Дипломная работа: Розвиток умінь розв’язувати задач на пропорційне ділення у початковій школі

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ЗАГАЛЬНІ ПИТАННЯ НАВЧАННЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

1.1 Система арифметичних задач у програмі з математики в початковій школі

1.2 Ступені роботи над текстовими задачами

РОЗДІЛ 2. МЕТОДИЧНА РОБОТА НАД ЗАДАЧАМИ НА ПРОПОРЦІЙНЕ ДІЛЕННЯ

2.1 Види задач на пропорційне ділення та способи їх опрацювання

2.2 Формування умінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення

2.3 Результати експериментального дослідження

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Актуальність теми. Демократизація освіти вимагає від педагогічної науки нових шляхів удосконалення навчально-виховного процесу. „Освіта ХХІ століття – це освіта для людини”, - зазначено в Концепції 12-річної загальноосвітньої школи. «Пріоритетним напрямком оновлення змісту навчально-виховного процесу є гуманізація освіти, що базується на гуманістичних цінностях» [53, 47]. Ось чому авторитарно–дисциплінарні моделі навчання змінюються на «особистісно-орієнтовані, суттєвими ознаками яких є навчання і виховання особистості з урахуванням усіх індивідуальних та фізіологічних процесів, які протікають в організмі дитини» [36, 19]. Це створення умов для творчості, саморозвитку та самовиявлення особистості молодшого школяра.

Особистісне зорієнтоване навчання і виховання є перспективним, оскільки воно виходить із самостійності особистості, її духовності і суверенності. Його метою є формування людини як неповторної особистості, творця самого себе і своїх обставин. Сучасна школа матиме справу з індивідуальністю, самобутністю особистості, оскільки індивідуальність виявляється головним принципом етики і мусить вступати керівним методологічним положенням у вихованні і навчанні.

У системі загальної середньої освіти одне із основних місць займає початкова школа, де закладається фундамент розумових, моральних та емоційно-вольових якостей особистості. Курс математики початкових класів є основою для осмисленого засвоєння математичних знань, формування умінь і навичок, а також і отримання математичної освіти в цілому [55, 103].

Важливу роль у курсі математики початкової школи відіграють задачі. Вони, з одного боку, складають специфічний розділ програми, зміст якого учні мають засвоїти, з другого – виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів.

До проблеми розв’язування задач при вивченні математики тією чи іншою мірою зверталися відомі методисти. Психологічний та методичний аспект процесу розв’язування задач досліджували: Г.О. Балл, Л.Л. Гурова, С.Д. Максименко, Н.О. Менчинська, Н.А. Побірченко, З.І. Слєпкань, Л.М. Фрідман. Психолого-педагогічні і методичні основи диференційо-ваного навчання розкрито у працях М.І. Бурди, Ю.З. Гільбуха, О.С. Дубинчук, С.О. Логачевської, О.Л. Савченко, І.Є. Унт та ін.

Особливу увагу розв’язуванню задач як засобу розвитку мислення, формування системи математичних понять, добору задач до підручників з математики у початковій школі приділяли М.О. Бантова, Г.В. Бельтюкова, М.В. Богданович, М.М. Левшин, М.Г. Моро, Я.А. Король, Л.П. Кочіна, А.С. Пчолко, Н. Уткіна та ін.

Серед системи задач, які є предметом вивчення у початковому курсі математики, важливе місце займають задачі на пропорційне ділення. Розв’язування задач на пропорційне ділення «спрямоване на формування в учнів системи математичних знань, вироблення вмінь і навичок математичного моделювання, обчислення, розвитку прийомів розумової діяльності» [15, 71]. Задачі на пропорційне ділення «допомагають розкрити опосередковані зв’язки математики з навколишнім середовищем і практичною діяльністю людей, реалізувати пізнавальні й виховні функції навчання» [52, 43]. Процес розв’язування таких задач сприяє формуванню таких розумових дій як аналіз і синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення тощо, а також розвитку функціонального мислення в цілому. Від оволодіння вміннями розв’язати задачі залежить не лише підготовка школярів з математики на даному етапі навчання, а й осмислення засвоєння систематичних курсів алгебри, геометрії, фізики, інформатики у наступних класах.

Позитивно оцінюючи наукову і практичну значущість досліджень з даної проблеми, необхідно, разом з цим, відзначити, що ряд аспектів формування вмінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення залишилися нерозкриті, зокрема – обсяг теоретичних знань про таку задачу і процес її розв’язування у початкових класах; визначення рівнів програмних вимог до вироблення вмінь учнів початкової школи розв’язувати задачі на пропорційне ділення; добір різнорівневих завдань, спрямованих на формування вмінь розв’язувати задачі; способи раціонального поєднання фронтальної, групової та індивідуальної форми роботи на уроках математики при розв’язуванні задач на пропорційне ділення.

Отже, актуальність теми зумовлена значущістю досліджуваної проблеми для удосконалення методики розв’язування задач на пропорційне ділення у початковій школі, яка враховує особливості навчальної діяльності учнів під час розв’язування таких задач, психолого-педагогічні засади вироблення вмінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення, різнорівневі вимоги до математичної підготовки школярів.

Об’єкт дослідження – процес навчання математики у початковій школі.

Предмет дослідження – формування вмінь учнів початкових класів розв’язувати задачі на пропорційне ділення.

Мета дослідження – проаналізувати, теоретично обґрунтувати і експериментально перевірити добірку задач на пропорційне ділення на уроках математики у початковій школі.

Гіпотеза дослідження: якщо, навчаючи розв‘язуванню задач на пропорційне ділення, враховувати зміст і операційний склад відповідних умінь, рівні програмових вимог до їх формування, психолого-педагогічні характеристики молодших школярів, дидактичні принципи добору завдань, то це підвищить ефективність навчання учнів розв’язувати задачі даного типу, а отже, рівень математичного розвитку школярів загалом.

Завдання дослідження:

- на основі аналізу психологічної і навчально-методичної літератури, практики навчання з’ясувати стан досліджуваної проблеми;

- розкрити зміст і операційний склад умінь учнів розв’язувати задачі на пропорційне ділення;

- визначити особливості навчальної діяльності учнів початкової школи під час розв’язування задач на пропорційне ділення;

- з’ясувати обсяг теоретичних знань про такий тип задач і процес їх розв’язування;

- розробити добірку завдань, спрямованих на вироблення вмінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення;

- теоретично обґрунтувати та експериментально перевірити удосконалену методику формування вмінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення.

Методи дослідження.

1. Теоретичні – системний аналіз психологічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження (розкриття змісту, вмінь і закономірностей їх формування); семантичний аналіз задач на пропорційне ділення (з’ясування структурних компонентів задачі і зв’язків між ними); моделювання педагогічних ситуацій, аналіз та обробка результатів педагогічного експерименту (підтвердження ефективності експериментальної методики);

2. Емпіричні – спостереження, анкетування, тестування, бесіди з учнями і вчителями, вивчення досвіду вчителів, узагальнення власного досвіду викладання математики; формуючий експеримент.

Структура дослідження. Дипломна робота складається із таких основних елементів: вступ, два розділи, висновки, список використаної літератури, додатки.

РОЗДІЛ 1. ЗАГАЛЬНІ ПИТАННЯ НАВЧАННЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

1.1 Система арифметичних задач у програмі з математики в початковій школі

Основним засобом, який використовується при вивченні математики для формування знань, умінь і навичок учнів, є задачі. Задачі являються засобом реалізації загальноосвітньої, виховної і розвиваючої цілей. Для формування виділених елементів теоретичних знань і оволодіння учнями відповідними їх видами діяльності необхідно розглядати систему задач, що забезпечує засвоєння навчального матеріалу.

За останні роки в педагогічній психології, дидактиці й методиці навчання математики були проведені дослідження з різних проблем теорії задачі. Значний внесок зробили: Н.Г. Амнєєв, Г.О. Балл, М.І. Бурда, Л.Л. Гурова, В.В. Давидов, О.М. Матюшкін та багато інших [5, 149-150]. У цих дослідженнях вирішуються кардинальні питання постановки задач, їх структури, методики навчання розв’язання задач, зв’язків з відомим в умовах, коли суб’єкт не має способу (алгоритму) цієї дії.

На думку К.О. Славської, задача з психологічної точки зору – це не тільки об’єктивна вихідна ситуація, а насамперед задача, що виникає для людини, тобто об’єктивна вихідна проблемна ситуація, об’єктивне вихідне співвідношення умов і вимоги, що створює невідповідність між ними. Задачу мають розглядати як особливу форму пізнання дійсності. Тому вона сама виступає як об’єкт, що детермінує процес мислення людини.

Якщо аналізувати психологічний аспект розв’язування задач, то дослідники відмічають тісний зв'язок цього процесу з мисленням особистості [49, 74]. Усі компоненти мислення (змістовий, операційний та процесуальний) виявляються в мисленнєвій діяльності особистості. Ця діяльність виникає і формується як процес за умов проблемної ситуації і задачі. Первинно виникає проблемна ситуація, тобто конфлікт, суперечність між обставинами та умовами – між наявними знаннями і актуальним потребами. Це малоусвідомлений процес невизначеності: “Що не так? Що не таке?” тощо.

Усвідомлення проблемної ситуації становить уже перший етап у її розв'язанні. На другому етапі відбувається вирізнення відомого і невідомого. Внаслідок цього проблемна ситуація перетворюється на задачу [40, 76]. У структурі задачі вирізняють умову та вимоги. Для характеристики умови використовують такі ознаки, як звичність-незвичність ситуації, а також характер поставленої умови (словесний опис, зображення, реальна ситуація) і ступінь вираження в ситуації суттєвого відношення між відомими і невідомими величинами, що є ключовим у розв'язанні задачі.

Задачі мають задум (ідею, зміст). Важливою характеристикою вимог є чіткість їх формулювання. Задачу характеризує також співвідношення між умовами і вимогами. В умові можуть міститися всі елементи; необхідні для розв'язання задачі, можуть бути зайві елементи тощо.

Прикладом нашого підходу до поняття задачі є трактування, що його дав О.Ф. Єсаулов. Він пише: “Задача – це більш-менш визначені системи інформаційних процесів, неузгоджене або навіть суперечливе відношення між якими викликає потребу в їхньому перетворенні. Суть розв’язання саме і полягає у пошуках подолання шляхів такої неузгодженості” [1, 42].

Р.Е. Басангова визначає задачу як “як об’єкт розумової діяльності, що містить вимогу деякого практичного перетворення або відповіді на теоретичне питання за допомогою пошуку умов, що дозволяють розкрити зв’язки (відношення) між відомими і невідомими її елементами”.

З методичної точки зору поняття “задача” розглядається в роботах М.І. Бурди, Ю.М. Колягіна, В.І. Крупіча, Г.І. Саранцева й ін.

П.І. Сорокін під задачею розуміє об’єкт розумової діяльності, що містить вимогу і деякі умови, за яких, ця вимога має бути досягнута. Отже, задача повинна мати такі ознаки: бути носієм знань і умінь, а також засобом їх засвоєння; способом організації і керування пізнавальною діяльністю учнів; однією з форм прояву методів навчання; засобом зв’язку теорії з практикою [56, 13].

Задачі є і предметом і засобом навчання. Вони є основним засобом забезпечення зв'язку навчання із життям, політехнічного направлення в навчанні, здійснення міжпредметних зв'язків всередині математики і останньої з іншими навчальними предметами. На уроках математики навчальний процес в більшості випадків слідує від задач до теорії, а потім від теорії до задач: задачі => теорія => задачі.

Формування умінь розв’язувати задачі – одне із головних і складних завдань програми шкільного курсу математики в початкових класах [3]. Складність цього завдання зумовлена багатьма факторами. Однак найбільш суттєвим є той, що в методиці навчання математики в початковій ланці освіти залишилися нереалізованими такі загально дидактичні принципи, як-от: науковості, послідовності, систематичності, зв’язку теорії з практикою, індивідуального підходу та ін.

Так, ще Я.А. Коменський зазначав, що міцно засвоюється лише те, що добре обґрунтовано. Отже, розв’язання тієї чи іншої задачі має бути науково обґрунтованим. Для цього учні повинні знати найелементарнішу класифікацію задач і вміти визначити, до якого саме виду належить та чи інша задача [26, 6].

Задача – це «сформульоване запитання, відповідь на яке можна знайти за допомогою арифметичних дій» [20, 28]. З визначення задачі випливає, що в ній обов’язково має міститись якесь запитання. Без запитання задачі немає. Оскільки відповідь на запитання задачі дістаємо в результаті виконання арифметичних дій, очевидно, в ній повинна міститися вимога визначити те чи інше число (або числа) – шукане і, крім того, повинні вказуватися ті числа, за допомогою дій над якими можна знайти шукане. Тому обов’язковими елементами будь-якої арифметичної задачі є невідоме (шукане) число (чи кілька таких) і дані числа.

