Контрольная работа: Математика

Канашский филиал

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант  3

Студента 1  курса   экономического  факультета

Шифр:    04653033            Учебная группа:  53-06

Работа  выслана  в  Чувашский  госуниверситет

 «____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич                             

Возвращена в деканат______________________

 

 


Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х11) ,В(х22), С(х33) треугольника. Требуется найти:    1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла ;

7)угол  в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

       вариант  3:              А(5;-1),   В(1;-4),    С(-4;8).

Решение:

         1)Длина стороны ВС:

     ;

        2)Длина стороны АВ:

      ;

          Скалярное произведение векторов и

Угол  :

cos = ; =arcos 0,2462=75,75;

          3) Уравнение стороны ВС:

;     ;    ;

        4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

   ;    ;

         Условие перпендикулярности двух прямых:

  ;   ;

  ;    ;   ;   ;

          5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

  

         6)  

  

           Уравнение прямой АС:

           

          Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

 

       7) Угол  в радианах с точностью до 0,01:

      8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

      Уравнение стороны АВ:

        Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

 

Задание 13.

     Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

 

 

Решение:

     Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

    По условию задачи

    Искомые прямые:

Задание 23.

 

    Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

 

Решение:

 

     По условию задачи:  

       -   уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями    

 

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой   с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

                Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид  учитывая что  найдем параметр  p

      Таким образом, уравнение параболы

      Уравнение директрисы параболы: 

Задание 43.

Дано уравнение параболы  f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение параболы приняло вид  X2=aY или Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

Задание 53

Даны вершины А11;Y1;Z1),. А22;Y2;Z2), А33;Y3;Z3), А44;Y4;Z4)

пирамиды. Требуется найти:   1) длину ребра А1А2;    2)Угол между ребрами А1А2 и  А1А4;    3)угол между ребром А1А2 и гранью А1А2 А3;     4) площадь грани А1А2 А3;    5) объем пирамиды;    6)  уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3;    7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3, и вершину А1 пирамиды.

       A1 (3;5;4), А2(5;8;3),  А3(1;9;9), A4(6;4;8);

Решение:

         1) 

Длина ребра А1А2;

         2)

Длина ребра А1А4;

        Скалярное произведение векторов А1А2 и  А1А4:

      Угол между ребрами А1А2 и  А1А4:

         3) Уравнение грани А1А2 А3:

        Угол между ребром А1А2 и гранью А1А2 А3:

        4)Площадь грани А1А2А3

  кв. ед.

 

        5) Объем пирамиды:

  куб. ед.

     6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3:

      7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань  А1А2 А3, и вершину А1 пирамиды.

Задание 63.

         Определить вид поверхности, заданной уравнением   f(x;y;z)=0,  и показать её расположение относительно системы координат.

       

Решение:

      Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси   по оси  

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:

2 -9 -4 -3 3 -83

= >

= >

0 -47 -28 -13 7 -459
2 -7 -2 -1 -4 -57 0 -45 -26 -11 0 -433
7 -6 2 -2 0 -35 0 -139 -82 -37 -14 -1351
1 19 12 5 -2 188 1 19 12 5 -2 188
0 -47/7 -4 -13/7 1 -459/7 0 68/77 30/77 0 1 980/77
0 -45 -26 -11 0 -433 0 45/11 26/11 1 0 433/11
0 -233 -138 -63 0 -2269 0 272/11 120/11 0 0 2320/11
1 39/7 4 3/7 0 398/7 1 94/77 -190/77 0 0 481/77

 

0 0 0 0 1 -2900/77

 

0 -19/15 0 1 0 -2583/11

 

0 13,6 1 0 0 116

 

1 1574/231 0 0 0 22521/77

 

      Общее решение системы:

 

Задание 83.

 

       Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.

 

Решение:

       Составим определитель из координат векторов     и вычислим его:

 

        Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора  в этом базисе:


2 -10 0 -4 -42 = > 0 -20 4 -4 -88 = > 0 48 -12 252
4 -9 10 3 -43 0 -29 18 3 -135 0 -80 30 -350
2 -7 0 -1 -39 0 -17 4 -1 -85 0 17 -4 85
1 5 -2 0 23 1 5 -2 0 23 1 5 -2 23
0 -4 1 0 -21 = > 0 0 1 0 3
0 40 0 0 240 0 1 0 0 6
0 1 0 1 1 0 0 0 1 -5
1 -3 0 0 -19 1 0 0 0 -1

         Итак

       Проверка:

2(-1)-10*6         -4(-5)=-42;   -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43;   -43=-43;

2(-1)-7*6-           -(-5)=-39;    -39=-39;

-1+5*6-2*3                =23;       23=23.

 или

Задание 93.

