Курсовая работа: Діафантові рівняння

Міністерство освіти і науки України

Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова

Фізико-математичний інститут

Кафедра вищої математики

Курсова робота на тему:

«Діофантові рівняння»

Виконала:

Студентка 22 МІ групи

Приблуди Ірини Андріївни Науковий керівник:

Канд. фізико-математичних них наук

доцентВерпатова Наталія Юріївна

 Комісія: 1. _______________________________

2.                                                                                   

3.                                                                                   

Оцінка:                                                                    

Київ 2010

План

Вступ

Розділ І. Загальні теоретичні відомості

1.  Лінійні діофантові рівняння.

2.  Невизначені рівняння вищих порядків.

2.1 Рівняння. Піфагорові трійки

2.2 Рівняння Ферма

2.3 Невизначене рівняння третього порядку

2.4 Рівняння Лежандра

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

1.  Розв’язування лінійних діофантових рівнянь.

2.  Розв’язування діофантових рівнянь вищих порядків.

Висновок

Література

Вступ

Діофант представляє одну із найцікавіших особистостей в історії математики. Ми не знаємо, ким був Діофант, точні роки його життя, не відомі його попередники, які працювали у тій же сфері, що й він.

Дуже цікавою є діяльність Діофанта. До нас дійшло 7 книг із 13, які були об’єднані в «Арифметику». Стиль і зміст цих книг дуже відрізняється від класичних книг з теорії чисел та алгебри, зразки яких ми знаємо з «Начал» Евкліда, лем Архімеда і Аполлонія. «Арифметика», безсумнівно, є результатом багаточисленних досліджень, велика кількість з яких залишилась нам невідомою.

«Арифметика» Діофанта – це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких має розв'язок і необхідні пояснення. В збірник входять різноманітні задачі, і їх розв’язки дуже часто не так просто зрозуміти. Діофант практикувався у знаходженні розв’язків невизначених рівнянь вигляду 𝐴 , або систем таких рівнянь. Його цікавили тільки додатні цілі числа і раціональні розв’язки. Ірраціональні розв’язки він називав «неможливими» і ретельно підбирав коефіцієнти так, щоб отримати шукані додатні, раціональні розв’язки.

Тому ,зазвичай, довільне невизначене рівняння (але, як правило, з цілими коефіцієнтами)називають «діофантовим», якщо хочуть наголосити на тому, що рівняння слід розв’язувати в цілих числах.

Невизначені рівняння першого степеня почали розглядати математики, приблизно в V столітті. Деякі такі рівняння з двома, трьома невідомими з’явились у зв’язку з проблемами, які виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, пов’язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ.

В 1624 році була опублікована книга французького математика Баше де Мезирьяка , у якій для розв'язку рівняння 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 фактично застосовується процес, що зводиться до послідовного визначення неповних часткових підхідних дробів.

Після Баше в XVII і XVIII століттях різні алгоритми для розв'язку невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер та інші математики.

Ланцюгові дроби для розв'язку таких рівнянь були застосовані вперше Лагранжем. Пізніше діофантові рівняння стали записувати і розв’язувати у формі конгруенцій.

У серпні 1900 року в Парижі відбувся ІІ міжнародний конгрес математиків. 8 серпня Д. Гільберт прочитав на цьому конгресі доповідь «Математичні проблеми». Серед 23 проблем, розв'язок яких, як вважав Гільберт, було необхідно отримати в наступному XX столітті , десяту проблему він сформулював наступним чином:

«Нехай задано діофантове рівняння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можна після скінченного числа операцій встановити, чи розв’язне це рівняння в цілих числах ».

Гіпотезу, що такого способу не існує, першим сформулював (з вагомими на те доказами) американський математик М. Девіс у 1949 році. Доведення цієї гіпотези затягнулося на 20 років – останній крок був зроблений в 1970 році Юрієм Володимировичем Мятиясеєвичем , на першому році аспірантури він показав алгоритмічну нерозв’язність 10 –ї проблеми Гільберта.

Проте, якщо про довільне діофантове рівняння не можна сказати чи має воно цілі корені, чи не має, то проблема існування цілих коренів лінійного діофантового рівняння розв’язана.

Курсова робота складається з двох розділів. У першому розділі розглядаються лінійні діофантові рівняння, основні теореми, що дають можливість знаходити розв’язки цих рівнянь або визначати їх кількість, а також деякі невизначені рівняння вищих порядків , що розв’язуються в цілих додатних числах за відомими алгоритмами.

