Задание

1.      Представить данные на синтез частотно-избирательного фильтра в графической форме с использованием нормированной частоты

2.      Определить технические требования к нормированному ФНЧ прототипу: тип и порядок фильтра.

3.      Найти координаты нулей и полюсов нормированной передаточной функции ФНЧ прототипа.

4.      Найти лестничную структуру ФНЧ прототипа с нормированными элементами.

5.      Определить координаты нулей и полюсов передаточной функции синтезируемого частотно-избирательного фильтра. Построить график АЧХ с использованием денормированной частоты

6.      Определить лестничную структуру синтезируемого фильтра с нормированными элементами и провести денормирование элементов.

7.      Выбрать возможные варианты RLC-звеньев первого и второго порядков, предназначенных для каскадной реализации фильтра, рассчитать величины элементов и составить полную схему фильтра.

8.      Уменьшив частотные параметры на два порядка:

8.a.   Составить схему и провести расчет элементов для гираторной реализации фильтра.

8.b.   Выбрать возможные варианты ARC-звеньев первого и второго порядков, предназначенные для безиндукционной каскадной реализации фильтра, рассчитать величины элементов и составить полную схему фильтра.

9.      Сделать вывод, дав сравнительную характеристику различным вариантам реализации синтезируемого фильтра.

Исходные данные

Задача синтеза фильтра состоит в разработке электрической схемы устройства, обладающего требуемыми частотными и временными характеристиками. Курсовая  работа предполагает проектирование фильтра на основе требования к форме его характеристики затухания. При синтезе полосно-пропускающего фильтра вводится требование к верхним и нижним граничным частотам полосы пропускания (

поэтому при рассмотрении требований к АЧХ необходимо вместо допусков  и  ввести параметры:  - допустимую неравномерность в полосе пропускания и  - максимально допустимую передачу в полосе задержания, причем

Типичная АЧХ полосно-пропускного фильтра Чебышева приведена на рисунке.

Процедура проектирования частотно-избирательного фильтра включает в себя два основных этапа:

1.      Этап проектирования, в ходе которого подбирается передаточная функция, удовлетворяющая заданным требованиям (АЧХ, выделенная из аппроксимирующей передаточной функции, не должна выходить за пределы заданного коридора допусков);

2.      Этап реализации, суть которого – в выборе принципа реализации передаточной функции, разработке и расчете конкретной схемы фильтра, обладающего найденной передаточной функцией.

Порядок выполнения первого этапа достаточно хорошо разработан, поставленная задача решается с использованием какого-либо из многочисленных справочников по расчету фильтров. Решение второй задачи в рамках второго этапа многовариантно. Это связано с тем, что известно довольно много принципов и схем, позволяющих реализовать найденную передаточную функцию.

Аппроксимация частотной характеристики фильтра

Последовательность шагов

На этапе аппроксимации необходимо проделать следующее:

1.      Выбрать тип фильтра.

2.      Пересчитать исходные данные в требования к фильтру – прототипу нижних частот (ФНЧ-прототипу).

3.      Определить минимальный порядок ФНЧ-прототипа, нули и полюсы его передаточной функции (с помощью справочника).

4.      Пересчитать нули и полюса ФНЧ-прототипа в нули и полюсы синтезируемого фильтра.

5.      Записать передаточную функцию фильтра, найти и построить АЧХ или характеристику затухания.

Тип фильтра

Существует ряд типов фильтров, различающихся по характеру их передаточных функций. Например, фильтр Баттерворта, фильтр Чебышева, эллиптический (Золоторева - Каура) фильтр. Каждый из указанных типов в определенном смысле оптимален. Главная же особенность состоит в том, что заданную избирательность фильтр Чебышева обеспечивает при меньшем порядке, чем фильтр Баттерворта, а эллиптический фильтр в этом смысле лучше чебышевского.

Требования к ФНЧ-прототипу

Для того чтобы не было привязки начального этапа расчета к конкретным значениям частоты и, следовательно, приводимые в справочниках таблицы и графики имели большую общность, осуществляется нормировка частотной оси и ее трансформация таким образом, чтобы свести характеристики ФНЧ, ФВЧ, ППФ, ПЗФ к характеристикам эквивалентного ФНЧ-прототипа.

Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ-прототипа определена на нормированной оси частот, причем граничная частота полосы пропускания [1] Обозначение частоты с тильдой ( и

Итак, требования к АЧХ ФНЧ-прототипа найдены. Они выражаются тремя параметрами:  и

Порядок, нули и полюсы ФНЧ-прототипа

Минимальный порядок ФНЧ-прототипа, необходим для того, чтобы его АЧХ укладывались в коридор допусков, определяется с помощью специальных графиков, которые можно найти в справочнике. Из нужной таблицы и подходящей строки необходимо выписать нормированные координаты нулей и полюсов. Нули лежат на мнимой оси плоскости комплексной частоты

Нули и полюсы синтезируемого фильтра

Пересчет координат нулей и полюсов ФНЧ-прототипа в соответствующие параметры синтезируемого фильтра осуществляется по формулам, приведенным в таблице 2.4.[2] При этом следует обратить внимание на следующие моменты:

1.      Данные формулы получены на основе правил замены комплексных переменных  при переходе от ФНЧ-прототипа к другим видам фильтров;

2.      Каждый полюс или нуль при переходе от ФНЧ-прототипа к ППФ или ПЗФ порождает два полюса или два нуля, так что порядок синтезируемого фильтра по сравнению с прототипом увеличивается в два раза;

3.      Помимо нулей, вычисленных по приведенным формулам, появляются дополнительные нули  и нулей  в ФНЧ-прототипе; сказанное справедливо для ФВЧ и ППФ и обусловлено пересчетом в начало координат

4.      При переходе к ПЗФ каждый из  нулей ФНЧ-прототипа, находящихся в бесконечности, пересчитывается в пару нулей

5.      В результате пересчетов оказывается, что для ФНЧ и ПЗФ количество нулей равно количеству полюсов, а для ППФ число нулей на  меньше число полюсов;

6.      При вычислении полюсов ППФ и ПЗФ группируются значения  и  с разными индексами "+" и "–", в результате чего полюс, расположенный на

Передаточная функция и АЧХ.

Располагая координатами нулей и полюсов синтезируемого фильтра, можно записать передаточную функцию:

                                                      (2.1)

где  выбирается таким, чтобы  для различных видов приведены в таблице 2.5.[3] В ней  - параметр преобразования для ППФ и ПЗФ,

Расчет.

Заданные технические требования представлены как  REF _Ref529283334 \h 1.

Таблица  SEQ Таблица \* ARABIC 1

Отталкиваясь от таблицы 2.1[4], рассчитаем нормированные частоты синтезируемого фильтра:

Коэффициент геометрической асимметрии  равен 1. А центральна циклическая частота полосы пропускания

После проведенного анализа данных с помощью справочника, были определены параметры: тип, порядок фильтра, полюсы и нули ФНЧ-прототипа, а также нормированные значения элементов цепи.

Таблица  SEQ Таблица \* ARABIC 2

Отталкиваясь от таблицы 2.4[5], рассчитаем полюсы и нули необходимого нам ППФ.

Полученные значения запишем как  REF _Ref529367205 \h 3 и отобразим на диаграмме нулей и полюсов.

Таблица  SEQ Таблица \* ARABIC 3

Теперь с помощью формулы 2.1, где

Реализация аналогового фильтра.

Лестничная

Теория.

  расчета лестничных структур предполагает переход к операторной схеме замещения цепи. Запись ее передаточной функции и сравнение выраженных через элементы схемы коэффициентов полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции с коэффициентами полиномов передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации. Решение сформированной системы уравнений позволяет определить значения элементов схемы. Такие расчеты выполнены на ЭВМ, а их результаты занесены в справочник.

При реализации

1.      Выписать из таблицы справочника нормированные значения элементов схемы ФНЧ-прототипа;

2.      Вычислить, используя выписанные значения, величины элементов ППФ;

3.      Денормировать значения элементов;

4.      Составить принципиальную схему фильтра.

