Контрольная работа: Прогнозирование на основе регрессионных моделей

По имеющимся исходным данным выявить и оценить на основе регрессионных моделей производственные связи. Провести расчет прогнозных значений показателей, когда уровень факторных показателей на 30% превышают средние величины исходных данных.

Исходные данные представлены в таблице:

Необходимо определить тесноту связи между данными признаками. Для этого вначале воспользуемся коэффициентом корреляции рангов Спирмэна. Этот показатель основан на корреляции не самих значений коррелируемых признаков, а их рангов. Для его расчета присвоим ранги значениям соответствующих признаков, затем найдем их разность d. Эти вычисления отразим в нижеследующих таблицах. Далее вычислим непосредственно сам коэффициент, который равен: , ( n – число наблюдаемых пар значений признаков.)

Расчетные таблицы для определения коэффициента корреляции рангов Спирмэна

Из выше приведенного можно сказать  о сильной обратной связи между удоем молока и себестоимостью, т.е. при увеличении удоя себестоимость молока снижается.

Так как значение коэффициента отрицательно, следовательно, имеем обратную связь между расходом кормов на 1 корову и себестоимостью молока.

Имеется обратная зависимости между удельным весом чистопородных коров в стаде и себестоимостью молока.

Полученное значение коэффициента корреляции рангов Спирмэна свидетельствует о сильной прямой связи между удоем молока и расходом кормов на 1 корову, т.е. при увеличении расхода кормов в пересчете на 1 корову увеличивается и удой молока на среднегодовую корову.

Значение положительно, поэтому имеемхарактеризует сильную прямую связь между удоем молока и удельным весом чистопородных коров в стаде и показывает, что вариация результативного признака на 89,3 % обусловлена вариацией факторного признака (согласно коэффициенту Спирмэна).

О сильной прямой зависимости между расходом кормов в пересчете на 1 корову и удельным весом чистопородных коров в стаде говорит значение коэффициента. Чем выше удельный вес, тем выше расход кормов.

Но следует иметь в виду, что, поскольку коэффициент Спирмэна учитывает разность только рангов, а не самих значений признаков, он менее точен по сравнению с линейным коэффициентом корреляции. Воспользуемся последним.

Воспользуемся  программным пакетом Stata 7.

Корреляционная матрица имеет вид:

. corr ud korm ves sst

(obs=20)

             |       ud     korm      ves      sst

-------------+------------------------------------

          ud |   1.0000

        korm |   0.8851   1.0000

         ves |   0.9401   0.8290   1.0000

         sst |  -0.7875  -0.6497  -0.7587   1.0000

·  ud – удой молока на среднегодовую корову,

·  korm – расход кормов на 1 корову,

·  ves – удельный вес чистопородных коров в стаде,

·  sst – себестоимость молока за 1 кг.

Можно сделать вывод, что присутствует обратная связь между себестоимостью и удоем молока (r = - 0,79), себестоимостью и удельным весом (r = - 0,76),себестоимостью и расходом кормов (r = - 0,65).Имеется сильная  прямая связи между удоем молока и расходом кормов (r = 0,89), удоем молока и удельным весом (r = 0,94), расходом кормов и удельным весом (r = 0,83). Если сравнивать значения, полученные линейным коэффициентом корреляции и ранговым коэффициентом Спирмэна, то расхождения не превысят 8 %. В большинстве же своем погрешность составляет около 1 %.

Теперь проверим коэффициенты корреляции на значимость:

. pwcorr ud korm ves sst

             |       ud     korm      ves      sst

-------------+------------------------------------

          ud |   1.0000

        korm |   0.8851   1.0000

         ves |   0.9401   0.8290   1.0000

         sst |  -0.7875  -0.6497  -0.7587   1.0000

Все коэффициенты значимы.

Построим модель.

Так как значения удоя молока и значения других показателей отличаются на порядок, то будем использовать вместо переменной «удой молока» переменную натурального логарифма удоя молока.

