Реферат: Геометрия

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть -плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а1 - прямая в плоскости ,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость 1 ч/з

прямые а и а1.

Она отлична от ,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости . Плоскости и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . Ч.Т.Д.


2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H


БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.


Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями и по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.


Sп.п.=2R(H+R)


БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.


Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости и пересекаются с плоскостью . Докажем, что а b.

Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. и имели бы общ. точку, что невозможно, т.к.  . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а b.


2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H


БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости и . В

плоскости лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в -

- прямые а1 и b1,

причем а а1 и b b1.

Докажем, что плоскос.

-ти и не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что

а с.

Но плоскость проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая с.

Значит, наше допущение неверно и  . Ч.Т.Д.


- - - - - - - -


БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость , а ч/з М в

в плоскости прямую

b a. Докажем, что b a

единственна.


Допустим, что существует другая прямая b2 a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести

плоскость 2, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с . По аксиоме о параллельных

прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.


2. Vус.кон.=1/3*H(R12+R1R2+R22)


БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.


А2 Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.


А3 Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.


2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A



















БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

10 Проекция прямой есть прямая.


20 Проекция отрезка есть отрезок.

30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.


Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.


- - - - - - - - - - - -



БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во: AH - перпенд.

к плоскости , AM -

наклонная, а - прямая

проведенная в плоск.

 ч/з точку M перпенд

к проекцииHM

наклонной.

Рассмотрим плоск.

AMH. Прямая аэтой

плоскости, т.к. она

к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след.

что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM.

Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.


ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.


Sсеч.=2RH


Sшар.сег.=2RH










БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости и . Но это невозможно, след-но, a b. Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости и такие, что плоскость проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости и пересекаются по прямой АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости .

Проведем в плоскости прямую АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей и . Но BAD=900 (т.к. AB). След-но, угол м/у плоскостями и равен 900, т.е. . Ч.Т.Д.


Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)


БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.


Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а1.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости .

Так как а, то ах. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а1. Ч.Т.Д.


Vпаралл-да=abc=Sосн.*H






БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.


Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)


БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и

DD1 параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA1..D1.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.


ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1 BC и

A1D1=BC, то A1D1CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2..An

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA1A2,PA2A3,...,PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников, называется пирамидой


Многоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2, ..., Pan - ее боковыми ребрами.


ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A1 -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA1/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A1, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.


ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC12=AB2+AD2+AA12

Так как ребро CC1

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ACC1-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC1

по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12.

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1.

След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.


Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то ABDC и AA1DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.

равны двум смежным сторонам у м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны




БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус

с объемом V. Произвольн.

сечение конуса плоскостью

перпендикулярной к оси Ox,

является кругом с центром

в т.M1 пересечения этой

плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого

круга ч/з R1, а площадь

сечения ч/з S(x), где x-

- абсцисса точки M1. Из

подобия прямоугольных

треугольников OM1A1 и OMA следует, что

OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.

Так как S(x)=R12, то S(x)=R2x2/h2.

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:


Площадь S основания конуса равна R2, поэтому

V=1/3Sh Ч.Т..Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.


Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2rh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму

ABCA1B1C1 с объемом V и

высотой h. Проведем такую

высоту треугольника ABC

отрез.BD, которая разделяет

этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB1D разделяет

данную призму на две приз.,

основаниями которых явл.

прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны

Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=

=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch

2) Докажем теорему для произвольной

призмы с высотой h и площ.

основания S. Такую призму

можно разбить на прямые

треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз.

по формуле (1) и сложим эти

объемы. Вынося за скобки

множитель h, получим в

скобках сумму площадей

оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



Билеты по геометрии
БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей. А2 Если две различные плоскости ...
Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j . Докажем, что а| | b.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия
Оглавление Введение Глава I. Развитие геометрии 1.1 История геометрии 1.2 Постулаты Евклида 1.3 Аксиоматика Гильберта 1.4 Другие системы аксиом ...
Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает[1] какие-либо два из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий из ...
II, 5. Прямая а, лежащая в плоскости ѭ, разбивает эту плоскость на две полуплоскости так, что если X и Y - две точки одной полуплоскости, то отрезок XY не пересекается с прямой а ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
Решение задач с помощью ортогонального проектирования
Тема: "Решение задач с помощью ортогонального проектирования". Ученицы 11 "Б" класса Средней школы №46 Заиц Ю. А. Руководитель: Шелгинских В. А ...
Проектирующие прямые АА1 и АА2 , при проекции которых точка А проектируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А1АА2 , перпендикулярную к обеим плоскостям ...
22, а). Так как плоскость ѭ перпендикулярна прямой МD, то прямая МD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ѭ. В частности, если прямая МD пересекает плоскость ѭ в точке ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Многомерная геометрия
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств § 1. Историческая справка § 2. Понятие векторного многомерного пространства ...
. Теорема 1. Пусть в аффинном пространстве Un даны плоскость Пk и точка В. Тогда существует единственная плоскость размерности k, проходящая через точку В параллельно Пk.
Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, а параллельные плоскости в параллельные плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k- параллелепипед ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
Избранные теоремы геометрии тетраэдра
Выпускная квалификационная работа Избранные теоремы геометрии тетраэдра Специальность / направление подготовки Математика Специализация / профиль ...
Необходимость легко получить, если заметить, что точки А1, В1, С1, D1 лежат в одной плоскости (эта плоскость проходит через прямые А1С1 и В1D1, пересекающиеся в точке М), и ...
Т.к. плоскость сечения проходит через прямую EF параллельную плоскости DCA и пересекает плоскость DCA, то линия пересечения PK параллельна прямой EF.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа