Содержание и значение математической символики

Российский государственный педагогический университет

им. А.И. Герцена

Курсовая работа по теме:

Содержание и значение математической символики

Выполнила                                                                              студентка факультета математики

4 курс 4 группа

Клочанова Ольга Михайловна

Лопачев В.А.

Проверил:

Санкт-Петербург

 2002

Содержание.

Введение ……………………………………………………………………………………..…1

§1.  Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления…………..…3

§2.  Символика Виета и Декарта и развитие алгебры…………………………………..….…6

          2.1  Развитие алгебры до Ф. Виета……………………………..…………………….…6

                    2.1.1 Алгебра греков…………………………………………………………..…...6

                    2.1.2 Алгебра Диофанта……………………………………………………….…..7

                    2.1.3 Алгебра индусов………………………………………………………….….8

                    2.1.4 Алгебра арабов……………………………………………………………….9

                    2.1.5 Развитие алгебры в Европе……………………………………………..…..10

          2.2 Символика Виета и развитие алгебры………………………………………….…..14

          2.3 Символика Декарта и развитие алгебры…………………………………….……..18

§3. Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа………...……..22

§4. Язык кванторов и основания математической логики………………………...…………27

4.1    Алгебра высказываний…………………………………………………….……..27

         4.1.1  Определения основных логических связок………………………...…….27

         4.1.2 Высказывания и булевы функции……………………..…………………..30

         4.1.3 Задания для учащихся………………………………….….……………….32

           4.2 Предикаты и кванторы………………………….……………………………… ….32

                     4.2.1 Предикаты………………………………………….……………………….32

                     4.2.2 Кванторы……………………………………………...…………………….35

          4.2.3 Задания для учащихся……………………………….…………………….38

§5 Методические рекомендации к теме «Введение нуля и развитие  позиционной десятичной системы счисления»…………………………………….………………….39

Список литературы………………………………………………………………….…………43

Введение.

История науки показывает, что логическая структура и рост каждой математической теории, начиная с определенного этапа ее развития, становятся все в большую зависимость от исполь­зования математической символики и ее усовершенствования.

Когда индийцы в V веке н. э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство ко­торой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей. Алгебра и аналитическая геометрия обязаны многим тому, что Виет и Декарт разработали основы алгебраического исчисления. Введенные Лейбницем обозначе­ния производной и интеграла помогли развить дифференциаль­ное и интегральное исчисление; задачи на вычисление площа­дей, объемов, работы силы и т. п., решение которых раньше бы­ло доступно только первоклассным математикам, стали решаться почти автоматически. Благодаря этому обозначения Лейбница получили широкое распространение и проникли во все разделы науки, где используется математический анализ.

Пример с обозначением производной и интеграла особенно ярко подтверждает правильность замечания Л. Карно, что в математике «символы не являются только записью мысли, средством ее изображения и закрепления, – нет, они воздействуют на самую мысль, они, до известной степени, направляют ее, и бывает достаточно переместить их на бумаге, согласно извест­ным очень простым правилам, для того, чтобы безошибочно до­стигнуть новых истин».

В чем заключено объективное содержание математической символики? Чем объясняется значение символики в математике?

Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определенной) записи математических понятий и предложений. Их совокупность – в реальных условиях их при­менения математиками – составляет то, что называется математическим языком.

Использование знаков позволяет формулировать законы ал­гебры, а также и других математических теорий в общем виде. Примером могут послужить формулы той же алгебры:    (a+b)² = a² + 2ab + b²

             х_1,2=      и т.п.

Математические знаки позволяют записывать в компакт­ной и легкообозримой форме предложения, выражение которых на обычном языке было бы крайне громоздким. Это способствует более глубокому осознанию их со­держания, облегчает его запоминание.

Математические знаки используются в математике эф­фективно и без ошибок, когда они выражают точно определенные понятия, относящиеся к объектам изучения математических тео­рий. Поэтому, прежде чем использовать в рассуждениях и в записях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. В противном случае его могут не понять.

В связи со сказанным необходимо подчеркнуть следующее. Математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введенный ими для развития какой-либо математи­ческой теории, средствами которой можно решать практически важные задачи. Сотни лет математики оперировали отрицатель­ными и комплексными числами и получали с их помощью перво­классные результаты. Однако объективный смысл этих чисел и действий с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в на­чале XIX века. Лейбниц ввел символы dx и dy, развил диффе­ренциальное исчисление и с помощью правил последнего пока­зал исключительную оперативную силу этих символов. Однако Лейбниц не выявил объективного смысла знаков dx и dy; это сделали математики XIX века.

Знаки и системы знаков играют в математике роль, весьма сходную с той, какая в более широких сферах познания и прак­тической деятельности людей принадлежит обычному разговор­ному языку. Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математически­ми истинами, налаживать контакт ученых в совместной научной работе.

Решающим, однако, является то, что язык математичес­ких знаков без обычного языка существовать не может. Обычный (естественный) язык содержательнее языка математических знаков; он необходим для построения и развития языка математических знаков. Язык математических знаков только вспомогательное средство, присоединяемое к обыч­ному языку и используемое в математике и в областях, где при­меняются ее методы.

Возможность использования языка знаков в математике обус­ловлена особенностями предмета ее исследований – тем, что она изучает формы и отношения объектов реального мира, в извест­ных границах безразличные к их материальному содержанию. Существенна при этом и специфика математических доказа­тельств. Математическое доказательство состоит в построении цепи высказываний, начальным звеном которой являются истин­ные исходные предложения, конечным – доказываемое утверж­дение. Промежуточные звенья цепи получаются в конечном счете из начального и соединяются с ним и конечным звеном с по­мощью законов логики и правил логического вывода. Если исход­ные утверждения записаны в символической форме, то доказа­тельство сводится к их «механическим» видоизменениям.

Целесообразность, а в наше время и необходимость – ис­пользования языка знаков в математике обусловлена тем, что при его помощи можно не только кратко и ясно записывать по­нятия и предложения математических теорий, но и развивать в них исчисления и алгоритмы – самое главное для разработки ме­тодов математики и ее приложений. Достичь этого при помощи обычного языка если и возможно, то только в принципе, но не в практике.

Достаточная оперативность символики математической тео­рии существенно зависит от полноты символики. Это требование состоит в том, что символика должна содержать обозначения всех объектов, их отношений и связей, необходимые для разработки алгоритмов теории, позволяющих решать любые задачи из клас­сов однотипных задач, рассматриваемых в этой теории.

Оперирование математическими знаками есть идеализирован­ный эксперимент: он в чистом виде описывает то, что имеет место или может быть (приближенно или точно) реализовано в дейст­вительности. Только поэтому оперирование математическими знаками способно служить открытию новых математических истин.

Решающей силой развития математической символики явля­ется не «свободная воля» математиков, а требования практики математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают математикам в конце концов выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру рассматриваемых количественных отношений, в силу чего может быть эффективным орудием их дальнейшего изучения.

§1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления.

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах.

Система счисления, которой мы в основном пользуемся сегодня, десятичная позиционная. Десятичная, так как ее основание 10. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа

Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

 Десятичной позиционной предшествовали другие, основанные на различных принципах, системы счисления. Так примером непозиционной системы (то есть такой системы, где количественный эквивалент  каждой  цифры не зависит  от ее положения (места, позиции) в записи числа) может служить нумерация, используемая древними греками. Эта система относится к числу алфавитных. Первыми восемью буквами греческого алфавита (с добавлением «архаичной» буквы 6 обозначались числа от единицы до девяти, следующими восемью с добавлением 90, - десятки от 10 до 90, следующими восемью с добавлением =сампи, означавшей 900, - сотни от 100 до 900, наконец, тысячи от 1000 до 9000 обозначались так же, как единицы, но со штрихом внизу: ,a означала 1000. Для того чтобы отличать числа от слов, над ними ставилась черточка. Так, число 1305 греки записывали  ,

Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Например, VI=6, т.е. 5+1, IV=4, т.е. 5-1, XL=40, т е. 50-10, LX=60, т.е. 50+10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Примеры: XXVIII=28; ХХХIХ=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.

Древние египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как

Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как  вместо  вместо

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи.

Основные недостатки непозиционных систем нумерации  - трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений. (Последнее, правда, облегчалось употреблением счетных досок – абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата).

Крупным шагом вперед, оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики было создание позиционных систем счисления. Первой такой системой стала вавилонская шестидесятеричная система счисления, в которой появился знак   отсутствовал. Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов. К. Птолемей (II в. н.э.) при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначения отсутствующих  разрядов как в середине, так и в конце числа (0, омикрон – первая буква греческого слова ovden-ничто). О вавилонской шестидесятеричной системе нам напоминает деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, а также деление угла равного четырем прямым, на 360 градусов. Неудобство шестидесятеричной  системы счисления в сравнении с десятичной – необходимость большого количества знаков для обозначения индивидуальных цифр (от 0 до 59), более громоздкая таблица умножения.

Создание десятичной позиционной системы счисления, одного из выдающихся достижений средневековой науки, - заслуга индийских математиков. Позиционные десятичные записи чисел встречаются в Индии с VI в. Так, в дарственной записи 595 года встречается запись числа 346 цифрами брахми ºº-3,

Вот какова эволюция написания индийских цифр.

§2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры.

2.1 Развитие алгебры до Ф. Виета.

2.1.1 Алгебра греков.

Считается, что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре - у вавилонян.

В древнейших египетских источниках  папирусе Райнда и Московском папирусе  - находим задачи на «аха» (термин «аха» означает «куча», «груда»). Имеется в виду некоторое количество, неизвестная величина, подлежащая определению) соответствующие современным линейным урав­нениям, а также квадратным вида ах² = b. В вавилон­ских клинописных текстах имеется большое число задач, решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней, которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстах решаются задачи, при­водящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах² - bх = с или х² - рх = q. В задачах на «аха» можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решении урав­нений.

Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели числовым путем решать задачи, связанные с урав­нениями первой и второй степеней, то развитие алгебры в трудах Евклида (365 - ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда (287-212 гг. до н. э.) и Аполлония (ок. 260-170 гг. до н. э.) носило совершенно иной характер: греки опериро­вали отрезками, площадями, объемами, а не числами. Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла из проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних получила название геометрической алгебры.

В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х² + ax = b².

Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рисунке.

 На  заданном  отрезке  АВ (равном a)   строили  прямоуголь­ник  AM  со сторонами (а + х) и x, равновеликий данному квадрату (b²), таким образом, чтобы избыточная над пря­моугольником AL (равная ах) площадь ВМ была квадратом, по площади равным х². Сторона этого квадрата и да­вала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади.

Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MG, равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник AM будет разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квад­рат LF известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DF. После  этого  находили  величину  DC  (равную ½a + x) и DB (равную х).

Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого в современных обо­значениях решается уравнение указанного типа:

b² = ax + х² = –

Конечно же, при таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений: отрицательные числа появились в математике значительно позже.

С помощью геометрии древним удавалось также до­казывать многие алгебраические тождества. Но каковы эти доказательства! Они безупречны в отношении логики и слишком громоздки. Вот как формулирует Евклид тео­рему, выражающую  тождество (а + b)² = a² + 2аb + b². Если отрезок (ab) разделен в точке (g) на два отрезка, то квадрат, построенный на (ab), равен двум квадратам на отрезках (ag, gb) вместе с удвоенным прямоугольником на (ag, gb).

Естественно, связывая число с геометрическим образом (линией, поверхностью, телом), древние оперировали только однородными вели­чинами; так, равенство было возможно для величин оди­накового измерения.

Такое построение математики позволило античным уче­ным достигнуть существенных результатов в обоснова­нии теорем и правил алгебры, но в дальнейшем оно стало сковывать развитие науки.

Приведенные примеры могут создать ощущение, что математика древних греков примитивна. Но это не так: созданная ими математика по своему идейному содержа­нию глубока и питала идеями и методами математику вплоть до XVII в. - века научной революции; многие идеи древних получили дальнейшее развитие в новой матема­тике, созданной усилиями выдающихся умов XVI—XVII вв.

Накопленные в странах Древнего Востока знания со­стояли из набора разрозненных математических фактов, рецептур для решения некоторых конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и достоверностью. Создание основ математики в том виде, к которому мы при­выкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI—V вв. до н. э. С этого времени начала развиваться дедуктивная математика, построенная на строгих логических доказательствах.

2.1.2 Алгебра Диофанта.

Новый подъем античной математики относится к III в. н. э., он связан с творчеством великого математика Диофанта. Диофант возродил и развил числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки.

У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной z,  квадрата dcdd (квадратоквадрат), пятой dc (квадратокуб) и шестой степеней ее, а также первых шести отрицательных степеней, т. е. рассматривал, величины, записываемые нами в виде x⁶, x⁵, x⁴, x³, x², x, x^-1, x^-2, x^-3, x^-4, x^-5,  x^-6. Диофант применял знак равенства (символ i) и знак  для обозначения вычитания.

Диофант сформулировал правила алгебраических опeраций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями (для m + n  6), и правила знаков при умножении. Это  дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными заиками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения.

«Арифметика» посвящена проблеме решения неопределенных уравнений. И хотя Диофант считает число собранием (а это означает, что рассматриваются только натуральные числа), при решении неопределенных урав­нений он не ограничивается натуральными числами, а отыскивает и положительные рациональные решения.

Неопределенными уравнениями до Диофанта занима­лись математики школы Пифагора в связи с пифагоровой теоремой. Они искали тройки целых положительных чи­сел, удовлетворяющих уравнению x² + y² = z².

Диофант поставил задачу установить разрешимость (в рациональных числах) и в случае разрешимости найти рациональные решения уравнения F (х, у) = 0, где левая часть – многочлен с целыми или рациональ­ными коэффициентами. Он исследовал неопределенные уравнения второй, третьей и четвертой степеней и системы неопределенных уравнений.   

Во второй книге «Арифметики» он так исследует, на­пример, уравнение второго порядка F (х, у) = 0.

Это уравнение задает коническое сечение. Всякому рациональному решению уравнения соответствует точка кривой с рациональными координатами. Пусть a, b – такие координаты, т. е. F (a, b) = 0.

Диофант делает подстановку у = b + k (х – а), или y = b + kt,   х = а + t.

Тогда F (а + t, b + kt) = F (a, b) + tA (а, b)  + ktB (а, b) + t²C (a, b, k) = 0.

Но F (a, b) = 0, поэтому t = –.

Это означает, что каждому рациональному значению параметра k соответствует рациональное же значение t, а значит, рациональная точка кривой. Очевиден геометрический смысл решения: через рациональную точку кривой (a, b) проводится прямая y – b =k (x – a) и находятся вторая точка ее пересечения с кривой.

 Методы Диофанта впоследствии применяли и развива­ли арабские ученые, Виет (1540—1603), Ферма, Эйлер (1707—1783), Якоби (1804—1851), Пуанкаре (1854—1912).

Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает су­щественную деталь: «Наконец, мы желаем здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочи­нениями Диофанта. Благодаря тому, что определенные уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку они оказались гораздо более доступными для людей, не посвященных еще в культуру греческой математики; более доступными, чем те абст­рактные геометрические формы, которые принимают у Евклида уравнения второй степени и которые мы встре­чаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому Диофант и явился главным посредником в процессе ус­воения греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою очередь она проникла в Европу в эпоху возрож­дения наук».

2.1.3 Алгебра индусов.

Начиная с V в. центр математической культуры пере­местился на восток - к индусам и арабам. Математика индусов резко отличалась от математики греков она была числовой. Индусы не были озабочены строгостью эллинов в доказательствах и обосновании геометрии. Они довольствовались чертежами, на которых у греков осно­вывалось доказательство, сопровождая их указанием: «Смотри!». Предполагается, что благодаря числовым выкладкам и практическому эм­пиризму индусам удалось постичь теоремы и методы греков, теоретического обоснования которых они, возможно, по-настоящему не понимали.

Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа.

Индусы рассматривали числа безотносительно к гео­метрии. В этом их алгебра имеет сходство с алгеброй Дио­фанта. Они распространили правила действия над рацио­нальными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки, а не прибегая к построениям, как это делали греки. Например, им было известно, что

Греки, не знавшие отрицательных чисел, решая уравнения, преобразовывали их так, чтобы обе части уравнения при значении неизвестной, удовлетворяющей этому урав­нению, были положительными. Если этого не происходи­ло, то менялись условия задачи. Индусы в аналогичных ситуациях не были стеснены в своих действиях: они либо отбрасывали получающиеся отрицательные решения, ли­бо интерпретировали их как долг, задолженность. Отсю­да сделан был естественный шаг к установлению правил действий над величинами при любом выборе знаков этих величин, а также к выявлению наличия двух корней у квадратных уравнений и двузначности квадратного кор­ня.

Индусами был сделан шаг вперед по сравнению с Дио­фантом и в совершенствовании алгебраической символики: они ввели обозначения нескольких различных неизвест­ных и их степеней, которые были, как у Диофанта, по сути дела сокращениями слов. Кроме того, они искали ре­шения неопределенных уравнений не в рациональных, а в целых числах.

2.1.4 Алгебра арабов.

Дальнейшее развитие математика получила у арабов, завоевавших в VII в. Переднюю Азию, Северную Африку и Испанию. Создались благоприятные условия для слия­ния двух культур – восточной и западной, для усвое­ния арабами богатого математического наследия эллинов и индусской арифметики и алгебры.

Но еще до того как началось усиленное изучение ара­бами трудов древних математиков, в 820 г., вышел трак­тат по алгебре «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т. е. из Хорезма, 787 – ок. 850г. н. э.), где давались числовое и геометрическое решения уравнений первой и второй степеней.

 Название трактата соответствует операциям при решении уравнений: «ал-джабр» (восстанавливать) озна­чает восстановление отрицательного члена в одной части уравнения в виде положительного в другой. Например, преобразовав уравнение

2х² + Зх -2 = 2х к виду 2х² + Зх = 2х + 2, мы произвели операцию ал-джабр.

 «Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов, приведение их к одному; в нашем уравнении подобные члены Зх и 2х, поэтому получим 2x² + x = 2.

Модификация слова ал-джабр породила более позднее алгебра. Аналогично, слово алгорифм (алгоритм) про­изошло от ал-Хорезми.

Основное внимание в трактате ал-Хорезми обращает на решение уравнений вида

ax² = bx,       ax² = c,      ax² + bx = c,       ax² + c = bx,       bx + c = ax²,      bx = c,

которые   формулирует   словесно,  например,  так:  «квадраты и  корни  равны  числу» (ах² + bх = с). Он высказывает правила, дающие только поло­жительные решения уравнений, определяет условия, при кото­рых эти решения существуют. Обоснование правил ал-Хорез­ми дает в духе геометрической алгебры древних.

От арабов Европа получила следующий способ решения уравнения

х² + ах = b.

Построим квадрат х², к его сто­ронам приложим четырехуголь­ники длины х + 2а/4 = х + а/2 и ширины а/4. Тогда площадь получен­ного квадрата x² + ax + .

Значит, x² + ax +  = b + ,  b + .

Величины b и а известны, поэтому можно построить , откуда х + Впрочем, ал-Хорезми, приведший в своем сочинении этот метод, уравнению ах² + с = bх приписывал два корня.

В трактате приведены некоторые сведения о действиях над алгебраическими выражениями, примеры решения  треугольников много задач о разделе наследства приводящих к уравнениям первой степени. Таким образом, трак­тат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению с тем, что было у греческих авторов и индусов, но он заслуживает внимания потому, что в течение длительного времени был руководством, по которому велось обучение в Европе.

2.1.5 Развитие алгебры в Европе.

Каково же было состояние математики в это время в Европе. Об этом наука располагает крайне скудными сведениями.

В XII – XIII вв. в Европе интенсивно переводились в арабского языка как труды самих арабов, так и работы древних греков, переведенные на арабский язык.

Первым европейским математиком, которому удалось осветить многие вопросы и внести в математику свой вклад, был Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1180–1240), написавший «Книгу абака». В ней рассмотрены различные задачи, указаны методы их решения, причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени точностью и полнотой.

Существо задачи Леонардо излагает словесно; неизвестную он называет res (вещь) или radix (корень); квадрат неизвестной – census (имущество) или quadratus (квадрат); данное число – numerus. Все это латинские пероводы соответствующих латинских слов.

Современник Леонардо, Иордан Неморарий (XIII в), употреблял буквенные обозначения более систематично и решал задачи с применением линейных и квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал  их числовыми примерами.

Французский епископ Николь Орем (1323-1382) рассматривал «дробно – рациональные отношения», соответствующе современным степеням a^½, a^¼, a^3/2 и т.д., сформулировал правила операций с этими отношениями типа                                        

Орем вплотную подошел к понятию иррационального показателя. Он доказал расходимость гармонического ряда 1 +

Выдающимся алгебраистом своего времени стал мо­нах-францисканец Лука Пачоли (ок. 1445 – ок.1514) близкий друг Леонардо да Винчи, работав­ший профессором Математики в университетах и различ­ных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Фло­ренции, Милана и других городов.

Он ввел «алгебраические буквы» (caratteri algebraici), дал обозначения квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени; неизвестную х он обозначал со (cosa – вещь), х² – се (censo - квадрат, от латинского census), х³ – cu (cubo), x⁴ – се. се. (censo de censo), x⁵ – р°г° (primo relato – «первое  relato»,  x⁶ – р°г° х – се. cu. (censo de «второе   relato»), х⁸ – ce. ce. ce. (de censo), x⁹ – cu. cu. (cubo de cubo),  x¹⁰ – ce. p°r° (censo de primo relato), x¹³ – 3°r° (tersio relato - «третье relato») и т. д.; свободный член уравнения – n° (numero – число). Как видим, некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с по­мощью показателей 2 и 3 (х⁴ = х^2×2 , х⁶ = х^2×3, х⁹ = х^3×3 и т. д.), а в случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato (например, при образовании х⁵, х⁷, х¹¹ и т. д.). Специальными символами Пачоли обозначил вто­рую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции сложения он воспользовался знаком  (plus – больше), для обозначения вычитания – знаком  (minus – мень­ше). Он сформулировал правила умножения чисел, перед которыми стоят знаки

Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим урав­нениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для ре­шения кубических уравнений х³ + ах = b и х³ + b = ах «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга».

Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке (ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах в трех час­тях» изложил правила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений. Для сло­жения и вычитания он вслед за Пачоли пользовался зна­ками  и  служил и для обозначения от­рицательного числа. Неизвестную величину он называл premier («первое число»), а ее степени – вторыми, третьи­ми и т. д, числами. Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны. Например, современные символы 5, 5ж, 5х, 5х², 5х³ у него выглядели бы так: 5°, 5¹, 5², 5³. Вместо равенства 8х³×7х^-1 = 56х² Шюке писал: «8³, умноженное на 7^1×, дает 56²». Таким образом, он рассматривал и отрицатель­ные показатели. Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что эти числа «имеют имя нуль».

Значительного успеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки Пачоли достигли немецкие алгебраисты – «коссисты». Они вместо  и

XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием – решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней.

Спицион дель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида

 x³ + ax = b a,b >0.                 (1)

Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде х = u – v = b, uv = u и v находятся как корни квадратного уравнения.

Также он нашел решение уравнения x³ = ax + b a,b >0  (2)

в виде х = u + v = b, uv =

Уравнение же x³ + b = ax a,b >0  можно решить с помощью уравнения (2).

В те времена предпочитали избегать отрицательных корней и задачи, сводящиеся к отрицательным корням уравнения (2), преобразовывали так, чтобы они приводили к положительным корням уравнения (3). Лишь Кардано позже осознал выгоду рассмотрения отрицательных корней.

Почему рассматривались только уравнения вида (1) и (2)? На этот вопрос ответ дал Кардано.

Чтобы разобраться в нем, рассмотрим полное уравнение третьей степени.

y³ + ay² + by + c = 0.

Не следует думать, что Тарталья и Кардано писали такие уравнения. Нет, так стали поступать гораздо позже. Записывать все члены уравнения в одной части, приравнивая к одной части, начал Декарт. Да и символики не было, пользовались прообразами символов и словами. Уравнение x³ + ax = b записывалось примерно так: «куб» (х³) b). Понять можно, но оперировать сложно.

Полное уравнение можно преобразовать в неполное, не содержащее члена с квадратом неизвестной. Сделаем замену  y = x + a и подставим в уравнение; получим х³ + (3a + а)х² + (3a² + 2aа + b)x + (a³ + aa² + ba + c) = 0.

Положим 3a + а = 0. Найдем отсюда a = - а/3  и подставим в выражения

 p = 3a² + 2aа + b,         q = a³ + аa² + ba + c.

Тогда уравнение примет вид х³ + px + q = 0.

В нашей символике это уравнение соответствует уравнениям (1), (2), которые решал Тарталья.

Кардано узнал способ решения уравнений третьей степени, предложенный Тартальи, опубликовал его. Формула же стала носить название «формулы Кардано».

Выведем теперь ее.

Рассмотрим уравнение х³ + px + q = 0. Введем новые неизвестные x = u + v и подставим их в исходное уравнение; получим u³ + v³ + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

Приравняем 3uv + p к нулю: 3uv + p = 0.

Уравнение примет вид u³ + v³ + q = 0. Тогда uv = – ,   u³v³ = – , u³ + v³ = -q.

