Г.Л.Венедиктов, В.М.Кочетков

Модель удовлетворения спроса при наличии жесткого ограничения предложения

Ключевые слова: нелинейные модели, учет ограниченности предложения, нелинейный вариант метода наименьших квадратов.

А demand realization model at a condition of strict restriction of supply

G.L.Venedictov, V.M.Kochetkov

А nonlinear model is proposed to carry out a price optimization for revenue gaining. Natural strict limit of supply is taken into consideration by the proposed model – the limited number of seats in trains, cinemas, concert halls and so on. The essential feature of the model is its nonlinearity that makes it possible to take adequately into consideration the dependence between price and demand if the supply is limited. Particularities of the minimum mean-square error procedure for the model described are examined and a method of model parameters evaluation is presented.

Keywords: nonlinear models, limit of supply, nonlinear version of minimum mean-square error criterion.

1. Введение

Математическое моделирование микроэкономических процессов, являющееся мощным инструментом анализа и прогнозирования в разнообразных областях экономики (Орлов, 2002), (Тихомиров, Дорохина, 2003), в настоящее время получило значительное развитие. Однако для ряда случаев хорошо разработанные методы – например, метод наименьших квадратов применительно к линейным моделям – не могут быть использованы в условиях, когда реальная модель должна учитывать предельные нормы предложения. Подобные условия возникают, в частности, когда предложение жестко ограничено в силу естественных ресурсных причин. Следует отметить, что такие явления характерны для широкого круга экономико-социальных сфер, где по объективным причинам ограничено, например, число потребителей, которые могут быть обслужены, – культурные и зрелищные учреждения, предприятия общественного питания, гостиницы, пассажирский автобусный, железнодорожный и авиатранспорт и т.п. Поиск условий ценового равновесия между спросом и предложением для экономико-социальных субъектов подобного типа имеет ярко выраженную специфику.

Для определенности далее будем говорить о железнодорожном транспорте, хотя рассматриваемые ниже подходы могут использоваться применительно ко всем ситуациям, для которых в силу объективных причин свойственно жесткое ограничение на объем предложения.

Рассмотрим простую схему: пусть поезд содержит вагоны одного класса и цена билета равна р. При низкой цене все билеты будут раскуплены и свободных мест не останется. Дальнейшее уменьшение цены не изменит числа пассажиров из-за ограниченности числа мест.

При увеличении цены, начиная с некоторой цены, которую будем называть граничной и обозначать р_гр, возникает тенденция уменьшения числа пассажиров, согласных на поездку по предложенной цене. Наконец, можно рассмотреть гипотетический случай, когда при чрезмерном увеличении цены ни один пассажир не приобретет билета. Цену р_пр, отвечающую такой ситуации, назовем предельной ценой.

Для схемы, иллюстрирующей зависимость спроса от цены, следует разделять истинный и удовлетворенный спрос. Применительно к пассажирскому сообщению истинному спросу S_ист отвечает количество потенциальных пассажиров, готовых ехать по предложенной цене. Удовлетворенный спрос S – это количество реально проехавших пассажиров. В силу ограниченности предложения S_ист ≥ S.

Введенные величины, характеризующие спрос, являются случайными, и для процессов ценового регулирования представляет интерес оценка их средних значений. Нетрудно показать, что если истинный спрос описывается нормальным законом со средним значением и дисперсией σ², то при ограничении предложения на уровне S₀ среднее значение удовлетворенного спроса S дается выражением

,                      (1)

где символом Ф обозначена функция нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией.

В дальнейшем оказывается более удобным вместо абсолютного значения спроса оперировать относительной характеристикой – отношением среднего спроса S к числу предоставленных мест S₀. Применительно к пассажирскому сообщению такая характеристика называется коэффициентом использования вместимости или, более коротко, населенностью N. 

