| Каталог статей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дмитренко И.С., Колесников С.А. Применение методов классической оптимизации и функциональных уравнений Беллмана при решении задач о распределении инвестицийПрименение методов классической оптимизации и функциональных уравнений Беллмана при решении задач о распределении инвестиций.Среди экономически важных задач большой интерес представляет проблема распределения капитальных вложений между отраслями или предприятиями отрасли. Постановка таких задач, а значит и подбор соответствующего метода решения, зависит от способа задания функции дохода предприятия. В данной работе рассмотрены два способа задания функции доходности и предложены следующие методы решения : 1) метод классической оптимизации, предусматривающий исследование непрерывной функции многих переменных на экстремум с помощью построения функции Лагранжа, 2) метод обратной прогонки динамического программирования для дискретной функции дохода, предусматривающий составление функциональных уравнений Беллмана. Рассмотрим вначале метод динамического программирования для решения следующей задачи. Совет директоров фирмы рассматривает предложения относительно прироста производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для модернизации предприятий предложено инвестировать средства в объеме 250 усл.ден.ед. с дискретностью 50 усл.ден.ед. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы ,а его значения даны предприятиями и содержатся в таблице. Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост продукции, при чем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию.
Запишем уравнение Беллмана для метода обратной прогонки и разобьем решение задачи на 4 этапа.
Этап 4. F5(C5)=0
Этап 3.
Этап 2.
Этап 1.
Из таблицы этапа 1 находим оптимальное значение целевой функции при распределении между предприятиями всей суммы С1=250: F1(250)=55. При этом первому предприятию должно быть выделено x1*=0 ден.ед. Тогда остальным трем предприятиям остается распределить С2=С1-x1*=250-0=250 ден.ед. Из таблицы этапа 2 выделению суммы С2=250 соответствует значение x2*=100, тогда С3=С2- x2*=250-100=150 ден.ед. Из таблицы этапа 3 выделению суммы С3=150 соответствует значение x3*=50, тогда С4=С3- x3*=150-50=100 ден.ед. На последнем этапе 4 определяем x4*=100. Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий: X*= (0,100,50,100), который обеспечит максимальный доход, равный F(250)=g1(0)+g2(100)+g3(50)+g4(100)=0+20+12+23=55 усл.ден.ед. Вторая задача имеет похожую постановку, но функции дохода являются нелинейными. Для модернизации трех предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 150 денежных единиц. Пусть приросты выпуска продукции, а значит и общего дохода, зависят от выделенной суммы для i-го предприятия и выражаются соответствующими квадратичными зависимостями:
Найдем методом множителей Лагранжа распределение инвестиций между предприятиями, которое обеспечит фирме максимальный прирост продукции. Перед тем, как составить функцию Лагранжа, запишем функцию суммарного дохода предприятий: Тогда функция Лагранжа имеет вид: Точку условного экстремума определим из необходимого условия экстремума функции многих переменных:
Таким образом, координаты искомой точки
экстремума имеют вид: Отметим, что решение аналогичных практических задач данными методами является наглядной иллюстрацией методов оптимизации непрерывных и дискретных функций дохода предприятия. Отметим также, что данные примеры позволят будущим специалистам в дальнейшем правильно анализировать экономико-математические производственные модели и подбирать соответствующий эффективный метод для их решения.
Литература 1. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. Киев, «Высшая школа», 1975. 350-351с. 2. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001.-447-452с. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.