Головна особливість задач полягає в тому, що в них не зазначається, яку саме дію треба виконати над даними числами, щоб дістати шукане. Тому в тексті задачі потрібні непрямі вказівки на той зв’язок, який існує між даними числами і шуканими і який визначає добір потрібних арифметичних дій та їх послідовності. Це – умова задачі [7, 23]. Умова, яка покликана розкрити зв’язки між даними і шуканими числами – містить числові і дані задачі.

Учні, як правило, досить легко засвоюють, що в задачі має бути не менше від двох числових даних. Діти часто підміняють задачу формулюванням умови і наслідку, який з неї випливає. Наприклад, складають такі “задачі”: “На гілці сиділо 3 пташки. До них прилетіла ще 1 пташка. Всього стало 4 пташки” [56, 14].

Отже, головні елементи задачі – умова і запитання. Числові (чи буквені) дані – це елементи умови. Шукане завжди міститься в запитанні. Але іноді задачу сформульовано так, що запитання містить у собі частину умови або вся задача викладена у формі запитання.

В навчанні математиці виділяють найбільш важливі функції задач: навчальні, виховні, розвиваючі, контролюючі [8, 287-188].

Навчальні функції спрямовані на формування у школярів системи математичних знань, умінь і навичок (як передбачених програмою, так і таких, що розширяють, поглиблюють її зміст) на різних етапах навчання.

Виховні функції спрямовані на формування пізнавального інтересу,самостійності, навичок навчальної праці, культури математичної мови, графічної культури.

Розвиваючі функції спрямовані на розвиток мислення в учнів, просторових уявлень, на оволодіння ними ефективними прийомами розумової діяльності.

Контролюючі функції спрямовані на встановлення рівня навчання, здібності до самостійного вивчення матеріалу, рівня математичного розвитку учнів і сформованості пізнавальних інтересів.

У зв'язку з великою кількістю видів математичних задач розглянемо існуючі їх класифікації. Зокрема, у методичній літературі [1; 4; 7; 9; 20; 35 та ін.] можна знайти наступні класифікації.

1. За кількістю невідомих у структурі задач. Ю.М. Колягін пропонує їх класифікувати на навчальні, пошукові та проблемні.

2. За характером об'єктів задачі поділяють на практичні та математичні.

3. За відношенням до теорії виділяють стандартні та нестандартні задачі. У ролі основної ознаки стандартних задач вказано наявність у курсі математики таких загальних правил і положень, що однозначно визначають програму розв'язання цих задач та виконання кожного кроку цієї програми (тобто мають свій алгоритм розв'язування). Нестандартні задачі - це такі, для яких у курсі математики не існує загальних правил або положень, що визначають точну програму їх розв'язання.

4. За функціями у процесі навчання розрізняють дидактичні, пізнавальні та розвиваючі задачі. Задачі з дидактичними функціями використовують для підготовки учнів до введення нового матеріалу, а також при його закріпленні: вони несуть функцію застосування теорії, що вивчається. Задачі з пізнавальними функціями мають за мету відпрацювати та поглибити основний зміст математичної дисципліни. Задачі з розвиваючими функціями – це ті, розв'язування яких потребує певних знань та вмінь, не передбачених програмою. Саме ці задачі спрямовані на розвиток мислення.

5. Задачі, що стимулюють навчально-пізнавальну діяльність; організують та здійснюють навчально-пізнавальну діяльність учнів; задачі, у процесі виконання яких здійснюється контроль та самоконтроль ефективності навчально-пізнавальної діяльності.

6. Задачі для початкової школи класифікують за змістом: задачі на рух, задачі на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного.

7. За характером вимоги у початковому курсі математики виділяють задачі на обчислення, задачі на побудову, задачі текстові, задачі комбінованого характеру.

Наведені класифікації дозволяють ширше уявити собі проблеми, пов'язані з методикою навчання молодших школярів розв'язувати задачі, спрямовуючи цей процес на розвиток мислення.

Загалом задачі у початковому курсі математики класифікують на прості і складені. При цьому до простих належать 25 видів задач (на розкриття змісту арифметичних дій; на розкриття відношень між числами; задачі, що розкривають зв’язки між компонентами і результатами арифметичних дій; задачі на збільшення (або зменшення) числа на кілька одиниць ( чи в кілька разів) та ін.) [3, 106-107].

Прості задачі часто використовуються початковому курсі математики і при ознайомленні учнів з іншими сюжетами задач у справі формування в дітей уявлень про величини, їх вимірювання, про зв’язки, які існують між такими величинами, як ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, число предметів і загальна маса; швидкість, час і пройдений шлях; довжина і ширина прямокутника та його площа; норма виробітку за одиницю часу, затрачений час і загальний виробіток, норма витрати яких-небудь матеріалів на один виріб, число виробів і загальна витрата матеріалів на них тощо [17, 3]. Такі задачі розглядаються в 1-4 класах поступово, в міру розширення кола величин, що вводяться у зв’язку з вивченням відповідних питань і на матеріалі інших вправ.

Аналогічно до того, як прості задачі використовуються для створення наочної опори при розгляді таких питань теорії, як, скажімо, зв’язок між компонентами і результатами дії, значна група складених задач допомагає дітям усвідомити властивості розглядуваних дій. Це задачі, які ілюструють властивості додавання і віднімання, що вивчаються в I класі, а також властивості множення й ділення, розглядувані в II – IV класах.

Складені задачі, як і прості, використовуються і під час ознайомлення з деякими новими поняттями, новими випадками дій, вони допомагають дітям усвідомити нові для них поняття дробу числа й інші питання курсу [23, 51].

Складені арифметичні задачі відіграють важливу роль у навчанні дітей тих загальних прийомів розумової діяльності, які необхідні для розв’язання будь-якої задачі:

а) аналізувати, виділити відоме і невідоме;

б) встановлювати зв’язки між даними і шуканим;

в) складати план розв’язування;

г) перекладати залежності між даними і шуканим, сформульовані в задачі словами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь;

д) виконувати відповідні дії (розв’язувати відповідні рівняння) і знаходити відповідь на запитання задачі;

е) перевіряти розв’язання [51, 32].

Складені задачі використовують як наочну конкретну основу для розгляду нових понять, властивостей дій. Цією функцією визначається й місце їх у загальній системі курсу: вони вводяться тоді, коли розглядаються відповідні питання, і в такій кількості, яка потрібна для пояснення нових питань. При цьому спеціальної мети навчити дітей розв’язувати задачі двома способами не ставиться. Важливіше, щоб вони могли розв’язати її раціональним способом.

Інша група складених задач, що займають велике місце в підручниках для початкових класів школи, пов’язана з роботою над різними кількісними відношеннями. Такі задачі вводяться після того, як діти достатньо засвоять кількісні відношення і навчаться застосовувати свої знання під час розв’язування простих задач, які містять слова “на стільки-то (у стільки-то разів) більше (менше)” в різному контексті.

Складені задачі дають можливість продовжити і розширити та поглибити роботу, спрямовану на ознайомлення дітей з різними величинами і залежністю між ними [62, 23].

Група складених задач, пов’язаних з необхідністю застосувати знання зв’язку між такими величинами, як ціна, кількість, вартість, займає важливе місце в підручниках для всіх чотирьох класів. Спеціальна увага приділяється задачам, які розкривають зв’язки між цими величинами в I – IV класах [35, 4].

У IIІ класі вводиться ряд нових величин (норма витрачання матеріалу на виріб, число виробів, загальна витрата матеріалу; норма виробітку за одиницю часу, витрачений час і загальний виробіток); у IV класі діти ознайомлюються із зв’язками між швидкістю, часом і відстанню при рівномірному русі, із зв’язком між сторонами прямокутника і його площею. Усі ці нові питання розглядаються не лише на основі практичних робіт, пов’язаних із спостереженнями, вимірюваннями, а й на матеріалі розв’язування різноманітних сюжетних задач, що показують, для яких практичних питань потрібні здобуті знання, вивчені взаємозв’язки між величинами.

Складені задачі поділяють за кількістю дій, якою розв’язується та чи інша задача. Це задача на дві, три, чотири дії. Трьома діями розв’язуються задачі, які утворилися розширенням задач на дві дії; також до цього типу належать також задачі на знаходження суми двох добутків, різниці двох добутків, різниці двох часток і т. ін. [51, 87].

Метою роботи над задачами є не тільки засвоєння способів їх розв'язування, а головним чином формування умінь, необхідних для самостійного розв'язування задач програмного мінімуму та подальшого навчання. У підручниках для 1—4 класів є такі задачі, які традиційно називають типовими, а також задачі з конкретним змістом. До типових належать задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого і оберненого зведення до одиниці та спосіб відношень), на пропорційне ділення, на знаходження числа за двома різницями, на знаходження середнього арифметичного. Методика розв'язування типових задач принципово не відрізняється від розгляду будь-яких інших задач нового виду, тобто включає підготовку, ознайомлення і розвиток умінь [7, 29]. Проте деякі особливості роботи над типовими задачами необхідно враховувати.

Зазначені типові задачі пов'язані з пропорційними величинами. Розв'язування їх ґрунтується на знанні відповідних зв'язків між величинами. Ознайомлення з величинами провадиться одночасно з розкриттям зв'язків між ними. Зв'язки формулюються у вигляді висновків. Наприклад, якщо відомо ціну і кількість, то вартість можна знайти дією множення. Типові задачі мають деякі характерні ознаки, які враховуються на підготовчому етапі роботи. Необхідно також враховувати взаємозв'язки між окремими типовими задачами. Особливу увагу слід приділити задачам на знаходження четвертого пропорційного до трьох даних.

Розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного способом зведення до одиниці запроваджується в 3 класі. Розгляду задач передує тривала робота над їх розв'язуванням на визначення ціни, кількості та вартості. Вона проводиться у вигляді гри "в магазин" [8]. Під час гри учні вчаться розв'язувати задачі на знаходження вартості. ціни і кількості. Характерною особливістю в цій роботі є те, що, аналізуючи задачі, вчитель вимагає від учнів пояснення, які величини відомі і які треба знайти.

Розв'язування задач на знаходження середнього арифметичного ґрунтується на правилі: щоб знайти середнє арифметичне кількох чисел, треба їх суму поділити на кількість цих чисел. Це правило вводиться на основі аналізу готового розв'язання задачі.

Ознайомлення дітей із задачами на пропорційне ділення проводять у 4 класі. Спочатку вони виконують підготовчі завдання [7, 31].

У початковому курсі математики арифметичні задачі використовуються протягом усіх чотирьох років початкового навчання. Система їх розміщення, природно, збігається з логікою розгортання понять, що вводяться, ознайомлення з арифметичними діями і їх властивостями тощо. Особливість задач, які для цього відбираються, максимальна їх простота. Вони мають бути цілком зрозумілі, близькі дітям за сюжетом, просто викладені, без будь-яких незрозумілих, нових для дітей слів, які б потребували додаткових пояснень. Саме цій меті підпорядкована більша частина задач, широко представлених у програмі і в підручниках для кожного року навчання.

Оскільки в 1 класі діти вперше ознайомлюються з діями додавання і віднімання, а в 2 з діями множення і ділення, то тут передбачається використання простих текстових задач, насамперед спрямованих на розкриття змісту цих дій. Жодного означення дій у початкових класах не вводиться, і тому їх зміст діти мають усвідомити, головним чином, на основі практичних операцій з різними множинами предметів і в процесі розв’язування відповідних простих сюжетних задач, що дають змогу перевести ці операції в план розумових дій [39, 134].

Отже, добір і розміщення текстових задач для 1-4 класів підлягає логіці розгляду нових питань арифметичної теорії і відповідає вимозі поступового ускладнення завдань, що зумовлюється деякими особливостями форми подання математичних зв’язків і відношень, які визначають вибір арифметичної дії, необхідної для розв’язування задачі. Ускладнювати завдання можна, ввівши нові величини, розглядаючи з дітьми нові для них зв’язки.

Однією з функцій складених задач є розвиток здобутих знань, удосконалення їх у процесі застосування в змінених умовах. Але складені сюжетні задачі, введено в початковий курс математики не лише для цього. Одна з їх функцій – навчити дітей “перекладу” словесно заданих відношень і зв’язків між різними величинами, числами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь. Цій меті підпорядковані і добір задач, і система їх розміщення в часі, і методика роботи над ними.

Ця система забезпечує поступовий перехід від простого до дедалі складнішого: від складання простих виразів і рівнянь у процесі розв’язання задач на одну дію до складання виразів з 2-3 діями при розв’язуванні досить легких за структурою складених задач. Поступове наростання труднощів у таких вправах можливе тільки тоді, коли вчитель розуміючи завдання, що стоять перед ним, використовуватиме для цього пропоновані вправи з підручника [23, 54].

Лише вчитель може визначити, яку задачу і коли можна запропонувати дітям, яке завдання доцільно пов’язати з розв’язуванням цієї задачі: в одному разі досить вказати дію, за допомогою якої розв’язується задача, в іншому – скласти за нею вираз чи рівняння, ще в іншому – доцільно розібрати хід розв’язування за діями, послідовно з’ясовуючи роль кожної з них і коментуючи здобуті результати.

Отже, серед типових складених задач важливе місце займають задачі на пропорційне ділення. Саме цей вид задач є предметом нашого дослідження.

