| Каталог статей |
|
Садыков
В.М., Скрицкий И.А.
Теоретические аспекты построения динамических систем в моделировании экономических процессовОдной из важных научных проблем является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени в конкретной точке пространства определить его будущее в любой момент времени. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию. Постановкой и решением задач в построении динамических систем занимались отечественные исследователи: В. Автономова, А. Бузгалина, В. Ивантера, О. Иншакова, В. Иноземцева, Г. Клейнера, Н. Кондратьева, Д. Львова, В. Маевского, Ю. Осипова, В. Полтеровича, В. Пантина, А. Пороховского, В.М. Глушков, В.В. Леонтьев, Ю.Г. Лысенко, В.Л. Петренко, Л.Н. Сергеева, А. Татаркина, А. Шаститко, Ю. Яковца. Среди зарубежных ученых особую роль сыграли: Дж. Кейнс, Дж. Кларк, К. Маркс, У. Митчелл, Дж. Милль, М. Фридман, Ф. Хайек, Э. Хансен, Р. Харрод, Дж. Хикс, Й. Шумпетер, А.М. Алимов, В.Н. Амитан, В.М. Геец, Я.А. Дубров, Ю.М. Ермольев, Н.Ю. Кобринский, О.В. Лотов. Целью исследования является предоставление и анализ теоретических аспектов построения динамических систем в моделировании экономических процессов. Система математических выражений, включает в себя переменные величины и параметры, представляющие собой определенные экономические величины, параметры это количественные связи между ними, значения которые должны быть найдены в результате анализа системы уравнений, образующих математическую модель экономического процесса [1]. В динамических моделях развитие экономического процесса рассматривается во времени и определяется временная взаимосвязь экономических показателей. Математическое решение задачи оптимального функционирования экономического объекта означает нахождение критерия оптимальности деятельности экономического объекта. Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции [2]. Под динамическими системами понимаем: механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами [3]. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [4]. Для задания динамической системы необходимо описать ее фазовое пространство, множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой, так и множеством целых или натуральных чисел. Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой [5]. Динамические системы, в отличие от статических систем, помнят свое прошлое состояние, то есть обладают памятью [6]. Поэтому в записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем большая степень старшей производной используется в записи модели. Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции. Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной [7]. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем. Таким образом, основное содержание теории динамических систем - это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих и отталкивающих множеств. Важнейшие понятие теории динамических систем - это устойчивость, тоесть способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии и грубость - сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы. Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой. Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф. Литература:
|