Контрольная работа: Криволинейный интеграл первого и второго рода
Криволинейный интеграл первого рода
Криволинейный интеграл второго рода
1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейного интеграла по координатам.
2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).
3. Вычисления
а) 
б) 
Рис. 1
Займемся обобщением
понятия определенного интеграла на случай 
когда путь интегрирования – кривая
-кривая 
, 
, 
. Т/н. А-работу
силы 
при
перемещении точки 
от 
к 
1. Разобьем на n
частей 
: 
Обозначим 
вектор- хорда
дуге.
Пусть 
предположим, что на 
тогда
Работа 
вдоль дуги 
вычисляется
как скалярное произведение векторов 
и 
Пусть 
Тогда: 
Работа 
Если 
, то этот предел примем
за работу А силы 
при движении точки по кривой от точки до точки
,-не числа, а точки концы
линии .
1. Свойства:
10 
определяется
а) подынтегральным выражением
б) формой кривой интегрирования.
в) указанием направления интегрирования (рис. 2).
Рис. 2
-можно рассматривать как
интеграл от векторной функции 
Тогда 
- если -замкнутая то 
-называют
циркуляцией вектора по контуру .
30 
40 не зависит от
того какую точку взять за начало
Вычисление криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).
Рис. 3
-гладкая кривая.
1.
Если
-непрерывны,
-непрерывные.
-непрерывны по 
, то 
Пределы А и В не
зависят ни от способа деления на 
, ни от вектора 
Следовательно: 
.
2. В случае: 
1. Формула Грина.
2. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
3. Полный дифференциал.
Связь между определенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D,
замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).
интеграл криволинейный грин формула
Рис. 4
непрерывны на 
-
определена и непрерывна в замкнутой области D.
- определена и
непрерывна в замкнутой области D.
Тогда
Аналогично
-Формула
Грина.
В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.
Пример.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Рис. 5
-
непрерывные частные
производные в 
(рис. 5).
Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?
Теорема:
-непрерывны
в области 
,
тогда для того, чтобы
в 
(рис. 6)
Рис. 6
Пусть
Обратно 
Т.д.
Пусть 
из непрерывности 
и
-окрестность точки 
такая что 
в 
предположение неверно.
ч.т.д.
Замечание. 
Определение.
Функция 
-градиент
которой есть вектор силы 
называется потенциалом вектора 
.
Тогда 
Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.
Литература
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.
2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.
| Высшая математика для менеджеров | |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ... Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа |
| Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ... | |
|
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ... 1. Площадь криволинейной трапеции как приращение первообразной непрерывной функции на отрезке: понятие криволинейной трапеции, теорема дающая один из подходов к задаче нахождения ... При изучении данной темы следует широко использовать таблицы, кодопозитивы с изображением криволинейной трапеции, обращение записи решений и т.д. Обращается внимание учащихся на то ... |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
| Шпора | |
|
Билет №1 Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1.n, возмём произвольную точку ... Пусть в обл. Теорема 1. Пусть D - ограниченная одно-связанная область плоскости XOY тогда что бы криволинейный интеграл - был равен 0 по любой замкнутой простой кривой , где P(x,y) и Q(x,y ... Теорема 2 Пусть D есть односвязная область плоскости XOY в этой области заданы две непрерывные функции D(x,y) и Q(x,y) имеющие непрерывные частные производные и ; чтоб ... |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
| Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры | |
|
1 Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y ... Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А - начальной, В - конечной точками интегрирования, dl - дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз ... Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов ... |
Раздел: Рефераты по математике Тип: шпаргалка |
| Динамические системы в плоской области | |
|
... 1. Введение Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида (I) где Р (х, у) и Q (х, у) - непрерывные функции, определенные в некоторой ... Так как в силу настоящей теоремы эти функции непрерывны по переменным х0, у0 и равномерно непрерывны относительно t на всяком замкнутом конечном промежутке значений t, то, очевидно ... Пусть F (х, у) = 0 - интеграл системы (I). Рассмотрим соответствующую интегральную кривую. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |