Богомолов А.И., Катаргин Н.В., Костюнин В.И.

Математическая модель для оптимизации управления инвестициями региона

Развитие региона предполагает эффективное распределение средств между различными проектами при наличии бюджетных ограничений.  При оценке вклада проекта в общее благо региона мы будем учитывать его полезность (в относительных единицах, через функцию полезности), определяемую экспертным путём. Полезность мы будем считать основным показателем в рейтинговой оценке проекта. Мы выдвигаем гипотезу, что полезность проекта для региона монотонно возрастает с увеличением затрачиваемых на него средств, но предельная полезность, то есть приращение полезности на каждый следующий рубль, убывает при превышении некоторой величины. Это соответствует таким функциям как логистическая или логарифм.  В некоторых случаях можно использовать полином с ограниченной областью определения. Но, самое главное, проект важен не сам по себе, а важно его воздействие на социально значимые параметры региона: уровни образования, заболеваемости, смертности, рождаемости, преступности, социальной напряжённости и т.д.

Предположим, что в портфеле может находиться от 2 до N проектов и имеются группы экспертов, которые могут  оценить относительную полезность каждого проекта в зависимости от затрачиваемых на него средств и его воздействие на социально значимые параметры региона. В тех случаях, когда можно измерить эффект от инвестиций, полезность будет измеряться в соответствующих единицах, взятых из таблиц статистической отчётности. В тех случаях, когда непосредственное измерение полезности затруднительно, мы будем оценивать порядковую полезность, вводя соответствующую шкалу сравнения полезностей. 

Общая схема оптимального распределения средств при наличии бюджетного ограничения приведена на Рисунке 1.

Рис.  1. Общая схема оптимального распределения средств.

Здесь: I_i  –  i-й проект (внедрение новых технологий, модернизация транспортной системы, улучшение экологии и др.), Z(I_i) – затраты на  i-й проект, i = 1, …, N; Х_k  – статистический показатель или экспертная оценка социально значимого параметра региона (уровни образования, заболеваемости, смертности, рождаемости, преступности, социальной напряжённости и т.д., преобразованные, чтобы с ростом показателя увеличивался Y);  E_k – эксперты k-й группы; k = 1, …, K.

Построение функции полезности отдельного проекта и его влияние на показатели региона реализуется экспертными методами. Общую полезность Y, полученную в результате  бюджетных затрат, можно оценить как сумму показателей:

             Y = S Х_k            i =1, 2, …, K.                             (1)

Можно предложить социально-экономико-математическую модель, аналогичную модели Стоуна для формирования потребительской корзины:

       Y = П (Х_i – Х_{min ki})^ak                 i =1, 2, …, K.               (2)

             Х_k  = f_k(Z₁, Z₂, …,Z_N)           i =1, 2, …, K.              

            Z₁+ Z₂+ …+Z_N = бюджет                                         (3)

где   Y – результирующий показатель, характеризующий качество жизни в регионе; 

Х_k – статистические показатели: уровни образования, заболеваемости, смертности, рождаемости, преступности, социальной напряжённости и т.д., преобразованные, чтобы с ростом показателя увеличивался Y;

Х_{min k}   – критические значения показателей;

 a_k – значимости показателей (эластичности), устанавливаемые экспертами;

Z₁, Z₂, …,Z_N  – затраты, влияющие на статистические показатели;

 f_k(Z₁, Z₂, …,Z_N) – функции, описывающие влияние затрат на статистические показатели, построенные на основе экспертных оценок и экономико-математического моделирования. Мы используем логистическую функцию, предполагая, что каждый проект влияет только на один показатель, то есть i=k:

         Выражения (1) и (2) представляют собой целевые функции, которые надо максимизировать. Выражение (3) представляет собой бюджетное ограничение.

Таким образом, нахождение оптимального распределения ресурсов на реализацию отдельных проектов мы свели к решению задачи математического программирования. Модель позволит оптимизировать затраты по разным статьям с точки зрения достижения максимального результата Y при ограниченности бюджета.

Рассмотрим условный пример оптимального распределения бюджета региона между  проектами трёх видов. Объём финансирования по соответствующим инновациям может меняться от 1 до 7 млрд. руб., т.е. бюджет составляет 7 млрд. руб.

Бюджетное ограничение записывается в виде:

                               Z(I₁) + Z(I₂) + Z(I₃)         = 7                                         (3)

Логистические функции полезности (линии), построенные по экспертным данным (чёрные фигуры), представлены на Рисунке 2. По оси абсцисс отложены ресурсы (деньги), необходимые для проекта,  по оси ординат – его полезность.

Рис. 2. Исходные данные и функции полезности проектов

Аналитические выражения получены методом наименьших квадратов с помощью функции Поиск решения MS Excel. Подставляя эти функции в выражения (1) и (2) и максимизируя Y при бюджетном ограничении (3), мы использовали Поиск решения  для получения искомых значений Z(I_i).

В результате были получены следующие значения:

для аддитивной модели (1):    Z(I₁) = 0;  Z(I₂) = 1,19;  Z(I₃)  =  5,81;                   

для мультипликативной модели (2):  Z(I₁) = 3,13;  Z(I₂) = 1,81;  Z(I₃)  =  2,05.

Методика может быть усовершенствована на основе оценки рисков  принимаемых решений по реализации проектов. Риск потерь по отдельному проекту вычисляется как произведение баллов на затраты, а суммарный риск  как корень из дисперсии суммы этих (независимых) величин:

Максимизируется величина Y/Риск.

Например, эксперты оценили в баллах риски проектов:  R₁ = 4;  R₂ = 8; R₃= 3. Результаты расчётов:

для аддитивной модели (1): Z(I₁) = 1,9;  Z(I₂) = 0,23;  Z(I₃)  =  4,88;                   

для мультипликативной модели (2): Z(I₁) = 3,29;  Z(I₂) = 1,18;  Z(I₃)  =  2,52.

Развитие данной методики на основе теории полезности может привести к весьма интересным и полезным результатам, как в научном плане, так и в практическом плане повышения качества планирования развития региона.