Выражения u³ и v³ можно принять за корни квадратного уравнения z² + qz – = 0.

Решая его, получим z₁ = –  +      z₂= –

Таким образом, x = u + v =      x =

Это и есть формула Кардано. Не лишне заметить, что в таком виде Кардано ее не искал: он формулировал решение уравнений (1) и (2)  и рассматривал связь между уравнениями (2) и (3).

В случае, когда

Чтобы получить представление о символике Кардано, приведем пример записи корня кубического уравнения x³ + 6x = 20. Выражение  R_x.u.cu.R_x.108½R_x.u.cu.R_x.108

Здесь R_x – знак корня (Radix), R_x.u.cu означает корень кубический из всего выражения до вертикальной черты или после нее,  и   plus и minus.

Кардано показал, что легко можно решить уравнение x⁴ = bx² + x⁴ = b(x)², а затем извлечением корня получил квадратное уравнение. Аналогично он рассматривал и некоторые другие виды уравнений.

Однако уравнение x⁴ + 6x² + 36 = 60x, предложенное да Кои Кардано не сумел решить.

Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23 – летний ученик Кардано – Луиджи Феррари.

После того, как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой. Феррари рассматривал уравнение, не содержащее члена с x³, т.е. уравнение вида x⁴ + ax² + bx + c = 0.

Он преобразовывал его так, чтобы в левой части был полный квадрат, а в правой – выражение не выше второй степени относительно x.

Выделением полного квадрата получалось x⁴ + ax += -bx – c + , bx – c + .

Теперь следовало выполнить такие преобразования, чтобы из левой и правой частей можно было извлечь корень. С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям выражение 2t + t².  Это дает = 2tx² – bx – c + at + + t²,     = 2tx² – bx + (– c + + at + t²).

Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом. Вспомним, как обстоит дело с трехчленом ax² + bx + c. Выделим в нем полный квадрат: ax² + bx + c = а(x² + + a(x² + 2x× + a(x² + 2x× +  + a(x+)² +

Трехчлен будет полным квадратом, когда 4ac – b² = 0. В нашем случае роль коэффициента при x² играет 2t, а роль свободного члена  - выражение в скобках правой части уравнения. Тогда выражению 4ac – b² = 0 соответствует 4×2t(t² + at +  - c) – b² = 0, b² = 2t(4t² + 4at + a² - 4c).

Таким образом, нахождение t свелось к решению кубического уравнения, а x находится з квадратного уравнения после извлечения корня из левой и правой частей, т.е. из уравнения x² + t₀ = .

Кардано отмечает, что таким же приемом можно решать уравнения, в которых отсутствует член не с третьей степенью х, а с первой. В этом случае делается  подстановка  х = k/y.          

Открытия, сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано, стали доступны математикам других стран и дали импульс развитию науки.

Дальнейшее развитие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкой общих методов решения уравнений.                                                                                    

В этом преуспел Франсуа Виета.

2.2 Символика Виета и развитие алгебры.

Виет считается одним из основоположников алгебры. Но его интерес к алгебре первоначально связан с возмож­ными приложениями к тригонометрии и геометрии. А задачи тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приво­дили Виета к важным алгебраическим обобщениям. Так было, например, с решением уравнений третьей степени в неприводимом случае и с исследованием некоторых клас­сов разрешимых алгебраических уравнений высших сте­пеней.

Свою алгебру Виет ценил очень высоко. Он не пользовался словом «алгебра», эту науку он зазывал «искусством анализа». Виет раз­личал видовую логистику и числовую логистику. Термин «логистика» озна­чает совокупность арифметических приемов вычислений, «вид» имел смысл символа.

Видовая логистика Виета после внесенных им в сим­волику усовершенствований представляла собой буквен­ное исчисление. Ее объектами служат геометрические и псевдогеометрические образы, связанные между собой раз­личными соотношениями. Виет был последователем древ­них: он оперировал такими величинами, как сторона, квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб , и т. д., образующими своеобразную лестницу скаляров. Дейст­вия над скалярами у Виета, как и у древних геометров, подчинены «закону однородности»: составленные из не­известных и известных величин уравнения должны быть однородными относительно всех их вместе взятых. Умно­жению чисел у Виета соответствует образование нового скаляра, размерность которого равна сумме размернос­тей множителей. Операция, соответствующая делению чисел, дает новую величину, размерность которой равна разности размерностей.

Виет разработал символику, в которой наравне с обоз­начением неизвестных впервые появились знаки для про­извольных величин, называемых в настоящее время параметрами. Для обозначения скаляров он предложил пользоваться прописными буквами: «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной Е, I, О, U, Y, а данные – буквами B, D, G или другими сог­ласными»

Слово «коэффициент» введено Виетом. Рассматривая выражение

(А + В)² + D(A + В),

он назвал величину D, участвующую с А + В в образовании площади, longitude ciefficiens, т. е. содействующей длиной.

Из знаков Виет употреблял +, — и дробную черту. Современные скобки у него заменяла общая черта на всем выражением.

Символика Виета страдала недостатками, в некоторых отношениях она была менее совершенна, чем у его пред­шественников и современников. Виет для записи дейст­вий употреблял слова: in у него означало умножение,  aequatur заменяло знак равенства. Словами же выражались степени различных величин. Для трех низших сте­пеней он взял названия из геометрии, например, А³ на­зывал A cubus. Высшим степеням он давал геометричес­кие наименования, происходящие от низших: А⁹, напри­мер,— A cubo-cubo-cubus. Известная величина В пред­ставлялась как величина девятой степени записью solido-solido-solidum. Если сторона (latus) умножается на неизвестную величину, то она называется содействующей) (coefficiens) при образовании площади.

Уравнение А³ + 3ВА = D     Виет записывал так: А cubus + В planum in 43 aequatur D solido, а уравнение ВАⁿ –А^m+n = Z так:

В parabola in А gradum — А potestate aequatur Z homogenae (В, умноженное на градус А, минус А в степени равняется однородной Z),

Обозначения в числовой логистике выглядели проще:

N – первая степень, Q – квадрат, С – куб и т. д. Урав­нение x³ - 3x = 1 записывалось в виде 1С – 3N aequatur 1»

Неудобства символики Виета связаны и с требованием однородности. Как и древние греки, Виет считал, что сторону можно складывать только со стороной, квадрат –  с квадратом, куб – с кубом и т. д. В связи с этим возни­кал законный вопрос: имеют ли право на существование уравнения выше третьей степени, поскольку в простран­ственном мире четвертая, пятая и т. д. степени аналогов не имеют.

Для придания уравнению однородности Виет после входящих в него параметров писал planum (плоскость), solidum (тело) и т. д. Вот как выглядит в записи Виета уравнение х³ + ЗВ²х = 2z³:  A cubus + В plano 3 in A aequari Z solido 2.

Правило Тартальи для решения уравнения третьей степени у Виета имело вид:

.

Символики   Виета  придерживался   впоследствии П. Ферма. От «тирании» однородности просто и остро­умно сумел освободиться Декарт (об этом будет сказано дальше).

Может показаться, что Виет ввел в символику алгеб­ры совсем немного. Буквами для обозначения отрезков пользовались еще Евклид и Архимед, их успешно приме­няли Леонардо Пизанский, Иордан Неморарий, Николай Орем, Лука Пачоли, Кардано, Бомбелли и многие дру­гие математики. Но сделал существенный шаг вперед Виет. Его символика позволила не только решать кон­кретные задачи, но и находить общие закономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь, способ­ствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии. «Это нововведение (обозначение буквами данных и искомых) и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры: только теперь ста­ло возможным алгебраическое исчисление как система фор­мул, как оперативный алгоритм».

Сказанное, легко подтвердить примерами. Пусть х₁, x₂ –  корни квадратного уравнения. Перемножим разнос­ти x – x₁ и х – х₂: (x – x₁)(х – х₂)=х² – (х₁ + х₂)х + х₁х₂.

Обозначим   (x – x₁)(х – х₂) = х² + px + q,  сравни­вая    с    предыдущим,    получим    p = – (х₁ + х₂),  q = x₁x₂.

Выполним то же самое для кубического уравнения:

(x – x₁)(х – х₂)(x – x₃)=x³ – (х₁ + х₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x – x₁x₂x₃.

Сравним результат с выражением (x – x₁)(х – х₂)(x – x₃) = x³ + a₁x² + a₂x + a₃.

Это дает a₁ = – (x₁ + x₂ + x₃)

                a₂ =  x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃

                        a₃= – x₁x₂x₃.

Такой результат для квадратного уравнения был из­вестен Кардано (в случае положительных корней – еще и раньше); Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х². Но ника­кого обоснования в общем виде дать он не мог; это сделал Виет для уравнений до пятой степени включительно.

Преимущества символики предоставили Виету воз­можность не только получить новые результаты, но и бо­лее полно и обоснованно изложить все известное ранее. И если предшественники Виета высказывали некоторые правила, рецептуры для решений конкретных задач и ил­люстрировали их примерами, то Виет дал полное изло­жение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней.

Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении куби­ческого уравнения.

Возьмем уравнение  x³ + 3ax = 2b. Положим a = t² + xt.

Найдем отсюда

х =  и подставим в исходное уравнение. Получим  + 3a = 2b, откуда для определения t наводим квадратное уравнение относительно t³:   (t³)² + 2bt³ – а³ == 0.

Отсюда определится t, а затем и х. Заметим еще, что подстановка а = t² + xt приводит исходное уравнение к виду

(х + t)³ – t³ = 2b,

которое вместе с уравнением   (х + t)t = a, (х + t)³t³ = a³ дало бы возможность применить метод Тартальи и дель Ферро. Но Виет таким путем не пошел.

Рассмотрим теперь пример. Найдем методом Виета действительный корень уравнения

х³ + 24x=56.

Здесь а=8, b=28. Запишем уравнение относительно t: (t³)² + 56t³ - 8³ - 0.

Решим его:

t³= –28 = – 2836            t₁ =  = 2          t₂ = = –4.

Найдем теперь х:

x₁ =  = –2 ,         x₂ =  = 2 = x₁.

При изложении метода Феррари для решения уравне­ния четвертой степени Виет провел аналитически выклад­ки, указанные выше, и получил уравнение, содержащее основную неизвестную А и вспомогательную Е (х и t у Феррари).

 Виет, верный последователь древних, оперировал толь­ко рациональными положительными числами, которые он обозначал буквами. Если в результате подстановки в урав­нение значений параметров неизвестное оказывалось ир­рациональным, он давал этому случаю особое обоснова­ние.

В качестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решение кубического уравнения по спо­собу дель Ферро – Тартальи.

В записи Виета уравнение имело вид  A³ + 3BA = D.

Известное решение: А является разностью «сторон» которые образуют площадь В и разность кубов которых равна D. Если обозначить «стороны» буквами u и v, то uv = B, u³ – u³ =D, A= u –v.

Виет придавал решению «геометрическое» толкование; он вместо D solidum записывал произведение В planum на D, т. е. получал уравнение A³ + 3ВA= BD.

Затем он определял четыре величины, образующие «геометрический ряд», так, чтобы прямоугольник, постро­енный на средних или на крайних, по площади равнялся В, а разность крайних была D. Тогда A будет разностью средних.

Поясним сказанное. Обозначим эти четыре величины через z, u, v и t. Тогда можно записать

z:u = u:v = v:t,           zt = uv = B,           z – t = D,        A = u – v.

Если в решении Тартальи D заменить на BD, то оба решения совпадут.

Способ Виета означает замену кубического корня двумя средними геометрическими, что полностью соответствует духу древних греков.

Из получившихся  пропорций найдем

u³ = z²t,      v³ = zt         u³ – v³ = zt(z – t) = BD

Виет особо рассматривал трехчленные уравнения раз­личных степеней и в первую очередь интересовался коли­чеством их корней, имея в виду только положительные корни. Отрицательные корни он определял как корни уравнения, в котором неизвестное х заменено на –у. Виет , получал трехчленные уравнения из квадратных; он посту­пал так, чтобы число положительных корней оставалось прежним. При этом он пользовался подстановкой х = ky^m или специальными приемами.

Один из приемов Виета выглядит так. Пусть дано урав­нение

x² + ах = b,    а, b>0.

Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую части уравнения в квадрат:

(х² + ах - b)³ = x⁴ + a²x² + b² + 2ax³ – 2bx² – 2abx = 0

Полученное уравнение можно переписать:

x⁴ + 2ах³ + 2а²x² – а²x²+ b² – 2bх² – 2abx = 0.

Исключим 2ах³ + 2a²x², воспользовавшись тем, что b = х² + ax:

2ах(х² + аx) = b2аx,    2ах³ + 2a²x = 2abx.

Тогда  x⁴ + 2abx – а²x² + b² – 2bx² – 2abx = 0,     x⁴ – a²x² + b² – 2bx² = 0.