У другому розділі наведені приклади лінійних діофантових рівнянь, рівнянь другого і третього порядку, показані різні методи їх розв’язання. Застосовується техніка від розгляду елементарних конгруенцій до використання більш тонких результатів теорії алгебраїчних чисел. В додаток до доведень існування чи не існування розв’язків ми отримуємо також результати про їх кількість.

Розділ І. Загальні теоретичні відомості

§1.Лінійні діофантові рівняння

Діофантовим рівнянням першого степеня з 𝑛 невідомими називається рівняння вигляду

=𝑏, (1)

де всі коефіцієнти і невідомі – цілі числа і хоча б одне

Розв’язком діофантового рівняння (1) називається комплекс цілих чисел , які задовольняють це рівняння.

Якщо рівняння (1) однорідне, то відмінний від (0, … ,0) розв'язок називається нетривіальним. Розв'язок рівняння (1) в раціональних числах називається раціональним.

Теорема 1.

При взаємно простих коефіцієнтах  діофантове рівняння

=1 (2)

має розв’язки в цілих числах.

Доведення.

Позначимо через М множину тих додатних цілих чисел 𝑏, для яких рівняння

=𝑏

Має розв’язки в цілих числах. Множина М, очевидно, не порожня, оскільки при заданих  можна підібрати цілі значення, так щоб  було додатним числом.

В множині М існує найменше число, яке ми позначимо через 𝑑 (𝑑). позначимо через , цілі числа такі, що

=𝑑.

Нехай =𝑏𝑞+𝑟, де ; тоді

.

Ми підібрали цілі значення: , такі, що = 𝑟, але , а 𝑑 – найменше додатне число в М, тобто 𝑟 не може бути додатним, 𝑟.

Аналогічно отримуємо.

Ми бачимо, що 𝑑 – спільний дільник чисел . Отже, оскільки () = 1, 1, 𝑑 = 1, 1, то рівняння (2) розв’язне в цілих числах. Теорему доведено.

Теорема 2

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник коефіцієнтів . Діофантове рівняння

=1

має розв’язки тоді і тільки тоді, коли 𝑏. Кількість розв’язків такого рівняння дорівнює нулю, або нескінченності.

Доведення.

 Доведемо послідовно три твердження теореми.

1)  Нехай 𝑏. Для рівняння

 існують цілі числа:  , які задовольняють його, тобто такі, що

Тоді

тобто

2)  Нехай тепер . Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях  ділиться на 𝑑, а права частина на 𝑑 не ділиться, так, що рівність (2) при цілих значеннях  неможлива.

3)  Якщо  - набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори  при  також задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде розв’язків , або їх буде безліч.

Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то 𝑑 = 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв’язків.

Приклад.

1.  Діофантове рівняння  не має розв’язків , бо у даному випадку 𝑑 = 3 і 100 не ділиться на 3.

2.  Діофантове рівняння  має нескінченну кількість розв’язків, оскільки 𝑑 = 1.

Теорема 3.

Якщо  задовольняє конгруенцію

,

то  є розв’язком діофантового рівняння

 (4)

Доведення.

Із  випливає, що  - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що

Теорема 4.

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник чисел 𝑎 і 𝑏, де  і  - деякий розв'язок діофантового рівняння:

Тоді множина розв’язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел (), де , а 𝑡 – будь-яке ціле число.

Доведення.

Нехай  - довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто  (5)

за умовою  задовольняють рівняння (4), тобто  

віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на 𝑑, отримаємо:

де  і  – цілі числа. Тоді , причому, маємо , , , де 𝑡 – деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення  в (5), отримаємо:

звідки .

Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:

, ,

де 𝑡 – деяке ціле число.

Обернене твердження також правильне. Нехай  такий набір пар чисел, що

, .

Безпосередня перевірка показує, що

Тобто  - розв'язок діофантового рівняння (4).

Зауваження.

Теорема правильна і тоді, коли 𝑎 і 𝑏 дорівнюють нулю. Наприклад, при , тобто у випадку рівняння , отримуємо  і при  для 𝑦 існує єдине значення , а 𝑥 – довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді , , і при будь-якому 𝑡 такі  задовольняють рівняння .

Приклад.

Розв’язати рівняння

У цьому рівнянні (50, 42) = 2. 34. Розглянувши конгруенцію знаходимо:

, так що 25.