Рассмотрим  в качестве результативного фактора  себестоимость молока за 1 кг, поскольку важен расчет именно себестоимости и определение от каких факторов и насколько она зависит. Удой молока, расход кормов на 1 корову и удельный вес чистопородных коров в стаде могут повлиять на значение себестоимости.

Приведем графики зависимости себестоимости от каждого из факторов:

От логарифма удоя молока

От расхода кормов на 1 корову

От удельного веса чистопородных коров в стаде

Графики демонстрируют нам  обратную зависимость между результативным фактором – себестоимостью и объясняющим фактором, что подтверждается значениями коэффициентов корреляции.

Вначале рассмотрим линейную модель по всем факторам:

. reg sst lnud korm ves

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  3,    16) =   10.37

       Model |  .031800232     3  .010600077           Prob > F      =  0.0005

    Residual |  .016350718    16   .00102192           R-squared     =  0.6604

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5968

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03197

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

        lnud |  -.2305787   .1162704    -1.98   0.065    -.4770609    .0159036

        korm |   .0026417   .0025775     1.02   0.321    -.0028223    .0081057

         ves |  -.0000138   .0024772    -0.01   0.996    -.0052651    .0052376

       _cons |   2.088534   .7538614     2.77   0.014     .4904194    3.686649

------------------------------------------------------------------------------

Хотя у этой модели и достаточно хороший коэффициент детерминации и согласно F-критерию Фишера оно значимо, параметры при переменных lnud, korm, ves не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.065, 0.321 и 0.996. Значит, эта модель не подходит.

Построим модель вида:

. reg sst lnud1 korm1 ves1

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  3,    16) =   10.32

       Model |  .031744654     3  .010581551           Prob > F      =  0.0005

    Residual |  .016406296    16  .001025393           R-squared     =  0.6593

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5954

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03202

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud1 |   14.46292   6.110319     2.37   0.031     1.509625    27.41622

       korm1 |  -5.633853   5.967609    -0.94   0.359    -18.28462    7.016912

        ves1 |   .6831225   6.892859     0.10   0.922    -13.92909    15.29533

       _cons |   -1.33304   .6029802    -2.21   0.042    -2.611301   -.0547791

------------------------------------------------------------------------------

Видим что  коэффициент детерминации хорош - 0,659 и по F-критерию Фишера уравнение значимо. Но параметры при переменных korm1, ves1 не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.359 и 0.922. Значит, эта модель не подходит.

Будем рассматривать различные комбинации переменных при включении в модель. Построим модель вида:

. reg sst lnud korm1 ves1

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  3,    16) =   10.09

       Model |  .031497211     3   .01049907           Prob > F      =  0.0006

    Residual |  .016653739    16  .001040859           R-squared     =  0.6541

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5893

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03226

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

        lnud |  -.2065493   .0898758    -2.30   0.035    -.3970775   -.0160212

       korm1 |  -5.156249   5.939941    -0.87   0.398    -17.74836    7.435864

        ves1 |   1.094516   6.895036     0.16   0.876    -13.52231    15.71134

       _cons |   2.109487   .8816345     2.39   0.029     .2405058    3.978469

------------------------------------------------------------------------------

Так же как и в предыдущих моделях, значение R-квадрата хорошее, уравнение значимо по F-критерию Фишера, но одновременно с этим параметры при переменных  korm1, ves1 с P-значениями 0.398 и 0.876 соответственно не значимы по t-критерию  Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Построим модель вида:

. reg  sst lnud1 korm ves1

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  3,    16) =   10.60

       Model |  .032029999     3  .010676666           Prob > F      =  0.0004

    Residual |  .016120951    16  .001007559           R-squared     =  0.6652

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.6024

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03174

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud1 |   15.74117   6.497854     2.42   0.028     1.966333      29.516

        korm |   .0027978   .0025644     1.09   0.291    -.0026386    .0082341

        ves1 |   .0207899   6.780318     0.00   0.998    -14.35284    14.39442

       _cons |  -1.732706   .8136604    -2.13   0.049    -3.457589   -.0078235

------------------------------------------------------------------------------

R-квадрат хорош- 0,665, уравнение значимо согласно F-критерию   Фишера. Но при этом параметры при переменных  korm, ves1 с P-значениями 0.291 и 0.998 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud1 korm1 ves