В формуле (1) величины и σ зависят от цены р. Если учесть, что средний истинный спрос уменьшается с ценой, то, в соответствии с соотношением (1), качественная форма зависимости населенности N=S/S₀ от цены р имеет вид, показанный на рис. 1, где отмечено положение граничной и предельной цен.

Рис. 1.  Качественный вид зависимости средней населенности N от цены р.

Вид модельной зависимости N(p) оказывается, в частности, существенным при решении задачи увеличения доходности. В простейшем случае рассмотрение этой задачи приводит к необходимости нахождения цены, называемой оптимальной и обозначаемой р_опт, при которой среднее значение дохода на одно место рN(p) принимает наибольшее значение. Такая цена может быть найдена после того, когда  по выборочным значениям населенности N_i для различных цен р_i методами регрессионного анализа определен вид зависимости средней населенности N от цены p.    

2. Модельная формула, задающая влияние цены на среднюю населенность

Для проведения расчетов и, в частности, для нахождения оптимальной цены графическую зависимость на рис. 1 следует задать формульным представлением. При этом желательно выполнение следующих требований: 1) формула должна быть по возможности простой; 2) число параметров, входящих в формулу, минимально (наличие двух величин р_гр  и р_пр означает, что число параметров не может быть меньше двух); 3) расчет оптимальной цены р_опт и максимальной величины дохода р_опт N(р_опт) не требует сложных вычислений.

Указанным требованиям удовлетворяет зависимость вида

                    ,                                                                (2)

включающая два положительных параметра – Р₀ и Q. Задача состоит в оценке этих параметров по выборочным данным N_i(p_i).

Хотя формально и возможно нахождение указанных параметров методом построения регрессионной зависимости с использованием нелинейной модификации метода наименьших квадратов, но на практике это осуществимо с большими сложностями. Причина в том, что получающаяся при использовании метода наименьших квадратов зависимость квадратичной формы от аргументов Р₀ и Q

                               (3)

обнаруживает ярко выраженные свойства овражности (Бахвалов и др., 2001), что затрудняет применение стандартных процедур минимизации – в частности, алгоритма Левенберга-Марквардта (Гилл  и др., 1985). Иллюстрация качественного вида зависимости функции от своих аргументов представлена на рис. 2.

Рис. 2.  Качественный вид зависимости от аргументов Р₀ и Q для формы (3).

Как видно из рис. 2, минимум функции лежит в области протяженного изогнутого оврага, в направлении дна которого эта функция изменяется незначительно. Для функций подобного вида стандартные процедуры поиска минимума нередко не дают правильного ответа. В частности, как показывает практика расчетов, формальное решение с использованием алгоритма Марквардта или многомерной модификации метода Ньютона может оказаться зависящим от начального приближения и, таким образом, действительное решение по этим алгоритмам не находится. Если, однако, в качестве начального приближения выбраны значения параметров, близкие к истинным, то решение легко находится простыми в реализации методами (один из таких элементарных методов предлагается ниже).

Таким образом, в рассматриваемом случае полное решение задачи оценки параметров модели (2) по выборке может разделяться на два этапа: 1) нахождение их приближенного значения, 2) уточнение этого значения на основе последующей вычислительной процедуры.   

2. Нахождение приближенного значения параметров по выборке

В связи с трудностями прямого использования модели (2) целесообразно рассмотреть зависимость, в формульном отношении эквивалентную (2), но отражающую влияние цены р не на саму населенность N, а на значения величины ln(–lnN), и включающую некоторые параметры р₀ и q:

                            .                                                         (4)

При решении нелинейной регрессионной задачи для модели (4) параметры р₀ и q удается, как будет видно из дальнейшего, выразить в явной форме через выборочные значения ln(–ln[N_i(p_i]), в связи с чем использование расчетных алгоритмов минимизации не требуется.