Будь-який розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд:

§2. Невизначені рівняння вищих порядків

2.1 Рівняння . Піфагорові трійки

Розв'язок невизначеного рівняння  в цілих числах.

Можна взяти 𝑥, 𝑦, 𝑧 такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б одразу скоротити обидві частини рівняння  на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що 𝑥, 𝑦, 𝑧 є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад 𝑥, 𝑦 ділились на , то і 𝑧 ділилось би на 𝑑. Таким чином, одне з чисел 𝑥, 𝑦 повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному випадку, якщо б , то ділилось на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо . Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).

Нехай 𝑥 – парне, 𝑦 – непарне, тоді 𝑧 – непарне. Візьмемо

отримаємо .

𝑡 і 𝑢 – взаємно прості. Дійсно, якщо 𝑡 і 𝑢 мали спільний множник , то 𝑑 містився б в , а це неможливо, бо 𝑦 та 𝑧 є взаємно простими.

Тому 𝑡 та 𝑢 повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо

Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо

Але так як 𝑡 та 𝑢 взаємно прості, то для кожного 𝑖 одне із чисел  дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел 𝑡 та 𝑢 парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:

Звідси

 (5)

Таким чином кожен розв'язок рівняння  у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді (5), де  - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше 𝑦 і були б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа

 різної парності, числа 𝑥, 𝑦, 𝑧 – складені з них по формулам (5) і дають розв’язки рівняння  у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все

Крім того , якщо б 𝑦 та ділились на просте число 𝑑, то також
 ділись би на 𝑑, і так, як 𝑑 не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел , 𝑦 і 𝑧 непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов’язково ділиться на цей простий дільник, випливає ,що  повинні ділитися на 𝑑, а це суперечить тому, що числа є взаємно простими. Отже, 𝑦 та 𝑧, а також і вся трійка 𝑥, 𝑦,𝑧 – взаємно прості.

Таким чином формули (5) при взаємно простих  різної парності, дають всі розв’язки рівняння  у взаємно простих цілих числах.

Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.

Доведемо наступну теорему:

Теорема 5.

Рівняння  не має розв’язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння  не має відмінних від нуля цілих розв’язків.

Доведення.

Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв’язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв’язків повинна існувати така, для якої 𝑧 приймає найменше можливе значення. Покажемо, що 𝑥 та 𝑦 при цьому взаємно прості. Дійсно, якби 𝑥 і 𝑦 мали спільний дільник 𝑑, то 𝑧 ділилось би на 𝑑 і цілі числа  давали б систему розв’язків з меншим 𝑧.

 Як і в попередньому дослідженні рівняння , впевнюємось в тому, що із пари чисел 𝑥, 𝑦 одне повинне бути парним, а друге непарним.

Нехай 𝑥 – парне. На основі виведених вище формул (5) маємо

Причому 𝑢 і 𝑣 – взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо 𝑢 було парним, 𝑣 – непарним, то  мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4𝑚+1. Тому , і так як і 𝑢 та 𝑞 взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що

де 𝑠 і 𝑟 взаємно прості, причому 𝑟 непарне.

Рівність , перепишемо тепер у вигляді

,

де  та 𝑦 взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що

 а це в поєднанні з іншою рівністю дає .

Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим 𝑧, що суперечить припущенню про мінімальність 𝑧.

Піфагорові трійки.

Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із загальновідомою теоремою Піфагора – прямокутний, оскільки .

Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, які задовольняють відношення:

.

Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому 𝑎 і 𝑏 називають катетерами, 𝑐 – гіпотенузою.

Зрозуміло, що якщо 𝑎, 𝑏, 𝑐 є трійкою піфагорових чисел, то і 𝑝𝑎, 𝑝𝑏, 𝑝𝑐, де 𝑝 – цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.

Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник 𝑝).

Покажемо, що в кожній із таких трійок 𝑎, 𝑏, 𝑐 один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.

Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета 𝑎 та 𝑏 парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза 𝑐. Це, суперечить тому, що числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2𝑥+1 та 2𝑦+1, то сума їх квадратів рівна

тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.

Отже із катетів 𝑎, 𝑏 один парний, а інший непарний. Тому число  непарне, а значить непарна і гіпотенуза 𝑐.

Припустимо, для визначеності, що непарним є катет 𝑎, а парним 𝑏. Із рівності

.

ми легко отримаємо:

.

