Усредненные суммы значений карточек (х)

Частоты извлечения карточек (/)

Произведения

W)

51

1

51

52

2

104

53

3

159

54

8

432

55

8

440

56

5

280

57

3

171

Сумма S/ = 30

Сумма 1х/= 1637

Из табл. 4 видно, что с увеличением варьирующего признака (усредненной суммы значения карточек) частота извлечения этих сумм вначале увеличивается, а затем, после достижения максимального значения (/=8), уменьшается. Налицо закономерность. Упорядоченность изменения частот в вариационных рядах именуется закономерностью распределения. Данные табл. 4, изображенные графически в виде столбиковой диаграммы, гистограммы или полигона распределения, представлены на рис. 2.

7 -6 -5 -4-3 -2-1

Гистограмма

Полигон 'распределения

51  52  53 54 55 56 Рис.2

57

115

Гистограмма, или полигон распределения, представляет собой ломаную кривую, характеризующую фактическое распределение полученных данных. Она позволяет выявить лишь приближенную картину распределения всей (генеральной) совокупности. Чем больше выборочное изучение, тем в большей мере будут сглаживаться влияние случайных причин и явственнее будет проступать действительная закономерность распределения. В этом случае кривая распределения фактических данных будет приближаться к теоретической кривой распределения.

В математической статистике теоретическую кривую распределения обычно называют кривой Лапласа-Гаусса, или нормальным распределением (рис.3).

Нормальное распределение в чистом виде при выборочных исследованиях в юридических или других социальных науках встречается нечасто. Тем не менее большинство распределений близки к нормальному. Фактическое распределение выборочных показателей отличается от теоретического, главным образом, нарушением симметрии, т. е. если в нормальном распределении частоты анализируемого признака убывают по обе стороны от вершины кривой равномерно, то в фактическом распределении вершина кривой может быть смещена влево или вправо от теоретической средней, быть крутой с одной стороны и пологой – с другой (см. рис. 2). Причина таких смещений – ошибки наблюдения и сбора данных.

Распределение показателей характеризуется размахом вариации и отклонением от средней.

Размах вариации (колебаний) – наиболее простой параметр измерения разброса значений варьирующего признака. Он исчисляется по формуле R = Хтт – Хт.п. Вспомним результаты эксперимента. На его первом этапе размах вариации был наибольшим – 36, на втором – 15,8, на третьем – 5,8. В связи с этими данными, на первый взгляд, можно сказать, что чем меньше размах вариации, тем однороднее совокупность. В действительности этот параметр свидетельствует лишь о значении амплитуды колебаний.

116

Рис.3

Но при одном и том же размахе вариации совокупности могут существенно различаться по структуре, т. е. быть более или менее однородными.

Наиболее полная характеристика распределения раскрывается через значение отклонения всех вариант от средней или значение отклонения эмпирических вариант от теоретических. Причем важно не столько отклонение каждой варианты от средней, сколько среднее отклонение всех вариант от средней, или дисперсия (колеблемость, пестрота) изучаемого признака. Упрощенно мы ее тоже рассчитывали. На первом этапе эксперимента значение отклонения от среднего находилось в диапазоне от + 17 до –19, на втором – от +6,8 до -9, на третьем – от +2,3 до -3,5.

Средние величины – наиболее распространенные показатели в статистике. Это объясняется тем, что только с помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Приведем пример, характерный для студенческой аудитории. Строгое сравнение по баллам успеваемости студентов двух или более учебных групп нельзя произвести по оценкам одного или нескольких студентов из каждой группы. Но, рассчитав средний балл по группам, можно точно сопоставить их по успеваемости.

Средняя величина может раскрыть лишь общую тенденцию изучаемого явления и только тогда, когда она выведена из большого числа фактов и при изучении однородной совокупности. При несоблюдении этих условий средние показатели лишь введут в заблуждение. Примером может служить средняя заработная штата в нашей стране, когда в одну совокупность зачисляют и богатых, и бедных, разрыв в уровне обеспечения которых в 1997 г. составил соответственно 24:1.

