Критерий Дикки-Фуллера проверки наличия единичных корней

Проверкой наличия единичных корней называется задача проверки основной гипотезы вида

H₀:=0 в модели авторегрессии первого порядка:

y_t=a+y_t–1+_t.

Для данного ряда справедливы следующие предположения:

1. временной ряд y_t является стационарным, если выполняется условие – 1‹‹1;
2. временной ряд y_t является нестационарным и представляет собой модель со случайным трендом, если выполняется условие =1;
3. временной ряд y_t также является нестационарным, если выполняется условие ›0.

Таким образом, гипотеза о стационарности временного ряда y_t состоит в проверке основной гипотезы вида H₀:=1.

Критерий Дикки-Фуллера используется при проверке гипотезы о наличия единичных корней.

При этом выдвигается основная гипотеза вида H₀:=1 для модели авторегрессии первого порядка:

y_t=a+y_t–1+_t.

Однако на следующем этапе оценивается не эта модель авторегрессии, а модель, которая получается после перехода к первым разностям:

y_t=y_t-1+_t,

где =–1.

Проверка основной гипотезы вида H₀:=1 для исходной модели авторегрессии первого порядка аналогична проверке гипотезы H₀:=0 для полученной модели. Проверка данной гипотезы может осуществляться для трёх типов регрессионных уравнений:

y_t=y_t-1+_t;(1)

y_t=а+y_t-1+_t; (2)

y_t=а+y_t-1+t+_t. (3)

Данные модели регрессии отличаются только наличием членов модели a и t.

Первая модель является моделью случайного тренда, во вторую модель включается свободный член a, являющийся коэффициентом случайного тренда. В третью модель включены и коэффициент случайного тренда, и коэффициент линейного временного тренда t.

Проверка основной гипотезы H₀:=0 состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки  и её стандартной ошибки.

Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H₀:=0  состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки и её стандартной ошибки.

Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H₀:=0 рассчитывают по формуле:

где

– стандартная ошибка оценки

Однако критическое значение t-критерия в данном случае нельзя определить по таблице распределения Стьюдента. Дикки и Фуллер провели исследования, в результате которых определили критические значения t-критерия для проверки гипотезы H₀:=0 в зависимости от вида модели регрессии и объёма выборочной совокупности. Данные статистики обозначаются как – для первой модели регрессии, – для второй модели регрессии, х – для третьей модели регрессии. Они приведены в таблице критических значений статистик Дикки-Фуллера для различных уровней значимости.

При проверке гипотезы о наличии во временном ряду авторегрессии более чем первого порядка используется расширенный критерий Дикки-Фуллера (Augmented Dickey-Fuller Test – ADF).

Процесс авторегрессии порядка р можно записать следующим образом:

Основная гипотеза формулируется как H₀:=0. Если данная гипотеза верна, то данная модель авторегрессии имеет единичный корень, т. е. подчиняется процессу авторегрессии первого порядка.

Проверка основной гипотезы H₀:=0 осуществляется для различных типов регрессионных уравнений:

Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики для первой модели регрессии (при отсутствии свободного члена и временного тренда).

Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики для второй модели регрессии, включающей свободный член.

Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики х для третьей модели регрессии, включающей свободный член и временной линейный тренд.

Если сумма коэффициентов модели регрессии вида

равна единице, т. е.

 т. е. в данной модели имеется единичный корень.