Теперь осталось исключить x²; из исходного уравне­ния найдем: x² = b – ax и подставим в последнее:

 x⁴ – (a² + 2b)x² + b² = 0,         x⁴ – (a² + 2b)(b – ax) + b² = 0,    x⁴ + (2ab + a³)x = b² + a²b

Полученное уравнение четвертой степени имеет те и только те положительные корни, которые были у исход­ного квадратного.

Для нахождения трехчленного уравнения третьей сте­пени Виет в качестве исходного брал уравнение

ax – x² = ab

и умножал его левую и правую части на х + b;  это при водило к уравнению

(а – b)х² – х³ = ab²

с теми же положительными корнями, которые были у квад­ратного.

И еще один частный вопрос рассмотрел Виет. В урав­нении

ах^m – x^m+n = b

имеющем по условию два корня, он определил коэффициен­ты, при которых корни уравнения имели бы заданные значения.

Пусть эти корни у и z. Тогда

a =,      b =

Ту же задачу он решил относительно уравнения

x^m+n + ax^m = b, где m + n – число четное,  m – нечетное.

Чрезвычайно важно то, что Виет распространил извест­ные ранее частные преобразования на все алгебраичес­кие уравнения. Подстановку х = у + k, применявшуюся Кардано для исключения из кубического уравнения члена второй степени, он применил к уравнениям любой степе­ни. Также известную Кардано обратную подстановку х = k/y Виет употреблял, чтобы освободиться в некоторых случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональностей. Например, уравнение х⁴ – 8х =  он преобразовал к виду y⁴ + 8у³ = 80. Подстановкой х = y Виет преобразовывал уравнение n-й степе­ни так, что коэффициент при члене (n -1)-й степени (a) становился равным b, в то время как старший коэффи­циент оставался равным единице. Подстановку х = ky он применял, чтобы избавиться от дробных коэффициен­тов.

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами. Первоначальные сведения и по тому, и по другому вопросу были у Кардано.

Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро и Тартальи, решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители. В уравнении

2х³ + 4x² + 25 = l6x + 55

с этой целью он прибавлял к обеим частям 2x² + 10x + 5. Затем преобразовывал его к виду (2х + 6)(х² + 5) = (х + 10)(2х + 6), сокращал на 2х + 6 и получал квадратное уравнение.

Кардано же при нахождении положительного корня уравнения х³ + b = ах складывал его почленно с уравне­нием у³ = ay + b, получал из них квадратное уравнение делением на х минус известный отрицательный корень х – (–у). Такое преобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при члене второй степени в правой части кубического уравнения равен сумме его кор­ней. Это был первый шаг к установлению зависимости меж­ду корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.

Виет составил полные уравнения с заданными положи­тельными корнями вплоть до пятой степени и показал, как образуются коэффициенты при x^n-1, x^n-2, x^n-3, ... Он установил, что эти коэффициенты при условии, что старший коэффициент равен 1 или –1 (свободный член в правой части должен был стоять со знаком +), представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы: самих корней, парных произведений их, произведений корней, взятых по три, и т. д. Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не дошла. Неизвестно, как он поступал в том случае, когда уравнение имеет и отрицательные корни. Но, скорее всего, это не представляло для Виета особых трудностей: достаточно было сделать в уравнении замену х = –у и можно оперировать с положительными корнями нового уравнения. Такие примеры в его работах встречались. Если уравнение х³ + q = рх имеет два по­ложительных корня х₁ и х₂, то уравнение y³ = ру + q – один положительный корень у₁ = –х₃ причем у₁ = х₁ + х₂ (это  знал Кардано), x₁² + x₂² + x₁x₂ = p,  x₁x₂(x₁ + x₂) = q.

Как видим, в исследованиях Виета встречались начала теории симметрических функций и разложения многочле­нов на линейные множители, что вскоре привело к откры­тию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения произвольной степени. Эти исследования Виета продолжи­ли математики следующего поколения Т. Гарриот (1560— 1621), А.Жирар (1595-1632), Р. Декарт (1596-1650).

2.3 Символика Декарта и развитие алгебры.

В сочинении «Исчисление г. Декарта» неизвестный автор изложил арифметические основы математики Декарта. Они писал: «Эта новая арифметика состоит из букв a, b, c и т.д., а также из цифр 1, 2, 3 и т.д. Если цифры стоят перед буквами, например, 2а, 3b, 1/4с, то это означает, что величина а берется двойной, величина b – тройной, а от величины с берется четверть. Но если они находятся позади букв, например, а³, b⁴, c⁵, то это означает, что величина а умножается сама на себя три раза, вели­чина b – четыре раза, а величина с – пять раз». «Сложение производится с помощью такого знака +. Так, чтобы сложить а и b, я пишу а + b. Вычитание про­изводится с помощью такого знака –. Так, чтобы вычесть а из b, я пишу b – a и т. д. Если в вычитаемом выражении есть несколько частей, то у них в нем изменя­ются лишь знаки. Так, если из d требуется вычесть а – b + с, то останется d – а + b – –с. Точно так же при вычитании а² – b² из с² – d² останется с² – d² – а² + b². Но если имеются присоединенные цифры и члены одина­кового вида, то их следует подписывать друг под другом и производить их сложение и вычитание как в обыкно­венной арифметике... Если требуется умножить одну букву на другую, то их следует лишь соединить вместе, но если имеются присоединенные, числа, то они следуют законам обыкновенной арифметики. Что касается знаков, то известно, что + на + дает в произведении + и что –, умноженный на –, также дает в произведении +. Но + на – или же –, умноженный на +, дает в произ­ведении –».

Точно так же определялись действие деления, операции с дробями «по правилам обыкновенной арифметики». Вот рассуждение о корне: «Когда корень извлечь из квад­рата нельзя, его квадрат помещают под связку , чтобы отметить, что его следует рассматривать как корень, и тогда его корень называют иррациональной величиной».

Из всего этого видно, как далеко зашла формализация алгебраических действий по сравнению с тем, что было у древних греков и у предшественников Декарта; видно также, что надобности в геометрической интерпретации алгебры уже нет.

Формализации алгебры (и всей математики) чрезвы­чайно способствовало то, что Декарт усовершенствовал буквенную символику. Он обозначал известные величины буквами а, b, с, . . ., неизвестные («неопределенные») – буквами x, y, z, .... Он ввел обозначения степеней: a², a³ , х³ , . . . Правда, квадраты величин он выражал и с помощью символов аа, хх. Обозначение корня несколько отличается от современного. Так, выражение означает один из кубических корней, входящих в формулу Кардано.

Все буквы в формулах Декарта считались положитель­ными величинами; для обозначения отрицательных ве­личин ставился знак минус; если знак коэффициента про­изволен, перед ним ставилось многоточие. Знак равенства имел необычный вид

+x⁴…px³…qx… 0.

И еще один символ применял Декарт: он ставил звез­дочки, чтобы показать отсутствующие члены уравнения, например:

                 x⁵*** – b  0.

Другие математики того времени тоже пользовались символикой, близкой к разработанной Декартом, а древние греки излагали свои мысли вообще без символики. Ферма построил аналитическую геометрию, располагая запасом употребляемых до него алгебраических средств. «...все это может побудить нас недооценить те успехи, которые поставлены здесь во главу всей математической деятельности Декарта. Значение этих успехов становится, однако, понятным, если мы примем во внимание, как часто мы должны были для изложения идей более ранних авторов прибегать к пользованию алгебраической формой Декарта; без нее мы вряд ли смогли бы это сделать сколь-нибудь сжато и наглядно. Мы смогли воспользоваться этой алгебраической формой, с одной стороны, потому что декартова трактовка алгебры благодаря своим преи­муществам получила ныне широкое распространение, и знакомство с ней происходит уже в школе. С другой сто­роны, она уже сама по себе в большой мере расчистила путь многому, что раньше могло быть изложено лишь весьма громоздким образом и было поэтому доступно лишь очень способным математикам» (Цейтен Г. Г, История математики в XVI и XVII веках, с. 202)

Иными словами, разработка и введение алгебраиче­ской символики сделали математику более демократичной.

Уравнения, по утверждению Декарта, представляют собой равные друг другу суммы известных и неизвестных членов или же, если рассматривать эти суммы вместе, равны «ничему» (нулю). Декарт указал, что «уравнения часто удобно рассматривать именно последним образом», т. е. в виде Р (х) = 0. Для теоретических построений Декарта такая запись уравнений играла важную роль.

Этой формой он пользовался при установлении числа корней   алгебраического  уравнения,   что  привело к формулировке основной теоремы алгебры: число корней уравнения (положительных - «истинных», отрицатель­ных - «ложных» и мнимых -  «воображаемых») равно числу единиц в наивысшем показателе степени входящей в уравнение неизвестной величины. Справедливость тео­ремы он аргументировал тем, что при перемножении n двучленов вида х – а получается многочлен степени n. Недостающие «воображаемые» корни, природу которых Декарт не разъясняет, можно примыслить.

Если все корни положительны, то, по словам Декарта, дело обстоит так: «Знайте, что всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений; ибо если, например, принять х равным 2, или же х – 2 равным ничему, а также х = 3 или же х – 3 = 0, то, перемножив оба эти уравнения    x – 2 = 0 и x – 3 = 0, мы получим хх – 5х + 6 = 0, или же хх = 5x – 6, уравнение, в котором величина х имеет значение 2 и вме­сте с тем значение 3.

 Если принять еще, что х – 4 = 0 и умножить это выражение на хх – 5x + 6 = 0, то мы получим х³ – 9хх + 2бх – 24 = 0, другое уравнение, в котором х, обладая тремя измерениями, имеет вместе с тем три значения, а именно 2, 3 и 4»

Если же «х выражает собой также недостаток какой-нибудь величины, скажем 5, то мы получим х + 5 = 0». Умножив х + 5 на левую часть предыдущего уравнения и приравняв результат нулю, получим

x⁴ – 4x³ – 19xx + 10бх – 120 = 0,               (1)

«уравнение, у которого четыре корня, именно три истин­ных 2, 3, 4 и один ложный –5».

Построение левой части уравнения в виде произведе­ния двучленов приводит к тому, что степень уравнения можно понизить, разделив левую часть его на х – a, где а – корень уравнения. С другой стороны, если такое деление невозможно, то число а не будет корнем уравне­ния. Левую часть уравнения (1), например, можно раз­делить на х – 2, х – 3, х – 4, х + 5 и нельзя разделить на любой другой двучлен х – а; «это показывает, что оно может иметь лишь четыре корня: 2, 3, 4 и –5».

Декарт сформулировал правило знаков, дающее воз­можность установить число положительных и отрицатель­ных корней уравнения: «Истинных корней может быть столько, сколько раз в нем изменяются знаки + и –, а ложных столько, сколько раз встречаются подряд два знака + или два знака –». Впоследствии он внес уточ­нение: при наличии мнимых («невозможных») корней уравнения число положительных корней может (а не должно) быть равным числу перемен знаков. Декарт высказал правила и на примерах показал, какие следует выполнять преобразования, чтобы изменить зна­ки корней уравнения, увеличить или уменьшить корни, получить уравнение, не содержащее второго члена, и т. д. «Легко, далее, сделать так, чтобы все корни одного и того же уравнения, бывшие ложными, стали истинными, и вместе с тем все бывшие истинными стали ложными; именно это можно сделать, изменив на обратные все зна­ки + или –, стоящие на втором, четвертом, шестом и других, обозначенных четными местах, не изменяя знаки первого, третьего, пятого и им подобных, обозна­ченных нечетными числами мест».

Применив такое преобразование к уравнению (1), получим уравнение

х⁴ + 4x³ - 19хх – 106x - 120 = 0,                      (2)

имеющее один положительный корень 5 и три отрицатель­ных: –2, –3, –4.

Можно, не зная корней уравнения, увеличить или уменьшить их на какую-либо величину, для чего необ­ходимо сделать соответствующую замену. Например, уравнение (2) после замены х = у – 3 преобразуется к виду y³ – 8у² – у + 8 == 0; его положительный корень 8 превышает положительный корень уравнения (2) на 3.

Декарт заметил, что, «увеличивая истинные корни, мы уменьшаем ложные и наоборот», при этом он имел в виду абсолютные величины корней.

Правило исключения второго члена уравнения, известное еще Виету, Декарт иллюстрировал примерами.

Так, уравнение y⁴+ 16y³ + 71y² – 4y –120 = 0 подстановкой z – 4 = у он сводил к

z⁴ – 25z² – 60z – 36 = 0;         его корни –3, -2, -1, 6.

Второй член уравнения  x⁴ - 2ах³ + х² (2а² - с²) - 2a^зx + а⁴ = 0 он исключал подстановкой х = z + a  его к виду z⁴ + z² (a² – c²) – z (a³ + ac²) + ⁴ –     ²c² = 0.

