.     .    . . .

               .       .     .    . . .

 В результате все рациональные неотрицательные числа оказываются занумерованными, то есть мы доказали, что они образуют счётное множество.

  Чтобы убедится, что и множество всех рациональных чисел также счётно, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это можно сделать, например, поместив в написанную выше таблицу после каждого положительного рационального числа х в туже строчку число - х.                             

0       1 -1  2 -2 . . .

 -- . . .

                                                               -- . . .

  . . . . . . . . . . .

                                                  -

 . . . . . . . . . . . .

Перенумеровав элементы таблицы тем же способом, что и выше, мы получили, что множество всех рациональных чисел является счётным множество.

 III. Сформулируем и докажем несколько теорем характеризующих счетные множества.

Теорема 3. Из всякого бесконечного множества Х можно выделить счетное множество Y.

Доказательство: Пусть множество Х бесконечное множество. Выделим из множества Х произвольный элемент и обозначим его  х₁. Так множество Х бесконечно, то оно не исчерпывается выделение этого элемента х₁. и мы можем выделить элемент х₂ из оставшегося множества Х{ х₁}. По тем же соображениям множество Х{ х₁, х₂} не пусто, и мы можем и из него выделить элемент х₃. Ввиду бесконечности множества Х мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в результате чего получим последовательность выделенных элементов х₁, х₂, х₃, . . . , х_n, . . . , которая и образует искомое подмножество Y множества Х.

Данная теорема может натолкнуть на интересный вопрос. А в свою очередь можно ли из счётного множества выделить бесконечное подмножество, которое было так же счётным? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 4. Всякое бесконечное подмножество счётного множества так же является счётным множеством.

Доказательство: Пусть множество Х счётное множество, а множество Y его бесконечное подмножество. Следовательно, множество Х может быть представлено в виде

Х={а₁, а₂, а₃, . . . , а_n,. . .}.

Будем  перебирать один за другим элементы множество Х в порядке их номеров, при этом мы время от времени будем встречать элементы множества Y, и каждый из элементов множества Y рано или поздно встретится нам. Соотнося каждому элементу множества Y номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество Y, причём в силу бесконечности его, нам придется  на эту нумерацию израсходовать все натуральные числа. Следовательно, множество Y является счётным множеством.

Приведем пример непосредственно относящийся к этой теореме.

Пример: Множество Х={1, ,} как известно, является счётным множеством,   а так как множество Y={,} является подмножеством множества Х, то по доказанной выше теоремы 3, множество Y так же является счётным.

Из выше изложенной теоремы вытекает следующие следствие.

Следствие: Если из счётного множества Х удалить конечное подмножество Y, то оставшееся множество ХY будет счётным множеством.

IV. Теорема 5. Объединение конечного множества и счётного множества без общих элементов есть счётное множество.

Доказательство: Пусть дано

А={а₁, а₂, . . . , а_n} и В={b₁, b₂, b₃, . . . },

АÇВ = О.

  Если множество С=АÈВ, то С можно представить в форме

С={а₁, а₂, . . . , а_n, b₁, b₂, b₃, . . . },

после чего становиться очевидной возможность перенумеровать множество, следовательно по теореме 1 получаем, что множество С счетно.

Теорема 6. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное множество.

Доказательство: Проведем доказательство для случая объединения трёх множеств, из контекста будет ясна полная общность рассуждения.

Пусть А, В, С три счётных множества:

                                       А={а₁, а₂, а₃, . . .}, В={b₁, b₂, b₃, . . . } и

С={с₁, с₂, с₃, . . .}.

Тогда множество D = АÈВÈС можно представить  в форме последовательности:

D={а₁, b₁, c₁, а₂, b₂, c₂, а₃, . . .},

и счётность множества D очевидна.

Теорема 7. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество.

Доказательство: Пусть А_k (k=1, 2, 3, . . . ) суть попарно не пересекающихся конечных множеств:

А₁={ . . . , };

А₂={. . . , };

А₃={ . . . ,};

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

Для того чтобы расположить объединение их С в форме последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества А₁, а затем элементы множества А₂ и так далее.

Теорема 8. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное множество.

Доказательство: Пусть  множества А_k (k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти множества следующим образом:

 А₁={ . . . };

А₂={. . . };

А₃={ . . . };

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

Если  мы выпишем элемент  и  у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем элементы у которых эта сумма равна 4, и так далее, то множество С= окажется представленной в форме последовательности:

С = { . . . },

Откуда и следует счётность множества С.

  Замечание: Условие отсутствия общих элементов в теоремах 5-8 могло быть опущено.

V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего.

Доказательство теоремы 2: Множество дробей вида  с данным знаменателем q, то есть множество

счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . .  . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида  является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности  множества всех положительных рациональных чисел R₊. Так как множество R_- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R₊, то счетным является  и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R₊R_-{0}.

Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие.

Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента [a, b] является счётным множеством.

Сформулируем в виде теоремы еще один пример счётного множества.

Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством.

Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке.

Доказательство: Назовём высотою пары (n, m) натуральное число n+m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно

(1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1).

По этому обозначая через Р_k множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Р_k, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством.

Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества.

Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество.

Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества S_m всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество S_m+1 всех последовательностей, состоящих из m+1 элементов множества D также счётно. В самом деле, пусть

D={d₁, d₂, . . . , d_k, . . .}.

Каждой последовательности S^{(m +1)}=(d_i,  . . , d_i, d_k)Î S_m+1 соответствует пара (S^(m), d_k), где S^(m)= (d_i,  . . , d_i)Î S_m, причем различным парам соответствуют различные пары этого вида. Так как множество S_m всех S^(m)  счётно, и может быть записано в виде S, . . . , S,  . . . , то счётно и множество всех пар (S, d_k) (взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел индексов i, k), а значит, и множество всех S^{(m +1)}.

Так как каждое S_m счётно, то счётно и множество S, что и доказывает теорему.

В заключении докажем следующую, весьма общую теорему:

Теорема 11. Если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо от других пробегает счётное множество значений

А={a,, . . . ,}    (x_k=x, x, . . . ; k=1, 2, 3, . . . ,n),

то множество А счётно.

Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если n=1, то есть имеется только один значок. Допустим, что теорема верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.

Итак пусть А={a,, . . . ,, }.

Обозначим через A_i множество тех элементов А, для которых  , где   одно из возможных значений (m+1)-го значка, т. е. положим A_i =={a,, . . . ,,  }.

В силу сделанного допущения множество A_i счётно, а так как А=счётно и множество А.

 Вот несколько предложений, вытекающих из этой теоремы:

1)    x, y) плоскости, у которых обе координаты рациональны, счётно.

Но более интересным является следующий факт:

2)    счётно.

В самом деле, это непосредственно следует из теоремы 11, если только рассматривать многочлены фиксированной степени n, и для завершения доказательства следует применить теорему 8.