Модели (2) и (4) в определенном смысле являются сходными – это сходство заключается в том, что для условий, представляющих интерес на  практике, выраженная через параметры Р₀ и Q регрессионная зависимость N(p), даваемая формулой (2), и, с другой стороны, та же зависимость, пересчитанная на основе формулы (4) и выражаемая через параметры р₀ и q, оказываются близкими (конкретные расчетные данные, подтверждающие указанную близость, приводятся ниже). При этом параметры р₀ и q могут рассматриваться как приближения к искомым параметрам Р₀ и Q.

Рассмотрим задачу нахождения параметров модели (4) по эмпирическим данным. Пусть по истории продаж известны K ценовых уровней p_i и отвечающие им значения величин ln(–lnN_i). В соответствии с методом наименьших квадратов параметры модели p₀ и q находятся как результат минимизации нелинейной формы

W(р₀, q) = .                                           (5)

Необходимым условием минимума W(р₀, q) является равенство нулю производной . Использование этого условия позволяет выразить p₀ через q:

          .                                    (6)

Для выражения (5) на линии минимума по переменной р₀ учет соотношения (6) дает следующую формулу:  

    W(р₀, q) =                 (7)

В формуле (7) символом М обозначено выборочное среднее значение:

Используя условие =0, из соотношения (7) находим величину q:

       .                    (8)               Второй параметр модели – величина р₀ – находится теперь при подстановке соотношения (8) в формулу (6).

При сближении выборочных значений ln(–lnN_i) величина р₀, определяемая формулой (8), неограниченно возрастает, а функция W стремится к постоянному значению, пропорциональному дисперсии величин

 .                                 

Таким образом, если все величины N_i будут равными, то функция W равна нулю и решение для p₀ и q найдено быть не может. Этот факт имеет наглядное объяснение: модель (4) при конечных значениях параметров р₀ и q не может соответствовать постоянной величине населенности.

Более подробный анализ, учитывающий разложение в ряд Маклорена по малому параметру 1/ln(p₀), показывает, что при уменьшении дисперсии населенностей N_i для искомых величин имеют место соотношения р₀ , q .

4. Пример расчета величин p₀ и q – приближенных значений параметров Р₀ и Q

В целях опробования предлагаемого подхода был проведен значительный объем вычислений для проверки изложенного метода оценки параметров модели (4). Представим результаты одного из расчетов, данные которого в качественном отношении можно считать типичными.

Наиболее приближенной к практической реализации оказывается следующая формулировка тестовой задачи. Задаются несколько ценовых уровней, и для каждого уровня считается известным набор реализаций населенности как случайной величины с некоторым распределением. Поскольку населенность имеет значение в интервале (0,1) и ее распределение одномодально, в качестве закона распределения целесообразно выбрать бета-распределение B(x, α, β), параметры которого – величины α и β – легко выражаются через среднее значение и дисперсию, причем для каждого ценового уровня эти параметры различаются. Заметим, что выбор конкретного распределения не влияет на описываемую далее расчетную процедуру, но в пользу бета-распределения говорит его близость к действительным характеристикам распределения населенности, обнаруживаемым на практике.  

Для вычисления величин р₀ и q использовался следующий прием. Чтобы сделать выборочное распределение населенности для всех цен более реалистичным, для модели (2) первоначально постулировались значения параметров Р₀ = 2 и Q = 5. Далее на кривой N(p) выбирались три значения населенности – 0.85, 0.75, 0.65 – и соответствующие им ценовые уровни 1.391, 1.559 и 1.690. Для стандартов распределения населенности, отвечающих указанным уровням, принимались значения 0.1, 0.15 и 0.20. Подчеркнем, что значения Р₀ = 2 и Q = 5 взяты исключительно с целью задания реалистичных значений средней населенности для каждого ценового уровня и эти значения вовсе не соответствуют тем величинам, которые при задании выборочных значений населенности отвечают модели (2) и находятся по предложенной выше двухшаговой процедуре.

Плотности бета-распределения, соответствующие трем принятым значениям средней населенности и стандартов, показаны на рис. 3.   

Рис. 3.  Плотности распределения, отвечающие принятым средним значениям населенности: 1 – 0,85, 2 – 0,75,  3 – 0,65 и отвечающим им величинам стандартов.