Декарт говорил, что можно также «сделать, чтобы все ложные корни уравнения стали истинными, но истинные не стали ложными».  Он утверждал, что легко приблизительно оценить величину неизвестных отрицательных корней уравнения. В этом можно усмотреть постановку вопроса о границах действительных корней уравнения, которому впоследствии уделил большое внимание Ньютон.

Для умножения и деления неизвестных корней урав­нения на число, приведения дробных и иррациональных коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же подстановками, которые были известны и Виету. Рассмот­рим пример.

Если положить у = х и z = 3у, то уравнение

x³ – x² + –  = 0

преобразуется последовательно в уравнение

y³ – 3y² + –  = 0,           а затем в       z³ – 9z² + 26z – 24 = 0.

Корни окончательного уравнения 2, 3, 4; предыдущего – , 1, первого –

О «воображаемых» (мнимых) корнях уравнения Декарт писал: «Как истинные, так и ложные корни не всегда бы­вают действительными, оказываясь иногда лишь вообра­жаемыми. Другими словами, хотя всегда можно вообра­зить себе у каждого уравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует   этим     воображаемым     корням.      Так, например,  хотя   у     уравнения х³ – 6xx + 13x –10 = 0 можно вообразить себе три корня, но на самом деле оно имеет только один действительный, именно 2. Что каса­ется двух других корней, то сколько бы их ни увеличивать, уменьшать или умножать так, как я только что объяснил, все равно их не удастся сделать иными, чем воображае­мыми».

Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декартом – задача приводимости уравнений, т. е. представления целого многочлена с ра­циональными (целыми) коэффициентами в виде произве­дения многочленов низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффи­циентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных радикалах) тогда и только тогда, когда уравнение имеет целый корень (т. е. левая часть его может быть представлена в виде произведения множителей первой и второй степеней).

Для уравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости; оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т. е. соответствующего урав­нения шестой степени, кубического относительно у².

Декарт не показал, как он получил окончательный результат. Ф. Схоотен вывел резольвенту с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов. Он представил многочлен четвертой степени в виде x⁴ – px² – qx + r = (x² + yx + z)(x² – yx +v), откуда получил уравнения для нахождения у, z, у: z – y² + v = –p,  –zy+vy = –q, vz = r.

Разрешающее уравнение (резольвента) имеет вид у⁶ – 2ру⁴ + (р² – 4г)y² – q² = 0.

В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически решал уравнения третьей, четвертой, пятой и ше­стой степеней, отыскивая их корни как пересечение не­которых линий.

Вклад Декарта в математику не ограничивается одной «Геометрией»: в его переписке содержатся решения мно­гих задач, в том числе связанных с бесконечно малыми.

§3 Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа.

Лейбниц внес большой вклад в развитие математического анализа. Ему принадлежит создание многих символов, которые мы используем сейчас, например, dx, ddx,…, d²x, d³x,  ,  . Но символы эти появились у Лейбница не сразу. Первоначально выражение _u              (1)

у него  выглядело следующим образом:   omn. xw = ult. х×omn. w – omn. omn. w. При этом он еще не употреблял привычного нам знака равенства.

В этом выражении omn. – начальные буквы латинского слова omnia, т. е. все, – обозначает объединение, суммирование «всех» бесконечно малых элементов, стоящих под этим знаком, х обозначает абсциссу точки на кривой, исходящей из начала координат, w в этих выкладках Лейбница обозна­чает то элемент дуги (ds), то дифференциал ординаты (dy), ult. – начальные буквы латинского слова ultima (т. е. последняя) – относится к абсциссе.

Для Лейбница в данном случае его omn.w выступает в роли новой функции, которая сама стано­вится объектом операции, обозначенной omn. Как это обстоятельство, так и то, что он рассматривает резуль­тат многократного применения преобразования вида (1) и получает выражения, в которых операция omn. наслаи­вается несколько раз, заставило его искать более удоб­ное обозначение, и в записи от 29 октября мы читаем: полезно писать omn., так что  будет вме­сто omn. (summa и Лейбниц называет этот знак суммой). И для нового исчисления, как в той же запи­си выражается Лейбниц, имеем

Первое из этих соотношений соответствует преобра­зованию (1), а, b - постоянные, черта сверху играет роль скобки, и она, собственно, лишняя, да и Лейбниц не всегда ее пишет, но ее, пусть несистематическое, появле­ние характерно: так, в записи х мы видим, что пишуще­му кажется необходимым дополнительно указать, что на х действительно умножаются все contrario calculo), вводя символ d, который «уменьшает измерение так, как уве­личивает dy, a y/d).

Тут же читаем: d - разность.  Не­сколькими днями позже, в рукописи, помеченной 10 нояб­ря,  Лейбниц записывает:  «dx — то же самое,  что x/d, то есть разность между двумя ближайшими».

Замечательно то, что Лейбниц сразу, введя новое обо­значение, начинает с ним обращаться как с символом опе­рации, отделяя его от объекта операций: он сразу отме­тил, что его «сумма» от (двух)   слагаемых   равна   сумме «сумм» слагаемых и что постоянный множитель или дели­тель можно выносить за знак «суммы». В записях   после­дующих дней (от 1, 10, 11 ноября)   он отмечает такие же свойства операции,   обозначенной   через d. За  эти    дни Лейбниц убедился, что d(xy) не то  же самое, что dx×dy, и что d(x/y) ¹ dx/dy, но не вывел еще соответствующих формул. Отметил он и что   обратность действий d, например, после равенства  он пишет: или wz = y²/2d (тут d еще в знаменателе). Отме­чены им уже формулы для производной степенной функ­ции при целых показателях степени, например, «из квад­ратуры треугольника ясно, что y²/2d = у;  из квадратуры параболы».

А в том, что он открывает здесь нечто весьма сущест­венное, Лейбниц, вероятно, окончательно убедился, когда смог использовать пока как бы нащупываемый им алго­ритм при решении задач на обратный метод касательных. Он писал: «Еще в прошлом году я поставил перед со­бой вопрос, который можно отнести к труднейшим во всей геометрии, поскольку распространенные до сих пор методы здесь почти ничего не дают. Сегодня я нашел его решение и я приведу его анализ».

Свою задачу Лейбниц формулирует как определение кривой, у которой поднормали обратно пропорциональны ординатам. Такая задача сводится, в современных обозна­чениях, к решению дифференциального уравнения ydy/dx = k/y, где k - постоянная. Решение Лейбница состоит по сути в составлении такого уравнения и последующем его интегрировании с помощью разделения переменных. Он получил, таким образом, уравнение искомой кривой, и она оказалась кубической параболой.

По записям Лейбница видно, что к середине 1676 г. он, располагая уже всеми основными правилами дифференцирования и интегрирования, решил еще не­сколько задач на обратный метод касательных, в том числе знаменитую в XVII в. задачу де Бона, предложен­ную в свое время Декарту, который не смог получить ее общее решение. И это результат вполне самостоятельного хода мыслей. То, что Лейбниц знал к тому времени от­носительно результатов Ньютона и Грегори, никак не могло помочь ему пройти избранный им путь. Операцион­ный подход Лейбница к проблеме и его поиски рациональной символики для нового исчисления, в чем наибо­лее полно выразилась творческая индивидуальность Лейб­ница, были в достаточной мере чужды его английским

соперникам.

Примерно через год после открытий 1675 г., во время поездки по Голландии и после встречи там с Гудде, Лейб­ниц составил заметку, озаглавленную «Дифференциальное исчисление касательных». Она начинается записями:

d = 1,                      d = 2x,                   d = Зх²   и т. д.

d= –,                 d = –,              d= –  и т. д.

d=     и т. д.

Отсюда выводится общее правило для разностей и сумм простых степеней:

d= ex^e-1  и, напротив,   (горизонтальная черта сверху означает взятие в скобки).

Как видно, здесь знак d обозначает операцию вычисле­ния производной. Но Лейбниц еще не вполне выработал к тому времени свою символику и чуть ниже можно прочитать, что «общее правило устанавливается так: ». Такая редакция общего правила   следует   за   замечанием:   «пусть у = x², тогда бу­дет  x, следовательно, x». И на полях, вероятно, позже, Лейбниц написал, что это отличное за­мечание к его исчислению разностей: «если by+  + etc. = 0, то b+ = 0, и так с осталь­ными». Здесь он начинает свободно обращаться с дифференциалами, как это ему удобно при решении дифферен­циальных уравнений, не предопределяя, какое из пере­менных независимое, какое функция.

Дальше в том же наброске следует замечание, что вот, «возьмем какое-либо уравнение (но берется уравне­ние алгебраической кривой, притом второго порядка) ... и напишем у +dy вместо у и подобным образом x + dx вместо х, тогда, опустив то, что опустить над­лежит, получим другое уравнение» (т. е. оставляются только слагаемые первого порядка относительно диффе­ренциалов, и это показано на примере).

Отсюда вытекает правило, обнародованное Слюзом, продолжает Лейбниц, и это, конечно, верно. Тут же он добавляет, что «мы бесконечно расширим это правило: пусть букв будет сколько угодно и из них составлена формула, например, из трех букв...». И Лейбниц сопостав­ляет уравнение алгебраической поверхности опять-таки второго порядка и небезупречно составленное путем диф­ференцирования соотношение между дифференциалами, чтобы заявить без дополнительного обоснования: «Отсю­да явствует, что по такому методу получаем касатель­ные плоскости поверхностей, и не имеет значения при этом, существует ли еще иное соотношение между теми же буквами х, у, z, его ведь можно будет подставить позже».

Конечно,  указание  на  то,   как  определить  касатель­ную плоскость к   поверхности,   следовало   еще   развить, что в рассматриваемом отрывке отсутствует,  но мы ви­дим здесь пример того, как Лейбниц постепенно, по раз­ным поводам, возвращается к своему исчислению, расши­ряет область его применения, наряду с новыми резуль­татами получает с его помощью известные старые.

В 1678 г. Чирнгаус заявил Лейбницу, что надо по возможности избегать новых обозначений, ибо это только затрудняет доступ к науке. Вот Виет заслуживает похвалы за то, что обходится буквенными обозначениями, не вводя новых чудовищных знаков. Лейбниц, возражая подчеркивал, что надо искать обозначения, которые кратко выражают сокровенную сущность предмета, облегчая путь к открытиям и значительно уменьшая затрату умственного труда. И таковы, продолжал Лейбниц, использованные мною знаки – я часто с их помощью в несколько строк решаю самые трудные задачи.

В 1684 г. в «Лейпцигских ученых заметках» появилась одна из самых знаменитых математических работ: «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». В этой небольшой статье даны основы дифференциального исчисления. Правила дифференцирования приводятся без доказательств, хотя есть указания на то, что здесь все можно обосновать, рассматривая дифференциалы как бесконечно малые разности. Определение дифференциала функции дано как произведение производной (но производная задается геометрически как отношение ординаты к подкасательной) на дифференциал аргумента. Последний можно задавать произвольно. Еще не вводится определенное соглашение относительно выбора знака для длин отрезков, которыми оперирует Лейбниц, поэтому он привод некоторые формулы с двумя знаками.  В статье были опечатки, затруднявшие чтение, были и ошибочные утверждения (относительно определения точек перегиба). Но в ней были и эффективные примеры применения нового алгоритма, и автор, приведя их, имел право заявить: «Во всех таких и много более сложных случаях наш метод обладает одной и той же поразительной и прямо беспримерной легкостью. Но это лишь начала некой более высокой Геометрии, которая распространяется на труднейшие и прекраснейшие задачи прикладной математики, и едва ли кому-нибудь удастся заняться с той же легкостью такими вещами, не пользуясь нашим дифференциальным исчислением или ему подобным».

Год 1690-й отмечает новый этап: начинается переписка и многолетнее научное общение Лейбница с Яковом Бернулли, а затем и его младшим братом Иоганном, напечатана первая работа по анализу старшего из братьев, и оба они, математики первого ранга, отныне все усилия приложат для развития нового исчисления.

Через посредство И. Бернулли с новым исчислением знакомится и становится его приверженцем самый значительный французский механик тех лет П. Вариньон.

На Лейбница появление приверженцев его метода и умножение примеров, показывающих плодотворность созданного им исчисления, действовало стимулирующе.

Новые результаты Лейбница достаточно разнообраз­ны. Некоторые из них относятся к технике дифферен­цирования. Так, в «Новом методе...» 1684 г. дифферен­цируются только алгебраические функции, рациональные и иррациональные, и, в неявном виде, логарифм, а в 90-е годы Лейбниц, можно сказать, мимоходом в раз­личных работах указывает дифференциалы синуса и арк­синуса, функции вида u^v, где основание и пока­затель степени — функции независимого переменного, вводит дифференцирование по параметру. Позже Лейбниц дает носящую его имя формулу для дифференциала лю­бого порядка от произведения функций. Можно сказать, что на этой стадии операция дифференцирования у Лейб­ница охватила весь запас известных тогда функций.

Другая группа результатов Лейбница относится к диф­ференциальной геометрии. Один из наиболее существен­ных – введение огибающей семейства плоских кривых, зависящих от некоторого параметра.

В третью группу можно объединить результаты по интегральному исчислению. Кроме формул, представляю­щих собой обращение упомянутых формул дифференци­рования, Лейбниц дал две работы об интегрировании ра­циональных дробей (1701 и 1703 гг.). В первой из них он допустил ошибку, сделав вывод, что при наличии комп­лексных корней у знаменателя рациональной дроби с дей­ствительными коэффициентами интегрирование должно ввести новые трансцендентные функции, кроме обратных круговых и логарифмов. Когда же И. Бернулли указал правильный результат, Лейбниц с ним не согласился и повторил свое ошибочное заключение во второй работе. Эта ошибка Лейбница – не только математический недо­смотр, она имеет любопытные корни. Утверждение, что интегралы вида

дают новые  трансцендентные  функции  казалось  ему  и привлекательным и правдоподобным еще потому, что это соответствовало лейбницевой метафизике. Если бы все ин­тегралы такого вида сводились, как выражается Лейбниц, только к квадратуре гиперболы   (т. е. логарифмам)   и к квадратуре круга  (к обратным круговым функциям), то все было бы   единообразно.   «Но   природа,   мать   вечного разнообразия,  или,   лучше    сказать,    божественный   дух слишком цепко оберегает свою прекрасную многоликость, чтобы допустить слияние всего в одну породу. И таким образом он находит  изящный  и удивительный выход  в этом чуде анализа, этом побочном порождении мира идей, двойственном существе как бы между бытием и небыти­ем, что мы называем мнимым корнем. И посему всякий раз, когда знаменатель рациональной дроби имеет мнимые корни, что может получиться бесконечно многими спосо­бами, будет мнимой и гипербола, квадратура которой нам нужна, и ее никоим образом нельзя будет построить».

От Лейбница не ускользнуло и то, что интеграл мож­но рассматривать как дифференциал с показателем –1, и это привело  его  к  введению  дифференциалов  любых отрицательных  и  дробных  порядков  с  помощью   беско­нечных рядов. Теорию интегралов и производных дробно­го порядка развивали в XVIII в. Эйлер, в XIX в. – Лиувилъ, Риман, Летников, в XX в. – Г. Вейль, М. Рис и др., и сейчас она составляет один из разделов анализа. Лейбниц же первый в печати указал на то, что операция ин­тегрирования вводит произвольную постоянную и на связь между определением первообразной функции и квадра­турой. Он указал также, как интегрировать некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений. Су­щественно то, что Лейбниц отчетливо определил взаимо­отношение интегрирования дифференциальных уравнений и интегрирования функций (первое следует считать вы­полненным, если оно сведено ко второму), и, аналогич­но, интегрирования функций и алгебраических операций (например, определение корней знаменателя подынте­гральной рациональной дроби считается при интегрирова­нии задачей решенной).

Лейбниц много занимался также интегрированием иррациональностей (в конечном виде, как стали позже вы­ражаться) и глубоко проник в суть этой проблемы.

Заслугой Лейбница является и применение к интегри­рованию и функций и дифференциальных уравнений бес­конечных рядов с использованием метода неопределен­ных коэффициентов (последний метод восходит к Декар­ту). Немалое значение для успехов нового анализа име­ло достаточно общее введение такого понятия, как функ­ция, и систематические выступления Лейбница против ограничения (по Декарту) предмета геометрии изучением  алгебраических кривых. Наконец, Лейбниц на деле доказал достоинства своего исчисления, с успехом участвуя в конкурсах на решение таких трудных для то­го времени задач, как задача Галилея о цепной линии и задача И. Бернулли о брахистрохроне.

Историческое значение математического творчества Лейбница огромно. Оно длилось около сорока лет, и за такой сравнительно небольшой срок математика преобразилась. Наука, в которую вступил Лейбниц, и наука, которую он оставил, принадлежит разным эпохам,  и это плод главным образом его трудов и трудов его школы. До Лейбница в обширную область неведомого пытались проникнуть то тут, то там, наскоками, пусть порою очень удачными, не имея общего плана. Благодаря Лейбницу разрозненные прежде усилия были подчинены общей программе, прояснились и близкие и далекие цели, средства для их достижения оказались в распоряжении не только сверходаренных одиночек и значительно выиграли в эффективности.

§ 4. Язык кванторов и основания математической логики.

В связи с тем, что элементы логики представляют собой неотъемлемую составную часть школьного обучения математике, они должны изучаться в единстве с собственно математическим материалом на всех этапах обучения. Соответствующий язык необходимо вводить постепенно для обозначения уже разъясненных математических и логических понятий, чтобы в дальнейшем он становился необходимым компонентом обиходного математического языка.

4.1  Алгебра высказываний.

Эта тема важна для школьной математики. Не овладев ее основными действиями, нельзя понять последующие темы, как, не овладев таблицами сложения и умножения, нельзя научиться арифметике и тем более алгебре.

Исходные объекты алгебры высказываний – это простые высказывания. Их будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c, …, x, y, z. Предполагается, что всякое простое высказывание обладает одним и только одним из двух свойств: либо оно истинно, либо ложно.

Будем пользоваться почти повсеместно принятой терминологией: свойства истинности (и) и ложности (л) мы будем называть значениями истинности высказываний. При такой терминологии значение истинности сложного высказывания есть функция от значений истинности простых  высказываний; такая функция называется логической связкой.

4.1.1  Определения основных логических связок

а) Отрицание (знак ù ). Если а – высказывание, то  ùа (чита­ется: «не а») также высказывание; оно истинно или ложно в зави­симости от того, ложно или истинно высказывание а.

Таким образом, операция отрицания описывается следующей таблицей:

Мы видим, что операция ù в теории высказываний вполне со­ответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова. Если, например, а – высказывание «Число три делит число шесть», то отрицанием ùа этого высказывания будет «Число три не делит число шесть». Высказывание а при этом истинно, высказывание ùа, – ложно.

Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное высказывание, например «Число три делит число пять», то его отрицание ùа будет высказывание «Число три не делит число пять» - истинное высказывание.

б) Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем употреблять знак Ù (можно также &).

Если а и b - высказывания, то а Ù b (читается: «а и b») – но­вое высказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а истин­но и b истинно.

В отличие от операции отрицания, зависящей от одного эле­ментарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных высказы­ваний, поэтому они называются двуместными связками, отрица­ние же - связка одноместная.

Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания, столб­цы – значениям другого элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.

Значение истинности сложного высказывания а Ù b задается матрицей

Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответ­ствует обыденному значению союза «и»:

в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять знак Ú.

Если а и b – высказывания, то а Ú b (читается: «а или b») – новое высказывание, оно ложное, если а и b ложны; во всех осталь­ных случаях а Ú b истинно.

Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так:

Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыден­ному значению союза «или».

Примеры.

 «Три делит пять или три больше шести» ложно;

«Три делит шесть или три больше шести» истинно;

«Три делит шесть или три меньше шести» истинно.

г) Импликация. В качестве знака для импликации будем упот­реблять знак Þ.

Если а и b – два высказывания, то а Þ b (читается: «а импли­цирует b») – новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того случая, когда а истинно, а b ложно.

Матрица   истинности   операции   импликации   следующая:

В импликации а Þ b первый член а называется антецедентом, второй b – консеквентом.

Операция Þ описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «а – достаточное условие для b», но на этой аналогии не следует слишком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации, данное выше, и интерпретируя выражение а Þ b как «если а, то b», мы получаем: «Если дважды два – четыре, то трижды три – девять» – истинное высказывание; «Если дважды два – пять, то трижды три – восемь» – истинное высказывание и только вы­сказывание типа «Если дважды два – четыре, то трижды три – восемь» ложно.

По определению импликации сложное высказывание а Þ всегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент ложный, что в очень малой мере отражает обыденное значение вы­ражения «Если а, то b» или «Из а следует b». Ни в какой мере не следует рассматривать высказывание импликации как означающее, что антецедент является причиной, а консеквент — следствием в том смысле, как это понижается в естественных науках.

Несколько позже мы убедимся, что операция импликации доста­точно точно выражает понятие логического следования в той форме, как оно употребляется в математике.

д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять знак Û. Операция эквиваленции определяется так: если а и b – два высказывания, то а Û b (читается: «а эквивалентно b»; Û со­ответствует словесному выражению «...тогда и только тогда, когда...») – новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба – ложны.

Из этого определения связки Û следует, что ее матрица истин­ности выглядит так:

Введенными пятью связками (ù, Ù, Ú, Þ, Û) мы ограничимся.

С помощью уже введенных связок мы можем строить слож­ные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний.

Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а £ b (читается: a меньше или равно b») представляет собой дизъюнкцию (а < b) Ú (a = b); оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входя­щих в него простых высказываний. Хорошими примерами сложных выска­зываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые двойные неравенства. Так, формула а < b < с означает (а < b) Ù (b < с), а, например, а < b £ c означает сложное высказывание (а < b) Ù ((b < c) Ú (b = c)).

Построение сложных высказываний делается аналогично тому, как в элементарной алгебре с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А имен­но, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь слож­ных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы ус­ловимся, что элементарные высказывания следует рассматривать как частный случай сложных). Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В одним из знаков Ù, Ú, Þ, Û или же построив высказывание ùА и заключив результат в скобки. Слож­ными высказываниями будут, например, высказывания следую­щего вида:

((а Þ b) Ù (с Ú а));         ((а Þ b) Û (с Þ ùа)).   

При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы являют­ся сокращенными обозначениями каких-либо высказываний.

Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные выска­зывания. Только словесное описание сложных высказываний бы­стро становится малообозримым, и именно введение целесообраз­ной символики позволяет проводить более глубокое и точное ис­следование логических связей между различными высказываниями.

 Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение истин­ности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное высказывание

((bÚ с) Û (b Ù a))

и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют сле­дующие значения истинности: а = л, b = и, с = и. Тогда b Ú с = и,  b Ù a = л, так что (( bÚ с) Û (b Ù а)), т. е. рассматриваемое высказывание ложно.

4.1.2  Высказывания и булевы функции

Одной из основных задач алгебры высказываний является уста­новление значения истинности сложных высказываний в зависи­мости от значения истинности входящих в них простых высказыва­ний. Для этого целесообразно рассматривать сложные высказыва­ния как функции входящих в них простых высказываний. С другой стороны, так как значение истинности (и или л) сложного высказы­вания зависит по определению логических связок не от самих простых высказываний, а лишь от их значения истинности, то можно считать, что любое сложное высказывание определяет функ­цию, аргументы которой независимо друг от друга принимают значения и или л, а значение самой функции также принадлежит множеству {и, л} (конечно, существенно не то, что речь идет о функциях от нескольких аргументов из множества {и, л} в множество {и, л}, а лишь то, что данные мно­жества двухэлементны. Эти множества  зачастую  обозначают  не  через {и, л}, а, например, через {0, 1}, считая, что 1 означает «истину», а 0 – «ложь»).

Такие функции называются булевыми функциями (по имени Д. Буля). Например, формула F (а, b, с) = (а Ù b) Þ (с Ù а) описывает, учитывая определение входящих в нее связок, булеву функцию, задаваемую следующей таблицей:

Заметим, что булевых функ­ций от n аргументов имеется лишь конечное число, а именно столь­ко, сколько возможно функциональных таблиц. Число возмож­ных наборов аргументов равно 2ⁿ, а каждому набору аргументов можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и или л. Таким образом, число всевозможных булевых функций от n аргументов равно  –  Оно очень быстро растет с ростом n. Изуче­ние свойств булевых функций имеет большее значение как для алгебры и математической логики, так и для их приложений в кибернетике и теории автоматов. Естест­венно распространить определение высказывательных связок, так как мы их определили выше, на булевы функции. Мы ограничимся рассмотрением лишь связок Ù, Ú, ù называемых булевыми связ­ками (или булевыми операциями). Такое ограничение оправдано тем, что, как легко проверить, связки Þ и Û могут быть выражены через другие булевы связки. При помощи таблиц истинности, приведенных выше, легко проверяются следующие тождества:

  a Þ b º (ù a) Ú b; 

  a Û b º (a Ù b) Ú (ù a Ù ùb),

 которые позволяют повсеместно заменить связки Þ, Û на Ù, Ú, ù.