В статистике разработано множество средних величин: степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и др.), мода и медиана. Каждая из средних выполняет свои аналитические функции. Для расчета дисперсии и других показателей выборочного наблюдения нам необходима лишь средняя арифметическая.

Средний арифметический показатель – наиболее распространенный вид средних. Он используется в качестве центрального значения в рядах распределения и выполняет функцию теоретической вероятности. Все другие варианты расцениваются как случайные отклонения от него. Чем больше отклоняется какое-либо

117

J

значение признака от среднего арифметического, тем более случайным оно является.

Средняя арифметическая простая, известная из школьных учебников по математике, рассчитывается по формуле

*i + х2 +х3 + ... + *„

Лсрея. ~      .

П

где xl х2, х3,..., х„ – значения признака; п – число значений.

При изучении больших совокупностей некоторые варианты имеют большие частоты повторения. Из табл. 4, например, видно, что варианта 52 повторяется дважды, 53 – трижды, 54 – восемь раз и т. д. В этом случае целесообразнее вначале каждую варианту умножить на частоту ее встречаемости, как это показано в графе (xf) упомянутой таблицы. Такое умножение в статистике называют взвешиванием. Средняя арифметическая в данном случае именуется взвешенной и рассчитывается по формуле

_ Xl-fi+X2-f2+X3-f3+...+Xn-fa Лсред. азвеш. =   fj.fj.fj. ~7f   '

II + 12 + /3+--+/Л

Подставляя значения из табл. 4 в эту формулу, определяем:

_ 51 • 1 + 52 • 2 + 53 • 3 + 54 • 8 + 55 • 8 + 56 • 5 + 57 • 3 _ 1637 _ 1+2 + 3 + 8 + 8 + 5 + 3   '~30~:

Полученная фактическая средняя совпала с теоретической средней, которая выводилась при анализе результатов эксперимента (см. текст после табл. 3).

Средняя арифметическая лежит в основе расчета дисперсии (колеблемости), которая представляет собой не что иное, как значение отклонения всех вариант от средней. Значение дисперсии и предопределяет объем выборочной совокупности. Чем больше дисперсия, тем больше разброс показателей от средней, а следовательно, нужен больший объем выборки, чтобы она была достаточно репрезентативной. Репрезентативность (представительность) объема выборки практически не зависит от объема генеральной совокупности. Последняя может быть даже не известна исследователю. Предположим, что мы изучаем пьянство (как фактор преступности) в нашей стране. При выборочном изучении пьяниц мы не можем располагать их более или менее точным количеством в стране, республике и даже городе. Но это не будет служить большой помехой для расчета ошибки выборки или объема выборочной совокупности. При расчете этих показателей опреде-

118

ляющей является значение дисперсии изучаемого признака, и ее надо уметь рассчитывать.

3. Расчет дисперсии качественных и количественных признаков неодинаков. Определение объема и представительности выборочной совокупности, а следовательно, и дисперсии производится применительно не к преступности, административной правонару-шаемости или другим социально-правовым явлениям вообще, а лишь к их конкретным показателям. Последние могут быть качественными, или арибутивными (вид преступления, содержание мотива, свойства личности и т. д.) и количественными (возраст правонарушителей, уровень образования, повторность совершения преступления, сроки рассмотрения гражданских дел и т. п.). Каждый признак имеет свою дисперсию, а следовательно, и необходимый объем выборки для надежного изучения. Это значит, что при выборочном изучении многих признаков, чтобы выявить совокупные отклонения, дисперсию надо рассчитывать по каждому из них. Иногда эти признаки исчисляются десятками и даже сотнями. Чтобы избежать множества расчетов, можно ограничить их только в отношении тех признаков, на базе которых делаются основные выводы. Общая численность выборки или ее общая репрезентативность определяются по совокупной представительности всех параметров.

Дисперсия – это средний квадрат отклонения изучаемого признака от теоретического (среднего) показателя. Она характеризует уровень однородности исследуемой совокупности и обозначается символом «а2» (сигма малая в квадрате). Расчет ее применительно к качественным признакам производится по одной формуле, а применительно к количественным – по другой.