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  3,    16) =   10.31

       Model |  .031738225     3  .010579408           Prob > F      =  0.0005

    Residual |  .016412725    16  .001025795           R-squared     =  0.6591

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5952

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03203

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud1 |   14.53007   7.378598     1.97   0.066    -1.111856      30.172

       korm1 |  -5.544031   5.927707    -0.94   0.364    -18.11021    7.022147

         ves |  -.0001462    .002454    -0.06   0.953    -.0053485     .005056

       _cons |  -1.322613    .969369    -1.36   0.191    -3.377583    .7323579

------------------------------------------------------------------------------

Как и в предыдущих моделях, несмотря на значимость уравнения и хорошее значение коэффициента детерминации, эту регрессионную модель мы также отбросим, так как в ней незначимы параметры при переменных lnud1, korm1, ves согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud lnud2 korm korm2 ves ves2

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  6,    13) =    4.52

       Model |  .032557159     6  .005426193           Prob > F      =  0.0109

    Residual |  .015593791    13  .001199522           R-squared     =  0.6761

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5267

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03463

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

        lnud |  -5.729043    9.44621    -0.61   0.555    -26.13634    14.67825

       lnud2 |    .341597   .5910669     0.58   0.573    -.9353253    1.618519

        korm |   .0132344   .0388671     0.34   0.739    -.0707327    .0972016

       korm2 |  -.0001134   .0004041    -0.28   0.783    -.0009865    .0007596

         ves |   .0150622   .0364293     0.41   0.686    -.0636385    .0937629

        ves2 |  -.0001446   .0003466    -0.42   0.683    -.0008934    .0006042

       _cons |   23.57414   36.19652     0.65   0.526    -54.62369     101.772

------------------------------------------------------------------------------

Эта модель также не подходит, поскольку параметры при всех переменных не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud2 korm2 ves2

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  3,    16) =   10.39

       Model |  .031819188     3  .010606396           Prob > F      =  0.0005

    Residual |  .016331762    16  .001020735           R-squared     =  0.6608

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5972

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03195

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud2 |  -.0150021   .0079436    -1.89   0.077    -.0318418    .0018377

       korm2 |    .000028   .0000263     1.07   0.302    -.0000277    .0000838

        ves2 |   2.49e-06   .0000227     0.11   0.914    -.0000457    .0000507

       _cons |   1.258054   .4178871     3.01   0.008     .3721731    2.143935

------------------------------------------------------------------------------

И в этой модели параметры при переменных не значимы по t-критерию Стьюдента. Отбрасываем эту модель.

Воспользуемся процедурой пошагового отбора регрессоров при построении множественной регрессии. При этом из исходного набора объясняющих переменных будут включаться в число регрессоров в первую очередь те переменные, которые имеют больший уровень значимости. Вначале включим в набор переменных переменную , а затем переменную .

. sw reg sst lnud korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2,pe(0.05)

                      begin with empty model

p = 0.0000 <  0.0500  adding   lnud

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  1,    18) =   31.70

       Model |  .030711968     1  .030711968           Prob > F      =  0.0000

    Residual |  .017438982    18  .000968832           R-squared     =  0.6378

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.6177

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03113

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

        lnud |  -.1672727   .0297095    -5.63   0.000      -.22969   -.1048553

       _cons |   1.703191    .241499     7.05   0.000      1.19582    2.210561

------------------------------------------------------------------------------

В итоге получили модель . Это уравнение значимо согласно F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 63,78 % суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели. А при увеличении удоя молока на 2,72 % себестоимость снижается на 0,17 %.

. sw reg sst lnud1 korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2,pe(0.05)

                      begin with empty model

p = 0.0000 <  0.0500  adding   lnud1

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  1,    18) =   32.04

       Model |  .030830369     1  .030830369           Prob > F      =  0.0000

    Residual |  .017320581    18  .000962254           R-squared     =  0.6403

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.6203

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03102

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud1 |    11.2229   1.982717     5.66   0.000     7.057366    15.38843

       _cons |  -1.038311   .2443161    -4.25   0.000      -1.5516   -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

Получили модель . Это уравнение значимо по F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud1 и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 64,03 % суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели.