 Если   мы  теперь   имеем   булевы  функции   {F (x_l, х₂, ..., х_n), G (х₁, х₂, ..., х_n)} от n переменных, то действие связок над ними определяется естественным образом:

F (x_l, x₂, ..., х_n) Ù G (х₁, x₂, ..., х_n), F (x_l, x₂, ...,х_n) Ú G (x_l, x₂, ..., х_n),  ùF (x_l, x₂, ..., х_n) –  это такие булевы функции, которые принимают значения, предписы­ваемые соответствующими таблицами для каждого возможного зна­чения аргументов. Кратко: булевы операции так переносятся на бу­левы функции, как действия арифметики переносятся на обычные функции числовых аргументов. Вообще имеет место далеко идущая аналогия между обычной алгеброй чисел и числовыми функциями, с одной стороны, и высказываниями и булевыми функциями – с другой. При этом можно отметить, что в одном определенном смысле алгебра булевых функций проще алгебры числовых функ­ций: если рассматривать лишь функции некоторого конечного числа аргументов, то таких функций лишь конечное число. Поэтому выкладки с булевыми функциями вполне доступны пониманию школьников старших классов.

 Естественно, закономерности булевой алгебры менее привычны и вызывают удивление и недоверие: это судьба всякого новшества.

Выпишем законы булевой алгебры. Большими латинскими бук­вами А, В, ..., X, Y, Z мы обозначим объекты, над которыми осу­ществляются булевы операции Ù, Ú, ù. Для определенности будем считать, что эти объекты – булевы функции некоторого фик­сированного числа переменных. Среди них есть два особых элемен­та: 1, 0. Это соответственно функции, принимающие для всех ар­гументов значения 0 и 1 (постоянные функции – нуль и единица). Тогда

А Ù В = В Ù А,                                             A Ú B = B Ú A

A Ù (В Ù C) = (А Ù В) Ù C                          A  Ú (В Ú C) = (А Ú В) Ú C

A Ù A = A                                                     A Ú A = A

A Ù 1 = A                                                      A Ú 1 = A

A Ù 0 = 0                                                       A Ú 0 = A

ù(A Ù B) = ùA Ú ùB                                       ù(A Ú B) = ùA Ù ùB

A Ù (B Ú C) = (A Ù B) Ú (A Ù C)                A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C)

ù ùA = A

Если, как это обычно делают, булевы операции Ú,  Ù, ù считать аналогом сложения, умножения и перехода к противоположно­му числу, то некоторые из вышеприведенных законов те же, что для числового сложения и умножения, другие же существенно отличаются от привычных.

4.1.3 Задания для учащихся.

1.      Верно ли высказывание:  ù(205 кратно 5);            7               ù(8>10);          1£3£3.

2.      А – множество точек треугольника и В – множество точек четырехугольника.

Верно ли высказывание: CÎA Ù CÎB;      KÎB Ù KÎA; SÎB Ú SÎA;   ù(SÎA)ÙSÎB?

3.      Известно, что А=и, В=и, Х=л, Y=л. Найдите значение высказывания:

АÚùХ;             ùYÙùA;           AÞX;             ù(ùВÚY);         (AÙB)ÚX;       (XÚB)ÞY;     (XÙA)Þ(YÚB);            ù (AÚX)Ù(YÚùX).

4.      Составьте таблицу истинности высказываний: ùХÙХ;  (ХÚY)ÚùY;     (XÙY)ÚùX;     ùXÞY;            (XÙY)ÞY. 

5.      Используя переменные X, Y, Z, запишите сочетательное свойство операции «и».

6.      Проверьте равенство (XÚY)ÙZ º (XÙZ)Ú(YÙZ) и (XÙY)ÚZº(XÚZ)Ù(YÚZ), составляя таблицы истинности для левой и правой части.

4.2 Предикаты и кванторы.

4.2.1 Предикаты.

Алгебра предикатов –  тот раздел математической логики, который непосредственно надстраивается над алгеброй высказываний.

Как мы видели, одной из основных задач алгебры высказыва­ний является изучение истинности или ложности высказываний в зависимости от истинности или ложности входящих в них высказы­ваний. Несмотря на большую важность этой области логики, она оказывается слишком бедной для описания и для изучения даже простейших заключений науки и практики. В рамки алгебры вы­сказываний не укладываются ни простейшие заключения арифметики и геометрии, не говоря уже о довольно сложных логических выводах, с которыми мы сталкиваемся в других науках и в повседневной жизни.

Действительно, рассмотрим следующие простейшие заключения.

Из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 меньше 7» мы за­ключаем, что «3 меньше 7». Из истинных высказываний «Все птицы – животные» и «Все воробьи – птицы» мы делаем заключение: «Все воробьи – животные». Из высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – сын Петра» мы заключаем: «Павел – внук Ивана» и т. д.

Заметим, что во всех рассмотренных примерах истинность за­ключения зависит не только от истинности посылок, но и от их содержания. Если изменить вид посылок, то может оказаться, что заключение будет неверным. Так (в первом примере) из истинных высказываний «3 меньше 5» и «5 не равно 7» нельзя делать заключе­ние (которое оказывается истинным), что «3 меньше 7», или, из­менив немного второй пример, из истинных высказываний «Все птицы – животные» и «Никакие рыбы не птицы» нельзя выводить ни ложное высказывание «Никакие рыбы не животные», ни истин­ное высказывание «Все рыбы – животные». Наконец, видоизменив последний пример, из истинных высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – родственник Петра» мы не имеем права делать заклю­чение (которое в действительности может быть как истинным, так и ложным), что «Павел – внук Ивана» (но можем вывести истин­ное заключение: «Павел – родственник Ивана»).

Чтобы построить систему правил, позволяющую логически выво­дить правильные заключения, учитывающие в какой-то мере содер­жание посылок, мы должны проанализировать строение простых высказываний. И здесь нам опять кое-что может подсказать грам­матика. Следуя по такому пути, мы придем к разделу логики, называемому алгеброй предикатов. Она предполагает алгебру высказы­ваний уже известной, но идет дальше: простые высказывания, из которых состоят сложные, в свою очередь расчленяются.

Теория предикатов исходит из следующей установки. Простые высказывания выражают, что некоторые объекты обладают неко­торыми свойствами или находятся между собой в некоторых отно­шениях.

При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваются как частные случаи общего понятия «предиката». Объекты, о кото­рых говорится в высказываниях, называются «термами». Постараем­ся выяснить смысл этих понятий на примерах.

Рассмотрим сначала некоторое число простых предложений – высказываний, выражающих, что некоторый объект обладает не­которым свойством:

«Сократ – грек»;

«Платон – ученик Сократа»;

«Три – простое число»;

«Василий – студент» и т. д. ,

Все приведенные примеры – простые предложения, С точки зрения грамматики они состоят из подлежащего («Сократ», «Платон», «три», «Москва», «Василий») и сказуемого («есть грек», «есть ученик Сократа», «есть простое число»). Подлежащее является наименованием некоторого объек­та – конкретного или абстрактного, сказуемое выражает некото­рое свойство. В латинской грамматике сказуемое называется пре­дикатом, и этим термином принято теперь пользоваться в матема­тической логике в рассматриваемых ситуациях. Основным для алгебры предикатов является второй член предложения – сказуе­мое-свойство. Как же алгебра предикатов трактует понятие «свой­ство»? Она рассматривает его как некоторую функцию следующим образом.

Возьмем первый пример: «Сократ есть грек».

Вместо человека Сократ мы можем подставить имена всевоз­можных людей и будем получать всегда осмысленные предложения. Одни предложения будут истинными, другие – ложными:

«Сократ есть грек» – истинно;

«Платон есть грек» – истинно;

«Наполеон есть грек» – ложно;

«Ньютон есть грек» – ложно и т. д.

Более обще можно рассматривать выражение вида «X есть грек», где буква X указывает место, на которое нужно подставить имя некоторого человека, чтобы получить высказывание — истин­ное или ложное. Но, как нам уже известно, существенным свойст­вом высказывания является его значение истинности и или л. Становясь на эту точку зрения, логика предикатов считает выра­жение «X есть грек» функцией, аргумент которой X пробегает класс всех людей, а сама функция принимает в качестве значений и или л. Если мы будем, как это принято в математике, «X есть грек» записывать сокращенно, например в виде Гр (X), то для зна­чения X = Сократ получим Гр (Сократ) – и, а скажем Гр (Напо­леон) – л и т. д. Относительно других приведенных примеров можно дословно повторить все то, что было сказано относительно первого.

Таким образом, предикатом или, лучше, предикатом-свойством будем считать функцию, определенную на некотором универсальном множестве и принимающую значения и и л. Те элементы, для кото­рых значение предиката «истинно», обладают данным свойством, остальные не обладают.

Отсюда сразу видно, что в действительности всякий предикат-свойство вполне определяется подмножеством тех объектов, на которых данная функция принимает значение «истинно». Полезно привести примеры предикатов-свойств из области арифметики. Такими будут, например, свойства натуральных чисел «быть прос­тым числом», «быть четным числом», «быть квадратом» и т. д.

Остановимся на примере «три есть простое число» и на соответ­ствующем предикате-свойстве «быть простым числом». Введем для этого свойства сокращенное обозначение Пр (X). Предикат Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем Пр(1) = л (поскольку 1 не принято рассматривать как простое число). Пр (2) = и, Пр (3) = и, Пр (4) = л, ..., Пр (10) = л, Пр (11) = и и т. д.

Подобно приведенным предикатам-свойствам, математиче­ская логика рассматривает более общее понятие предиката-отно­шения. В зависимости от того, между каким числом объектов уста­навливается отношение, мы различаем двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д., в общем случае – n-местные от­ношения. Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются унар­ными предикатами. Наконец, оказывается удобным в понятие пре­диката-отношения как частный случай включить и высказывания в качестве «0 – местных предикатов».

Все математические дисциплины имеют дело с предикатами-отношениями, причем самыми распространенными являются бинарные отношения. Они описываются, различными словами: «равны», «не равны», «больше», «меньше», «делить», «пер­пендикулярны», «параллельны» и т. д.

По аналогии с предикатом-свойством двухместным предикатом считается опять функция, на этот раз от двух аргументов, опре­деленных на некотором универсальном множестве, принимающая значение и (истинно) и л (ложно): те пары элементов, для которых функция принимает значение и, находятся в рассматриваемом отно­шении, остальные пары в этом отношении не находятся.

Рассмотрим пример бинарного отношения, определенного на множестве натуральных чисел, а именно отношение, описываемое словом «больше». Если рассматривать это отношение как функцию от двух переменных X и Y (на множестве натуральных чисел), принимающую значения и или л в зависимости от того, будет ли соответствующее отношение выполняться или нет, то эта функция определяет предикат, который обозначим через > (X, Y). Тогда имеем, например, > (3, 2) = и, > (1, 3) = л, > (7, 5) = и и т. д. Более полно и обозримо двухместный предикаты >(Х, Y).

Конечно, совсем нетрудно указать в элементарной математике при­меры трехместных предикатов и предикатов от еще большего числа аргументов. Так, трехместным предикатом является в геометрии отношение, описываемое словом «между»: «Точка Y лежит между точками X и Z». В арифметике хорошо известны понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух целых чисел: фраза «Число d является наибольшим общим делителем чисел а и b» описывает трехместный предикат. Трехместные пре­дикаты на множестве действительных чисел задают действия сло­жения, вычитания, умножения и деления: X + Y = Z, X – У = Z, X • Y = Z, X : Y = Z. Примером четырехместного предиката может служить отношение между членами пропорции X : Y =  Z : W

Ознакомившись с понятием предиката, мы переходим теперь к рассмотрению операций, позволяющих из некоторых исходных предикатов строить новые. Начнем изучение с простейшего случая одноместных предикатов. Пусть Р (X) и Q (X) – два одномест­ных предиката, определенных на некотором множестве М. С помощью операций алгебры высказываний мы можем строить новые предикаты на множестве М. Конъюнкция Р (X)ÙQ (X) – это пре­дикат R₁(X) = Р(X)ÙQ(X), который истинен для тех объек­тов а из М, для которых оба предиката Р(X) и Q(X) истинны. Аналогично определяется дизъюнкция Р(X)ÚQ(X):R₂(X) = Р(X)ÚQ(X) – это предикат на М, который истинен в точ­ности для тех аX) и Q (X). Так же определяется отрицание ùР (X): R₃(X) = ùР(X) – предикат на М, истинный для тех и только тех а Î М, для которых Р (X) ложен.

4.2.2 Кванторы.

В алгебре предикатов наряду с операциями логики высказываний важнейшую роль играют операции, называемые квантора­ми. Именно употребление кванторов делает алгебру предикатов значительно более богатой, чем алгебру высказываний. Кванторы соответствуют по смыслу тому, что на обычном языке выражается словами «все» («для каждого», «для всех» и т. п.) и «существует» («некоторый», «найдется» и т. п.).