Множники , правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума

І різниця

І добуток

Тобто числа 2𝑐, 2𝑏, і 𝑎 мали б спільний множник. Так як 𝑎 непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, чого бути не може.

Отримана суперечність показує, що числа  взаємно прості.

Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд

Де 𝑚 та 𝑛 – деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких 𝑚, 𝑛 ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях 𝑚 та 𝑛:

Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.

2.2 Невизначене рівняння Ферма

Розглянемо тепер рівняння вигляду  (6).

Рівняння (6) називають невизначеним рівнянням Ферма, яке має велике значення у всій теорії діофантових рівнянь. Ми доведемо, що при кожному натуральному значенні 𝐷, відмінному від повного квадрата, це рівняння має нескінченно багато розв’язків в цілих числах, і знайдемо загальний метод знаходження всіх його розв’язків.

Теорема 6.

Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число і  () – розв'язок діофантового рівняння (6), тоді  є чисельником і знаменником відповідно одного із підхідних дробів до .

Доведення. Із  випливає, що  і

,

Тобто  – однин із підхідних дробів до . Оскільки  , що задовольняють рівняння (6) є взаємно простими числами, то із рівності

випливає: =.

Розклад  в ланцюговий дріб в загальному виглядає так:

 (7)

Виявляється, що розв’язками рівняння (6) можуть бути чисельники і знаменники тільки тих підхідних дробів  до  у яких індекс 𝑠 має вид .

Теорема 7.

Якщо () – розв'язок діофантового рівняння (6), то , де  - підхідний дріб до .

Доведення. В попередній теоремі було доведено, що якщо пара цілих додатних чисел є розв’язком рівняння (6), то =, де  - підхідний дріб до . Число  є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами

. (8)

Повний частковий  розклад  в ланцюговий дріб є коренем деякого квадратного рівняння

з тим же дискримінантом, як у рівнянні (8) (при  ) маємо:

;

 - парне число, яке позначимо - 2. Розв’язуючи квадратне рівняння для  ,отримаємо  , тобто розклад  в ланцюговий дріб повинен мати той же період, як і в розкладі (7) числа і відрізняється від нього тільки на перший член розладу. Це може бути тільки при , ,  . Тепер залишається тільки вияснити, які саме з чисел  є розв’язками рівняння (6).

Теорема.

Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число, 𝑘 – довжина періоду розкладу  в ланцюговий дріб. Ми отримаємо всі розв’язки рівняння (6) в цілих додатних числах 𝑥 та 𝑦, якщо візьмемо:

де 𝑛 – довільне натуральне число, таке, що 𝑘𝑛 парне.

Доведення.

В попередній теоремі було встановлено, що всі цілі додатні розв’язки рівняння (6) знаходяться серед пар вигляду . Залишається тільки вияснити, при яких 𝑛 числа  задовольняють рівняння (6).

врозкладі  в ланцюговий дріб має вигляд:

,

тобто  (8).

Так, що підставляючи значення із формули (8), отримаємо:

 (9)

Оскільки  - ірраціональне, із рівності (9) випливає:

Помноживши першу з цих рівностей на , а другу на  і віднявши їх, отримаємо:

Пара ,  буде розв’язком рівняння (6) тоді і тільки тоді, коли , тобто при парних значеннях 𝑘𝑛. Найменшими додатними значеннями , які задовольняють рівняння Ферма (6) є:

, якщо 𝑘 парне.

, якщо 𝑘 непарне.

Приклад. 1) знайти найменші цілі додатні значення 𝑥, 𝑦, які задовольняють рівняння

Розкладаючи  в ланцюговий дріб, отримуємо:

У даному прикладі 𝑘 = 6 – парне число, тому ,  - шукані значення 𝑥 та 𝑦. Обчислюючи , знаходимо , .

2) знайти найменші цілі, додатні значення 𝑥, 𝑦, які задовольняють рівняння

Розкладаючи в ланцюговий дріб  отримуємо:

У цьому прикладі 𝑘=5, найменше парне 𝑘𝑛 дорівнює 10, тому шукані значення , . Обраховуючи, отримуємо , .

Аналогічно до рівняння (6) можна розв’язати рівняння

. (10)

Теореми доведені для рівняння (6) справедливі і для рівняння (10), але замість умови парності 𝑘𝑛 , треба поставити умову 𝑘𝑛 не ділиться на 2. Таким чином, при парних значеннях 𝑘 діофантове рівняння (10) не має розв’язків.

