Содержание

Содержание

Введение 3

Глава I. Геометрия замечательных точек треугольника 6

§1. Историческая справка 6

I. Рождение математики в Элладе 6

II. Математическая Вселенная Евклида 8

III. Математика XVI века 12

IV. Век XVII: от Кеплера до Ньютона 17

§2. Замечательные точки треугольника, изучаемые в школе 25

I. Точка пересечения высот (ортоцентр) 25

II. Точка пересечения биссектрис (ицентр) 26

III. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра и ицентра 27

IV. Расстояние между "замечательными" точками 28

§3. Замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе 36

I. Краткие определения 36

II. Теорема Лейбница 48

III. Точка Ферма. Точка Брокара. Точка Торичелли 50

IV. Треугольники Наполеона 52

V. Расстояние от точки Ферма до центра описанной окружности 55

Глава II. Описание программы, контролирующей усвоение материала по теме "Геометрия замечательных точек треугольника"

§1. Назначение и порядок работы программы.

§2. Интерфейс программы

§3. Алгоритм работы программы. Графическое представление алгоритма

§4. Описание подпрограмм

Заключение

Список литературы

Введение

Введение

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии; но он не только символ, он - атом геометрии.

Почему именно треугольник можно считать атомом геометрии? Потому что предшествующие понятия - точка, прямая и угол - это неясные и неосязае-мые абстракции вместе со связанным с ними набором теорем и задач. Поэтому сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержа-тельной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появля-ется глубокое и всестороннее изучение треугольника.

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не ос-мелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

Из вышесказанного можно извлечь два следствия:

1. Изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника.

2. Ввиду многогранности треугольника как объекта изучения - а, значит, и источника различных методик его изучения - необходимо разрабатывать раз-личные подходы к его изучению.

Один из возможных подходов к изучению геометрии треугольника - изу-чение замечательных точек треугольника. Причем при разработке данного под-хода не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, преду-смотренными в школьной программе Государственным образовательным стан-дартом, такими как центр вписанной окружности, точка пересечения медиан и т.п. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его многогранности необходимо иметь представления как можно о большем числе замечательных точек треугольника. Это совсем не означает, что всем школьни-кам на уроках геометрии необходимо преподавать материал, например, про точку Лемуара или точку Жергона; но любой школьник должен иметь принци-пиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей - либо через фа-культативные занятия, либо самостоятельно.

Помимо многогранности треугольника как геометрического объекта, не-обходимо отметить удивительнейшее свойство треугольника как объекта изу-чения: изучение геометрии треугольника можно начинать с изучения любого его свойства, взяв его за основу; затем методику изучения треугольника можно построить так, чтобы на эту основу нанизывать все остальные свойства тре-угольника. Другими словами, с чего бы ни начинать изучение треугольника, всегда можно дойти до любых глубин этой удивительной фигуры. Но тогда - как вариант - можно начинать изучение треугольника с изучения его замеча-тельных точек.

В виду вышесказанного, в данной дипломной работе заострим внимание не столько на том, что есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколь-ко на том, чего в них нет - это, прежде всего, замечательные точки треугольни-ка, не изучаемые в школе; если же речь пойдет о школьном материале (напри-мер, о точке пересечения медиан), то будет показана его связь с материалом, не изучаемым в школе. Чтобы не быть голословным, приведем пример такой связи материалов.

1) Точка пересечения медиан (центроид) - это центр тяжести треугольни-ка (другими словами, сумма векторов, соединяющих точку пересечения медиан с вершинами треугольника, равна нулевому вектору).

2) Сумма квадратов расстояний от этой точки минимизирует сумму квад-ратов расстояний до вершин треугольника, а точка Лемуана (точка Лемуана - это точка, изогонально сопряжённая точке пересечения медиан, то есть точка пересечения прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис треугольника) минимизирует сумму квадратов расстояний до сто-рон.

3) Две замечательные прямые, содержащие центроид: прямая Эйлера (прямая Эйлера - это прямая, проходящая через центр описанной окружности, точку пересечения высот и центр окружности девяти точек) и прямая, прохо-дящая через центр вписанной окружности и точку Нагеля (точка Нагеля - это точка пересечения прямых, соединяющих точки касания вневписанных окруж-ностей треугольника с противоположными им вершинами треугольника).

4) Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответствен-но точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма векторов AA'+BB'+CC' равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда A', B' и C' - середины сторон треугольника (доказательство использует теорему Чевы и теорему Паппа о центрах тяжести (теорема Паппа гласит: Пусть на сторонах (или их продолжениях) треугольника АВС взяты такие точки А', В' и С' соответственно, что АС':ВС'=ВА':СА'=СВ':АВ'. Тогда центры тяже-сти треугольников АВС и А'В'С' совпадают. Верно и обратное)).

5) Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на кото-рые медианы разбивают данный треугольник, лежат на одной окружности - ок-ружности Ламойена (Floor van Lamoen). Рассмотреть центры этих шести ок-ружностей придумал в 1998 году Кимберлинг (C.Kimberling), а существование окружности доказал Ламойен в 2002 году.

6) Если точка P пересечения чевиан AA', BB' и CC' треугольника ABC не является ни его центром тяжести, ни ортоцентром, то центры окружностей, описанных около шести треугольников AB'P, PB'C, CPA', A'PB, BPC' и C'PA, на которые чевианы разбивают данный треугольник, не лежат на одной окружно-сти. Последнее утверждение было доказано лектором в 2002 году. Журнал "Mathematical Monthly" сообщил в 2002 году, что редакция тоже располагает доказательством обратного утверждения, предложенным Питером Ву (Peter Woo, доказательство ещё не опубликовано).

Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данно-го дипломного исследования.

Также, опираясь на вышесказанное, сформулируем цели и задачи на-стоящего дипломного исследования.

Целью работы является адаптация материала по геометрии замечатель-ных точек треугольника к преподаванию в средней школе (7-8 класс).

Для достижения этой цели в работе необходимо решить следующие зада-чи:

1) дать понятие замечательной точки треугольника и перечислить эти точки;

2) изложить геометрический материал - теорию, задачи с реше-ниями - по геометрии замечательных точек треугольника, как изучаемых, так и не изучаемых в школьном курсе геометрии;

3) создать методическую разработку уроков геометрии в рамках школьного курса 8 класса по учебнику С.И. Атанасяна

Список литературы

Примечания:

работа не полностью