Реферат: Высшая математика
Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Часть I. Задание №2. Вопрос №9.В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
|
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. |
60-15=45 |
машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |
54-45=9 |
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если ,
.
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

С осью OP (Q=0): |
С осью OQ (P=0): |
|
Для Q=QS(P): |
Для Q=QD(P): |
|
|
|
|
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:
, тогда
,
значит координаты т.M
.
Ответ:Координаты точки равновесия равны ,
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ:Производная заданной функции равна
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Решение:
Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
Область определения данной функции:
С осью OY |
С осью OX (y=0): |
|
|
Точка пересечения: |
Точки пересечения: |

т.к.
правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид:
,
т.е.
- уравнение горизонтальной
асимптоты.
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке
первая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна
нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
,
отсюда x=0, следовательно
,
значит точка
- точка экстремума
функции.
На участке
производная
> 0, значит,
при
, заданная функция возрастает.
На участке
производная
< 0, значит,
при
, заданная функция убывает
(рис 2.).

Следовательно
- точка максимума заданной функции
.
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если
ее числитель равен нулю, т.е.
,
значит
, тогда
,
отсюда
Отсюда ,
.
На участке производная
>0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке производная
>0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная
<0, значит, при
график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки ,
- точки перегиба графика заданной функции
.
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Фирма производит товар двух видов в количествах и
. Задана функция полных издержек
. Цены этих товаров на рынке равны
и
. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
,
,
Решение:
Пусть - функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции f(x,y):
,
. Найдем стационарные точки графика функции
. Для этого решим систему:
Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения: ,
,
,
тогда ,
,
,
.
Т.к. A>0, то экстремум есть, а т.к.
< 0,
то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска
и
, достигается максимальная прибыль
равная:
Ответ: и достигается при объемах выпуска
и
.
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Решение:
Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.Решить уравнение
Решение:
. Разделив обе части на
, получим
. Проинтегрируем полученное уравнение
. Представим
, как
, тогда
Ответ:Решением данного уравнения является .
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда
, следовательно
,
, тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и
, возьмем
,
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем
,
, тогда т.к.
- многочлен второй степени, то общий вид правой части:
. Найдем частные решения:
,
,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем
, решив систему:
, отсюда
.
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .
Ответ: .
Найти предел: .
Решение:
.
Ответ:Заданный предел равен .
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.
Решение:
Область определения данной функции:





т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: .
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка,
с осью OY: точка
Ответ: и
– уравнения асимптот заданной функции.

Исходя из определения производной, докажите: .
Решение:
Т.к. по определению производная функции в точке
вычисляется по формуле
, тогда приращение
в точке
:
.
Следовательно .
Ответ:.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .
Решение:
.
Ответ:Заданный предел равен .
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением:
.
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке
имеет вид:
. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности:
. Подставив в полученное уравнение координаты точки
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
.
Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид
.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области:
.
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка
не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями
и
. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:



Эта система имеет четыре решения:
|
Точка |
|
Точка |
|
Точка |
|
Точка |



следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
|
Точка |
|
Точка |
|
Точка |
|
В точке |
Следовательно, заданная функция
в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках
и
и наименьшего в точках
и
при этом графики функций
и
касаются окружности
в точках
,B,
и
,
соответственно (см. рис.6).

Ответ:Заданная функция при условии
имеет
и
.
Вычислить неопределенный интеграл: .
Решение:
Ответ:
Заданный неопределенный интеграл равен .
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение: .
Решение:
. Разделив обе части на
, получим
. Проинтегрируем полученное уравнение:
.
Ответ:
Решением данного уравнения является .
Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном ... | |
Содержание Введение § 1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа 1.1. "Алгебра, 8", авт. А. Г. Мордкович 1.2. "Алгебра и начала анализа ... При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Задания 1-3 -с выбором ответа, задания 4-7 - с кратким ответом, задание 8 - с развернутым ответом. |
Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа |
Рациональные уравнения и неравенства | |
Содержание I. Рациональные уравнения. 1) Линейные уравнения. 2) Системы линейных уравнений. 3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним. 4 ... где a, b, c, a - заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) - некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 - x + 1)2 1 0: Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Высшая математика для менеджеров | |
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ... Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Запишем каноническое уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/b2 = 1. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = = 0,5 x, значит, b/a = 1/2, откуда a=2b. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа |
Оборудование летательных аппаратов | |
Практическая работа N12-6 СИСТЕМА ВОЗДУШНЫХ СИГНАЛОВ СВС-72-3 (Продолжительность практической работы - 4 часа) I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью работы ячвляется ... Главная ось курсового гироскопа находится в горизонтальной плоскости и занимает произвольное по отношению к осям ЛА положение, например, в исходном состоянии перпендикулярна к оси ... Если при курсе 0°, 90°, 180° и 270° поперечная ось ЛА совпадает с осью внутренней рамы или с главной осью гироскопа, то карданная ошибка в этих случаях равна нулю. |
Раздел: Рефераты по авиации и космонавтике Тип: реферат |
... уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе | |
ГОУ СПО "Кунгурское педагогическое училище" ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин Выпускная квалификационная работа по методике ... К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов ... 3.5 "Решение уравнений" (каждой команде учитель раздает карточки с заданиями, учащиеся решают вместе и выносят ответы на доску. |
Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа |