Шпаргалка (математика)
№1
lim (∆x→0) ∆f/∆x = f’(x)
∆f/∆x = f’(x)+α(∆x), где
lim (∆x→0) α(∆x)=0
∆f = f’(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x
Опред-е: диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-ю аргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению с прир-м аргумента.
df(x)=k∙∆x
∆f-df(x)=0(∆x)
∆f=df(x)+ 0(∆x)
Теорема: д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт. (∙), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (∙).
df(x)= f’(x) ∙∆x
y=x
dx=∆x
df(x)= f’(x)dx
№2
Св-ва диф-а:
1) dc=0
2) d(cf(x))=cdf(x)
3) d(ax+b)=ad(x), где a и b-пост. величины
4) d(u ± v)= du ± dv
5) d(uv)=udv+vdu
6) d(u/v)=( vdu-udv)/v2
7) df(u(x))=f’u(u)du
8) dφ(u)= φ’(u)du
№3
Будем предполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит от конкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.
df(x)=f’(x)dx
d(df(x))=d2f(x)=d(f’(x)dx)=dx∙d(f’(x))=dxf”(x)dx=f”(x)∙dx2
d2f(x)/ dx2= f”(x)
dnf(x)=f(n)(x)dxn – диф. n-го порядка f(x)
f(x)=x
dx=∆x
dx2=0
dxn=0
Теорема: диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.
№4
Опред-е: первообразной д/ф-ии f(x) наз-ся ф-ия F(x), такая, что F’(x)= f(x).
(F(x)+С)’= F’(x)+ С’= f(x)
Опред-е: совокупность всех первообразных д/ф-ии f(x) наз-ся неопред. ∫ от ф-ии f(x) и обознач.: ∫ f(x)dx = F(x)+С, где d-диф-л, f(x)-подинтегр. ф-ия, f(x)dx-подинтегр. выр-е.
Св-ва:
1) (∫f(x)dx)’=f(x)
2) d ∫f(x)dx= f(x)dx (диф-л от неопред. ∫=подинт. выр-ю)
3) ∫dφ(x)=φ(x)+C (∫ от диф-ла люб. ф-ии = этой ф-ии с точностью до пост. слагаемого)
4) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx
5) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
№5
∫f(φ(x))φ’(x)dx = ∫f(φ(x))dφ(x) = ∫f(u)du
u= φ(x)
Пример:
∫dx/2x+3 = ∫(dt/2)/t = 1/2∫dt/t = ½ ln|t|+C = ½ ln|2x+3|+C
2x+3=t
2dx=dt
dx=dt/2
№6
d(uv)=udv+vdu
∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu
uv = ∫udv + ∫vdu
∫udv = uv - ∫vdu
Пример:
∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C
u=x
dv=sinxdx
du=dx
v=∫sinxdx=-cosx
№7
f(x) [a, b]
n – произв. Целое положит. Число
Выберем (∙)-и t0 = a<t1<t2<…<tn = b
{ t0; t1; t2;… tn} = Tn – совокуп. точек – разбиение отрезка [a, b].
[ti; ti-1]
∆i = ti - ti-1 – длина i-подотрезка
Ф-ия, опред-я на отрез. [a, b].
∆=max {∆1, ∆2, …∆n}
Выберем произв. внутр. (∙) ti-1≤ εi ≤ ti
Σni=1f(εi)∆i = f(ε1)∆1+ f(ε2)∆2+…+ f(εn)∆n – это интегр-я сумма д/ф-ии f(t) соотв-й разбиению Тn и набору (∙)-ек ε1 и т.д. εn.
Σni=1f(εi)∆i = I(f(t), Тn, ε1…εn)
Опред-е: если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм при усл-ии, что ∆→0 и этот lim не зависит от выбора разбиений Тn и выбора промеж. (∙)-ек ε1 и т.д. εn, то ф-ия f(t) наз-ся интегр-й на отрез. [a, b], а этот lim наз-ся опред. ∫ от ф-ии f(t) по отрезку [a, b] и обознач-ся: a∫b f(t)dt = lim(∆→0) I(f(t), Тn, ε1…εn), где a – ниж. предел интегр-я, b – верх. предел интегр-я, f(t) – подинт. ф-ия, f(t)dt – подинт. выр-е.
