Контрольная работа: Геометрические свойства кривых второго порядка

Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.

Постановка задачи

Дано уравнение кривой второго порядка:

.                                    (1)

Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

I. Определить зависимость типа кривой от параметра  с помощью инвариантов.

II. Привести уравнение кривой при  к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.

V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.

Получение канонической системы координат. Построение графиков

I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра

В прямоугольной декартовой системе координат  кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:

,

если хотя бы один из коэффициентов , ,  отличен от нуля.

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:

Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:

;

;

.

Для данной кривой они равны:

1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.

2). Если, то данная кривая — центральная. Следовательно, при  данная кривая — центральная.

·  Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс.

·  Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если  и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если  и , то данная кривая — гипербола. Но  при всех  за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

II . Переход от общего уравнения кривой к каноническому

Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при  уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:

                                        (2.1)

Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки  плоскости в системе координат  и координаты  в новой системе координат  связаны соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:

                                  (2.2)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

          (2.3)

В уравнении (2.3) коэффициенты при  приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно

                (2.4)

Решив систему (2.4), получим:

Центр кривой  имеет координаты , . Поставим найденные значения  в уравнение (2.3). В новой системе координат  в уравнении (2.3) коэффициенты при  равны нулю и уравнение примет вид

,

.  (2.5)

Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол  координаты  произвольной точки  плоскости в системе координат  и координаты  в новой системе координат  связаны соотношениями

              (2.6)

Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим

Раскроем скобки и приведем подобные члены

Приводя подобные члены, получим уравнение

                           (2.7)

Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении  равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :

.                                                 (2.8)

Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если  (то есть ), то при подстановке  в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение

.             (2.9)

Решая уравнение (2.9), получим

, .

Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:

Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть

,         (2.10)

Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:

и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:

И, соответственно, уравнение

                           (2.11)

— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

III . Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой

Пусть  и  — фокусы,  — эксцентриситет,  — центр, а  — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где  и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .

Эксцентриситет гиперболы (2.11)

.

Директрисы гиперболы задаются уравнениями:  и . Подставляя найденные значения  и , получаем:

Прямые  и  в канонической системе координат  называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат

Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .

Так как система  — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси  и проходят через точку .

В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось  в системе координат  задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .

Так как ось  перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось  в системе координат  задана уравнением , или .

V . Построение графиков гиперболы

Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат  (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Вывод

Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.

Список используемой литературы

1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.

4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука, 1993.