Контрольная работа: Интегрирование и производная функций

Задание 1

Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .

Таблица 1

Порядковый номер исходных данных
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Х 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 1,445 1,450 1,455 1,460
У 0,888 0,889 0,89 0,891 0,892 0,893 0,894 0,895 0,896 0,897

интерполяция погрешность производная

Решение

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде

 - конечная разность первого порядка

 - конечная разность К-го порядка.

Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:

1 1,415 0,888 0,001 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1,420 0,889 0,001 0 0 0 0 0 0 0
3 1,425 0,89 0,001 0 0 0 0 0 0
4 1,430 0,891 0,001 0 0 0 0 0
5 1,435 0,892 0,001 0 0 0 0
6 1,440 0,893 0,001 0 0 0
7 1,445 0,894 0,001 0 0
8 1,450 0,895 0,001 0
9 1,455 0,896 0,001
10 1,460 0,897

.

Задание 2

Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.

, [0,4].

Решение

Вычислим первую и вторую производную функции

. Получим  и .

Итерационное уравнение запишется так:

.

В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости:


 .

Условие сходимости метода Ньютона выполнено.

Таблица значений корня уравнения:

i

1 3,083
2 2,606
3 2,453

Уточненное значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину

.

Задание 3

Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.

Решение

Метод прямоугольников

Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:

 слева

 справа
1 0,25 0,2
2 0,2 0,1667
3 0,1667 0,1429
4 0,1429 0,125

0,7595 0,6345

Значение интеграла: .

Метод трапеций

Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.

 
1 0,25
2 0,2
3 0,1667
4 0,1429
5 0,125

Значение интеграла: .

Метод Симпсона

1 0,25
2 0,2
3 0,1667
4 0,1429

Значение интеграла: .

Задание 4

Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2] . Начальное условие у(0,2)=0,25.

Решение

Все вычисления удобно представить в виде таблицы:

0 0,2 0,2500 0,2751 0,0688 0,3188
1 0,45 0,3188 0,4091 0,1023 0,4211
2 0,7 0,4211 0,5634 0,1408 0,5619
3 0,95 0,5619 0,7359 0,1840 0,7459
4 1,2 0,7459 0,9318 0,2329

Таким образом, задача решена.

Задание 5

Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.


Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.

Решение

Задача 1.


Задача 2.

Задание 6

Вычислить производную функции f(z) в точке .

Решение

Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то


Задание 7

Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.

Решение

а)

Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:

.

б)


Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:

.

Формирование познавательной потребности у учащихся средствами ...
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Поволжская государственная ...
Формула Ньютона-Лейбница Площадь криволинейной трапеции и интеграл
В учебнике Ш.А.Алимова "Алгебра и начала анализа" перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади ... 		Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа
Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский ...
Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные "неберущиеся" интегралы.
. Так как производная интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при .		 Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие
Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней ...
Оглавление Введение Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы "Комплексные числа" в общеобразовательный курс ...
Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности.
Второе задание: х+у+(х-у)i=8+2i позволяет нам зафиксировать усвоено ли учащимися такое понятие как равенство комплексных чисел.		 Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Интеграл и его свойства
... Теорема о первообразных. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f"(x) или дифференциала df=f"(x)dx функции f
Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений ... 		Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Кинематика и динамика поступательного движения
Общий физический практикум Часть I МЕХАНИКА ОГЛАВЛЕНИЕ Указания к выполнению лабораторных работ по механике .........4 Математическая обработка ...
1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей
Теория позволяет также найти погрешности коэффициентов k и b. Сначала вычисляют величины:		 Раздел: Рефераты по физике
Тип: учебное пособие