1.2 Ступені роботи над текстовими задачами

Розв'язати математичну задачу – це значить знайти таку послідовність загальних положень математики (означень, аксіом, теорем, правил, законів, формул), використовуючи які до умов задачі чи до їх наслідків (проміжних результатів розв'язання), одержуємо те, що вимагається в задачі, - її відповідь.

Вченими обґрунтовано, що психологічною основою формування вмінь розв’язувати текстові задачі є основні положення теорії поетапного формування розумових дій (О.М. Леонтьєв, П.Я. Гальперін, Н.Ф. Тализіна та ін.) у синтезі з основними положеннями асоціативно-рефлекторної теорії (Д.Н. Богоявленський, Є.Н. Кабанова-Меллер, Н.О. Менчинська та ін.). Уміння розв’язувати текстові задачі виробляються ефективно, якщо:

1) подавати повну орієнтовну основу дій;

2) при первинному поясненні розгорнуто подавати зразок розв’язування задачі з фіксацією складових операцій;

3) опрацьовувати виконання окремих дій, які входять до складу загального вміння шляхом розв’язання спеціальних вправ;

4) використовувати різні види моделей задачної ситуації;

5) забезпечувати різні види діяльності (репродуктивну, продуктивну, творчу) та тривалість процесу формування вміння [4, 43].

Робота над задачами не повинна зводитись до формування навичок розв’язування задач спочатку одного виду, потім другого і т. д. Основна мета – навчити дітей свідомо встановлювати певні зв’язки між даними і шуканим у різних життєвих ситуаціях, передбачаючи поступове ускладнення їх. Щоб добитися цього, вчитель повинен передбачити в методиці навчання розв’язування задач одного виду різні ступені, які мають свою мету.

На першому ступені вчитель готує дітей до розв’язування задач розглядуваного виду. На цьому ступені учні повинні засвоїти зв’язки, на основі яких вони вибиратимуть дії в процесі розв’язування таких задач.

На другому ступені вчитель ознайомлює учнів з розв’язуванням задач розглядуваного виду. Тут учні навчаються встановлювати зв’язки між даними і шуканим і на цій основі вибирати арифметичні дії, тобто вони навчаються переходити від конкретної ситуації, вираженої в задачі, до вибору відповідної арифметичної дії. Внаслідок такої роботи учні ознайомлюються з способом розв’язування задач цього виду.

На третьому ступені вчитель закріплює вміння розв’язувати задачі розглядуваного виду. На цьому ступені учні мають навчитися розв’язувати будь-яку задачу розглядуваного виду незалежно від її конкретного змісту, тобто вони мають узагальнити спосіб розв’язування задач цього виду [29, 19-20].

Узагальнено структура процесу розв’язування задач подана на рис.

Рис. Структура процесу розв’язування задачі

Розглянемо докладніше методику роботи на кожному з названих ступенів [8, 213-214].

Підготовча робота до розв’язування задач того чи іншого виду (перший ступінь) залежить від того, на який зв’язок між даними і шуканим треба спиратися під час вибору арифметичних дій. Відповідно до цього виконують спеціальні вправи.

1. Перед розв’язуванням задач у багатьох випадках виконують операції над множинами. Під час ознайомлення з розв’язуванням більшості простих задач повинні виконуватись вправи на оперування множинами. Елементами множин мають бути конкретні предмети (палички, геометричні фігури вирізані з паперу, самі учні, рисунки тощо.). Наприклад, до введення простих задач на знаходження суми пропонують вправи на об’єднання множин.

Дістаньте картинки, де намальовані курчата. (Діти виконують). На подвір’ї було 3 курчат. До них прибігли ще 2 курчат. Скільки тепер курчат? (Діти лічать картинки). Ми до 3 додали 2 (показує на картинки) і дістали 5.

Підготовкою до розв’язування задач на віднімання буде виконання операції вилучення частини певної множини, на множення – виконуються операції об’єднання рівно чисельних множин, на ділення – поділ множин на рід рівно чисельних множин.

За допомогою операції над множинами розкривають зміст виразів “більше на...”, “менше на...”, “більше в кілька разів...”, “менше в кілька разів...”, що є підготовкою для введення задач, пов’язаних з поняттям різниці та кратного відношення.

2. Більшість арифметичних задач пов’язана з величинами (довжина, час, маса, місткість тощо), тому треба ознайомити дітей із цією величиною. Також дітям корисно для подальшої роботи записувати в окремі зошити чи блокноти значення деяких величин: ціни на окремі товари, швидкості різних видів транспорту, відстані між містами чи найближчими селищами тощо.

3. Арифметичні дії під час розв’язування багатьох задач вибирають на основі зв’язків, які існують між величинами. Щоб у процесі вибору дій діти використовували і усвідомлювали ці зв’язки, потрібно розкрити зв’язки між величинами, розв’язуючи задачі на основі їх конкретного змісту.

Щоб учні засвоїли той чи інший зв’язок, треба організувати цілеспрямовані спостереження. Щоб розкрити зв’язок між ціною, кількістю і вартістю, доцільно організувати екскурсію в магазин, де учні ознайомляться з ціною, запишуть ціни на деякі товари в свої довідники і будуть спостерігати процес купівлі-продажу. Потім на уроці діти складуть ряд простих задач на знаходження вартості за відомою ціною і кількістю, розв’яжуть їх, опираючись на знання конкретного змісту дії множення. Розглянувши розв’язування, учні помітять, що коли відомо ціну і кількість, то вартість знаходять дією множення.

4. Розв’язування складених задач зводиться до розв’язування ряду простих, тому підготовкою до розв’язування складених задач буде навчання розв’язування простих задач.

Розгляду кожного окремого виду задач має передувати спеціальна підготовча робота. Провівши відповідну підготовчу роботу, можна перейти до ознайомлення дітей з розв’язуванням задач розглядуваного виду [20, 28].

У методиці початкового навчання математики виділяють такі етапи розв'язування задач, як ознайомлення із змістом задачі, аналіз задачі і відшукання плану розв'язування, розв'язання задачі та перевірка розв'язування. Розглянемо методику роботи на кожному з цих етапів.

1. Ознайомлення із змістом задачі. Усвідомлення змісту задачі — необхідна умова її розв'язання. Учень не повинен приступати до розв'язування задачі, не зрозумівши її умови. Тому ознайомлення з задачею містить власне опанування її змісту і перевірки усвідомлення його дітьми.

Учень ознайомлюється з задачею із слів учителя або самостійно. Це, так би мовити, «крайні способи». Поряд з ними використовуються «проміжні способи», в яких ступінь самостійності учнів залежить від рівня їхньої підготовленості і мети розв'язування задачі. Приступаючи до розв'язування задачі, важливо сприйняти її в цілому, а потім вже розбивати на окремі частини [22, 26].

При фронтальному ознайомленні вчитель читає (або переказує) задачу двічі. Першого разу задачу читають з метою ознайомлення з її змістом в цілому. Другого разу задачу читають частинами і так, щоб кожна частина містила певну смислову «одиницю» тексту. Поділ задачі на частини здебільшого передбачає виділення окремих числових даних її. Під час другого читання доцільно на дошці записувати умову. Читаючи задачу, вчитель паузами та інтонацією виділяє числові дані та слова, що визначають вибір дії та запитання задачі. Емоційне забарвлення голосу допомагає учням уявити ту життєву ситуацію, про яку йдеться в задачі. Тому, слухаючи задачу, дітям не варто слідкувати очима за текстом підручника. Якщо в задачі є маловідомі дітям терміни, то їх слід пояснити заздалегідь, застосовуючи для цього предметне ілюстрування або малюнки.

Щоб перевірити, як учні усвідомили умову задачі, вчитель задає учням запитання (за смислом окремих частин) або пропонує переказати всю задачу. З метою активізації контрольного повторення задачі слід наперед ставити перед учнями те або інше завдання. Наприклад: «Послухайте задачу і повторіть вголос її запитання», «Прочитайте задачу самостійно і скажіть, що нам відомої про...». [7, 42]

Розглянуті вимоги стосуються і самостійного читання задач учнями. Діти повинні засвоїти, що в процесі, читання треба запам'ятати або виписати числові дані і виділити запитання задачі і найбільш важливі слова, які стосуються даних і шуканого чисел, а також з'ясувати незрозумілі слова.

2. Аналіз задачі і відшукання плану її розв'язування. Учень зможе успішно розв'язати задачу, якщо розумітиме значення слів і виразів, з яких вона побудована. На початку навчання і при розгляді нових задач усвідомлення значення слів та зв'язків між величинами досягається через відтворення тієї реальної проблемної ситуації, моделлю якої є задача. В подальшому дедалі частіше застосовується вербальний (словесний) аналіз (розбір) задачі.

Вербальний аналіз в широкому розумінні містить, з одного боку, семантичний аналіз, а з другого — знаходження способу розв'язування її. Суть семантичного аналізу полягає в тому, що на основі аналізу тексту задачі визначають окремі значення величин, а також відношення, що їх пов'язують. Таким аналізом передбачається:

а) поділ задачі на окремі частини, кожна з яких є словесним завданням певного елементу задачі;

б) визначення слів-ознак, що характеризують відношення між величинами, а отже й відповідну арифметичну дію [51, 35].

Під час аналізу треба з'ясувати, скільки величин розглядається в задачі та які вони мають значення. Задавання кожного значення величини звичайно складається з трьох частин: назви величини, зазначення особливості певного значення і числове значення, якщо воно відоме (задане). Якщо числове значення не задано, то воно є невідомим, і якщо, крім того, в завдання цього невідомого значення входить запитання «скільки»?» чи вимога «знайти», то це значення шукане.

Існують два способи розбору задачі: 1) від числових даних — до запитання; 2) від запитання — до числових даних. Перший спосіб часто називають аналітичним, а другий — синтетичним. Як в практичній роботі, так і в спеціальних дослідженнях не надається переваги тому чи іншому способу розбору задач. На нашу думку, в навчанні молодших школярів мають функціонувати обидва способи. Це важливо, бо спосіб розбору, який застосовує вчитель, є водночас зразком, прийомом самостійної роботи учнів у процесі розв'язування задач. Щоб навчити учнів користуватися цими способами розбору, необхідно спочатку їх пояснити, навести зразки, виконати розбір кількох задач (це можна доручити одному з учнів), а також зробити аналіз задач після їх розв'язання.

При самостійному розв'язуванні задач учні самі вибирають той спосіб розбору, який для них найзручніший. Проте слід підкреслювати, що в усіх випадках треба мати на увазі як числові дані, так і запитання задачі.

Вибір ілюстрації до задачі, повнота її розбору, ступінь самостійності учнів у розв'язуванні залежить від новизни і складності самої задачі. При цьому треба мати на увазі, що основна навчальна мета — розвинути в учнів уміння самостійно розв'язувати задачі — досягається тривалою практикою розв'язування задач як з використанням наочності, так і без неї. Отже, в застосуванні наочності треба дотримуватися певної міри [12, 91].

Мета використання ілюстрації — виявити величини, про які йдеться в задачі, та з'ясувати зв'язки між ними. Предметна ілюстрація допомагає створити уявлення про життєву ситуацію, описану в задачі, і тим самим сприяє правильному вибору дій та їх послідовності. Ілюстрація у вигляді короткого запису (схематичного, табличного) чи рисунка фіксує у зручній для сприймання формі величини (дані і шукані) допомагає розкрити залежності; між ними. У знаходженні неявної залежності між запитанням задачі і даними полягає інтерес дітей до процесу; розв'язування задач, а це, в свою чергу, сприяє їхньому розвитку мислення. Тому недоцільно намагатися якомога частіше розкривати зв'язки в задачах за допомогою короткого запису чи застосування іншої наочності.

Розв'язувати задачі з використанням короткого запису слід у таких випадках:

·           при початковому розв'язуванні простих задач, коли цей процес є ще, по суті, переходом від операцій над і множинами предметів до арифметичних дій над натуральними числами;

·           при розв'язуванні простих і складених задач з метою формування в учнів уявлення про структуру задачі;

·           при використанні задач для формування математичних понять, ознайомлення учнів з елементами арифметичної теорії чи залежностями між величинами;

·           при початковому ознайомленні учнів з задачею нового виду (і то не завжди), а також тоді, коли багато учнів не можуть самостійно розв'язати задачу [9, 213].

Учнів треба поступово привчати виконувати короткий запис задачі. У першому класі наслідують зразок учителя. Як самостійну роботу на уроці можна практикувати запис даних у задану схему. Вдома першокласники розв'язують задачу без короткого її запису. У 3-4 класах учитель дає не тільки зразки чи опорні схеми коротких записів, а й ознайомлює дітей з деякими рекомендаціями щодо їх виконання.

Наприклад:

У дівчинки було 5 книжок. Їй подарували ще кілька книжок. У неї стало 9 книжок. Скільки книжок подарували дівчинці?

Короткий запис:

Було – доданок – 5 книжок.

Подарували – доданок – ?

Стало – сума – 9 книжок.

Під час розв’язання учні міркують так: У цій задачі нам відомі сума і один доданок. Щоб визначити другий доданок (Скільки книжок подарували?), треба від суми відняти відомий доданок.

