| Каталог статей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Д.ф.-м.н. Андриенко В.А.,
Оценка вероятности банкротства страховой компании в классической модели рискаКлассический
процесс риска, описывающий эволюцию во времени капитала где
t – время; u – начальный резерв
страховой компании; c – интенсивность поступления
премий; Известно, что функция вероятности
небанкротства на бесконечном интервале времени
Это уравнение является интегральным
уравнением Вольтерра и допускает аналитическое решение только в частном случае
показательного распределения страховых выплат
В работе [1] показано, что для рассматриваемого уравнения Вольтерра (1) сжатие имеет место на каждой итерации с коэффициентом равномерно по всем На основании теоретически обоснованного в работе [1] метода последовательных приближений для решения уравнения вероятности неразорения нами была написана компьютерная программа на языке Basic, позволяющая находить численные значения решения этого уравнения для любых начальных параметров и функций распределения, отвечающим указанному условию для сжатия (2) на каждой итерации, с наперед заданной точностью. Но поскольку численное решение этого уравнения является затратным по времени для современных персональных компьютеров для больших значений начального капитала, в работе были рассмотрены аппроксимации вероятности неразорения, такие как аппроксимации Беекмана-Боуэрса, Де Вильдера и диффузионная. Они строятся из иных соображений, нежели уравнение для вероятности неразорения, и позволяют находить приближенное значение вероятности неразорения с меньшими временными затратами. Для аппроксимации Беекмана-Боуэрса [2]: где
Идея построения аппроксимационной формулы
заключается в замене Гамма-распределение имеет вид: В качестве функции Распределение Вейбулла имеет вид: Моменты Функция распределения Вейбулла является обобщением частного случая гамма-распределения и тоже может быть использована для моделирования поступления требований к страховой компании. При этом задача нахождения параметров распределения Вейбулла при известных математическом ожидании и дисперсии не является столь тривиальной, как для гамма-распределения. С помощью maple, мы решали систему уравнений, составленную на основании выражений для моментов функции распределения Вейбулла:
Результаты расчетов для различных
начальных параметров, как значений вероятности неразорения Пусть выплаты имеют распределение Вейбулла
с математическим ожиданием
На основании этих и других примеров можно
сказать, что наиболее точной из рассмотренных аппроксимаций является
аппроксимация Де Вильдера. Аппроксимация
Беекмана-Боуэрса дает более точный результат с функцией
гамма-распределения, чем с функцией распределения Вейбулла для небольших
значений начального капитала, причем независимо от функции распределения выплат
Литература:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
страховой компании,
задается соотношением
,
– агрегированные
выплаты требований к моменту 
, 
; 
- независимые
одинаково распределенные случайные величины (ущербы) с функцией распределения 
и средним значением 
, 
при 
; 
– число выплат к
моменту t (пуассоновский процесс с интенсивностью 
).
при начальном
капитале u удовлетворяет
интегральному уравнению:
(1)
[3]. Поэтому наша работа была посвящена численному нахождению
методом
последовательных приближений, в частности мы рассматриваем гамма-распределение
и распределение Вейбулла в качестве 
. Как известно, правая часть уравнения Вольтерра (1) является
оператором сжатия, поэтому оно имеет единственное решение, которое можно найти
методом последовательных приближений
Пикара.
(2)
, что обеспечивает высокую скорость сходимости при всех 
. Показано, что при старте из начальных функций 
и 
последовательные
приближения монотонно сходятся к решению 
.
,
(3)
.
в формуле (3) гамма-распределением
, первые два момента которого совпадают с моментами 
.
.
, кроме оригинальной в этом случае функции
гамма-распределения, нами использовалась также функция распределения Вейбулла.
.
, 
.
, полученных численным
решением уравнения Вольтерра с помощью компьютера, так и приближенных,
полученных с помощью аппроксимаций, а также сравнение результатов между собой
представлены в ряде примеров, один из них приведем здесь.
, и дисперсией 
. Пусть также 
, 
.Тогда первые три момента: 
, 
, 
. В таблице приведены значения 
, рассчитанные по методу последовательных приближений,
значения при аппроксимациях, погрешность для этих аппроксимаций.
. Для больших значений начального капитала аппроксимация Беекмана-Боуэрса дает более точный результат
с функцией распределения Вейбулла, чем с гамма-распределением. Наименее точные
значения получаются при диффузионной аппроксимации. Полученные результаты
позволяют планировать стратегию страховой компании в зависимости от величины
начального капитала.