Кожагельдиев Б.К., Мухамадиева А.А.

Применение математических методов в экономике для успешного ведения бизнеса

Экономико-математические модели оценивают все взаимосвязи переменных в количественном выражении, что позволяет получить более качественный прогноз. Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь.

Но по своему определению любая экономическая модель абстрактна, она в той или иной мере упрощает задачу, поэтому не следует не преувеличивать значение количественных методов исследования операций, не преуменьшать их, ссылаясь на примеры неудачных решений. Нужно помнить о том, что выбор данных методов дает решение, которое может быть скорректировано в ходе совершенствования.

От своевременности и правильности аналитических выводов в значительной мере зависит научная обоснованность и оптимальность этих решений.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф.Кенэ (1758г. «Экономическая таблица»),  А.Смитом, Д Рикардо.

В 19 веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л.Вальрас, О.Курно, В.Парето, Ф.Эджворд и др.).

В 20 веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д.Хикс, Р.Солоу, П.Самуэльсон и др.). Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких –либо параметров.

В данной работе мы хотим заострить внимание на модели динамического программирования, для того, чтобы на примере, хотя бы одного метода из всей совокупности экономико-математических методов, проиллюстрировать актуальность данной темы, то есть эффективность применения в условиях рыночной экономики данных методов для анализа хозяйственной деятельности предприятий.

Модели динамического программирования применяются при решении задач различных модификаций, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасами и размер пополняющего заказа; при разработке правил календарного планирования производства; при анализе замены оборудования новым; при ремонте оборудования и т.д.

Модели динамического программирования ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения, т.е. на основе анализа делать такие выводы, которое могут оказать большое влияние на прибыль предприятия.

Рассмотрим конкретный пример. Акционерное общество “Ак булак” в процессе производства использует оборудование различных модификаций, для нашей задачи возьмем оборудование-охладители. Срок службы данного оборудования 6 лет.  В начале каждого года можно принять решение сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования Po=2000 у.е. После t лет эксплуатации (1=<t=<5) оборудование можно продать за g(t)=Po2 у.е. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года  зависят от возраста t оборудования, который равен r(t)=300(t+1). Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные запасы с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Решение:

Способ деления управления на шаги естественный, по годам, r=6. Параметр состояния – возраст машины – Sk-1 = t, So=0 – машина новая в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от   2-х переменных  Х  и  Х.

Уравнение состояния зависит от управления:

                        T=1, если х_n = X 

S _n      =           1, если   x_n  =  X,   n=1,2,3,4,5

В самом деле, если к k-му шагу  S_n-1 = t, то при сохранении машины х_n=X  через год возраст машины увеличивается на 1. Если машина заменяется новой х_n=X  , то это означает, что к началу k-го шага ее возраст t=0, а после  года эксплуатации t=1,  т.е. S_n=1.

Показатель эффективности k-го шага:

                              300(t+1),если                                                                                                                                              

f_n = (X_{n, t}) =         2300-2000*2 , если х_n = X 

(При Х затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при Х     машина продается  (-2000*2   ), покупается новая (2000) и эксплуатируется в течении первого года (300), общие затраты равны (-2000*2  +2000+3000)).

Пусть Zn (t) – условные  оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с k–го  шага до конца, при условии, что к началу k-го шага  машина имеет возраст t лет. Запишем для функций Zn (t) уравнение Беллмана, заменив задачу максимизации на задачу минимизации:

                                  300(t+1)-200*2      ,  если  X₅=X

   Z₅ = min       2300-2000*2  -2000*2      , если Х₆=Х         

    Величина 2000*2    - стоимость машины возраста t лет (по условию машина после 6 лет эксплуатации списывается).

                             300 (t+1)+ Z n+1 (t+1),  если  Хn=X

          Zn=min      2600-2000*2   +Zn+1   (1) ,  если Хn=X                             

                                                k=5,4,3,2,1.

Из определения функций Zn (t) следует

                                    Zmin = Z₁(0).

Геометрическое решение данной задачи следующее. На оси абсцисс будем откладывать номер шага k, на оси ординат возраст t машины. Точка  (k-1, t) на плоскости соответствует началу k-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге следующее:

                           X             300    t+1                                                                                                                                                                                                                                            

                                      2600-2000*2

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке So (0;0),  конец точкам S (7 ; t). Любая траектория, переводящая точку  S(k-1; t) из So   в   S состоит из отрезков – шагов, соответствующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Над каждым отрезком, соединяющим точки (k-1; t) и (k; t+1), запишем соответствующие управлению Х затраты, найденного из показателя эффективности деленного на 300(t+1) ,  а  над отрезком соединяющим точки (k-1; t)  и  (k; t),  запишем затраты, соответствующие управлению   Х  , т.е. 2600-2000*2  .  Таким образом мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике,  соответствующие переходам  из любого состояния Sk-1  в состояние Sk.

  В нашем примере над отрезками, соединяющими точки  k1 и k+1;2 стоит число 600, что соответствует затратам на эксплуатацию машины в течении второго года службы, а над отрезками, соединяющими k1 и k+1;1 стоит число 1300 – это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течении года без «затрат» за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что 0=<t=<k.

Проведем на размеченном графике условную оптимизацию.

6 шаг: начальное состояние –точка 5t,

            конечное состояние – точка 6t.

В состоянии 6t машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 2000*2  , но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точки 6t поставим величину со знаком минус,

Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное на 6 шаге.

Состояние (5;1). Из него можно попасть в состояние (6;2), затратив на эксплуатацию машины 600, выручив затем от продажи 500, то есть суммарные затраты=100, из состояния (5;1) с затратами 1300-1000=300. Значит, если к последующему шагу система находясь в точке (5;1), то следует идти в точку (6;2), укажем это направление на графике выделенной стрелкой, а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу=100 (поместим эту величину в кружке точки (5;1)).

Состояние (5;2). Из него можно попасть в точку (6;3) с затратами 900-250=650 и в точку (6;1) с затратами 1800-1000=800. Выбираем  первое управление и отмечаем его выделенной стрелкой, а Z5 (2) =650 проставляем в кружке точки (5;2).

Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего шага, мы найдем для любого исхода 5 шага оптимальное управление на 6 шаге, отмечаем его выделенной стрелкой.

Далее планируем 5 шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце 4-го шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0=<t=<5, при k=5 уравнение.

После проведения условной оптимизации получим в точке (0;0)   минимальные затраты на эксплуатацию машины в течении 6 лет с последующей ликвидацией: Zmin=7100. Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки S₀(0;0)  по двойным стрелкам S. Получаем набор точек {(0;0); (1;1) ;(2;2); (3;3); (4;1);  (5;2);   (6;3)}, который соответствует оптимальному управлению   Х (Х, Х,  Х,  Х,  Х,  Х  ).

Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 4-го года.

Таким образом, размеченный график позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.

Как уже отмечалось модели и вычислительные схемы динамического программирования очень гибки в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления: «ремонт», «капитальный ремонт» и т.д. Можно рассматривать замену оборудования новым с учетом технического процесса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуатации (дороже, дешевле).  Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой динамического программирования.

Для снижения трудоемкости расчетов вычислительный процесс можно компьютеризировать.

Таким образом, для того чтобы в современных условиях предприятия могли эффективно функционировать необходимо применять прогрессивные методы анализа хозяйственной деятельности, к котором мы и относим экономико-математические.