Віднімаємо: 9 – 5 = 4 (книжок).

Перевірка: віднімання перевіряємо дією додавання. Щоб перевірити, чи правильно ми розв’язали задачу, треба додати до відомого доданка той, що ми знайшли. Якщо одержимо відому суму, то задачу ми розв’язали правильно. Додаємо: 4 + 5 = 9 (книжок).

Отже, цю задачу ми розв’язали правильно, бо одержали відому суму.

Відповідь: дівчинці подарували 4 книжки.

Така організація навчання аж ніяк не переобтяжує пам’ять дітей, навпаки, вона полегшує формування умінь розв’язувати задачі, тому що кожен учень усвідомлює, чому цю задачу слід розв’язувати саме так.

Учні повинні знати, що в короткому записі треба використовувати слова, які визначають дію або залежність між даними і шуканою величинами. Зв'язані між собою дані слід записувати в одному рядку; число, яке є сумою кількох даних, записувати справа або зліва від них і відокремлювати рискою; запитання задачі позначати знаком запитання. У табличній формі два значення тієї самої величини треба записувати одне під одним [33, 45].

Умову задачі можна коротко записати в таблиці, або у формі креслення. Наприклад:

Задача 1. Зібрали 100 кг яблук, а груш на 20 кг більше, ніж яблук. Скільки кілограмів яблук і груш зібрали?

Яблук – 100 кг?

Груш – на 20 кг більше

Задача 2. Автомобіль використав за 4 год роботи 36 л бензину. Скільки літрів бензину потрібно для автомобіля на 8 годин роботи при тій самій нормі витрати за годину?

3. Розв'язання задачі. Розв'язання задачі — це виконання арифметичних дій відповідно до складеного плану. Планом користуються і тоді, коли задачу розв'язують за допомогою складання виразу чи рівняння.

Виконуючи дії, учні коментують їх: що знайдено за допомогою кожної дії. При усному розв'язуванні задачі необов'язково щоразу називати питання плану повністю. Можна практикувати короткі коментарі.

Якщо задачу розв'язують письмово, то необхідні пояснення чи запитання учні можуть повідомляти усно або письмово. Обсяг письмових пояснень збільшується в міру оволодіння навичками письма. З різними формами пояснень учитель ознайомлює дітей поступово [24, 31].

Розв'язок задачі буває правильним і неправильним, точним і наближеним, загальним і частинним. Розв'язання кожної задачі повинно бути: 1) безпомилковим; 2) обгрунтованним; 3) повним; 4) раціональним.

4. Перевірка розв'язання та обґрунтування доведень є складовою частиною і характерною рисою математичної діяльності. Учням молодших класів ще важко відчувати потребу в обґрунтуванні своїх суджень. Тому перевірку розв'язання задачі вони сприймають лише як вимогу вчителя.

Перевірити розв'язання задачі — це з'ясувати, правильне воно чи ні. Для вчителя цей процес є засобом виявлення прогалин у знаннях учнів, а в поєднанні з аналізом та оцінкою — засобом виховання інтересу до вивчення математики. Проте така перевірка не вичерпує всієї проблеми. Треба поступово виховувати в дітей почуття необхідності самоперевірки, ознайомлювати їх із найбільш доступними прийомами перевірки. З цією метою слід проводити бесіди, в яких аналізувати допущені учнями помилки. Під час таких бесід розкривати особливість математики як науки, її роль у народному господарстві і в житті кожної людини, розповідати, як учені-математики та інші фахівці дбають про правильність результатів, аналізувати, до яких негативних наслідків можуть призвести допущені у розв'язанні задачі помилки [18, 19].

Що стосується сутності поняття “вміння розв’язувати текстові задачі”, його зв’язок із знаннями і навичками, то під вмінням розуміємо готовність і здатність учнів початкової школи самостійно і свідомо розв’язувати ці задачі. В процесі навчання математики доцільно виділяти окремі й узагальнені вміння. До окремих вмінь відносять вміння розв’язувати задачі певного виду. Якщо учень переносить засвоєні дії на нові види задач, правильно і самостійно розв’язує текстові задачі широкого кола, то відповідні вміння є узагальненими. Кінцевим результатом навчання є узагальнені вміння.

Загальне вміння розв’язувати текстову задачу утворює складний комплекс, що включає активне оперування математичними знаннями і відповідними вміннями й навичками, досвід у застосуванні знань і певну сукупність розумових дій, які необхідні для розв’язання [60, 47].

Вироблення вмінь учнів початкової школи розв’язувати текстові задачі передбачає ознайомлення їх із поняттям ”текстова задача” і процесом її розв’язування; ознайомлення учнів із структурними компонентами задачі (умова, вимога, дані відомі, невідомі, шукані), їх особливостями (умова і вимога зв’язані між собою; в умові має бути не менше двох числових даних, зв’язаних між собою і з шуканим; вимога виступає орієнтиром пошуку розв’язування; вибір дій відбувається шляхом встановлення взаємозв’язків між даними і шуканими та ін.).

У тісному зв’язку із знаннями предметом цілеспрямованого формування є вміння виділяти складові компоненти в тексті задачі, встановлювати повноту, обґрунтовувати правильність (неправильність) побудови текстової задачі, переформульовувати і самостійно їх складати.

На підставі визначених теоретичних основ нами удосконалена методика формування загального уміння розв’язувати складені задачі, в якій визначено мету і зміст кожного з зазначених етапів. На відміну від чинних підручників, ми пропонуємо проводити цілеспрямовану підготовку до введення поняття про складену задачу. На етапі підготовчої роботи засобом спеціальних завдань у дітей формуються уявлення: про те, що за двома певними числовими даними можна відповісти на кілька запитань; про те, що різні задачі можуть мати однакові розв’язання; про неможливість відповісти на запитання задачі, якщо числових даних бракує; про необхідність вибору числових даних для відповіді на запитання задачі; про існування задач, на запитання яких не можна відповісти одразу; про існування задач, що складаються з двох простих задач, які пов’язані за змістом; про те, що аналіз може складатися з двох циклів – кожний з яких відповідає певній з двох простих задач [23, 53].

Традиційно ознайомлення з поняттям “складена задача” здійснюється в 2-му класі на задачах на знаходження остачі, й ці задачі пропонуються учням майже протягом усієї теми. Але учні запам’ятовують спосіб розв’язування і при розв’язуванні нової задачі наслідують його, не звертаючись до розгорнених міркувань. Тому ознайомлення з поняттям “складена задача” та процесом її розв’язування проводиться на різноманітних математичних структурах задач. Такий підхід спонукає учнів до засвоєння дій з розв’язування задачі, а не до заучування плану розв’язування [35, 3].

Формування поняття про складену задачу та ознайомлення з процесом розв’язування складених задач здійснюється за допомогою порівняння задачі з двома запитаннями та відповідної складеної задачі; порівняння простої та складеної задач, які мають однакові умови; вибору необхідних і достатніх ознак для розпізнавання складеної задачі; підведення під поняття “складена задача”; виведення наслідків про належність або неналежність задачі до поняття “складена задача”. Спеціально опрацьовується уміння виконувати аналітичний пошук розв’язування задачі – спочатку до задач подаються готові схеми аналізу, потім – діти повинні самостійно заповнити схему аналізу на картці з друкованою основою, а далі складають її самі. Аналогічно формується вміння розбивати складену задачу на прості та визначати порядок розв’язування простих задач.

Істотним в організації діяльності учнів на етапі ознайомлення з поняттям “складена задача” (або “задача”) є її спрямованість не на розв’язання кожної конкретної задачі, а на оволодіння комплексом умінь, на оволодіння цим поняттям [49, 74].

Формування загального вміння розв’язувати складені задачі реалізується за допомогою систем навчальних задач для 2-го-4-го класів. Навчання розв’язувати складені задачі доцільно здійснювати на різноманітних математичних структурах задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв’язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі або порівняння зі схожими простими задачами, або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури.

Таким чином, досліджується вплив цих змін на розв’язування задачі; задачі нової математичної структури зіставляються з задачами вже відомими, що полегшує їх засвоєння. Крім того, застосовується й такий методичний прийом, коли задача нової структури подається без зіставлення з відомими структурами, що спонукає відтворення повного складу дій, які містить загальне уміння розв’язувати складені задачі.

При формуванні вміння розв’язувати складені задачі в 2-му – 4-му класах учням пропонуються складені задачі різноманітних математичних структур. У 3-му класі проводиться робота з узагальнення поняття “складена задача”, а також математичних структур складених задач на знаходження суми, різниці тощо, школярі вчаться складати обернені задачі; розпочинає формуватися дія синтетичного пошуку розв’язування задачі [18, 21].

На матеріалі задач з пропорційними величинами, на знаходження суми чи різницеве (кратне) порівняння двох добутків або часток основна увага приділяється опрацюванню дій визначення істотних ознак та узагальнення математичної структури і способу розв’язування задач. Дослідження задач відбувається за такими факторами: за зміною групи пропорційних величин; за зміною числових даних; за зміною шуканих задачі; за зміною співвідношень, що задані в задачі: сума значень величини замінюється їх різницевим, а потім й кратним співвідношенням; за зміною величин, для значень яких дано або треба знайти суму, різницеве чи кратне відношення; визначивши вплив цих змін на план розв’язування задач, ми виділяємо істотні ознаки математичних структур задач та узагальнюємо плани їх розв’язування [4, 41].

Усе це слід ураховувати, навчаючи дітей розв’язувати задачі. Один з істотних моментів цього навчання полягає в тому, щоб діти навчилися самостійно виконувати первинний аналіз тексту задачі, відділяючи відоме від невідомого. Важливо, щоб вони вміли не тільки вичленити із задачі числові дані, а й пояснити, що означає кожне з них у контексті, що сказано про те число, яке треба знайти, і т.д. Важливо, щоб у процесі первинного аналізу зверталася увага не лише на виділення даних і шуканого, а й на зв’язки між ними, викладені в тексті задачі.

РОЗДІЛ 2. МЕТОДИЧНА РОБОТА НАД ЗАДАЧАМИ НА ПРОПОРЦІЙНЕ ДІЛЕННЯ

2.1 Види задач на пропорційне ділення та способи їх опрацювання

Задачі, пов’язані з пропорційними величинами, належать до типових задач. Серед типових є задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого і оберненого зведення до одиниці та спосіб відношень), на пропорційне ділення, на знаходження числа за двома різницями.

Розв’язування задач, пов’язаних з пропорційними величинами, ґрунтується на знанні відповідних зв’язків між величинами; наприклад, коли відомі ціна товару, його кількість, то можна знайти вартість, виконавши дію множення [9, 213]. Отже, для успішної роботи над розв’язуванням задач цих видів треба передбачити в підготовчій роботі ознайомлення з новими величинами і розкриття зв’язків між ними.

Задачі на пропорційне ділення вводять у 4 класі. Ці задачі включають дві змінні величини, пов’язані з пропорційною залежністю, і одну сталу, причому дано два або більше значень однієї змінної і суму відповідних значень другої змінної: доданки цієї суми шукані. Відповідно до кожної групи величин, пов’язаних пропорційною залежністю, можна виділити 6 видів задач на пропорційне ділення, чотири з яких – з прямою пропорційною залежністю величин, а дві – з оберненою.

У початкових класах розв’язують задачі на пропорційне ділення лише з прямою пропорційною залежністю величин. Ці задачі наведено в таблиці 2 [3; 7].

Таблиця. Види задач на пропорційне ділення

У початкових класах задачі на пропорційне ділення розв’язують лише способом знаходження сталої величини.

У процесі ознайомлення з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а скласти разом з дітьми із задач на знаходження четвертого пропорційного. Це допоможе дітям побачити зв’язки між задачами цих видів, що швидше приведе учнів до узагальнення способу їх розв’язування.

Учням пропонують скласти задачу за її коротким записом:

Розв’язавши задачу, складену за даною умовою, вчитель записує замість знака запитання число, знайдене у відповіді ( 8 грн.). Потім він пропонує знайти суму чисел, які показують вартість зошитів (20 грн.), і скласти задачу за новою умовою:

Діти складають задачі на пропорційне ділення, ставлячи два запитання:

¾ Скільки заплатив перший покупець?

¾ Скільки заплатив другий покупець?

Учитель пояснює, що ці два запитання можна замінити одним:

¾ Скільки грошей заплатив кожний покупець?

В остаточному вигляді задачу формулюють так: “Два хлопчики купили зошити по однаковій ціні. Перший купив 6 зошитів, а другий 4. Усього вони заплатили 20 грн. скільки грошей заплатив кожний хлопчик?”

¾ Про що треба дізнатися в задачі?

¾ Що означає “кожний”?

¾ Чи можна відразу дізнатися, скільки заплатив перший хлопчик?

¾ Чому не можна?

¾ Чи можна відразу визначити ціну зошита?

¾ Чому не можна?

¾ Чи можна відразу дізнатися, скільки купили зошитів на 20 грн.?

¾ Чому можна?

¾ Що визначимо в першій дії; другій; третій; четвертій?