Сделаем выбор между этими двумя моделями. Представим критерии выбора модели в следующей таблице:

Из данной таблицы видно, что по всем критериям гиперболическая модель лучше линейной.

Проверим регрессию на автокорреляцию остатков:

. regdw sst lnud1,t(lnud1) force

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  1,    18) =   32.04

       Model |  .030830369     1  .030830369           Prob > F      =  0.0000

    Residual |  .017320581    18  .000962254           R-squared     =  0.6403

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.6203

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03102

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud1 |    11.2229   1.982717     5.66   0.000     7.057366    15.38843

       _cons |  -1.038311   .2443161    -4.25   0.000      -1.5516   -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

Durbin-Watson Statistic =  2.460766

Проверка на автокорреляцию дает удовлетворительное значение статистики Дарбина-Уотсона 2,46 (автокорреляция отсутствует), так как , где  (табличное значение). Это означает, что ошибки независимы между собой.

Построим график остатков регрессии от оцененной зависимой переменной:

. fit sst lnud1

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =      20

-------------+------------------------------           F(  1,    18) =   32.04

       Model |  .030830369     1  .030830369           Prob > F      =  0.0000

    Residual |  .017320581    18  .000962254           R-squared     =  0.6403

-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.6203

       Total |   .04815095    19  .002534261           Root MSE      =  .03102

------------------------------------------------------------------------------

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud1 |    11.2229   1.982717     5.66   0.000     7.057366    15.38843

       _cons |  -1.038311   .2443161    -4.25   0.000      -1.5516   -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

. rvfplot, c(m)

Можно предположить наличие гетероскедастичноти, поскольку разброс значений остатков увеличивается с ростом значений себестоимости молока. Проверим этот факт с помощью теста Бреуша-Пагана:

. hettest

Cook-Weisberg test for heteroskedasticity using fitted values of sst

     Ho: Constant variance

         chi2(1)      =      0.01

         Prob > chi2  =      0.9328

Тест Бреуша-Пагана подтверждает наличие гетероскедастичности, потому что гипотеза о постоянстве дисперсий отклоняется.

Скорректируем стандартные ошибки по Навье-Весту, учитывая гетероскедастичность:

. newey sst lnud1, lag(0) force

Regression with Newey-West standard errors          Number of obs  =        20

maximum lag : 0                                     F(  1,    18)  =     60.26

                                                    Prob > F       =    0.0000

------------------------------------------------------------------------------

             |             Newey-West

         sst |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

       lnud 1 |    11.2229   1.445712     7.76   0.000      8.18557    14.26023

       _cons |  -1.038311   .1784612    -5.82   0.000    -1.413244   -.6633776

------------------------------------------------------------------------------

Изменились доверительные интервалы для параметров переменных модели.

Итак, имеем модель: ,

(sst-себестоимость молока за 1 кг, руб) ;

lnud-логарифм удоя молока на среднегодовую корову, кг.

Себестоимость не зависит ни от расхода кормов на 1 корову, ни от удельного веса чистопородных коров в стаде. Выявлена обратная пропорциональность между себестоимостью молока и логарифмом удоя молока, а следовательно, и просто удоем молока. Стандартная ошибка переменной  составляет 1.4457, а константы – 0.1785. Доверительный интервал   для    переменной  –   [ 8.1856 ; 14.2602 ],  для константы   –   [ -1.4132 ; -0.6634 ].

Рассчитаем прогнозные значения показателей, когда уровень факторных показателей на 30 % превышает средние величины исходных данных. Средний показатель удоя молока на среднегодовую корову равен 3476.5 кг. Превышение этого значения на 30 %  составляет 4519.45 кг. Прологарифмируя, получим: lnud = 8.416. Тогда, согласно модели, себестоимость при таком значении удоя молока составит 0,296 руб. за 1 кг.