Каталог статей

Катаргин Н.В., к.т.н. Богомолов А.И., к.т.н. Костюнин В.И.

Сравнение оценки стоимости опциона по модели Блэка-Шоулза и методом Монте-Карло

         Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза (Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) – это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом устанавливается рынком. Данная модель получила широкое распространение на практике и может использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово-зависимых фирм. Согласно модели Блэка-Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что прямо пропорционально влияет на стоимость опциона. Кроме того, стоимость опциона зависит от времени до истечения срока исполнения опциона, соотношения текущей стоимости базового актива и цены (страйк) его выкупа call (или продажи  put) владельцем опциона, а также от безрисковой процентной ставки. Цена (европейского) опциона call  [ 1 ]:

где

Цена (европейского) опциона put:

Обозначения:

  • C(S,t) - текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;
  • S - текущая цена базисной акции;
  • N(x) - вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения;
  • K - цена исполнения опциона (страйк);
  • r - безрисковая процентная ставка;
  • T − t - время до истечения срока опциона (период опциона), лет;
  • σ - волатильность  базисной акции (квадратный корень из дисперсии, % за год).

     Основная цель данной работы – продемонстрировать, как может изменяться возможная прибыль, связанная с владением опционом, в зависимости от волатильности цены базового актива и страйка. Для этого мы многократно (по 1000 раз) имитировали движение цены акции в течение 5 лет (60 месяцев) с шагом 1 месяц при годовой волатильности 10%, 20% и 30%. Предполагалась модель случайного блуждания цены

S(t) = S(t-1) + S(0) σ R

где S(0) – цена в начальный период времени, σ – месячная волатильность в процентах, R – случайная величина, нормально распределенная в диапазоне -3…+3. При каждой имитации определялось максимальное и конечное значение цены в течение 5 лет, которые сохранялись в памяти компьютера. Для каждого значения волатильности проводилось 1000 имитаций. Работа проводилась в среде Excel  с использованием Visual Basic. Некоторые имитации временных рядов цен представлены на Рисунке 1.

Рис. 1. Имитации движения цены базового актива в течение 5 лет; σ =20 %.

На Рисунке 2а представлена гистограмма частот максимумов цен базового актива. Видно, что распределение асимметричное и близко к логнормальному.

Рис. 2.  Частотное распределение максимумов цен базового актива (а)  и цен в конце срока 5 лет (б); S(0)=100, σ =20 %.

         Возникает вопрос – как использовать полученные временные ряды для оценки стоимости опциона call. Максимальный выигрыш, который может получить владелец американского опциона, равен разности максимальной цены акции в течение периода действия опциона и страйка. Из этой величины придётся вычесть и стоимость опциона. Максимальный проигрыш равен цене опциона, так как владелец опциона не обязан выкупать акцию, если её цена упала ниже страйка. Возможны два способа оценки возможного выигрыша:

I.  Вычислить среднее значение величины ( maxS(t) – страйк)  по всем сгенерированным временным рядам при заданных значениях страйка  и волатильности (американские опционы).

 II. Вычислить ту же величину, отбрасывая отрицательные значения       ( maxS(t) – страйк) , т.е. акции с максимальной ценой ниже страйка не выкупаются (американские опционы).

III. Вычислить среднее значение величины ( S(5 лет) – страйк) по всем сгенерированным временным рядам при заданных значениях страйка  и волатильности,   отбрасывая отрицательные значения (европейские опционы).     

В Таблице 1 представлены результаты расчётов по этим моделям, а также по модели Блэка-Шоулза (Б.-Ш.) при тех же параметрах и без учёта дисконта (r=0). При страйке 100 модели I и II совпадают, так как        maxS(t) ≥ S(0) = 100.

По результатам расчётов можно сделать некоторые выводы:

1. Доходы, вычисленные по моделям I и II, примерно пропорциональны ценам опционов, вычисленным по модели Блэка-Шоулза, и превышают их в 1,5 раза, кроме случая: Модель I, страйк 120, σ =10 %. Так и должно быть, так как для получения максимального дохода владелец опциона должен угадать максимум цены акции, причём не локальный, а по всему временному ряду. При вероятности правильного угадывания 35 % есть шанс вернуть деньги, потраченные на приобретение опциона.

2. Доходы, вычисленные по модели III, примерно совпадают с ценами опционов, вычисленных по модели Блэка-Шоулза.

3. Метод Монте-Карло позволяет наглядно демонстрировать зависимость дохода владельца опциона в зависимости от волатильности базового актива, страйка и времени действия опциона, что может быть полезным при обучении студентов.

                                                                                                       Таблица 1.

Страйк

σ =10 %

σ =20 %

σ =30 %

I

II

III

Б.-Ш.

I

II

III

Б.-Ш.

I

II

III

Б.-Ш.

100

15,8

15,8

8,4

8,9

32,4

32,4

17,3

17,7

48,8

48,8

28,5

26,3

110

5,3

7,9

4,8

5,2

21,0

22,8

12,4

14

36,0

37,2

20,2

22,8

120

-4,0

4,0

2,2

2,85

11,7

16,9

10,1

11

29,4

32,6

16,7

19,9

Литература.

1. Д. Лоуренс, Г. Макмиллан.  Опционы как стратегическое инвестирование. Изд. дом «Евро», 2005.