Понятие, обозначаемое словом «все», лежит в основе квантора всеобщности (или квантора общности). Если через Гр (X) обозна­чен предикат «X есть грек», определенный на множестве М всех людей, то из этого предиката с помощью слова «все» мы можем построить высказывание «Все люди – греки» (конечно, ложное высказывание). Это пример применения квантора всеобщности.

Вообще же квантор всеобщности определяется так. Пусть Р (X) – какой-нибудь предикат. Тогда квантор всеобщности – это операция, которая сопоставляет Р (X) высказывание

«Все X обладают свойством Р (X)».                (*)

Для   этой   операции   («все»)   употребляется   знак  (перевернутая латинская буква А, напоминающая о немецком слове «alle» или английском «all» – все). Высказывание (*) записыва­ется так: X)P(X)  (читается: «для всех X Р от X»). В соответствии со смыслом слова «все» X)Р(X) – ложное высказывание, кроме того единствен­ного случая, когда Р (X) тождественно-истинный предикат.

Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов рас­сматривается другой квантор – «двойственный» ему квантор су­ществования, обозначаемый знаком  (это перевернутая латинская буква E, напоминающая немецкое слово «existieren» или английское «exist» — существовать):

(читается: «существует такое X, что Р от X») – высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда Р истинно по меньшей мере для одного объекта а из области определения М. Тем самым X)Р(X) – истинное высказывание для всех предикатов Р (X), кроме одного – тождественно-ложного.

Между кванторами  и  имеют место отношения равносиль­ности, позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому: ù X) P(X) ÛX) ù P(X) («Неверно,   что  все X  обладают свойством  Р (X)»  равносильно тому, что «Существует такой объект X, для которого истинно не Р (X)»). Отсюда имеем: X) Û ùX)ù P(X). Аналогично, имеет место двойственный закон: ù (X) P(X) Û X)ù P(X). («Неверно, что существует X, обладающее свойством Р (X)» равно­сильно «Все X обладают свойством не Р (X)»).

Отсюда X)Р(X)ÛùX)ùP(X). Эти равносильности называют правилами де Моргана для кван­торов.

С помощью квантора существования легко выражается сужде­ние типа «Некоторые Р суть Q» (например, «Некоторые англичане курят», «Некоторые нечетные числа – простые» и т. п.), т. е. что по крайней мере один объект а, обладающий свойством Р, обладает также свойством Q. Этот факт записывается формулой X)(Р(X)ÙQ(X)) («Существует такой X, что Р от X и Q от X»).

Аналогично с помощью кванторов записывается ряд других от­ношений между одноместными предикатами.

Гораздо более богатые возможности открывает применение кванторов к многоместным предикатам. Остановимся вкратце на этом вопросе.

Пусть А (X, Y) – некоторый двухместный предикат, определен­ный на некотором множестве М. Квантор всеобщности и квантор существования можно применять к нему как для переменной X, так и для переменной Y:    X)А(X, У);    Y)А(X, Y);  X)А(Х,Y); Y)A(X,Y). Переменная, к которой применен квантор, называется связанной, другая переменная – свободной. Все четыре приведенных выражения являются записями одноместных предикатов от соответствующей свободной переменной.      X)А(X,Y) (читается: «для всех X,  A от X и Y») – одноместный предикат от переменной Y:  X)А (X,Y)=F(У), Он истинен в точности для тех bÎМ, для которых одноместный предикат А (X, b) исти­нен для всех X. Если представить предикат А (X, Y) его таблицей, то предикат F (Y) = X) (X, Y) истинен для тех b, для кото­рых столбец с входом b содержит исключительно букву и.

Применение квантора к одной из переменных двухместного пре­диката превращает его в одноместный. В случае трехместных пре­дикатов применение квантора приводит к двухместному предикату. Аналогично и для предикатов с большим числом мест применение квантора превращает n-местный предикат в (n – 1)-местный.

К свободной переменной X одноместного предиката X, Y) в свою очередь можно применять квантор всеобщности или кван­тор существования. Получаются выражения

X)(X,У)); X)(Y)А(X,У)), которые, опуская скобки, принято записывать несколько проще: X)X,У); X)Y)А(X,У),

Это – высказывания. Первое истинно, если все строки, а тем са­мым и вся таблица предикатов, содержат только букву и, второе истинно,   если соответствующая   матрица  содержит по  меньшей мере одну тождественно-истинную строку. Три другие предиката X)А (X,У), X, У) и X)А (X,У) также допускают квантификацию, так что в общей сложности мы получаем из одного предиката восемь формально различных высказываний: X)X, У);   X)X,У);    X)X, У);  X)X, У);   X) А (X, У);   X)А(X, У);   X)А (X, У); Y) (X) А (X, У).

Нетрудно убедиться в том, что четыре высказывания, содержащие одинаковые кванторы, попарно эквивалентны:

X)X,У) ÛX)А (X, У);  

X)X, У) Û Y)X)А (X, У).

X)X,У) так же как и X)А(X, У), истинно тогда и только тогда, когда    А (X, У) –  тождественно-истинный      предикат,     X)X, У)  и      Y)X)А(X,У) оба истин­ны во всех случаях, кроме одного, когда А(X,У) – тождественно-ложный предикат. Все остальные высказывания существенно раз­личны. Особенно следует помнить, что порядок следования разноименных кванторов очень важен.

Я считаю, что к окончанию школы ученики должны овладеть кванторами, но введение их должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях. Учащиеся должны хорошо понимать, что от перестановки кванторов может меняться смысл утверждения.

Например, Пусть I=(а,b) – некоторый интервал. Тогда «Для всякого хÎI существует такой у,   что у = f (х)» (x)(у) (у = f (х))), означает, что функция f(х) всюду определена на I. Напротив, «Существует такое у, что для всякого х  у=f (х)» (f(х))) означает, что функция f(x) принимает  для всех х  некоторое  фиксированное  значение у, т. е. постоянна.

Приведем еще один пример. Корректное определение периодичности всюду определенной функции f(х) выглядит с использованием кванторов так: c)x) (c¹0 Ù Ùf(x+c) = f(x)),

между тем если переставить кванторы и сформулировать утвержде­ние «Для каждого х существует такое с, что с¹0 и что f(х + с) =f(x)»: c)x) (c¹0 Ù f(x+c) = f(x)), то это означает лишь, что функция принимает каждое значение больше чем один раз, т. е. нечто совсем иное.

В математическом анализе часто приходится сталкиваться с кванторами.

Определение предела последовательности из учебника «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов сформулировано так «Число А является пределом последовательности а_n, если для любого N, такой, что при всех n>N верно неравенство

( >0)(NÎN)ÎN)((n>N) Þ

  Переставлять кванторы нельзя: именно тот факт, что N под кван­тором существования  следует за выражением

Как выразить утверждение, что последовательность (х_n) схо­дится? Надо указать на то, что предел A существует. С помощью кванторов это утверждение формулируется так:

(A) > 0) Î N) ÎN)((n > N) Þ ()).

Такая запись имеет еще и то преимущество, что она почти автома­тически позволяет формулировать отрицание существования преде­ла, означающее свойство расходимости. Для этого достаточно нес­колько раз применить правило де Моргана для кванторов: (х_n) расходится Ûù(A) ((NÎ N) (nÎN)((n > N) Þ ()) Û (A)NÎ N) nÎN)((n > N) Ù).

Задания для учащихся.

1)     

x (x + 1 = x);      x (x² + x + 1>0);      x (x² - 5x + 6>0);     x (x² -6x+8³0 Ù x²-4x+3>0);          x (x² - 5x + 6 ³ 0 Ú x² + 5x + 6 < 0)

2)   При каких аÎR истинны следующие высказывания:            x² +x + а>0);

            x (x² +x + а>0);       x² +ax + 1>0);

3)  Пусть P(x) = «х – простое число»

                 E(x) = «х – четное число»

                 Z(x) = «х – целое число»

                 D(x,y) = «y делится на х»

                 G(x,y) = «х > y»

Расшифруйте  следующие высказывания и выясните, какие из них истинны:

P(x)ÞùE(x);                                                   Ú D(x,6));    

ÞùE(x);                                            ÚE(x));

ÞG(y,x));                                ÙZ(y)ÞD(x,y));

ÙZ(y)ÞD(x,y)).

4)  Запишите с помощью кванторов определение предела функции: число b называется пределом функции f(х) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа  найдется такое поло­жительное  число    что при всех х ¹ а,  удовлетворяющих  нера­венству ½х – а½<0, будет выполнено неравенство ½f (х) – b½<

§5  Методические рекомендации к теме «Введение нуля и развитие  позиционной десятичной системы счисления».

В 5 классе уже возможно обсуждение с учащимися этой темы.

Можно вспомнить с ними, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков – одну сотню и т.д., иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда – одну единицу третьего разряда и т.д.

Такой способ счета, группами в десять, которым мы пользуемся, называется десятичной системой счисления. Число десять называется основанием десятичной системы счисления. Строго определения десятичной системы давать не стоит.

Затем, нужно обсудить, почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления?

Люди на первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук. Сейчас иногда говорят: «Перечесть по пальцам».

Далее следует поговорить о том, что были племена и народы, которые при счете пользовались лишь пятью пальцами одной руки, считали пятками, поэтому и использовали они пятеричную систему счисления, в которой основой служит число 5.

Существуют и другие системы счисления: двоичная, двадцатеричная (следы ее сохранились до сих пор во французском языке – они говорят вместо «восьмидесяти» - «четырежды двадцать»). Двадцатеричная система возникла у народов, считавших не только с помощью пальцев рук, но и пальцев ног. Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления.

Можно обсудить, сколько цифр используется в каждой из перечисленных систем счисления для изображения чисел.

Также полезно для учащихся будет ознакомиться с римской нумерацией, обсудить где она применяется. Учащиеся должны научиться записывать арабские числа с помощью римских. Тут же можно предложить им пару занимательных задач, где используют римские цифры с целью привлечения их внимания.

Больше никакие алфавитные системы не стоит затрагивать, а только продемонстрировать табличку с алфавитными нумерациями, а также числовые знаки различных народов (см. дальше).

После этого учащимся можно сообщить вкратце о происхождении знака 0.

Нужно отметить, что сейчас нуль это не просто знак для отделения разрядов, а число, которое можно складывать, вычитать, умножать и делить, как и другие числа. Единственное ограничение – делить на 0 нельзя.

Возможно вынесение этого материала на факультативные занятие, где обсуждению различных систем счисления можно отвести больше времени.

С учащимися 7-8 классов возможно более полное рассмотрение этой темы.

Начать следует с рассказа о том, что существуют позиционные и непозиционные системы счисления. Дать определения одной и другой системы счисления, попросить учащихся привести примеры.

Затем можно обсудить двоичную систему. Учащиеся должны научиться переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную, и наоборот. После этого подобные действия проделать с другой системой счисления, например, пятеричной. Можно научить учащихся складывать и умножать числа в различных системах счисления, отличных от десятичной. Далее, я считаю, что нужно рассмотреть десятичную непозиционную систему (например, древних египтян). Учащиеся должны понять, насколько тяжело изображать большие числа в непозиционных системах счисления. Только тогда они смогут по достоинству оценить заслугу индийских математиков, которые создали десятичную позиционную систему счисления.

Прежде чем начать рассказ о происхождение знака нуля можно предложить учащимся записать число сто три тысячи двести пятьдесят с помощью цифр, но не используя знака нуля. Обсудить как они это сделали, далее предложить сложить это число с числом двадцать тысяч семьсот восемьдесят девять, опять таки записанного с помощью цифр, но без знака нуля. У учащихся возникнут некоторые затруднения. После этого будет целесообразно рассказать им о заслуге индийцев.

Если кто-то из учащихся заинтересуется нумерациями различных народов, то можно предложить им для самостоятельного изучения книгу Э. Кольмана «История математики в древности».

Список литературы:

1. Алексеев Б. Т. Философские проблемы формализации знания. Издательство ленинградского университета. 1981.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., издательство иностранной литературы. 1963.
3. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., «Наука». 1966.
4. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., «Наука». 1967.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. Под ред. В.Н. Молодшего. М., «Просвещение», 1964.
6. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1978. 88с.
7. Нешков К.И. И др. Множества. Отношения. Числа. Величины. Пособие для учителей. М. «Просвещение», 1978. 63 с.
8. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. – Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. – 248с.
9. Молодший В.Н. Очерки по истории математики. М.
10. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв.. М., «Наука». 1979.
11. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. М., «Знание», 1973.
12. Погребысский И.Б. Гольфрид Вильгельм Лейбниц. М., «Наука». 1971.
13. Рыбников К.А. История математики. Издательство московского университета. 1974.
14. Таваркиладзе Р.К. О языке школьного курса математики. «Математика в школе».
15. Хрестоматия по истории математики.  Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. Под ред. А.П. Юшкевича. М., «Просвещение», 1976.
16. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика». 1989.