Розв’язання задачі записують у формі окремих дій з поясненнями. Потім розв’язують готові задачі. У цьому разі треба спочатку розчленити запитання задачі на два запитання, потім з’ясувати, яке з шуканих чисел має бути більше і чому; далі слід перейти до складання плану розв’язування, провадячи міркування від запитання до числових даних. Розв’язання перевіряють, встановлюючи відповідність між числами, знайденими у відповіді, і отримати число, задане в задачі [41, 132].

Можливі й інші підходи до введення задач на пропорційне ділення. Можна, наприклад, почати з розв’язування готових задач, а пізніше виконати роботу щодо перетворення задачі на знаходження четвертого пропорційного в задачу на пропорційне ділення, порівнявши як самі задачі, так і їх розв’язання.

Для узагальнення способу розв’язування розглядають задачі на пропорційне ділення I виду з іншими групами величин, після чого вводять задачі II виду, а трохи пізніше – III і IV видів. При цьому поряд із розв’язуванням готових задач слід включати вправи творчого характеру на складання і перетворення задач [43, 213].

М.В. Богданович [7] пропонує ознайомлювати дітей із задачами на пропорційне ділення у 4 класі. Спочатку учні виконують підготовчі завдання. Підготовка учнів до ознайомлення із задачами на пропорційне ділення складається з таких етапів:

1. Розв'язування задач на дві дії, першою з яких с задача на знаходження суми двох доданків, а друга — на ділення на рівні частини.

Задача. Магазин продав до обіду чотири ящики помідорів, а після обіду — З таких самих ящики. Всього продали 70 кг помідорів. Скільки кілограмів помідорів було в одному ящику?

До обіду                              Після обіду

70 кг

Рис. 1

— Розглянемо умову задачі. (Учень читає.)

¾ Прочитайте запитання задачі. (Учень читає.)

¾ Що сказано про масу помідорів в ящику, проданих до обіду і після обіду? (Маса помідорів в ящику однакова.)

¾ Що треба знати, щоб дізнатися, скільки кілограмів помідорів в одному ящику? (Щоб дізнатися, скільки кілограмів помідорів в одному ящику, треба знати, скільки всього ящиків з помідорами продали і скільки всього кілограмів помідорів продали.)

¾ Чи відомо, скільки всього кілограмів помідорів продали? (Відомо.)

¾ Чи відомо, скільки всього ящиків помідорів продали? (Невідомо.)

¾ Що треба знати, щоб дізнатися, скільки всього ящиків помідорів продали? (Треба знати, скільки ящиків помідорів продали до обіду і скільки після обіду.)

¾ Чи відомо, скільки ящиків помідорів продали до обіду і після обіду окремо? (Відомо.)

¾ Про що дізнаємося спочатку? (Скільки всього ящиків помідорів продали.)

¾ Яку дію треба виконати? (Дію додавання.) Чому треба виконати дію додавання? (Число всіх ящиків помідорів дорівнює сумі чисел 4 і 3.)

¾ Скільки буде? (7.)

¾ Що означає число 7? (7 ящиків з помідорами продали за день.)

¾ Про що дізнаємося тепер? (Скільки кілограмів помідорів в одному ящику.)

¾ Якою дією про це дізнаємось? (Дією ділення.)

¾ Чому треба виконати дію ділення? (У семи ящиках 70 кг помідорів, а в одному ящику — в 7 разів менше.)

¾ Скільки буде? (10.)

¾ Що означає число 10? (В одному ящику 10 кг помідорів.)

2. Розв'язування задач на три дії, першою з яких є задача на знаходження суми двох доданків, друга — на ділення на рівні частини, а третя — на знаходження добутку як суми однакових доданків.

Задача. Магазин продав до обіду 4 ящики помідорів, а після обіду — З таких самих ящики. Всього продали 70 кг помідорів. Скільки кілограмів помідорів продали до обіду (або скільки кілограмів помідорів продали після обіду)?

До обіду — ? кг                   Після обіду

Мал. 2.

— Розглянемо умову задачі.

¾ Ми дізналися, що в одному ящику 10 кг помідорів. Яку дію треба виконати, щоб дізнатися, скільки кілограмів помідорів продали до обіду? (Треба виконати дію множення.)

¾ Чому? (В одному ящику 10 кг помідорів, а в чотирьох ящиках буде 4 рази по 10 кг. Треба 10 помножити на 4, буде 40.)

¾ Що означає число 40? (До обіду продали 40 кг помідорів.)

До обіду                             Після обіду — ? кг

Мал. 3

— Скільки кілограмів помідорів продали після обіду? (30 кг)

¾ Як дізналися? (10 помножили на 3, буде 30.)

¾ Чому виконували дію множення? (В одному ящику 10 кг помідорів, а в трьох ящиках — у 3 рази більше.)

Поступово задачі на пропорційне ділення ускладнюються. Розглянемо пару аналогічних задач. Учні, розв’язавши першу задачу колективно, наступну задачу розв’язують за аналогією.

Задача 1. Для обклеювання однієї кімнати купили 5 рулонів шпалер, а для другої — 3 таких самих рулони. Всього купили 80 м шпалер. Скільки метрів шпалер купили для першої кімнати?

Задача 2. Для обклеювання однієї кімнати купили 5 рулонів шпалер, а для другої—3 таких самих рулони. Всього купили 80 м шпалер. Скільки метрів шпалер купили для другої кімнати?

Для 1-ої кімнати — ? м       Для 2-ої кімнати

Мал. 4.

На дошці записано план розв'язання першої задачі.

1. Скільки всього рулонів шпалер купили?

2. Скільки метрів шпалер в одному рулоні?

3. Скільки метрів шпалер купили для першої кімнати?

—До кожного запитання плану виберіть дію і поясніть, чому таку дію вибрали.

На дошці записано розв'язання другої задачі.

1) 5+3=8;

2)80:8-10;

3)10•3 = 30.

— Поясніть розв'язання другої задачі.

Також учням можна запропонувати таке завдання:

¾ Розглянути малюнок, виконати необхідні обчислення і сказати, скільки олівців в одній коробці (рис. 5).

У процесі аналізу завдання вчитель ставить такі запитання:

¾ Скільки коробок зліва? Справа?

¾ Скільки всього коробок?

¾ Як дізнатися, скільки олівців в одній коробці?

48 олівців

Мал. 5.

Далі учні вчаться розв’язувати задачі на пропорційне ділення самостійно. Розглянемо таку задачу.

Задача. Дівчинка купила 3 зошити для себе і 2 зошити для однокласниці. За всі зошити вона заплатила 1 грн. Скільки грошей має віддати дівчинці однокласниця за зошити?

Задачу пропонують розв'язати самостійно, але перед цим слід з'ясувати, як знайти ціну одного зошита, що треба знати, щоб обчислити вартість покупки.

Розв'язування підготовчих задач активізує діяльність учнів при опрацюванні задач нового типу.

Розглянемо фрагмент уроку на тему "Ознайомлення із задачею на пропорційний поділ", де описана методика опрацювання таких задач.

Учням пропонують розв'язати задачу: "Купили 3 зошити в лінійку і 2 зошити в клітинку за тією самою ціною. За зошити в лінійку заплатили 54 коп. Скільки грошей заплатили за зошити в клітинку?" (за таблицею).

Діти розв'язують задачу окремими діями з поясненням у запитальній формі. У заздалегідь заготовлену таблицю на дошці вчитель записує суму вартостей всіх зошитів, знайдену учнями, і знаки запитання. Учні складають задачу на пропорційний поділ з двома запитаннями:

¾ Скільки грошей заплатили за зошити в лінійку?

¾ Скільки грошей заплатили за зошити в клітинку?".

Вчитель повідомляє, що ці два запитання можна замінити одним.

¾ Чи можна одразу дізнатися, скільки грошей заплатили за зошитив лінійку? (Ні).

—Що треба знати, щоб дізнатися, скільки грошей заплатили за зошити в лінійку? (Ціну зошита і кількість куплених зошитів у лінійку).

—Чи відома кількість зошитів у лінійку? (Відома).

—Чи відома ціна зошита в лінійку? (Невідома).

—Що сказано про ціну зошита в задачі? (Ціна зошита в лінійку і клітинку однакова).

—Чи можна дізнатися, скільки зошитів купили на 90 коп.? (Можна).Складіть план розв'язування задачі.

Далі учням пропонують розв'язати задачу на пропорційний поділ самостійно.

1. За 4 м шовку заплатили 80 грн. Яка ціна 1 м шовку?

80 : 4 = 20 (грн.)

2. У 6 банках 12 л вишневого соку. Скільки літрів соку в 1 банці?

12 □ 6 = □ (л).

1)В одному сувої 12 м сукна, а в другому - 8 м. Скільки метрів сукна у двох сувоях разом? (+).

2)В одному бідоні 10 л молока. Скільки літрів молока у 3 таких бідонах? (•).

Поступово вводяться задачі на пропорційне ділення з іншими трійками величин.

Задача. Двоє мулярів мурували будинок, одержуючи за робочий день однакову плату. Перший муляр працював 2 дні, а другий 3 дні. Скільки грошей одержав кожен муляр, якщо разом вони одержали 500 грн?

Після ознайомлення з умовою вчитель звертає увагу учнів на характер запитання:

— Про що треба дізнатися в задачі? (Скільки грошей одержав кожен муляр).

¾ Що означає вираз «кожен муляр»? (Це означає, скільки грошей одержав перший муляр і скільки другий).

¾ Отже треба знайти відповідь на два окремих запитання:

1) Скільки грошей одержав перший муляр?

2) Скільки грошей одержав другий муляр?

Далі учні розв'язують задачу самостійно, користуючись коротким записом умови.

Задачу учні розв'язують окремими діями. Підсумовуючи роботу, вчитель повторює весь хід міркування, властивий задачам на пропорційне ділення. Для узагальнення способу розв’язування задач на пропорційне ділення корисно практикувати вправи на перетворення задач. Наприклад, можна за задачею на знаходження четвертого пропорційного скласти задачу на пропорційне ділення. Такі вправи допоможуть дітям побачити схоже в способах розв’язування.

2.2 Формування умінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення

У початкових класах учні розв'язують задачі майже на кожному уроці математики, міра навантаження при цьому різна. Для ознайомлення з новими видами задач здебільшого відводяться окремі уроки. Певна частина таких уроків планується також для розвитку вмінь учнів розв'язувати задачі. На уроках, присвячених вивченню нового арифметичного матеріалу чи застосуванню нових знань для розв'язання задач, відводиться в середньому 15-20 хвилин.

При розв'язуванні задачі нового виду учень повинен сприйняти її в цілому, застосувати певні знання чи прийоми обчислень в нових умовах, а також усвідомити нові функції об'єкта. Отже, розв'язування задач — це творчий процес. Враховуючи вимоги, які ставляться щодо проблемного навчання, вчитель має спрямовувати учнів на самостійне розв'язування задач за допомогою відповідних підготовчих вправ чи засобів унаочнення, своєчасно виявляти помилкові міркування в процесі розв'язування і подавати їм допомогу (але не послаблювати вольових зусиль), підтримувати емоційний тонус і впевненість у тому, що кожен з них спроможний самостійно розв'язати задачу.

У підвищенні активності учнів під час розв'язування задач важлива роль відводиться засобам контролю і самоконтролю. Під час ознайомлення та розбору задачі контрольними запитаннями можуть бути такі:

¾ Що відомо в задачі? Що невідомо?

¾ Що означає число, про яке йдеться в задачі?

¾ Чому не можна розв'язати задачу однією дією? Скільки дій треба виконати, щоб розв'язати задачу?

¾ Якого даного не вистачає щоб знайти відповідь на запитання задачі?

У процесі самостійної роботи (після розбору задачі або одразу після ознайомлення з нею) особливе значення має безпосереднє спостереження вчителя за роботою учнів, за їх записами в зошиті. Час, протягом якого учні записують розв'язання, треба повністю відводити для контролю і подання індивідуальної допомоги.

1. Розглянь малюнок і розв'язання задачі.

21 кг

¾ Скільки банок на верхній поличці? (3).

¾ Скільки банок на нижній поличці? (4).

¾ Скільки всього банок? (7).

¾ Яка маса варення в усіх банках? (21 кг).

¾ Як дізнатися, яка маса варення в одній банці? (Всю масу поділити на кількість банок з варенням).

Розв'язання.

1) 3+4 = 7 (б.) - всього банок з варенням;

2) 21 : 7 = 3 (кг) - маса варення в одній банці.

Відповідь: маса варення в 1 банці 3 кг.

2. Розглянь малюнки, склади задачі і запиши розв'язання.

1. Скільки важить одна упаковка з печивом?

35 кг

2. Скільки олівців в одній коробці?

42 олівці

3. Яка ціна 1 метра тканини?

57 грн.

4. Яка ціна одного м'яча?

35 грн.

5. Купили два відрізи однакової тканини. У першому відрізі було 4м, а в другому – 5 м. За обидва відрізи заплатили 72 грн. Скільки грошей заплатили за кожний відріз?

 І - 4 м - ? 72 грн

 ІІ – 5 м - ?

¾ Про що запитується в задачі? (Скільки грошей заплатили за кожний відріз).