2.3 Невизначене рівняння третього степеня

Сума кубів трьох цілих чисел може бути кубом четвертого числа. Наприклад,

Це означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.

Спробуємо знайти таке ж відношення, тобто поставимо задачу: знайти розв’язки рівняння . Зручніше позначити невідоме 𝑢 через . Тоді рівняння буде мати більш простий вигляд

.

Розглянемо прийом, що дозволяє знайти безліч розв’язків цього рівняння в цілих (додатних та від’ємних)числах. Нехай 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 та 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 – дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число 𝑘, і спробуємо підібрати число 𝑘 так, щоб отримані числа

також задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо 𝑘 таким чином, щоб виконувалась рівність

.

Розкривши дужки і знаючи, що 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 та 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності

, ,

ми отримаємо:

Або

Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для 𝑘. Перше значення, 𝑘=0, нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для 𝑘:

Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на 𝑘, де 𝑘 має вище вказане значення.

Для того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо – (3, 4, 5, ). За другу четвірку можна взяти числа , які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:

Тоді для 𝑘 ми отримаємо наступне значення:

а числа

будуть відповідно дорівнювати

Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння

.

Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких 𝑟 та 𝑠 ) наступні числа:

В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи 𝑟 та 𝑠 різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв’язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при 𝑟=1, 𝑠=1 отримуємо для 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 наступні значення: 36, 6, 48, , або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,

.

2.4 Теорема Лежандра

Розглянемо невизначене рівняння  (11). Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:

Теорема 8.

Якщо 𝑎, 𝑏 і 𝑐 – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння

Має нетривіальні розв’язки в цілих числах 𝑥, 𝑦 і 𝑧, тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції

 (12)

Доведення.

Необхідність умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.

Нехай 𝑝 – довільний непарний простий дільник числа 𝑐. Тоді із (12) випливає, що конгруенція  маж нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма  розкладається по модулю 𝑝 на лінійні множники:

 .

Такий же розклад правильний для форми , тобто має місце рівність

 , (13)

де  - цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎 і 𝑏, а також 𝑝 = 2, так, як

.

Знайдемо тепер такі лінійні форми , щоб виконувались рівності

Для всіх простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎, 𝑏 і 𝑐. Тоді із рівності (13) отримаємо

 , (14)

Будемо надавати змінним  цілі значення, які задовольняють умови

 (15)

Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок  (для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа 𝑎, 𝑏 і 𝑐 є взаємно простими, випливає що не всі числа , , будуть цілими. Значить, число наборів (𝑥, 𝑦, 𝑧), що задовольняють умови (15), строго більше, ніж  . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма  при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (𝑥, 𝑦, 𝑧) з умовою (15) більше числа лишків по модулю 𝑎𝑏𝑐, то для двох різних наборів (, , ) і (, , ) маємо

𝑙(, , )

Звідси, в силу лінійності форми , отримаємо, що при , ,  виконується конгруенція

𝑙(, , ).

Відповідно до (14),

 (16)

Оскільки для наборів (, , ) і (, , ) виконується (15), то

 ,

Значить,

Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли

або коли

Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, (, , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв’язку рівняння (11) випливає із тотожності

Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

§1. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь

Задача1. Розв’язати лінійне діофантове рівняння:

3𝑥.

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розв’язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними 𝑥 та 𝑦.

Знаючи, що 𝑥 та 𝑦 є цілими і додатними розв’яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:

,

звідки

.

Оскільки 𝑥, 6 і 𝑦 – цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що  є цілим числом. Позначимо його буквою 𝑡. Тоді

,

де

 ,

і значить,

Із останнього рівняння визначаємо 𝑦:

.

Оскільки 𝑦 та 𝑡 – цілі числа, то і  повинно бути деяким цілим числом . Тоді,

,

причому

звідки

+1.

Значення +1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для 𝑥 та 𝑦 ми знайшли представлення:

,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розв'язок рівняння , має вигляд , , де  - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому  ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення 𝑥 та 𝑦 в початкове рівняння.

Оскільки , то і

,

З цих нерівностей знаходимо:

Цим самим величина  обмежується; вона більша за  (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для 𝑥 та 𝑦 будуть такими:

,

Формули для  визначають розв’язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Задача2. Розв’язати систему лінійних діофантових рівнянь:

Розв'язок:

Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:

Знаходимо 𝑦:

Очевидно,  - ціле число. Позначимо його через 𝑡. Маємо:

Підставляємо вирази для 𝑦 та 𝑧 у друге із початкових рівнянь:

Отримаємо:

Так як  неважко встановити межі для 𝑡:

,

З цього можемо зробити висновок, що для 𝑡 можливі тільки два цілих значення: 𝑡=0, 𝑡=1.

