Реферат: Математическое программирование

Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r £ n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х₁⁰, x₂⁰, ... , x_n⁰) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).

Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:

(2`) f+c_r+1x_r+1 + ... + c_sx_s + ... + c_nx_n = b₀ ® min

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, ... , х<sub>r</sub> называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные х<sub>r+1</sub>, ... , x<sub>n</sub> - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x₁⁰, ... , x_r⁰,0, ... ,0) называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

все ограничения - в виде уравнений;

все свободные члены неотрицательны, т.е. b_i ³ 0;

имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

содержит только свободные неизвестные;

все члены перенесены влево, кроме свободного члена b₀;

обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)).

Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :

Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b₁,b₂, ... ,b_r, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b₁,b₂, ... ,b_r, 0, ... ,0) = b₀ (см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b₀, то соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е. с_j £ 0 (j = r+1, n) => min f (b₁, ... ,b₂,0, ... ,0) = b₀.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент с_s > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. с_s > 0, a_is £ 0 ( i= 1,r ) => min f = -¥.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента a_is > 0 и следующих преобразований (симплексных):

все элементы i-й строки делим на элемент a⁺_is;

все элементы S-го столбца, кроме a_is=1, заменяем нулями;

все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

a_kl` = a_kba_is - a_ila_ks = a_kl - a_ila_ks;

 a_is a_is

b_k` = b<sub>k</sub>a<sub>is</sub> - b<sub>i</sub>a<sub>ks</sub>; c<sub>l</sub>` = c_la_is - c_sa_il

 a_is a_is

Определение. Элемент a_is⁺ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент a_is⁺ удовлетворяет условию

b_i = min b_k

a_is0 a_ks0⁺

где s₀ - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).

систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;

составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме;

проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено;

при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана;

в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего :

 а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки;

 б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;

c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице;

вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3)

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие

Замечания.

Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.

·     преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.

·     при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицательного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

·     правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть.

5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных)

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция f = c₁x₁ + c₂x₂ геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n (с₁,с₂).

Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

·     В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений;

·     найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками);

·     найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей;

·     построить вектор n (с₁,с₂) по коэффициентам целевой функции f = c₁x₁ + c₂x₂;

·     в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат;

·     перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении.

·     найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы).

Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости:

Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А₁, А₂, ..., А_m соответственно в количествах а₁, а₂, ..., а_m единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В₁, В₂, ..., В_n соответственно в количествах b₁, b₂, ..., b_n единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из A_i в B_j известна для всех маршрутов A_iB_j и равна C_ij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные расходы минимальны.

Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из A_i в B_j груза X_ij > 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы C_ij:

Математическая модель транспортной задачи.

Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели

Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом транспортной задачи. Если число заполненных клеток (X_ij <>0) в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток было равно r.

Случай открытой модели легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя B_n+1 c потребностью b_n+1=Σa_i-Σb_j, либо - фиктивного поставщика А_m+1 c запасом a_m+1=Σb_j-Σa_i ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0.

Способы составления 1-таблицы (опорного плана).

Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью вывозиться груз из А_i, либо полностью удовлетворяется потребность B_j. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы a_i и не удовлетворяются потребности b_j . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана X_ij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

Метод потенциалов решения транспортной задачи.

Определение: потенциалами решения называются числа _iA_i, _jB_j, удовлетворяющие условию _i+_j=C_ij (*) для всех заполненных клеток (i,j).

Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно ₁=0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X₀ транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия_i+_j C_{i j}, то X₀ является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям:

·     одна клетка пустая, все остальные занятые;

·     любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;

·     никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце .

Пустой клетке присваивают знак “ + ”, остальным - поочередно знаки “ - ” и “ + ”.

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой _r+_sC_rs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{X_ij}. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

·        в плюсовые клетки добавляем X;

·        из минусовых клеток отнимаем Х;

·        все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X₁) f(X₀); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.

Алгоритм метода потенциалов.

·     проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;

·     находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;

·     проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на не вырожденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью “ 0 ”;

·     проверяем опорный план на оптимальность, для чего:

·     а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;

·     б) находим одно из ее решений при ₁=0;

·     в) находим суммы_i+_j=C_ij (“косвенные тарифы”) для всех пустых клеток;

·     г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не превосходят соответствующих истинных(C_ij C_ij) во всех пустых клетках, то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.

 Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу.

Для перехода к следующей таблице (плану):

·     а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного (C_ij=_i+_j > C_ij );

·     б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки “ + ”, “ - ” в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке “ + ”;

·     в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{X_ij}, где X_ij - числа в заполненных клетках со знаком “ - ”;

·     г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла

·     См. п. 3 и т.д.

Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.