№8
Д/V ф-ии f(t) a∫b f(t)dt =0
1) a∫bdt =b-a
2) a∫b cf(x)dx = c a∫bf(x)dx
3) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b], то ф-ия f(x)+g(x) также интегр-ма на отрез. [a, b]. a∫b [f(x)+g(x)]dx = a∫b f(x)dx + a∫b g(x)dx.
4) a∫b f(x)dx = - b∫a f(x)dx – если изменить направ-е интегр-я, то измен-ся и знак.
5) Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b] (a<b) и (∙)-ки c и d обладают св-ми a<c<d<b, то ф-ия f(x) интегр-ма и на отрез. [c, d].
6) Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b], а (∙)с лежит внутри отрез. [a, b], то
a∫b f(x)dx = a∫с f(x)dx + с∫b f(x)dx.
7) Если ф-ия f(x) непрерывна на отрез. [a, b], то она интегр-ма на этом отрезке.
8) Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b] и ограничена на этом отрезке, то
m(b-a) ≤ a∫b f(x)dx ≤ M(b-a); a∫b mdx = m a∫bdx = m(b-a)
9) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b] и во всех (∙)-ах этого отрез. Вып-ся нер-во m(b-a) ≤ a∫b f(x)dx ≤ M(b-a), то f(x) не превосходит g(x): f(x) ≤ g(x);
a∫b f(x)dx ≤ a∫b g(x)dx.
10) Теорема о среднем: если ф-ия f(x) непрерыв. на отрез. [a, b], то сущ-т (∙)с, лежащая внутри этого отрезка или на его границе, такая, что: a∫b f(x)dx = f(c)∙(b-a).
№9
Пусть ф-ия f(x) определена и интегр-ма на отрез. [a, b]. Если выбрать нек. произв-е числа a≤c<x<b, то по одному из св-в опред. ∫ ф-ия f(x) будет интегр-ма и на отрез. [c,x].
Ф(х) = с∫х f(t)dt.
Св-ва ф-ии Ф(х):
предположим f(x) непрерывна
х+∆х
Ф(х+∆х) – Ф(х) = с∫х+∆х f(t)dt - с∫х f(t)dt = х∫х+∆х f(t)dt = f(с)∙∆х, где (∙)с лежит внутри интерв. (х+∆х).
1) Если ∆х→0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ∫ тоже непрерыв.
2) lim (∆х→0) ∆Ф/∆х = f(x)
Т.е. введенная ф-ия Ф(х) – первообраз. д/ф-ии f(x).
№10
Пусть Ф(х) – какая-то первообраз-я д/ф-ии f(x), тогда можно утверждать, что:
a∫х f(t)dt = F(x)+C д/люб. х из интерв. [a, b], тогда a∫a f(t)dt =0; F(a)+C=0; C=-F(a)
a∫b f(t)dt = F(b) – F(a) – формула Лейбница-Ньютона.
№11
a∫b f(х)dх = α∫βf(φ(t)) φ’(t)dt
x= φ(t)
x=a => a=φ(t), t = φ-1(a) = α
x=b => b=φ(t), t = φ-1(b) = β
dx = φ’(t)dt
№12
Будем предполагать, что ф-ии u и v интегр-мы на отрез. [a, b] и диффер-мы на этом отрез.
d(uv) = udv+vdu; проинтегр-м по отрез. [a, b] это рав-во
a∫bd(uv) = a∫budv + a∫bvdu
u(b)v(b) – u(a)v(a) = a∫budv + a∫bvdu
a∫budv = u(b)v(b) – u(a)v(a) - a∫bvdu – правило интегр-я по частям в опред. ∫.
№13
2 случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (∙); 2) интегр-ие на беск. интервале.
1) Пусть ф-ия f(х) определена на интерв. (a, b), но lim f(x) = ∞, тогда a∫b f(х)dх будет наз-ся несобств. интегралом.
Под ним поним-ся lim (ε→0) a+ε∫b f(x)dx
a∫b f(x)dx = lim (ε→0) a+ε∫b f(x)dx.
Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.
2) Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен.
a∫+∞ f(x)dx = lim (А→ +∞) a ∫А f(x)dx
Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.
-∞∫b f(x)dx = lim (B→ -∞) B∫b f(x)dx
-∞∫+∞ f(x)dx = -∞∫0 f(x)dx + 0∫+∞f(x)dx – обобщение.
№14
Пусть ф-ия f(x)>0 на отрез. [a, b]
Выберем нек. целое положит. число n и разобьем отрезок [a, b] на n одинак. подотрезков.
(b-a)/n = R
x0 = a; y0 = f(x0)
x1=a+h; y1=f(x1)
--------; ---------
xi=a+ih
xn=b=a+nh; yn=f(xn)
Si = (yi-1 + yi)/2 ∙h
S=S1+S2+…Sn = h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]
a∫b f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]
№15
y=αx2+βx+γ
yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ = α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ
yi=αxi2+βxi+γ; yi-1 = αxi2- 2αhxi + 2h2 +βxi – βh +γ
yi+1 = α(xi+h)2+ β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi +2h2 + βxi + βh +γ
yi+1+ yi-1 = 2 αx2i + 2αh2 + 2βxi + 2γ
yi+1+ yi-1 = 2yi = 2αh2
α = (yi+1+ yi-1 – 2yi)/ 2h2
Si = xi-1∫xi+1(αx2+βx+γ)dx = (αx3/3 + βx2/2 + γx) | xi+1xi-1 = α∙[(xi+h)3 – (xi-h)3]/3 + β∙[(xi+h)2 – (xi-h)2]/2 + γ∙[(xi+h) – (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih + 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2 + 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi + 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1– 2yi)/ 2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1- 2yi)/3
Si = ( yi+1+ 4yi + yi-1)/3∙h – формула Симпсона
№16
S=a∫b (f1(x) – f2(x))dx
S2 = - a∫b f2(x)dx
S = a∫b(f1(x) – f2(x))dx
№17
y = f(x)
{x=φ(t)
{y=Ψ(t)
α ≤ t ≤ β
cos2φ + sin2φ = 1
{x=a∙cosφ
{y=a∙sinφ
0 ≤ φ ≤ 2π
S = 0∫a ydx = - π/2∫0 sin2φdφ = a2 0∫π/2 sin2φdφ = a2 0∫π/2 (1-cos2φ)/2 dφ = a2π/4
S = α ∫β y(t)x’(t)dt – вычисление S кривой, если ее Ур-е задано парам-ки.
№18
l – вектор, ρ – длина вектора ОМ
{x = ρcosφ
{y = ρsinφ
ρ = √(x2 +y2)
tgφ = y/x
ρ = ρ(φ) – в полярн. сис. коорд.
ρ(φ) ρ(φ +dφ)
ds = ρ2/2 dφ
α ∫β ds = S = ½ α ∫βρ2dφ
S = ½ α ∫βρ2dφ
№19
В дугу АВ вписали ломаную.
Mi (xi, yi)
yi = f(xi) (если ур-е кривой y = f(x))
| Mi-1 Mi | = √[(xi – xi-1)2 + (yi – yi-1)2]
l лом = Σn i=1 √[(xi – xi-1)2 + (yi – yi-1)2] – длина ломаной линии.
Опред.: под длиной дуги АВ будем понимать lim длины впис. Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0.
При оч. мал. ∆х: dl = √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(y’x)2 + (dx)2] =√ [1+(y’x)2] dx
l дуги ab = a∫b √ [1+(y’x)2] dx – формула д/вычисл. длины дуги.
