Проверка гипотезы о значимости модели парной регрессии. Теорема о разложении сумм квадратов

Проверка гипотезы о значимости линейной модели парной регрессии состоит в проверке гипотез о значимости коэффициентов регрессии ₀ и ₁ или значимости парного коэффициента детерминации r²_yx.

Если проверка значимости модели парной регрессии в целом осуществляется через проверку гипотез о значимости коэффициентов регрессии, то выдвигаются основные гипотезы вида Н0:₀=0, или Н0:₁=0, утверждающие, что коэффициенты регрессии являются незначимыми, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является незначимой.

Обратные или конкурирующие гипотезы вида H₁:₀0, или H₁:₁0  утверждают, что коэффициенты регрессии являются значимыми, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является значимой.

Если проверка значимости модели парной регрессии в целом осуществляется через проверку гипотезы о значимости парного коэффициента детерминации, то выдвигается основная гипотеза вида H₀:r²_yx=0, утверждающая, что парный коэффициент детерминации является незначимым, и, следовательно, модель парной регрессии в целом также является незначимой.

Обратная или конкурирующая гипотеза вида H₀:r²_yx0, утверждает, что парный коэффициент детерминации является значимым, и, следовательно, модель регрессии в целом также является значимой.

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение F-критерия определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от: уровня значимости а и числа степеней свободы k1=h-1 и k2=n-h, где n – это объём выборочной совокупности, а h – число оцениваемых по данной выборке параметров.

При проверке гипотезы о значимости модели парной регрессии в целом критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(а;n-2).

При проверке основных гипотез о незначимости модели парной регрессии в целом наблюдаемое значение F-критерия рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения  Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл<Fкрит, то с вероятностью (1-а) основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся незначимой.

Коэффициент детерминации может быть рассчитан не только как квадрат линейного коэффициента парной корреляции или через теорему о разложении общей дисперсии результативной переменной на составляющие, но и через теорему о разложении сумм квадратов результативной переменной.

Теорема. Сумма квадратов разностей между значениями результативной переменной и её средним значением по выборочной совокупности может быть представлена следующим образом:

где

– общая сумма квадратов (Total Sum Square – TSS);

– сумма квадратов остатков (Error Sum Square – ESS);

– сумма квадратов объяснённой регрессии (Regression Sum Square – RSS).

Представим данную теорему в векторной форме:

Общую сумму квадратов можно представить следующим образом:

Если в модель регрессии не включается свободный член ₀, то данное разложение также остаётся верным.

Парный коэффициент детерминации может быть рассчитан через теорему о о разложении сумм квадратов результативной переменной по следующим формулам:

или