В схемах могут использоваться идеальные  и реальные источники тока или напряжения, применяемые для ввода входного сигнала. Все элементы нормированы относительно сопротивления нагрузки и граничной частоты полосы пропускания. Порядок фильтра определяется числом последовательных ветвей (звеньев), которые для удобства пронумерованы.

При проектировании ФВЧ, ППФ, ПЗФ необходимо пересчитать значения элементов схемы ФНЧ-прототипа в значения элементов синтезируемого фильтра и нарисовать его схему. С этой целью нужно обратится к таблице 3.1.[6]

Чтобы получить реальные величины индуктивностей и емкостей, следует провести операцию денормирования значений элементов. Отношение сопротивления нагрузки к реальному сопротивлению индуктивности или емкости сохраняется в нормированном и денормированном виде, а именно:

Отсюда находим формулы для денормирования емкостей и индуктивностей:

где

В результате расчета элементов может оказаться, что номиналы индуктивностей и емкостей одиночных параллельных контуров на несколько порядков отличаются от значений соответствующих элементов, стоящих в других звеньях. Это неудобно, поскольку повышает чувствительность характеристик фильтра к изменениям величин элементов. Чтобы избежать ухудшения характеристик, следует использовать автотрансформаторное включение контура, где  - коэффициент трансформации.

Расчет.

Итак, используя вышесказанное, получим лестничную

Схема  SEQ Схема \* ARABIC 2

Пересчитаем значения элементов (

 и  и  и  и  отличаются на порядок. Чтобы устранить такие резкие различия, Положим коэффициент трансформации [7]) получим новые значения:

Проведем денормирование элементов, полученной электрической цепи:

Каскадное соединение

Теория.

Существует возможность реализовать фильтр путем каскадного соединения

Синтез каскадной структуры

Важно правильно сгруппировать нули и полюсы, чтобы минимизировать чувствительность схемы к изменениям параметров элементов. Наиболее простое правило состоит в том, что нужно объединять нули с ближайшими к ним полюсами.

Каждый фрагмент передаточной функции реализуется своей схемой. Метод расчета состоит в сопоставлении коэффициентов передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации, с коэффициентами, выраженными через элементы схемы. В таблице 3.3[8] приведены семь вариантов схем  для ППФ.

В таблице 3.3 дается также порядок расчета каждого звена. При расчете любой из схем есть одна степень свободы. Предлагается задавать значение сопротивления, хотя вполне можно было бы задаваться величиной емкости или индуктивности, а остальные элементы рассчитать на основе имеющихся связей. Активные сопротивления, стоящие ближе к входу в последовательной ветви, должны учитывать сопротивление источника напряжения, подключенного к входу схемы. В качестве этого сопротивления может выступать выходное сопротивление предыдущего буферного каскада. Однако, если  можно пренебречь. В таблице 3.4[9] представлены аналогичные сведения о схеме, входной сигнал, в которые вводится источником тока. В этом случае передаточная функция определяется как отношение изображения по Лапласу выходного напряжения к изображению входного тока и имеет смысл сопротивления прямой передачи.

Выбор типов звеньев, включаемых в синтезируемую схему, определяется на основе анализа диаграммы нулей и полюсов, а также вида передаточных функций первого и второго порядка, произведение которых дает реализуемую функцию. Следует обращать внимание на то, что источником напряжения или тока является БК для последующего

Расчет.

Итак, обратимся к таблице 3.4 и выберем  нужный нам вариант схем:

Сгруппируем нули и полюсы, отталкиваясь от диаграммы нулей и полюсов ППФ:

Запишем передаточную функцию, исходя из диаграмм нулей и полюсов.

И нарисуем принципиальную схему синтезируемого ППФ, см.  REF _Ref529516080 \h 3.

Схема  SEQ Схема \* ARABIC 3. Каскадные соединения RLC-звеньев.

Гираторная реализация безиндуктивного фильтра.

Теория.

При использовании катушек индуктивности на низких частотах возникает множество неудобств, поэтому разработаны схемы, лишенные этих элементов. Рассмотрим схему фильтра, получаемую из лестничной  REF _Ref529521098 \h 4.

Схема  SEQ Схема \* ARABIC 4. Гиратор.

Гирпторные схемы являются разновидностью активных   Основное соотношение гиратора:

                                                        (3.2)

где  - коэффициент гирации;  - сопротивление, используемое в схеме гиратора.

В частности, если

На рисунке 3.6[10] представлены основные преобразования индуктивностей, включенных в последовательные и параллельные ветви,

Порядок расчета АЛФ следующий:

1.      составить схему АЛФ на основе схемы

2.      найти емкости, полученные преобразованием соответствующих индуктивностей, по формуле

Расчет.

Используя одну из схем замещения на рисунке 3.6.

Схема  SEQ Схема \* ARABIC 5

Составим схему АЛФ на основе

Схема  SEQ Схема \* ARABIC 6

Уменьшим заданные частоты на порядок, то есть

Теперь найдем емкости, полученные преобразованием соответствующих индуктивностей, по формуле  и

Теория.

Подход к реализации [11] Конкретные схемы, диаграммы полюсов и нулей, соответствующие им, а также расчетные соотношения можно отыскать в таблице 3.5.[12]

При расчете следует иметь в виду:

1.      Выбор той или иной схемы, включаемой в каскадное соединение, определяется диаграммой нулей и полюсов синтезируемого фильтра. Возможно, также ориентироваться на вид передаточной функции звена.

2.      Звенья на одном операционном усилителе предназначены для реализации полюсов с невысокими добротностями. Добротность полюса вычисляется по формуле  следует применять более сложные схемы типа 8…12.

3.       - общий коэффициент усиления,  - коэффициент усиления каскадов.

4.      После расчета элементов звеньев нужно выбрать номинальные значения, наиболее близкие к вычисленным, и, кроме того, подобрать конкретный тип микросхемы ОУ.

Предлагаемый расчет

Порядок включения каскадов тоже важен. Нужно, чтобы перед звеном, имеющим всплеск АЧХ на некоторой частоте, стояло звено, обладающее на этой частоте небольшим значение АЧХ. Это достигается включением каскадов друг за другом в порядке увеличения добротности реализуемых полюсов.

Расчет.

Итак, обратимся к таблице 3.5 и выберем  нужный нам вариант схем:

Уменьшим заданные частоты на порядок, то есть

Сгруппируем нули и полюсы, отталкиваясь от диаграммы нулей и полюсов ППФ:

Запишем передаточную функцию, исходя из диаграмм нулей и полюсов.

А теперь найдем принципиальную схему для реализации

Схема  SEQ Схема \* ARABIC 7

Сравнительная характеристика различных реализаций синтезируемого фильтра.

В пределах от звуковых частот до сотен мегагерц  и  элементов.

Вместе с тем

Достижения полупроводниковой технологии, особенно микроэлектроники, обусловили интенсивную разработку и широкое использование

Важными достоинствами

Недостатки

По оценкам специалистов, изготовление микроэлектронных

В настоящее время сформировались следующие подходы к построению безиндуктивных фильтров:

1.      Имитация индуктивностей с помощью активных специальных цепей – конверторов сопротивления, например гираторов. Такие цепи представляют собой четырехполюсник, который преобразует емкостное сопротивление на выходных зажимах в индуктивное сопротивление на входных. С помощью гираторов можно заменить в схеме  и  элементы.

2.      Использование ОУ,  охваченных частотно-зависимыми обратными связями. Существует большое многообразие структурных схем таких активных фильтров. Однако провести четкую границу между отдельными их видами трудно. Общим для них является то, что требуемая передаточная функция фильтра реализуется с использованием свойств ОУ без обращения к

3.      Непосредственное аналоговое моделирование дифференциального уровня, описывающего фильтра, с помощью интеграторов и сумматоров, выполненных на ОУ.

Литература.

1.      В. В. Голованов, А. О. Яковлев, "Проектирование аналоговых и цифровых фильтров", издательство МАИ, 1993.

2.      Тронин Ю. В., Гурский О. В., "Синтез фильтров", издательство МАИ, 1990.

3.      Конспект лекций.