача), позволяющая построить начальный опорный план, затем на основе этого найденного плана решается исходная задача (определяется ее оптимальный план). Второй способ является объединением двух этапов и состоит в решении расширенной задачи (M-задачи), также приводящей к нахождению оптимального плана исходной задачи.

Вычислительную основу этих двух способов решения составляют соответственно первый и второй алгоритмы симплекс-метода. Один из параметров, по которому может быть оценен любой итерационный алгоритм – количество шагов, приводящих к решению задачи или установлению ее неразрешимости. Для данной задачи наиболее эффективным методом оказался первый метод(L-задача + исходная задача), т.к. он привел к решению за 4 шага, а второй метод (M-задача) за 5 шагов. Разница в числе шагов, вероятно, обусловлена неоднозначность выбора разрешающего элемента в исходной таблице L-задачи (3.2.1).

    Сравнение количества вычислений на каждой итерации приводит к следующим оценочным результатам рассматриваемых алгоритмов. Преимущественная часть вычислений на каждом шаге алгоритмов определяется размерностью главной части таблицы (в первом алгоритме) или основной таблицы (во втором алгоритме). В первом случае она имеет размерность (m+1)x(n+1), во втором - (m+1)x(m+1). Даже учитывая, что второй алгоритм требует построения вспомогательной таблицы, он оказывается более компактным.

Еще одно несомненное достоинство второго алгоритма заключается в возможности определения оптимального плана двойственной задачи из (m+1)-й строки основной таблицы, соответствующей последней итерации, без всяких дополнительных вычислений.