Відповідні значення 𝑥, 𝑦 і 𝑧 будуть такими:

Перевірка

Задача3.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.

Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.

Якщо, наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть такими:

За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.

Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими

у цілих, додатних числах, причому число місяця 𝑥 не більше 31, а номер місяця 𝑦 не більше 12.

Знаючи, що  і, знаходимо межі для

Отже , 𝑥=9, 𝑦=2.

Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.

Задача4.

Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

1.  Їх додали;

2.  Відняли від більшого менше;

3.  Перемножили;

4.  Поділили більше на менше.

Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розв'язок.

Якщо більше число 𝑥, а менше число 𝑦, то

Якщо рівняння помножити на 𝑦, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але  Тому

Щоб 𝑥 було цілим числом, знаменник  повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що 𝑦 не може мати спільні множники із 𝑦+1). Знаючи, що 243=, можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1,  або , звідки знаходимо 𝑦 (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді 𝑥 дорівнює

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Задача5.

Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто

Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?

Розв'язок.

Позначимо цифри шуканих чисел через 𝑥 і 𝑦, 𝑧 і 𝑡, отримаємо рівняння:

Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:

де 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 – цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:

Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності  саємо один розв'язок:

Із рівності  знаходимо два розв’язки:

Аналогічно знаходимо наступні 14 розв’язків:

§2. Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків

Приклад 1.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:

 оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа  та  також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.

Відповідь: (0, 0), (1, ), (), ().

Приклад 2.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.

Знаючи, що числа ,  цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:

Отже маємо такі системи рівнянь:

Відповідь:

 .

Приклад 3.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо наше рівняння вигляді:

Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно 𝑥:

Оскільки , маємо нерівність

Дискримінант набуватиме від’ємних значень при , тому 𝑦 належить проміжку. Враховуючи те, що 𝑦 є числом цілим, то він може набувати таких значень:

.

3наючи 𝑦, легко можемо знайти 𝑥:

при 𝑦=0,  ,

 .

при 𝑦=1,

0.

𝑥=0, 𝑥=2.

при 𝑦=2,  

 𝑥=1, 𝑥=2.

Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Приклад 4.

Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:

Розв'язок.

Нехай , де 𝑥, 𝑦, 𝑧 – цілі числа. Тоді число 𝑥 парне. Після заміни  отримаємо рівняння

Скоротимо на 2:

Очевидно, що 𝑦 парне число. Після заміни  отримаємо рівняння:

Знову скоротимо на 2:

З останнього рівняння бачимо, що 𝑧 парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:

Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що  парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .

Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок .

Приклад 5.

Знайти всі розв’язки рівняння в раціональних числах.

Розв'язок.

Очевидним є розв'язок , тому достатньо розглянути випадок, коли  (випадок  розглядується аналогічно).

Нехай , де – раціональне число. Тоді

тому 𝑘𝑦=, а значить  

Нехай  – нескоротний дріб. Тоді

 та .

Числа 𝑝 і 𝑝+𝑞 взаємно прості, тому число 𝑦 може бути раціональним тільки тому випадку, коли 𝑝= і 𝑝+𝑞= для деяких натуральних 𝑎 та 𝑏. Припустимо, що  Тоді

Приходимо, до суперечності, так, як між числами  та  не може знаходитись число . Тому 𝑞=1. Для будь-якого натурального 𝑝 числа

 та  раціональні і являються розв’язками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку

Приклад 6.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді :

Або

,

Звідки

Таким чином дане рівняння розпадається на два :

Або

                       (1)

                       (2)

Так як , то в (1) невідомий корінь 𝑥 може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення 𝑦 такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.

Відповідь:

Приклад 7.

Розв’язати в цілих числах рівняння

Розв'язок.

Очевидно, що 𝑥 та 𝑧 не можуть бути від’ємними числами, так як при

а тому  має вигляд що можливо лише при парних значеннях 𝑦. Але з умови випливає, що 𝑦 не може бути парним числом, якщо .

Якщо , то рівняння має вигляд

звідки

Нехай  Маємо

Із цього рівняння випливає, що

 або , де 𝑡 – натуральне число.

Оскільки  і оскільки 𝑦 – непарне число, то 𝑧 – парне число або .

Нехай  Тоді , або , звідки

, . Тому або  тобто, звідки і тому

Якщо ж  , то 𝑥 довільне, 𝑎 𝑦. І так, при  ми маємо, крім тривіального розв'язку , де 𝛼 – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:

При  . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:

Отже, рівняння має тривіальний розв'язок  де 𝛼 – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:

Приклад 8.

Розв’язати в натуральних числах рівняння

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

або

Оскільки дільниками числа 7 є лише числа  то шукані числа 𝑥 та 𝑦 треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:

Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах  третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах  Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: .

Приклад 9.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності

неможливі при натуральних 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛.

Легко перевірити, що . Отже, 𝑥, 𝑦 – натуральні. Із умови випливає:

або

або

Число  – парне, якщо

Якщо , то , а тому із умови маємо

тобто,

Таким чином,  - розв'язок даного рівняння.

Якщо ж  повинно містити парну кількість доданків, а тому 𝑥 – парне число; нехай . Тоді

або ,

або .

Якщо 𝑧 – непарне число, то  - непарне число, що можливо лише при  тобто .

Тоді з умови маємо

тому  - другий розв'язок даного рівняння.

Якщо ж 𝑧 – парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:

або ;

тому

останнє рівняння не має розв’язків, так як  ділиться на 5, а  не ділиться на 5.

Відповідь: (1, 1), (2, 3).

Приклад 10.

Розв’язати в натуральних числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

  (1)

Якщо  то , а тому , тобто ; відповідно, при  має місце нерівність

  (2)

Якщо , то , а тому ; значить, при  має місце нерівність

  (3)

Об’єднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при  ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння 𝑥 має дорівнювати 1 або 2, а 𝑦 = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише 𝑥 = 2, 𝑦 = 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

Приклад 11.

Розв’язати в цілих додатних числах систему рівнянь:

Розв'язок.

Додавши два рівняння системи, отримаємо

Звідки

                                (1)

Віднімаючи друге рівняння системи від першого, отримаємо

звідки

 (2)

Помноживши дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1), отримаємо

 (3)

Таким чином, із (2) та (3) випливає:

.

Оскільки , можливі лише два випадки:

а)

Відповідь: (4, 3, 1), (8, 1, 2).

Приклад 12.

Показати, що система рівнянь

має єдиний розв'язок

Розв'язок.

Так, як , то перше рівняння системи можна переписати у вигляді .

Оскільки (в означенням) , поділивши дві частини рівняння  на добуток , отримаємо рівносильне йому рівняння

Оскільки

є цілим числом, то і сума  повинна бути цілим числом. Останнє можливо лише в п’яти випадках:

Виконавши перевірку, впевнимося в тому, що тільки  задовольняє дану систему. Отже, система має єдиний розв'язок (1 ,1 ,2 ).

Висновок

У даній курсовій роботі розглядались діофантові рівняння. Таких рівнянь є надзвичайно багато, тому основною метою роботи було розглянути деякі з таких рівнянь та показати різні методи їх розв’язання.

Для окремих невизначених рівнянь існують відомі алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків, або алгоритми, що показують їх відсутність. Саме на такі рівняння акцентувалась увага у курсовій роботі.

При написанні курсової роботи я дізналась про різні методи знаходження розв’язків невизначених рівнянь. Розглянула цікаві діофантові рівняння для яких існують розв’язки в цілих числах, навчилась знаходити ці розв’язки, або показувати, що їх не існує.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає змогу набагато простіше і швидше доводити існування чи не існування розв'язку деяких задач, а також при наявності розв’язків визначати їх кількість.

Література:

1.  Айєрленд К. А., Роузен М. Класическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987. – 416 с.

2.  Бухштаб А. А. Теорія чисел. – М.: Просвещение, 1996. – 284 с.

3.  Сивашинский И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарной математике. – М.: Гостехиздат, 1965. – 367 с.

4.  Перельман Я. И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1967. - 200 с.

5.  Прасолов В. В. Многочлены. – М.: Наука, 2001. – 336 с.

6.  Шклярский Д .О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы алгебры и теории чисел (арифметика). – М.: Гостехиздат, 1950. – 382 с.

7.  Шнирельман Л. Г. Простые числа. – М.: Гостехиздат, 1940. – 178с.