Для каждого из трех ценовых уровней генератором случайных чисел задавались 100 выборочных значений населенности, отвечающих бета-распределению с соответствующими параметрами, после чего производилось вычисление значений величин q и р₀ по формулам (8) и (6). При этом выборочные средние для населенностей при различной цене составили соответственно 0.842, 0.756 и 0.622.

Расчет, произведенный описанным способом, дал значения р₀ = 2.023, q = 5.301. После этого на основе с соотношения (4) рассчитывалась модельная функция N(p) =  в диапазоне цен р от 0 до 3. На рис. 4 представлена соответствующая зависимость (кривая 1), а также зависимость, отвечающая формуле (2) при Р₀ = 2 и Q = 5 (кривая 2). На том же рисунке схематически показаны выборочные распределения населенности для трех ценовых уровней, принятые при расчете по формулам (8) и (6).

Из рис. 2 видно, что для принятых реализаций населенности рассчитанные значения p₀ и q обеспечивают в рамках модели (4) зависимость населенности от цены, близкую к зависимости, реализуемой моделью (2) при Р₀ = 2 и Q = 5. Степень соответствия между парой значений (p₀, q) и точным значением параметров (Р₀, Q), находимых с учетом выборочных значений населенности, отмечается далее в разделе 5.

Рис. 4.  Зависимость средней населенности от цены для модели (4) при рассчитанных значениях параметров р₀ и q (кривая 1) и модельная зависимость (2) для Р₀ = 2 и Q = 5 (кривая 2).

Отметим, что получающееся при расчетах значение предельной цены (в нашем случае это величина, близкая к 2.5) может быть сопоставлено со значением, находимым по известным методикам опроса потребителей на основе PSM-подхода (Van Westendorp, 1976), (Newton et al, 1993).

5. Процедура уточнения значений искомых параметров Р₀ и Q

Использование описанного алгоритма расчета параметров р₀ и q, являющихся приближенными значениями параметров модели (2), позволяет далее производить необходимое уточнение искомых значений Р₀ и Q. С целью такого уточнения полученные значения р₀ и q используются в качестве начального приближения и далее для поиска минимума формы (3) могут применяться алгоритм Левенберга-Марквардта (Гилл и др., 1985), многомерный метод секущих, метод штрафных функций (Бахвалов и др., 2001), либо иные численные алгоритмы. Однако можно предложить более простой и прозрачный в реализации способ, дающий в рассматриваемом случае решение с требуемой точностью за три-четыре шага.

Суть метода состоит в использовании многомерного ряда Тейлора. Пусть по имеющейся выборке населенности и цен ищутся значения Р₀ и Q, сообщающие минимум форме (3). Тогда в окрестности этих значений с точностью до второго порядка малости включительно имеем разложение

,                    (9)

включающее пять неизвестных величин: а₁, а₂, a₃, P₀ и Q (значение постоянной С несущественно). Вычисляя численно или аналитически величины Z_x=∂Z/∂p₀, Z_y=∂Z/∂q, Z_xx=∂²Z/∂p₀², Z_yy=∂²Z/∂q² и Z_xy=∂²Z/∂p₀∂q, находим все неизвестные и, в частности, определяем искомые значения 

                               (10)

где .

         Полученные величины P₀ и Q можно считать новым начальным приближением, и при необходимости процедура может быть повторена нужное число раз.

Действуя описанным способом, получаем за четыре шага окончательные значения для параметров модели (2) с точностью 10^–3:  Р₀ = 1.946, Q = 5.439.

Выполненные расчеты позволяют оценить степень близости исходного значения р₀ и уточненной величины Р₀ и, аналогично, значений q и Q: для рассмотренных условий предварительно рассчитанная величина р₀ отличается от точного значения на 3.9%, а величина q – на 2.6%.

 6. Нахождение оптимальной цены и дохода по параметрам модели

Найденные значения модельных параметров Р₀ и Q могут далее использоваться для нахождения оптимальных цен и максимально достижимых доходов при условиях, когда предложение жестко ограничено.

Для модели (2) в качестве населенностей, отвечающих граничной и предельной ценам, следует использовать значения, близкие соответственно к единице и нулю. В качестве таких значений примем соответственно 0,99 и 0,05. Для параметров Р₀ и Q можно при этом записать приближенные выражения, определяющие их через граничную и предельную цены:

 .

Оптимальная цена, отвечающая максимуму дохода D(p) = рN(р), имеет значение

р_опт = P₀,                                                     (11)

при этом населенность N, отвечающая оптимальной цене, равна

                                                        (12)

Поскольку на практике величина Q много больше единицы, то оптимальная цена всегда лежит между граничной ценой и значением параметра Р₀. Из формулы (12) видно также, что населенность при оптимальной цене не равна единице, а имеет меньшее значение (применительно к кинопрокату подобное утверждение означало бы, что максимальный доход реализуется при не полностью заполненном зале).

Доход на одно место при оптимальной цене дается равенством

                   D_опт = P₀.                                    (13)

Рост дохода при ценовой оптимизации определяется в первую очередь величиной ξ = р_пр/р_гр, задающей ширину зоны изменения цен. На рис. 5 представлена зависимость от этой величины для двух параметров: относительной оптимальной цены р_опт/р_гр (кривая 1) и относительного дохода, представляющего собой отношение величины D_опт к доходу при граничной цене (кривая 2).

Рис. 5.  Относительная оптимальная цена (кривая 1) и относительный доход (кривая 2) как функции величины ξ = р_пр/р_гр .

При малой ширине зоны изменения цен, а именно для ξ < 1.17, ценовое управление не приводит к росту дохода. С ростом же величины ξ относительный доход изменяется практически линейно, следуя линейному росту относительной оптимальной цены при увеличении параметра ξ.

7. Выводы

Описанная модель позволяет без использования сложных алгоритмов находить оптимальные цены, реализующие максимальный доход в ситуациях, когда в силу естественных причин предложение резко ограничено.

Предложенная модель ценовой оптимизации оказывается нелинейными по цене, что адекватно отражает специфику ограничения предложения.

Численные оценки выигрыша в доходе, получаемого от использования оптимальных цен, показывают высокую значимость приближения цен к оптимальным. Так, например, согласно выполненным расчетам, связанным с пассажирскими железнодорожными перевозками, внедрение оптимальных цен на направлении Санкт-Петербург – Москва обеспечивает для ОАО «РЖД» дополнительный доход в размере до 1,5 млрд. рублей в год. Однако следует обратить внимание на тот факт, что оптимизация цен отнюдь не означает их повышение. Практика расчетов показала, в частности, что доходность увеличивается при понижении цен в отдельные периоды – благодаря росту спроса с удешевлением цены билета.

Таким образом, в условиях, когда предложение жестко ограничено, для проведения расчетов, связанных с определением оптимальных цен и увеличения доходности, можно использовать предложенные в настоящей статье как модель удовлетворения спроса, так и соответствующие методы проведения расчетов. 

Литература

1) Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. (2001): Численные методы. Москва – Санкт-Петербург: Физматлит, 630 с.

2) Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. (1985). Практическая оптимизация. – М.: Мир, 509 с.

3) Орлов А.И. (2002): Эконометрика. Москва: «Экзамен», 575 с.

4) Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. (2003): Эконометрика. Москва: «Экзамен», 510 с.

5) Newton D., Miller J. and Smith P. (1993): A market acceptance extension to traditional price sensitivity measurement. N-Y: Proceedings of the American Marketing Association Advanced Research Techniques Forum.

6) Van Westendorp P. (1976): NSS-Price Sensitivity Meter (PSM) – A new approach to study consumer perception of price. Montreal: Proceedings of the ESOMAR Congress, 1976.