Колеблемость качественного признака двухвариантна: совершено преступление против собственности или иное, в состоянии опьянения правонарушителя или трезвым субъектом, по мотиву мести или иным побуждениям, лицом, воспитанным в неполной или полной семье, интровертом или экстравертом и т. д. Указанная двухвариантность отражается в таких относительных показателях, как удельный вес или доля признака в общей структуре изученных явлений, в данном случае преступлений, причин, лиц, мер. Например, в 1996 г. удельный вес хулиганства составлял 6% (или 0,06), а иных преступлений – 94 (или 0,94), преступлений, совершенных в состоянии опьянения, – 36 (или 0,36), а в трезвом состоянии 64% (или 0,64).

119

Удельные веса многих качественных признаков могут быть взяты из официальной статистической отчетности правоохранительных и других юридических органов, которая основывается на сплошном текущем учете, из предыдущих исследований, достоверность результатов которых не вызывает сомнений, или других источников. Они могут быть специально получены на основе предварительного (пилотажного) изучения. Если удельный вес какого-то признака неизвестен и нет возможности получить его при предварительном изучении, то исследуемая совокупность по этому признаку условно принимается максимально неоднородной. В этом случае искомый удельный вес берется равным 50% (или 0,5). Ниже будет показано, почему удельный вес качественного признака, равный 50%, отражает самую высокую неоднородность совокупности.

При наличии удельного веса качественного признака его дисперсия рассчитывается по следующей формуле: а2 = Р (1 – Р), где Р – доля качественного признака, а (1 – Р) – доля иных признаков или противоположного признака.

Предположим, что надо рассчитать дисперсию такого признака, как состояние опьянения при совершении каких-то преступлений, удельный вес которого по предварительным данным составил 35% (или 0,35): о2 = Р({ - Р) = 0,35(1 - 0,35) - 0,23. Это и будет дисперсия изучаемого признака, пестрота или колеблемость его в изучаемой совокупности, которая в этом случае играет роль теоретической вероятности.

Дисперсия, равная 0,23, является высокой, ибо самое большое значение дисперсии качественного признака не может быть выше 0,25. Таковой она вычисляется при удельном весе изучаемого признака, равном 50%: о2 = 0,5(1 – 0,5) = 0,25. Все другие удельные веса, большие и меньшие 50%, дают меньшую дисперсию, так как совокупность в этих случаях становится более однородной. При 60 и 40% дисперсия равна 0,24, при 70 и 30 – 0,21, при 80 и 20 – 0,16, при 90 и 10% – 0,09. Из этих расчетов видно, что самая неоднородная совокупность по качественному признаку бывает тогда, когда его удельный вес равен 50% (или дисперсия равна 0,25).

Дисперсия количественного признака многовариантна. Она рассчитывается с применением средней арифметической взвешан-ной (ее расчет приводился выше) по формуле

120

-\2

-\2

-\2

-\2

2 =

/3

г -*}2f •*я •*/ Jn

где о2 – дисперсия; I – знак суммы; хг хг х3, ..., хп – показатели варьирующего признака; х– среднее арифметическое значение признака; fv /j, fy ...fn – частоты вариант варьирующего признака.

Используя эту формулу, рассчитываем дисперсию по данным табл. 4, средняя арифметическая (х) которых была равна 55:

а2 = [(51 - 55)2 • 1 + (52 - 55)2 • 2 + (53 - 55)2 - 3 + (54 - 55)2 • 8 + (55 - 58>2 • 8 +

+ (56 - 55)2 • 5 + (57 - 55)2 • з] : (1 + 2 + 3 + 8 + 8 + 5 + 3) = 16+18 + 12 + 8 + 0 + 5 + 12 71

1 +2 + 3 + 8 + 8 + 5 + 3

30

Возьмем другой пример расчета дисперсии количественного признака, близкого к уголовному праву и криминологии. Предположим, что выборочным методом было изучено 100 осужденных к лишению свободы. На срок 1 год (х,) было осуждено 15 человек (/!); 2 года (х2) – 50 человек (/J); 3 года (х3) – 20 человек (/3); 4 года (ха) – 10 человек (/,); 5 лет (х5) – 4 человека (/5); 6 лет (х6) – 1 человек (/6).

Средний арифметический показатель наказания:

1+2+3+4+5+6 21 х =------------------------= –- = 3,5 года.

О    О

о2 = Г(1 - 3,5)2 • 15 + (2 - 3,5)2 • 50 + (3 - 3,5)2 • 20 + (4 - 3,5)2 • 10 + (5 - 3,5)2 • 4 +

+ (6 - 3,5)2 • ll : (15 + 50 + 20 + 10+4 + 1) = 93,75 + 112,5 + 5 + 2,5 + 9 + 6,25 _ 229

100

100

= 2,29.

Таким образом, средний квадрат отклонений (дисперсия) различных сроков наказания от среднего арифметического (х = 3,5 года) равен в данном случае 2,29 года.

Второй общепринятой мерой вариации признака является среднее квадратическое отклонение. Оно обозначается символом «о» (сигма малая без квадрата) и выводится как самостоятельно, так и на основе среднего квадрата отклонений, т. е. дисперсии, которая обозначается «о2» (сигма малая в квадрате).

121

Извлекая корень квадратный из дисперсии, получаем среднее квадратическое отклонение:

о = V? = •//>(! - р) - для качественных признаков;

а = Vo =

у--:

- для количественных признаков.

По этим формулам среднее квадратическое отклонение в рассмотренных выше примерах будет равно: в первом случае ^/0,23 = = 0,48, во втором – ^/2,36 = 1,54, в третьем – ^/2,29 = 1,51.

Среднее квадратическое отклонение всегда выражается в тех именованных числах, в которых выражены варианта и средняя, т. е. в первом случае – в процентах, во втором – в номерах карточек, в третьем – в годах.

Не вникая в математическую сторону вопроса, скажем, что очертания симметричной кривой нормального распределения полностью определяются двумя показателями – средней арифметической (х) и средним квадратическим отклонением (а). В зависимости от их значений она может иметь разный центр группировки показателей (рис. 4), быть более удлиненной, растянутой или сжатой, компактной (рис. 5).

х\

Рис.4

Рис.5

На рис. 4 средняя арифметическая х2 больше средней арифметической Хр поэтому распределение 11 сдвинуто по оси абсцисс вправо. Средние квадратические отклонения распределений I и II одинаковы (о, = о2), следовательно, одинаковы и кривые рас-

122

Зо 2о А - х + Д 2о Зо Рис.6

пределения. На рис. 5, наоборот, средние арифметические (х, = х2) одинаковы, поэтому центры группировки обоих распределений на оси абсцисс совпадают, а среднее квадратическое отклонение распределения II (с2) больше среднего квадратического отклонения (а,), поэтому кривая II нормального распределения оказалась более растянутой, а кривая I – компактной.

Следующее свойство среднего квадратического отклонения позволяет правильно оценить надежность выборочных показателей. Если площадь, ограниченную кривой нормального распределения, принять за 1 или 100%, то площадь, заключенная в пределах 1о вправо и влево от средней арифметической (рис. 6), составит 0,683 всей площади. Это означает, что 68,3% всех изученных вариант отклоняется от средней арифметической не более чем на 1а, т. е. находится в пределах (х ± о).

Площадь, заключенная в пределах 2а вправо и влево от средней арифметической, составляет 0,954 всей площади, т. е. 95,4% всех единиц совокупности находится в пределах (х ± 2с). Площадь, заключенная в пределах Зо влево и вправо от средней арифметической, составляет 0,997 всей площади, или 99,7% всех единиц совокупности находится в пределах (х± Зо). Это и есть так называемое правило трех сигм, характерное для нормального распределения.

При проведении выборочных исследований параметры х и о, а также пределы единиц выборки (площадь выборки) всегда известны. Опираясь на них, можно с точностью сказать, с каким доверием следует относиться к выборочным показателям. К правилу трех сигм мы вернемся, когда при расчете ошибки выборки будем вынуждены более конкретно раскрыть коэффициент доверия, или коэффициент кратности ошибок.

123