¾ Що означає вираз «кожний відріз»? (Це означає, що треба дізнатися, скільки грошей заплатили за перший відріз і скільки за другий).

¾ Отже, треба знайти відповіді на два окремих запитання:

¾ Скільки грошей заплатили за перший відріз?

¾ Скільки грошей заплатили за другий відріз?

¾ Що треба знати, щоб відповісти на ці запитання? (Треба знати ціну одного метра тканини).

¾ Як дізнатися про ціну 1 метра тканини? (Треба вартість усієї тканини поділити на кількість метрів у двох відрізах).

Розглянь розв'язання.

1) Скільки метрів тканини у двох відрізах?

5 + 4 = 9 (м)

2) Яка ціна одного метра тканини?

72 : 9 = 8 (грн.)

3) Скільки грошей заплатили за перший відріз?

8 . 4 - 32 (грн.)

4) Скільки грошей заплатили за другий відріз?

8 - 5 = 40 (грн.)

Відповідь: 32 гривні і 40 гривень.

Перевірка: 32 + 40 = 72 (грн.).

Складаємо вирази: 72 : (5 + 4) • 4 = 32.

72 : (5 + 4) • 5 - 40.

6. Два однакові автомобілі перевезли 119 т вантажу. Перший автомобіль зробив 9 рейсів, а другий - 8. Скільки тонн вантажу перевіз кожний автомобіль?

І – 9 р. - ? 119 т

ІІ – 8 р. - ?

Користуючись зразком, дай відповіді на запитання:

¾  Про що запитується в задачі?

¾  Що означає вираз «кожний автомобіль»?

¾  Отже, на які два окремих запитання треба дати відповіді?

¾ Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі?

¾  Як дізнатися, скільки тонн вантажу перевозить автомобіль за один рейс?

¾  Склади план і запиши розв'язання задачі.

¾  9 + □ = □ (р.) - усього рейсів;

¾  119 : □ = □ (т) - перевозить 1 автомобіль за 1 рейс;

¾  □ • □ = □ (т) - перевіз перший автомобіль;

¾  □ • □ = □ (т) - перевіз другий автомобіль.

Відповідь: 63 т вантажу, 56 т вантажу.

Склади вирази: 119 : (9 + □) • □ = □;

119: (9 + □)•□ = □.

7. З першої ділянки накопали 7 мішків картоплі, а з другої - 8 таких самих мішків картоплі. Всього накопали 750 кг картоплі. Скільки кілограмів картоплі накопали з кожної ділянки?

¾ Про що йдеться в задачі? (Про картоплю, яку накопали з двох ділянок).

¾ Скільки мішків картоплі накопали з першої ділянки? (7).

¾ Скільки мішків картоплі накопали з другої ділянки? (8).

¾ Скільки кілограмів картоплі накопали з двох ділянок? (750 кг).

¾ Про що запитується в задачі? (Скільки кілограмів картоплі накопали з кожної ділянки).

¾ Міркуй далі сам.

¾ Запиши розв'язання задачі і поясни, про що дізналися у кожній дії.

1)□ + □ = □ (м.);

1)□ : □ = □ (кг);

2)□ • □ = □ (кг);

3)□ • □ = П (кг).

Відповідь: 350 кг картоплі, 400 кг картоплі.

¾ Склади вирази: 750 : (□ + □)-□ = 350;

750 :(□ + □)•□ = 400.

8. Пасажирський літак за 2 рейси пролетів 3360 км. Перший рейс він пролетів за 4 год, а другий - за 3 год. Яка довжина кожного рейсу, якщо літак увесь час летів з однаковою швидкістю?

 І – 4 год - ? 3360 км

ІІ – 3 год - ?

Розв'яжи задачу за даним планом.

1)Скільки часу літак був у польоті?

2)Яка швидкість літака?

3)Яку відстань пролетів літак за 4 год?

4)Яку відстань пролетів літак за 3 год?

Відповідь: 1920 км, 1440 км.

Склади вирази: □ : (□ + □)- 4 = 1920;

(□ + □). 4 = 1440.

9. Першого разу на склад завезли 2 вагони бурого вугілля, а другого - 4 таких самих вагони. Всього завезли 96 т. Скільки тонн вугілля завезли кожного разу?

Вказівка. Це задача на три дії.

У першій дії дізнайся, скільки всього було вагонів з вугіллям.

У другій дії дізнайся про масу вугілля в одному вагоні.

Відповідь: 32 т вугілля, 64 т вугілля.

10. На одну підводу поклали 4 мішки жита, а на другу - 3 таких мішки. У мішках було 420 кг жита. Скільки кілограмів жита поклали на кожну підводу? Відповідь: 240 кг жита, 180 кг жита.

11. Петрик купив 2 альбоми, а Івасик - 3 таких альбоми. За всі альбоми вони заплатили 10 грн. Скільки грошей заплатив за альбоми Петрик, а скільки - Івасик?

Відповідь: 4 гривні, 6 гривень.

12. Добери числові дані і розв'яжи задачу.

В одній пачці було □ зошитів, а в другій - □. За всі зошити заплатили □ грн. Скільки окремо грошей заплатили за кожну пачку зошитів?

13. Господиня купила 3 кг яблук для себе і 2 кг для сусідки. За всі яблука господиня заплатила 10 грн. Скільки грошей має віддати сусідка господині?

Відповідь: 4 гривні.

14. Постав запитання і розв'яжи задачу.

Дві групи дітей збирали жолуді. Перша група зібрала 3 мішки жолудів, а друга - 4 таких мішки. Всього діти зібрали 280 кг жолудів. Скільки... ?

Відповідь: 120 кг жолудів, 160 кг жолудів.

15. Відшукай зайві дані і розв'яжи задачу.

За перший день швачка пошила 3 однакових плаття, а за другий день – 2 таких плаття. На всю роботу вона витратила 15 м тканини. На третій день закупили ще 20 м тканини. Скільки метрів тканини витрачала швачка кожного дня?

Відповідь: 9м тканини, 6 м тканини.

Перевірка: □ + □ = □.

16. Склади задачу про однакові ящики з помідорами за коротким записом.

І – 4 ящ. - ? 105 кг

 ІІ – 3 ящ. - ?

Відповідь: 60 кг помідорів, 45 кг помідорів.

17. Склади подібну задачу про дві машини з мішками пшениці.

18. Запиши розв'язання задачі.

Дві бригади зібрали 5 корзин моркви. Перша бригада зібрала 36 кг, а друга - 24 кг. Скільки корзин моркви зібрала кожна бригада?

І – 36 кг - ? 5 корзин

ІІ – 24 кг - ?

1 (+); 2 (:); 3 (:); 4 (:).

Відповідь: 3 корзини моркви, 2 корзини моркви. Перевірка: 3 + 2 = 5.

19. З двох ділянок зібрали 15 мішків картоплі. З першої зібрали 350 кг картоплі, а з другої - 400 кг. Скільки мішків картоплі зібрали з кожної ділянки?

І – 350 кг - ? 15 мішків

ІІ – 400 кг - ?

Відповідь: 7 мішків картоплі, 8 мішків картоплі.

20. Два однакові автомобілі зробили 17 рейсів. Перший автомобіль перевіз 63 т вантажу, а другий - 56 т. Скільки рейсів зробив кожний автомобіль?

Відповідь: 9 рейсів, 8 рейсів.

21. 20 л молока розлили у 4 каструлі і 6 банок. Місткість каструлі і банки однакова. Скільки літрів молока було в банках?

Зміни запитання задачі так, щоб задача розв'язувалася на 4 дії.

Відповідь зміненої задачі: 8 л молока і 12 л молока.

22. Добери умову подібної задачі до запитання:

Скільки літрів бензину заправили в кожний автомобіль?

23. Знайди помилку у розв'язанні задачі і розв'яжи правильно.

Бензин був у 3 каністрах. У перший автомобіль заправили 40 л бензину, а в другий - 20 л. Скільки каністр бензину було заправлено в кожний автомобіль?

Розв'язання.

40 + 20 = 60 (л) - всього бензину;

60 : 3 = 20 (л) - в одній каністрі;

20 : 20 = 1 (к.) - в перший автомобіль;

3 + 1 = 4 (к.) - в другий автомобіль.

Відповідь: □ к. і □ к.

24. Склади задачу за коротким записом і розв'яжи її.

Відповідь: 9 вагонів і 7 вагонів.

Розглянемо задачі на пропорційне ділення з трійкою величин «швидкість», «час», «відстань».

Задача. Автотуристи першого дня проїхали 360 км, другого — 240 км. На весь шлях затратили 10 год. Скільки годин були в дорозі туристи щодня, якщо вони їхали з однаковою швидкістю?

На дошці подано план розв'язання задачі.

1)Скільки кілометрів проїхали автотуристи за 10 год?

2)Скільки кілометрів за годину проїжджали автотуристи?

3)Скільки годин були в дорозі туристи першого дня?

4)Скільки годин були в дорозі туристи другого дня?

— До кожного запитання плану розв'язання задачі виберіть дію.

Розв'яжіть задачу окремими діями без письмового пояснення і запишіть скорочену відповідь. Поясніть розв'язання задачі.

—До першого запитання задачі виберемо дію додавання. Якщо першого дня автотуристи проїхали 360 км, а другого—240 км, то за 10 год вони проїхали число кілометрів, що дорівнює сумі чисел 360 і 240. Буде 600. За 10 год автотуристи проїхали 600 км. Щоб дати відповідь на друге запитання, треба виконати дію ділення. Щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час. 600 поділити на 10, буде 60. Автотуристи проїжджали 60 км/год.

До третього запитання плану задачі треба вибрати дію ділення. Щоб знайти час руху автотуристі в першого дня, треба відстань поділити на швидкість. Першого дня вони проїхали 360 км зі швидкістю 60 км/год. 360 поділити на 60, буде 6. Першого дня автотуристи були в дорозі 6 год. Щоб дати відповідь на четверте запитання задачі, треба виконати дію ділення. Щоб знайти час, треба відстань поділити на швидкість. Другого дня туристи проїхали 240 км зі швидкістю 60 км/год. 240 поділити на 60, бу- де 4. Другого дня автотуристи були в дорозі 4 год.

Розглянемо задачі на пропорційне ділення з іншою трійкою величин.

Задача. Два робітники працювали однакову кількість днів і відремонтували 80 двигунів. Один робітник ремонтував за день 6 двигунів, а другий — 4. Скільки двигунів відремонтував кожен робітник?

На дошці записано розв'язання задачі.

1) 6+4=10;

2) 80:10 = 8;

3) 6•8=48;

4) 4•8 = 32.

Відповідь

— Про що дізнавалися кожною дією?

—У першій дії дізналися про число двигунів, які відремонтували обидва робітники за день. їх число дорівнює сумі чисел 6 і 4. Буде 10.10 двигунів відремонтували обидва робітники за день. У другій дії дізналися про кількість днів, протягом яких ремонтували робітники 80 двигунів. За один день робітники ремонтували 10 двигунів і відремонтували 80 двигунів. Треба дізнатися, скільки разів число 10 вміщується в числі 80. 80 поділити на 10, буде 8.8 днів ремонтували робітники двигуни. Якщо перший робітник за день ремонтував 6 двигунів, то за 8 днів він відремонтував у 8 разів більше. Треба 6 помножити на 8, буде 48. Перший робітник відремонтував 48 двигунів. Якщо другий робітник за годину ремонтував 4 двигуни, то за 8 днів він відремонтує у 8 разів більше. Треба 4 помножити на 8, буде 32. Другий робітник відремонтував 32 двигуни.

Розглянемо задачі на пропорційне ділення з іншою трійкою величин.

Задача 1. Кондитерська фабрика випекла за перший день 640 кг печива, а за другий — 960 кг такого самого печива. Готове печиво розклали в 200 однакових ящиків. Скільки ящиків печива випекла фабрика першого і другого дня окремо?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис розв'язання задачі.

1)Складіть план розв'язання задачі.

2)Скільки кілограмів печива випекла фабрика за 2 дні? Скільки кілограмів печива в одному ящику? Скільки ящиків печива випекла фабрика першого дня? Скільки ящиків печива випекла фабрика другого дня?

3)Розв'яжіть задачу, записавши окремі дії. Запишіть скорочену відповідь задачі.

—Прочитайте відповідь задачі.

Задача 2. Потяг везе 1000 т вантажу. В ньому однакова кількість сорокатонних і шістдесятитонних вагонів. Скільки сорокатонних і шістдесятитонних вагонів окремо було в потязі?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі, на дошці записано початок її розв'язання.

Запис на дошці

1)40 + 60=100; 2)1000:100 = ...;

3)………………..          ;

4)………………… .     

Відповідь.

— Запишіть розв'язання задачі. Поясніть її розв'язання.

Задача 3. З однієї грядки зібрали 16 однакових мішків картоплі, а з другої—4 таких мішки. Маса всієї зібраної картоплі 650 кг. Скільки кілограмів картоплі зібрали з кожної грядки окремо?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі.

На дошці записано вирази: 650: (6 + 4) • 6; 650: (6 + 4) • 4.

— Поясніть, чому ці вирази є розв'язком задачі.

—Якщо з однієї грядки зібрали 6 мішків картоплі, з другої — 4 таких мішків, то число всіх мішків картоплі дорівнює сумі чисел 6 і 4.3 умови задачі відомо, що всього зібрали 650 кг.

Якщо 650 поділити на число всіх мішків картоплі, то знайдемо масу картоплі в одному мішку. Частка від ділення числа 650 на суму чисел 6 і 4 — це маса картоплі в одному мішку.

Помноживши частку числа 650 на суму чисел 6 і 4 на число мішків зібраних з першої грядки, знайдемо масу картоплі, зібраної з першої грядки. Якщо помножити вираз 650 : (6 + 4) на 4, то знайдемо, скільки кілограмів картоплі зібрали з другої грядки.

Задача 4. За перший день у магазин завезли 540 м тканини, а за другий — 460 м такої тканини. Всього в магазин завезли 50 сувоїв тканини.

Скільки сувоїв тканини завезли кожного дня в магазин?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі.

— Користуючись схемою, поясніть, як знайти, скільки сувоїв тканини завезли в перший магазин (в другий магазин).

Значна увага звертається на розв’язування учнями задач на пропорційне ділення ІІІ виду.

Задача. Костюм для дорослого коштує 220 грн., а для дитини — 80 грн. Магазин продав однакову кількість костюмів для дорослих і дітей на суму 2 400 грн. Скільки гривень коштували костюми для дорослих і дітей окремо?

У комплексній змінній таблиці подано скорочений запис задачі.

— Користуючись схемою, розв'яжіть задачу окремим діями без письмового пояснення. Запишіть скорочену відповідь. Прочитайте розв'язання.

Також значна увага звертається на самостійне розв’язування задач учнями.

— Складіть і розв'яжіть задачу за скороченим записом.

Також доцільно при розв’язуванні задач на пропорційне ділення використовувати прийом диференційованого підходу — урізноманітнення вимог до розв'язання задачі на пропорційне ділення, тобто скласти вирази, які будуть розв'язком задачі.

У початкових класах рівень уміння учнів розв'язувати задачі є визначальним для характеристики стану засвоєння математики в цілому. Основні методи перевірки — це усне опитування і письмові роботи учнів. Опитування, в свою чергу, включає: усне розв'язування простих і складених задач, розв'язування задач із записами на дошці чи на окремих аркушах, пояснення розв'язань задач, різні види творчої роботи над задачею (порівняння, складання задач тощо).

2.3 Результати експериментального дослідження

Наше дипломне дослідження особливостей методики навчання молодших школярів розв’язуванню задач на пропорційне ділення мало теоретико-експериментальний характер. У 2007–2008 навчальному році на основі напрацьованої теоретичної інформації реалізувалися основні положення удосконаленої методики розв’язування задач на пропорційне ділення.

Експериментальне дослідження проводилося у Ренівській ЗОШ І-ІІІ ступенів Зборівського району Тернопільської області. Ним було охоплено 40 учнів третіх класів (19 учнів експериментального і 21 учень контрольного).

У процесі розв'язування задач на пропорційне ділення ми використовували такі способи допомоги учням:

1) спрощення одного з варіантів самостійної роботи;

2) індивідуалізація вимог до загального завдання;

3) індивідуальна допомога;

4) додаткові завдання до основного виду роботи.

Спрощення одного з варіантів самостійної роботи полягає у тому, що завдання для самостійної роботи готують у двох однакових за навчальною метою варіантах. Проте в одному варіанті дається легше задача. Це може бути задача, яку вже розв’язували в класі, або аналогічна, де замінено числові значення. При цьому числові дані добираються так, щоб прийоми виконання дій над ними були вже добре засвоєні, оскільки учні повинні зосереджувати увагу не на обчисленні, а на зв’язках між величинами.

Індивідуалізація вимог до загального завдання визначається тим, що для всіх учнів на дошці записується одне завдання, а диференціація здійснюється в процесі інструктажу:

а) до умови задачі ставлять два-три питання. Кожен учень знаходить відповіді на стільки запитань, на скільки зможе. Зрозуміло, що бажано відповісти на всі запитання.

б) урізноманітнення вимоги до розв'язання задачі полягає в тому, що всім учням пропонується одна і та сама задача, причому одразу дається й додаткове завдання до неї. Такими додатковими завданнями можуть бути: розв'язати задачу іншим способом (складанням виразу чи рівняння), скласти і розв'язати обернену задачу, записати план розв'язання, змінити запитання задачі і знайти на нього відповідь.

Індивідуальна допомога передбачає подачу завдань у двох варіантах. В одному з них міститься додаткова інформація, розрахована на допомогу в розв’язанні задачі. Диференціація при цьому реалізується найчастіше через індивідуальні картки:

а) конкретизація задачі – учитель дає учневі вказівку щодо дій, які треба виконати в процесі розв'язування задачі, або дає на картці рисунок до умови задачі чи короткий її запис;

б) початок розв'язування задачі – вчитель дає вказівки щодо початку розв'язування, причому їх слід поєднувати з аналізом задачі і закінчувати виділенням числових даних і запитанням для першої дії;

в) зразок розв'язання – вчитель подає на картці дві задачі одного виду, з яких одну вже розв’язано, і каже: “Прочитай першу задачу. Розглянь її розв'язання. Подумай, що визначили за допомогою першої та другої дій. Прочитай другу задачу і порівняй її з першою. Розв’яжи другу задачу”;

г) подання схеми або плану розв'язання задачі – схему розв'язання задачі здебільшого супроводжують коментуванням кожної дії чи виразу загалом;

д) додаткові пояснення до розв'язання задач – правила, тлумачення деяких залежностей тощо. Наприклад: щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник; щоб скласти обернену задачу, треба одне з даних (яке саме?) вважати невідомим.

На етапі закріплення вміння розв’язувати задачі на пропорційне ділення самостійну роботу учнів початкових класів ми організовували так, як показано на схемі.

Схема

Під час колективного аналізу задачі (І етап) усно складався план її розв’язання. Учні коротко записували розв’язок задачі і показували учителю. Хто правильно зробив записи, виконував завдання І варіанту, хто помилився – працював з учителем над завданнями ІІ варіанту.

Для другого етапу ми підбирали задачі для поступового переходу до самостійного їх розв’язання. На наступних етапах (ІІ-ІV) роботу ми організовували у такий спосіб.

ІІ етап

І варіант. Самостійно запиши в зошит розв’язання задачі за допомогою дій з поясненням.

ІІ варіант. Фронтальна робота. Аналіз подібної задачі (змінено тільки числові дані, щоб полегшити сприймання сюжету задачі). Запис розв’язку з коментуванням.

ІІІ етап

І варіант. Самостійно розв’яжи задачу (змінено сюжет і числові дані).

ІІ варіант. Фронтальна робота. Аналіз подібної задачі (змінено сюжет попередньої задачі) і самостійний запис розв’язування.

ІV етап

І варіант. Склади задачу за схемою і запитанням.

ІІ варіант. Самостійно розв’яжи подібну задачу (змінено сюжет і числові дані).

Відповідно до проаналізованих етапів ми використовували чотири види робіт різного рівня складності:

1)    запис розв’язання задачі;

2)    аналіз і розв’язання задачі;

3)    порівняння задач і їх розв’язання;

4)    складання задач за схемою (таблицею) та їх розв’язання.

Наведемо приклади даних завдань.

І. – Запиши розв’язання задачі.

ІІ. – Проаналізуй задачу і розв’яжи її.

ІІІ. – Порівняй задачі і розв’яжи їх.

Також практикувалося розв’язування задач на пропорційне ділення під час усних обчислень. Наведемо приклади таких завдань.

— Постав запитання до таких задач.

1.      На одній машині 40 мішків картоплі, а на другій - 20. Скільки... ? (+).

2. Маса одного мішка з цукром 50 кг. Яка маса... ? (•)

3. Три олівці коштують 90 к. Яка... ? (:).

ІІ. Правильно добери дію

1.  В одній каністрі 15 л бензину, а в другій - 20 л. Скільки літрів бензину у двох каністрах?

2.  У 4 банках 12 кг варення. Яка маса варення в одній банці?

3.  В одній банці 4 кг варення. Скільки кілограмів варення в 3 таких банках?

4.  Ціна одного олівця 10 к. Яка вартість 6 таких олівців?

5.  В одному мішку 20 кг картоплі, а в другому - на 30 кг більше. Яка маса другого мішка з картоплею?

Ці та багато інших різноманітних задач можна використовувати для усного розв'язання у 4-му класі, для підготовчої роботи, щоб діти краще опанували розв'язання складених задач. Адже для формування вміння розв'язувати задачі на пропорційне ділення важливий кожен етап роботи.

Головне ж методичне правило — не поспішати переходити до нового завдання, поки не вичерпані всі або майже всі дидактичні можливості, закладені в попередньому. Про це вчителю слід пам'ятати протягом усього початкового курсу математики, і заохочувати прагнення дитини до занять, прагнути, щоб вона відчула позитивні емоції від результатів своєї праці.

Ми враховували, що розв'язування задач на пропорційне ділення неможливе без чіткого вміння розв'язувати задачі способом зведення до одиниці. Тобто для того, щоб відповісти на запитання задачі, треба знати величину однієї одиниці (наприклад, ціну, масу одного ящика, продуктивність праці тощо), яка є сталою величиною. Отже, під час розв'язування підготовчих задач у дітей формувалися вміння знаходити однакову величину — величину однієї одиниці за загальними значеннями двох інших величин, що є частиною вміння розв'язувати задачі на пропорційне ділення.

Експеримент проводився у 4-му класі. Тому відповідно до програми даного класу ми розробили систему завдань. Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості знань й умінь молодших школярів. Так, учні експериментального класу значно краще виконали запропоновані завдання, ніж учні контрольного.

Для учнів експериментального і контрольного класів ми пропонували два комплексних варіанти завдань, побудованих відповідно до розробленої нами добірки задач на пропорційне ділення.

Метою розробленої добірки вправ було формування таких умінь:

–    виділення задач на пропорційне ділення серед інших задач;

–    всебічний аналіз задачі;

–    пояснення трійки величин та їх взаємовідношення;

–    пояснення вибору дії;

–    самостійний запис розв’язання задачі даного виду в зошит;

–    розв’язування задач на пропорційне ділення за поданою схемою чи планом розв’язання;

–    порівняння пар задач на пропорційне ділення;

–    складання задач даного виду за таблицею, схемою, малюнком;

–    самостійне розв’язання подібної задачі.

Розроблена нами методика складання диференційованих завдань ґрунтувалася на рівні засвоєння знань. Було виділено три рівні:

1.      Репродуктивний рівень – уміння відтворювати ознаки понять, законів, репродукування відомих способів дій дає змогу розв’язувати завдання за взірцем, що не сприяє формуванню достатньо узагальнених і міцних зв’язків.

2.      Конструктивний рівень – міцно засвоєні алгоритми виконання завдань дають змогу використовувати одержані раніше знання у змінених ситуаціях, що сприяє встановленню одиничних зв’язків між поняттями, поняттям і законом і т. ін. Це, однак, не дає змоги робити глибокі узагальнення, застосовувати знання в нових ситуаціях.

3.      Творчий рівень – міцно засвоєні основні положення дають можливість забезпечити високий рівень узагальнення знань, встановити міжпредметні зв’язки, що, в свою чергую сприяло творчому використанню одержаних знань в нових ситуаціях і дало змогу виявити нові причинно-наслідкові зв’язки, зробити узагальнення і висновки.

Результати формуючого експерименту свідчать, що використання удосконаленої методики позитивно вплинуло на розвиток умінь і навичок учнів експериментального класу розв'язувати задачі на пропорційне ділення. Таким чином, ми отримали результати, що підтвердили наше припущення: уміння і навички учнів експериментального класу розв’язувати задачі на пропорційне ділення краще сформовані в учнів експериментального класу, ніж контрольного (див. діаграму).

Діаграма. Сформованість умінь розв’язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного в експериментальному та контрольному класах (на початку та у кінці експерименту)

Таким чином, експериментальне дослідження показало, що удосконалена методика є ефективною для розвитку умінь і навичок розв'язувати арифметичні задачі на пропорційне ділення.

ВИСНОВКИ

Отже, задачі становлять специфічний розділ програми, матеріали якого учні мають засвоїти, і виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. Проте в учнів середніх класів виникають чималі труднощі під час розв'язування задач на пропорційне ділення, однією з причин чого є недостатня сформованість у початкових класах понять про трійки величин та їх співвідношення.

Термін «задача» у початковому курсі математики вживається в різних значеннях. У найширшому плані задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна. У психологічному аспекті задача – це свідома мета, що існує в певних умовах, а дії — процеси або акти, спрямовані на її досягнення. Під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, створених людським розумом на основі знань про навколишній світ. Арифметичною задачею називають «вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і існує залежність, яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою.

