Реферат: Решение задач по прикладной математике

МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

Выполнил: ст-т гр. ЭБ - 241

Лебедев Н. В.

Проверил: профессор

Г. И. Королев

Рязань 2003 г.

Задание 1. Решите, используя формулу полной вероятности, формулу гипотез и формулу Бернулли.

1. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых автомобилей как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовой автомобиль, равна 0.1. Для легковой автомашины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.

Решение.

Определим событие, вероятность которого надо посчитать. А - к бензоколонке подъехал автомобиль.

Тогда гипотезы:

Н1- к бензоколонке подъехала грузовая машина.

Н2 - к бензоколонке подъехал легковой автомобиль

Р(Н1) = 3/(2+3) = 0.6;

Р(Н2) = 2/(2+3) = 0.4

По условию

Р(А/Н1)=0.1

Р(А/Н2)=0.2

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:

P(A)=Р(A|Н1)*Р(Н1)+Р(A|Н2)*Р(Н2)= 0.6  0.1 + 0.4   0.2 = 0.06 + 0.08 = 0.14

P(H2|A)=[ Р(A|Н2)*Р(Н2) ]/P(A) = 0.2   0.4/ 0.14 ~ 0.57

2. Вероятность своевременной оплаты счетов шестью потребителями равна 0.8. Найти вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех потребителей.

Решение.

«Оплатят не более трех потребителей», это значит, что возможны следующие варианты событий:

счета оплатят 0 – потребителей, 

                        1 - потребитель,

                        2 - потребителя,

                        3 – потребителя.

По формуле Бернулли найдем вероятность каждого из этих событий.

P_n(k) = C_n(k)  p^k  (1-p)^(n-k),     где C_n(k) =

n = 6, p = 0.8    

1.      C_6(0) = = = 1

P_6(0) = C_6(0)  0.8⁰  (1-0.8)^(6-0) =  1  1 0.2⁶ = 0.000064

2. C_6(1) = = = 6

P_6(1) = C_6(1)  0.8¹  (1-0.8)^(6-1) =  6  0.8  0.2⁵ = 0.001536

3. C_6(2) = = =   = 15

P_6(2) = C_6(2)  0.8²  (1-0.8)^(6-2) =  15  0.64  0.2⁴ = 0.01536

4. C_6(3) = = =   = 20

P_6(3) = C_6(3)  0.8³  (1-0.8)^(6-3) =  20  0.512  0.2³ = 0.08192

P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192 = = 0. 09888 0.099 - вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех потребителей.

Задание 2. Найти среднее квадратическое отклонение вариационного ряда.

X₁          800   1000   1200   1400   1600   1800   2000

n₁                1     8     23     39     21      6       2    

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X вычисляется по формуле F_x = , где  – дисперсия случайной величины X.

 =

  - математическое ожидание случайной величины X.

800 1 + 1000  8 + 1200  23 + 1400  39 + 1600  21 + 1800  6 + 2000      2 =  139400 

  =  (800  -  139400)   1  +  (1000  -  139400)    8  +  (1200  -  139400)  23  +  (1400 - -139400)  39 + (1600 - 139400) 21 + (1800 - 139400) 6 + (2000 - 139400) 2 =

= 19209960000  +  153236480000   +   439282520000  +  742716000000  +  398765640000 +  + 113602560000 + 37757520000 = 1904570680000

F_x =  1380062

Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.

Для производства двух видов изделий используются три вида сырья, запасы которого ограничены. Величины запасов приведены в матрице С. Нормы расхода сырья каждого вида на каждое из двух изделий приведены в матрице А , где строки соответствуют виду сырья, а столбцы – виду изделия. Прибыль от реализации изделий указана в матрице P.

Составить план производства изделий так, чтобы предприятие получило максимальную прибыль от их реализации.

               5       9                        7710

    А =     9       7             C  =    8910                   P = ( 10  22 )         

               3      10                       7800

Найдем производственную программу, максимизирующую прибыль L=10х₁+22х₂.

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу  5х₁+9х₂≤7710.

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу   9х₁+7х₂ ≤8910.

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу   3х₁+10х₂ ≤7800.

Имеем

 5х₁+9х₂ ≤ 7710

             9х₁+7х₂ ≤ 8910                                 

            3х₁+10х₂ ≤ 7800

где по смыслу задачи х₁≥0, х₂≥0.               

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х₃, х₄, х₅ заменим системой линейных алгебраических уравнений

5х₁+9х₂+х₃ = 7710                                         

9х₁+7х₂+х₄ = 8910                                         

3х₁+10х₂+х₅= 7800                                        

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

            х₃ – остаток сырья 1-го вида,

х₄ – остаток сырья 2-го вида,

х₅ – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условию неотрицательности

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0, х₄≥0, х₅≥0, надо найти то решение, при котором функция L=10х₁+22х₂  будет иметь наибольшее значение.

Ранг матрицы системы уравнений равен 3.

               5     9     1     0    0                  

    А =     9     7     0     1    0           

               3     10   0     0    1                 

Следовательно,  три переменные (базисные) можно выразить через две (свободные), т. е.

х₃ = 7710 - 5х₁ - 9х₂                           

х₄ = 8910 - 9х₁- 7х₂                            

            х₅= 7800 - 3х₁ - 10х₂

Функция L = 10х₁+22х₂  или L - 10х₁ - 22х₂  = 0 уже выражена через эти же свободные переменные. Получаем следующую таблицу.

Таблица 1.

Находим в индексной строке отрицательные оценки. Выбираем разрешающий элемент.

В результате получаем следующую таблицу.

Таблица 2.

Таблица 3.

Таблица 4.

Таблица 5.

Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, то это значит, что мы получили оптимальную производственная программу:

х₁ = 300,  х₂ = 690,  х₃ = 0,  х₄ = 1380,  х₅ = 0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х₃=0;

Второго вида – х₄=1380;

Третьего вида – х₅=0

Максимальная прибыль L_max=18780.