№20
{x=φ(t)
{y=Ψ(t)
dx = φ’(t)dt
dy = Ψ’(t)dt
l дуги ab = α ∫β √ [ (φ’(t))2 + (Ψ’(t))2] dt
№21
{x = ρcosφ
{y = ρsinφ
dx = (ρ’cosφ – ρsinφ)dφ
dy = (ρ’sinφ + ρcosφ)dφ
(dx)2 = (ρ’2cos2φ – 2ρ’ρcosφsinφ + ρ2sin2φ)
(dy)2 = (ρ’2sin2φ + 2ρ’ρcosφsinφ + ρ2cos2φ)
dl = √[(ρ’)2 + ρ2] dφ
l = α ∫β √[(ρ’)2 + ρ2] dφ
№22
I Вокруг х
a) { y = f(x)
{x = a, x = b
{y = 0
Vx = π a∫b f2(x)dx
б) Час. случай
Vx = π a∫b f2(x)dx - π a∫b g2(x)dx = π a∫b [f2(x) - g2(x)]dx
II Вокруг y
a)
Vy = π c∫d g2(y)dy
б) Час. Случай
Vy = π c∫d f2(y)dy - π c∫d g2(y)dy = π c∫d [f2(y) - g2(y)]dy
№23
Опред-е: числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ых u1+u2+…+un = Σ∞n=1 un (1), каж. из кот. – опред. число.
un = n/(n2+1)
Последов-ть частичных сумм:
S1 = u1
S2 = u1+u2
S3 = u1+u2+u3
----------------
Sn = u1+u2+…+un
Σ∞n=1
un = Sn + Σ∞k=n+1
Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен lim послед-ти частичных сумм, а сам этот lim наз-ся суммой числ. ряда.
S = lim (n→∞) Sn
Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет lim или lim=∞, то ряд наз-ся расход-ся.
Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о, чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы lim (n→∞) rn = 0
Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то lim (n→∞) un = 0.
Следствие из теор.2: если n-й член ряда не → к 0, то ряд расх-ся.
№24
Основ. св-ва сход. рядов:
1) Если члены сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. Σ∞n=1 un = S; Σ∞n=1 λ∙un = λ∙S
2) Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.
3) Если ряд с членами un сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 un = S и ряд с членами vn сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 vn = σ, то ряд с чл. (un + vn) сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 (un + vn) = S+ σ
Σ∞n=11/ n = 1+1/2+1/3+…+1/n… - гармонич. ряд
№25
Признак Даламбера: Пусть дан ряд Σ∞n=1 un, если lim (n→∞) un+1/un = k
{k<1 – ряд сх.
{k>1 – ряд расх.
{k=1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым
Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. un = f(n) – эта ф-ия определена на интерв. [1; +∞]. Если 1∫∞ f(x)dx несобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тоже сход-ся.
Σ∞n=11/ n – гарм. ряд; Σ∞n=11/ nα – обобщ. гарм. ряд.
f(x) = 1/xα
1∫∞ dx/xα = lim (A→∞) 1∫A dx/xα = lim (A→∞) [-αx-α+1] |A1 = lim (A→∞) [α - αA-α+1] = lim (A→∞) [α – α/A-α+1]
Если α>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, ряд сход-ся.
Если α≤1, А-b положит. степ., при А→ ∞ ряд расх-ся.
№26
Σ∞n=1 (-1)n+1un = u1-u2+u3- u4+…, причем un ≥0
Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я un+1< un
и lim (n→∞) un = 0, то дан. ряд сход-ся.
Док-во:
Найдем 2n частичную сумму ряда:
S2n = (u1–u2) + (u3-u4) +…+(u2n-1-u2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм – возраст-я = u1–(u2– u3) + (u4– u5)-…-( u2n-2-u2n-1) - u2n< u1
имеем послед-ть монотонно возр-х сумм <М1 =>она имеет lim
Рассмотрим нечет. частич. сумму S2n+1 = S2n + u2n+1
lim (n→∞) S2n+1 = lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1 = S
Чтд.
Σ∞n=1 (-1)n/n – знакочеред. ряд
un = 1/n, un+1 = 1/(n+1)
un > un+1
lim (n→∞) un = lim (n→∞) 1/n = 0
№27
(1) Σ∞n=1 un – числа u и n могут иметь произвол. знаки
(2) Σ∞n=1 |un| - ряд из абсолют. знач-й ряда (1)
Обозначим ч/з Sn n-ную частич. сумму 1-го ряда и ч/з σn – 2-го ряда.
|Sn| = | Σnk=1 uk| ≤ Σnk=1|uk| = σn
|Sn|≤ σn
Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют. знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2) , то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом. Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм.
№28
Ряды можно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: Σ∞k=1 fk(x)
Выберем нек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.
f1(x0)+ f2(x0)+…+ fn(x0)+…= S(х0)
Ч/з S(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти, кот. наз-ся суммой эт. ряда.
Степенным рядом наз-ся Σ∞n=0 Сn(х-х0)n (1)
Числа Сn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0 наз-ся центром степ. ряда.
В (∙)х=х0 степ. ряд сход-ся.
Теорема Абеля: утвержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, то он сход-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|<|х1-х0|.
утвержд.2: если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|>|х2-х0|.
Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х0 (х0 – R, х0 + R), число R-max расстояние от (∙)х0 до (∙), где ряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда.
R = lim (n→∞) |Cn|/|Cn+1| - правило д/нахожд. радиуса сход-ти.
№29
Св-ва степ. рядов:
1) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.
2) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.
3) Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии , кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.
Σ∞n=0 Cn (х-х0)n = S(x)
Σ∞n=0 Cn n(х-х0)n-1 = S’(x)
4) Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда.
Σ∞n=0 ∫Cn (х-х0)n dx = ∫S(x)dx
Σ∞n=0 Cn/(n+1)∙(х-х0)n+1 = ∫S(x)dx
№30
R может = люб. числу от 0 до +∞.
Σ∞n=0 Cn (х-х0)n = S(x)
(х0 – R, х0 + R) – интерв.
S(х0) = С0
С1 + 2С2 (х-х0) +3С3(х-х0)2 +…= S’(x); С1= S’(х0)
С2 + 3∙2С3 (х-х0) +4∙3С4(х-х0)2 +…= S”(x); С2= S”(х0)/2
Сn = S(n)(х0)/n!
S(х) = Σ∞n=0 S(n)(х0)/n! ∙ (х-х0)n – ряд Тейлора д/ф-ии S(х)
№31
Опред-е: диф-м ур-м наз-ся ур-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии.
Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => ур-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => ур-е в частных производных.
F’(x) = f(x)
G(x, y, y’,…y(n))=0 – общая запись обык. диф. ур-я
Опред-е: решением диф-го ур-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в ур-е превращ. его в тождество.
у”+y =0
y=sinx
Задача о нахождении реш-я диф. ур-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. ур-я. График реш-я диф. ур-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных const наз-ся общим реш-м диф. ур-я.
№32
Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся диф. ур-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след. видов:
(*) dy/dx = f(x)g(y); dy/g(y) = f(x)dx
(**) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y)
(*) ∫dy/g(y) = ∫f(x)dy
(**) ∫M(x)dx/P(x) = -∫Q(y)dy/N(y)
№33
Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде: y’ = f(y/x)
Ф-ия f(x, y) наз-ся однород. ф-ией порядка k, если f(dx, dy) = αk f(x, y).
Пример:
y’ = (x+2y)/x
y’ = 1+2y/x
Пусть y/x = z,
y = zx
y’ = z+xz’
z+xz’ = 1+2z
xz’ = 1+z
dz/(1+z) = dx/x
∫dz/(1+z) = ∫dx/x
ln|1+z| = ln|x|+lnC
|1+z| =|x|C
z = xC – 1
y/x = xC – 1
y = x2C - x
№34
Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка, им. вид y’+f(x)y = g(x), наз-ся линейным диф-м ур-м.
Если g(x) ≡ 0, то соотв. ур-е наз-ся однород. лин. ур-м.
Если g(x) ≠ 0, то ур-е наз-ся неоднородным.
Реш-е им. вид:
y(x) = u(x)v(x)
y’ = u’v + uv’
u’v + uv’ + f(x)uv = g(x)
u’v + u(v’ + f(x)v) = g(x)
v’ + f(x)v= 0
dv/v = -f(x)dx
v = -∫f(x)dx
№35
В нек. случаях реш-е диф. ур-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф. ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. ур-е 2-го порядка допускает пониж. порядка ур-я.
а) y” = f(x) – прав. частьна зависит от у
y’ = z
z’ = ∫f(x)dx
y’ = ∫f(x)dx
б) если в записи ур-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у
G (x, y’, y”) = 0
y’ = z
G (x, z’, z”) = 0
в) когда в ур-ии нет в явном виде независ. перемен. х
За независ. перемен. взять у, а за нов. ф-ию – zy’.
G (y, y’, y”) = 0
y’ = z
2yy” = (y’)2 +1
y’ = z(y)
y” = z’y ∙ y’ = z’z
2yz’∙z = z2 +1
2yz∙dz/dy = z2 +1
2zdz/(z2 +1) = dy/y
ln|z2 +1| = ln|y| + ln|C1|
z2 +1 =yC1
z = √( yC1 – 1)
dy/dx = √( yC1 – 1)
∫ dy/√( yC1 – 1) = ∫dx
y = [(x+C2)2/4 + 1] ∙ 1/C1
№36
Пусть z = f(x,y) – ф-ия 2-х переменных
z’x; ∂z/∂x – частная производ. по х
z’у; ∂z/∂у – частная производ. по у
Полный дифф-ал 1-го порядка от ф-ии z: dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂у∙ dy
Пример:
z = sin(x3y)
z’x = cos(x3y) ∙3x2y
z’у = cos(x3y) ∙ x3
dz = 3x2ycos(x3y)dx + x3 cos(x3y)dy
№37
M0 (x0, y0)
M (x0+∆x, y0)
f(M) – f(M0) = f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0) = ∆x f(x0, y0) – част. приращ. по перемен. х
f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0) = ∆у f(x0, y0) - част. приращ. по перемен. у
Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой перемен. при усл-ии когда предел:
lim(∆x→0) ∆xf(x, y)/ ∆x = ∂f/∂x
№38, №41
Пусть дана ф-ия 2-х перемен. z=f(x, y)
∆z = f(x +∆x, y +∆y) – полн. приращ. ф-ии
ρ = √[(∆x)2 – (∆y)2]
Если расст. → к 0, ∆x и ∆y→ к 0.
Если ∆x и ∆y→ к 0, то ρ→0.
В этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть – выр-е: ∆z = f(x +∆x, y +∆y) - f(x, y) = А∙∆x + В∙∆у + O(ρ)
Если при ρ→0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от ∆x и ∆y, такие, что А∙∆x + В∙∆у будет отлич-ся от полн. приращ-я ф-ии ∆z на вел-ну беск. малую высшего порядка по срав. с ρ, то ф-ия z наз-ся диффер-ой ф-ией, а глав. лин. часть его приращ-я наз-ся полным диф-ом ф-ии z(dz).
А∙∆x + В∙∆у = dz
Теорема1: диф-л ф-ии = сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен.
dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂y ∙ dy
Теорема2: если ф-ия z = f(x,y) обладает непрерывными частными произв-ми ∂z/∂x и ∂z/∂y в заданной области, то эта ф-ия диф-ма в дан. области и ее диф-ал выр-ся: dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂y ∙ dy
P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*)
{∂f(x,y)/∂x = P(x, y)
{∂f(x,y)/∂y = Q(x, y)
Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии f(x,y) необходимо, чтобы в заданной области тождественно вып-сь соотн-е: ∂Q/∂x = ∂P/∂y (**) – необх. усл-е полн. диф-а.
№39
z = f(x,y) определена в нек. области G
На луче l выберем (∙)М(х,у) и будем перемещ-ся из (∙)М(х,у) в (∙)М’(х+∆x,у+∆y)
∆e z = f(х+∆x,у+∆y) - f(х,у)- приращ-е ф-ии в заданном направ-ии l.
ρ(M, M’) = ∆l
∆x = ∆l∙cosα
∆x = ∆l∙sinα = ∆l∙cos(π/2 – α)
π/2 – α = β
∆x = ∆l∙cosα
∆y = ∆l∙cosβ
cosα и cosβ – направляющие cos-ы дан. вектора
Опред-е: вел-на lim (∆l→0) ∆e z/∆l = ∂z/∂l наз-ся производ. ф-ии z по направ. l. Эта вел-на задает скорость измен-я ф-ии в задан. направ-ии l.
lim (∆l→0) ∆e z/∆l = ∂z/∂l = ∂z/∂x∙ cosα + ∂z/∂y∙ cosβ
№40
Опред-е: max-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое в нек. f(x0,y0), кот. больше всех ее знач-й f(x,y), принимаемых дан. ф-ией в (∙)-ах нек. окрестности f(x0,y0).
Опред-е: min-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое дан. ф-ией, кот. меньше всех знач-й ф-ии, принимаемых ею в (∙)-ах нек. окрестности f(x1,y1).
Теорема1 (необх. усл-е экстремума): в (∙) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т.
(∙)-ки, в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум.
Опред.: наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области g наз-ся абсолютным (глобальным) экстремумом ф-ии в дан. (∙).
Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает своего наиб. и наим. знач. либо в критич. (∙) этой ф-ии, лежащей в области, либо на границе области.
Теорема3 (достат. усл-е экстремума ф-ии 2-х перемен.): пусть ф-ия z = f(x,y) непрерыв. в нек. критич. (∙) (x0, y0), а также определена и непрерывна в нек. ее окрестности. Пусть кроме того ф-ия имеет непрерыв. част. произв. 2-го порядка в этой (∙) и пусть
f”xx(x0, y0) = A
f”xy(x0, y0) = B
f”yy(x0, y0) = C,
тогда если число (АС-В2)>0, то в дан. (∙) будет экстремум, причем, если А<0, то в дан. (∙) будет max, если А>0, то в дан. (∙) будет min.
Если (АС-В2) <0, то в дан. (∙) экстремума нет.
Если (АС-В2) =0, то вопрос ост-ся открытым.
№42
z = f(x,y)
Д- плоскость, огранич. или неогранич.
Разделим областьД:
∆Si
∆S = max{∆Si}
I = Σni=1 f(xi, yi)∆Si – интегр-я сумма д/ф-ии z = f(x,y) (1)
Опред-е: если сумма (1) им. предел при n→∞, так, чтобы ∆S→0 и этот предел не зависит от выбора сп-ба разбиения области Д и от выбора внутр. (∙)-ек в каж. части разбиения, то ф-ия f(x,y) наз-ся интегрируемой по обл. Д, а сам предел наз-ся двойным ∫ по обл. Д от ф-ии f.
lim(∆S→0) Σni=1f(xi, yi)∆Si = ∫Д∫ f(x,y)dS, где dS – беск. малое приращ. площади, диф-л S.
Геометрич. смысл 2-го ∫:
∆Si = ∆ xi ∙ ∆yi
Σmj=1 Σni=1 f(xi, yi)∙ ∆ xi ∙ ∆yi
∫Д∫ f(x,y)dS = ∫Д∫f(x,y)dxdy – повторный ∫
a∫bdx g(x) ∫f1(x) f(x, y)dy (из 1)
∫Д∫ f(x,y)dxdy = c∫d g(y) ∫r(x) f(x,y)dx
∫Д∫ dxdy = Sд - замечание