У системі навчання математики учнів початкових класів переважають арифметичні задачі. Робота над цими задачами дає можливість реалізувати ряд функцій у вивченні математики: виховну, розвивальну, дидактичну і контролюючу. Оптимізація навчальних, виховних і розвивальних функцій задач можлива за умови, що учні вже мають певні уявлення про структуру задачі, володіють умінням розв'язувати задачі, які можна використовувати як дидактичний засіб. Задачі складаються на основі матеріалів спостережень за явищами природи, практичної діяльності людей, математичних закономірностей, інколи за казковими, фантастичними сюжетами. Під час складання задачі умова не повинна містити неправильні твердження, числові дані мають бути правдоподібними, реальними, умова і запитання мають бути пов'язані між собою.

Важливим елементом задачі, що дає змогу досягти мети, є розв’язування, тобто процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних логічних правил виводу і особливих правил евристичного характеру. Цей процес складається з таких етапів: аналіз задачі, пошук плану розв'язування; здійснення знайденого плану розв'язування (розв'язання); з'ясування, що здобутий результат задовольняє вимогу задачі (перевірка розв'язання); аналіз розв'язування (з'ясування прийомів розв'язування, розгляд інших способів розв'язування). При цьому виділяють здебільшого такі чотири етапи: ознайомлення із змістом задачі; аналіз задачі і відшукання плану розв'язування; розв'язання задачі; перевірка розв'язування задачі.

У початкових класах розв’язують типові задачі. До типових належать задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого і оберненого зведення до одиниці та спосіб відношень), на пропорційне ділення, на знаходження числа за двома різницями, на знаходження середнього арифметичного. Методика розв'язування типових задач принципово не відрізняється від розгляду будь-яких інших задач нового виду, тобто включає підготовку, ознайомлення і розвиток умінь. Проте деякі особливості роботи над типовими задачами необхідно враховувати, оскільки типові задачі пов'язані з пропорційними величинами. Розв'язування їх ґрунтується на знанні відповідних зв'язків між величинами. Ознайомлення з величинами провадиться одночасно з розкриттям зв'язків між ними. Зв'язки формулюються у вигляді висновків.

Задачі на пропорційне ділення вводять у 4 класі. Ці задачі включають дві змінні величини, пов’язані з пропорційною залежністю, і одну сталу, причому дано два або більше значень однієї змінної і суму відповідних значень другої змінної: доданки цієї суми шукані. Відповідно до кожної групи величин, пов’язаних пропорційною залежністю, можна виділити 6 видів задач на пропорційне ділення, чотири з яких – з прямою пропорційною залежністю величин, а дві – з оберненою. У початкових класах розв’язують задачі на пропорційне ділення лише з прямою пропорційною залежністю величин і лише способом знаходження сталої величини.

У процесі ознайомлення з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а скласти разом з дітьми із задач на знаходження четвертого пропорційного. Це допоможе дітям побачити зв’язки між задачами цих видів, що швидше приведе учнів до узагальнення способу їх розв’язування. Для узагальнення способу розв’язування розглядають задачі на пропорційне ділення I виду з іншими групами величин, після чого вводять задачі II виду, а трохи пізніше – III і IV видів. При цьому поряд із розв’язуванням готових задач слід включати вправи творчого характеру на складання і перетворення задач.

Наше дипломне дослідження особливостей методики навчання молодших школярів розв’язуванню задач на пропорційне ділення мало теоретико-експериментальний характер. У процесі розв'язування задач на пропорційне ділення ми використовували удосконалену методику розв’язування таких задач. Для учнів експериментального і контрольного класів ми пропонували два комплексних варіанти завдань, побудованих відповідно до розробленої нами добірки задач на пропорційне ділення. Метою розробленої добірки задач формування таких умінь: виділення задач на пропорційне ділення серед інших задач; всебічний аналіз задачі; пояснення змісту трійок величин; пояснення вибору дії; самостійний запис розв’язання задачі даного виду в зошит; розв’язування задач на пропорційне ділення за поданою схемою чи планом розв’язання; порівняння пар задач на пропорційне ділення; складання задач даного виду за таблицею, схемою; самостійне розв’язання подібної задачі.

Робота, яка проводилася нами в експериментальному класі, позитивно вплинула на підвищення якості математичних знань й умінь молодших школярів, тобто учні експериментального класу значно краще виконали запропоновані завдання, ніж учні контрольного. Результати формуючого експерименту свідчать, що використання запропонованої системи задач позитивно вплинуло на розвиток умінь і навичок учнів експериментального класу розв'язувати задачі на пропорційне ділення. Отримані результати констатуючого експерименту підтвердили гіпотезу, що використання удосконаленої методики розв’язування задач на основі врахування потенційних можливостей досвіду молодших школярів позитивно вплинули на формування умінь учнів експериментального класу розв'язувати задачі даного виду.

Таким чином, використання удосконаленої методики розв’язування задач на пропорційне ділення є ефективним засобом формування умінь і навичок розв’язувати задачі загалом. При цьому підвищується продуктивність уроку, його організація сприяє створенню найкращих умов для активізації навчально-пізнавальної діяльності школярів, поглиблює знання з математики і сприяє розвитку пізнавальних інтересів молодших школярів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.   Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М. Моро, А. Пышкало. – М.: Просвещение, 1977. – 342 с.

2.   Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект. – М.: Педагогика, 1977. – 314 с.

3.   Бантова М.О. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Вища школа, 1982. – 288 с.

4.   Басангова Р.Е. Стимулювання пізнавальної діяльності учнів в ході розв’язування задач // Поч. школа. – 1989. – №1. – С. 40-44.

5.   Белова Е.С. Развитие диалога в процессе решения школьниками мыслительных задач // Вопр. психологии. – 1991. – №2. – С. 148-153.

6.   Богданович М.Б. Дидактичний матеріал з математики для 3-го класу. – К.: Рад. школа, 1977. – 34 с.

7.   Богданович М.Б. Методика розв’язування задач у початковій школі. – К.: Вища школа, 1990. – 183 с.

8.   Богданович М.Б., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. пос. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2001. – 368 с.

9.   Богданович М.В. Математика: Підручник для 3 кл. чотириріч. поч. шк. – К.: Освіта, 1994. – 224 с.

10.                  Богданович М.В. Математика: Підручник для 4 кл. чотириріч. поч. шк. – К.: Освіта, 1994. – 226 с.

11.                  Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Пос. для вчителя. – К.: Рад. школа, 1990. – 192 с.

12.                  Василенко І.З. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Просвіта, 1971. – 376 с.

13.                  Возрастные возможности усвоения знаний / Под. ред. Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова. – М.: Педагогика, 1966. – 232 с.

14.                  Вопросы дидактики и психологии начального обучения / Под. ред. Б.Г. Ананьева. – Л.: Лен. НИИ пед. АПН РСФСР, 1959. – 98 с.

15.                  Газдун М.І. Як учити молодших школярів розв’язувати задачі // Поч. школа. – 1988. – №11. – С. 70-72.

16.                  Глушков И.К. Дифференцированная работа над задачами // Нач. школа. – 1985. – №2. – С. 34-35.

17.                  Гнеденко Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики // Матем. в школе. – 1991. – 31. – С. 3-9.

18.                  Гора Т., Логачевська С. Диференційований підхід до розв'язування текстових задач // Поч. школа. – 2002. - №1. – С. 17-22.

19.                  Друзь Б.Г. Творчі вправи з математики для початкових класів. – К.: Рад. школа, 1988. – 144 с.

20.                  Заїка А., Богданович М. Учням про задачу і процес її розв’язування // Початкова школа. – 2000. – № 11. – С. 28-29.

21.                  Занков Л.В. Беседы с учителем: Вопросы обучения в начальных классах. – М.: Педагогика, 1970. – 142 с.

22.                  Захарова А.М. Розвивальне навчання математики в початковій школі // Психол. і педагогіка. – 2000. – №1. – С. 21-27.

23.                  Истомина Н.Б., Шикова В.Н. Формирование умений решать задачи различными способами // Нач. школа. – 1985. – №9. – С. 50-54.

24.                  Король Я.А. Математика в початкових класах: Культура усного і писемного мовлення. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2000. – 160 с.

25.                  Король Я.А. Піднесення культури математичної мови // Поч. школа. – 1995. – №1. – С. 11-12.

26.                  Король Я.А. Практикум з методики викладання математики в початкових класах. – Тернопіль: Мандрівець, 1998. – 136 с.

27.                  Король Я.А. Розв’язування текстових задач різними способами // Актуальні проблеми розбудови національної освіти. Ч. ІІІ. – К.-Херсон, 1997. – С. 76-78.

28.                  Король Я.А. Формування практичних умінь і навичок на уроках математики. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2000. – 136 с.

29.                  Король Я.А., Чайка Н.М. Вдосконалення методики роботи над задачами геометричного змісту // Поч. школа. – 1995. – №10-11. – С. 19-22.

30.                  Корчевська О.П., Козак М.В. Робота над математичними задачами в 4 класі. Поурочні розробки. – Тернопіль: Астон, 2002. – 204 с.

31.                  Кочина Л., Листопад Н. Математика: навчальні програми для чотирирічної початкової школи // Поч. школа. – 2001. – №7. – С. 17-20.

32.                  Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968. – 204 с.

33.                  Кухар В.М., Паюл В.М. Скорочений запис задач // Початкова школа. – 1978. – №4. – С. 44-48.

34.                  Литовченко З.М. Карапузова Н.Д. Культура усного мовлення на уроках математики // Поч. школа. – 1984. – №2. – С. 31-34.

35.                  Логачевська С., Каганець Т. Вчись розв’язувати задачі: Практичний посібник для 4 (3) класу. – К.: Початкова школа, 2001. – 160 с.

36.                  Маркова А.А. Формирование мотивации обучения в школьном возрасте. – М.: Педагогика, 1983. – 124 с.

37.                  Матюша І.К. Гуманізація виховання і навчання в загальноосвітній школі. – К.: Просвіта, 1995. – 122 с.

38.                  Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М.: Просвещение, 1965. – 268 с.

39.                  Методы начального обучения математике. Сб.статей / Под ред. Л.Н. Скаткина. – М.: Просвещение, 1975. – 284 с.

40.                  Методика начального обучения математике / Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Мн.: Асвета, 1988. – 268 с.

41.                  Методика начального обучения математике / Под ред. Л.Н. Скаткина. – М.: Просвещение, 1972. – 340 с.

42.                  Моро М.И. Карточки с арифметическими задачами для 3-го класса. – М.: Просвещение, 1972. – 36 с.

43.                  Моро М.И., Пишкало А.М. Методика навчання математики в 1-3 класах. – К.: Рад. школа, 1979. – 376 с.

44.                  Мринська В.І., Лисицина Н.В. Уроки з математики для 1-го і 3-го класів малокомплектної школи. – К.: Рад. школа, 1975. – 160 с.

45.                  Начальное обучение математике в зарубежных школах / Под ред. Л.Н.Скаткина. – М.: Педагогика, 1973. – 168 с.

46.                  Обучение в III классе / Сост. Горецкий В.Г., Сунцов Н.С. – М.: Просвещение, 1975. – 114 с.

47.                  Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. – К.: Рад. школа. – 1989. – 192 с.

48.                  Основы методики начального обучения / Под ред. Пчелко А.З. – М.: Просвещение, 1975. – 240 с.

49.                  Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики // Нач. школа. – 2000. – №11. – С. 74.

50.                  Пенліченко О.І. Питання методики дидактичних досліджень. – К.: Вища школа, 1992. – 157 с.

51.                  Поляк Г.Б. Як навчати розв’язуванню задач у початковій школі. – К.: Освіта, 1952. – 194 с.

52.                  Пчолко О.С. та ін. Математика у 3 класі. Посібник для вчителів. – К.: Рад. школа, 1975. – 160 с.

53.                  Савченко О.Я. Дидактика початкової школи. – К.: Абрис, 1997. – 416 с.

54.                  Савченко О.Я. Реформування змісту початкової освіти // Поч. школа. – 1996. – №1. – С. 4-8.

55.                  Савченко О.Я. Сучасний урок в початкових класах. – К.: Магістр-S, 1996. – 384 с.

56.                  Сорокин П.И. Занимательные задачи про математике. С решениями и методическими указаниями. Пос. для детей 1-4 кл. – М.: Просвещение, 1977. – 170 с.

57.                  Скаткин Л.Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач. – М.: Учпедиз, 1963. – 200 с.

58.                  Статкевич В.В. О начальном обучении решению задач. – Мн.: Нар. Асвета, 1970. – 346 с.

59.                  Царёва С.Е. Виды работ с задачами на уроке математики // Нач. школа. – 1990. – №10. – С. 37-42.

60.                  Царёва С.Е. Приемы первичного анализа задачи // Нач. школа. – 1985. – №9. – С. 46-49.

61.                  Чекмарёва Т.К. Задания к учебнику математики для 3 класса. Пос. для малокомпл. школы. – М.: Просвещение, 1975. – 90 с.

62.                  Шевченко А. Розв’язування задач різними способами // Поч. школа. – 2000. – №7. – С. 22-25.

63.                  Шмырёва Г.Г. Дифференцированные задания при работе над ошибками в решении задач // Нач. школа. – 1986. – №2. – С. 34-35.

64.                  Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. – М.: Педагогика, 1988. – 340 с.