        Дана матрица А .  Требуется найти:  1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

 

       

Решение:

-1 -2 12 1 0 0 1 2 -12 -1 0 0
0 4 3 0 1 0 0 4 3 0 1 0
0 5 6 0 0 1 0 5 6 0 0 1
1 0 -13,5 -1 -0,5 0 1 0 0 -1 -8 6
0 1 0,75 0 0,25 0 0 1 0 0 6/9 -3/9
0 0 2,29 0 -1,25 1 0 0 1 0 -5/9 4/9

       Обратная матрица:

      Корни характеристического уравнения:

- собственные значения матрицы А .

       При

     Собственный вектор:

Задание 103.

        Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.

      

Решение:

Задание 113.

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

  

Решение:

   Подстановка:


Задание 123.

         Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x1,x2,x3.  Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

      

Решение:

 

        Так как ,то функция в точке Х1=-1 непрерывна.

Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.

   

          Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.

Задание 133.

      Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.

 

Решение:

      Так как  , то функция в точке х=-1 разрывна.

       Так как , то функция в точке  непрерывна.

Задание 143.

Найти производные

     a)       б)   в)

г)   д)

Решение.

а)

б)

в)

 

г)

д)

Задание 153.

Найти  для функции, заданной параметрическим.

Решение.


Задание 163.

На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой

Решение.

          Угловой коэффициент прямой:   

  или           

 

         Угловой коэффициент касательной к линии: 

      Так как касательная к линии и прямая параллельны, то  

тогда:

   Таким образом получаются две точки:

 

Задание 173.

Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение.

Задание 183.

         Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

    

Решение.

           1. область определения функции:

     так как  то функция нечетная.

         2. Точки пересечения с осями координат:

При при

           3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

    При  функция возрастает.

    При  функция убывает.

    При  функция убывает.

    При   функция возрастает

     Точка точка максимума.

     Точка точка минимума.

         4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

     При    функция выпукла;

     При    функция вогнута;

    При    функция выпукла;

    При    функция вогнута.

    Точки  - точки перегибов.

         5. Асимптот нет

1. область определения функции:

2.  точки пересечения с осями координат:

При

     так как  то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

   

Точек экстремумов нет.

Так как  то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

      

При   функция вогнута;

При    функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

     

        асимптота.


Задание 193.

Определить количество действительных корней уравнения ;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

Решение.

Исследуем график функции.

   

Количество корней  К=1.

    


     Таким образом, функция принимает значения на отрезке  ,в качестве начального приближения возьмем

     метод касательных:

     составим таблицу:

1

2

3

-0,1

-0,398

-0,388

-0,001

-0,063

-0,586

1,499

-0,053

-0,0001

5,03

5,475

5,452

0,298

-0,0097

-0,00002

-0/3980

-0,3883

-0,3882

Искомый корень х=-03882

Задание 203.

Найти частные производные функции

Решение.

      Частные производные:

Задание 213.

Дана функция  и две точки . Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;  2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.

       

Вычислим частные производные в точке А.

      

 

Приближенное значение:

       

Вычислим точки значения функции:

       

Относительная погрешность вычисления:

        

Задание 223.

Даны функция  точка  и вектор а.  Требуется найти:

1) grad z в точке А;   2)производную по направлению вектора в точке А.

Решение.

1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:

       

Найдем частные производные в точке А:

        

2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.

        

    

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

Решение.

Частные производные:

На прямой АВ: \

      

На прямой АС: 

        

На прямой ВС: 

             

  

   Z наибольшее =5;   z наименьшее =-117.


Использованная литература:

 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век,  2005 г.

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004       г.

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
Пусть прямая задана направляющим вектором a"{m,n} и фикс. точкой M(x0,y0) Угловым кооф-ом прямой называется отношение второй координаты направляющего вектора к первой. k=n/m Если m ...
1 внутреннсоть многогранника прилегает к нему с одной стороны 2 он не содержится ни в каком другом многоугольнике обладающем свойством 1. Стороны граней наз-ся ребрами а вершины ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Многомерная геометрия
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств § 1. Историческая справка § 2. Понятие векторного многомерного пространства ...
Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k - 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k-3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р ...
На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма - четыре отрезка А0 А1, А0 А2, А0 А3, А0 А12, А1 А13, А2 А12, А2 А23, А3 А13, А12 А123, А13 А123, А23 А123; 2-грани - шесть ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования "Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины" Математический ...
Найдем значение коэффициента из условия , подставляя координаты вершины (0; 1) нашей ломаной в уравнение, получим , откуда находим, , и уравнение окончательно запишем в виде
Эта система в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа
Решение задач с помощью ортогонального проектирования
Тема: "Решение задач с помощью ортогонального проектирования". Ученицы 11 "Б" класса Средней школы №46 Заиц Ю. А. Руководитель: Шелгинских В. А ...
В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проектируется в точку О - середину ребра АВ, и угол АМВ=900.
Построим линейный угол искомого двугранного угла, ребром которого является прямая АК, а гранями - полуплоскости ВАК и САК.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Аналитическая геометрия
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Институт бизнеса, информационных технологий и финансов Кафедра "Гуманитарных и ...
координаты прямая плоскость вектор
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку М(0; - 1) и правую вершину гиперболы необходимо знать координаты правой вершины гиперболы.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие