Контрольная работа: Решение дифференциальных уравнений
Задача 4
С помощью метода наименьших квадратов подобрать
параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные
из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и
полученную прямую.
xi
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
yi
0,9
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Решение
Система нормальных уравнений
в задаче
n = 6
Тогда
решая ее получаем .
y = 0,5714x + 0,9476
Задача 5
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 6
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 7
Найти неопределенный интеграл, применяя метод
интегрирования по частям
Найти общее решение дифференциального уравнения
первого порядка
Решение
Разделим переменные
Проинтегрируем
Ответ:
Задача 10
Найти частное
решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее
начальному условию
Решение:
Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:
Подставим эти выражения в уравнение
Выберем v
таким, чтобы
Проинтегрируем выражение
,
Найдем u
,
,
,
,
Тогда
Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на
сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд
Решение
n®¥
n®¥
Используем признак Даламбера
Ответ: ряд расходится
б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
n®¥
n®¥
По признаку подобия
данный
ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к.
гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и
определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости
Решение
Используем признак Даламбера:
При х =5 получим ряд
Ряд знакопостоянный, lim Un = n
Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих
элементов, каждый из которых больше 1.
При х = -5 получим ряд
Ряд знакочередующийся, lim Un = n
|Un|
> |Un+1| > |Un+2| … - не выполняется.
По теореме Лейбница данный ряд расходится
Ответ: Х Î (-5; 5)
Задача 12
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного
интегрирования этого ряда
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциальногоуравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий ...
Министерство общего и профессионального образования Астраханский Государственный Педагогический Университет Бакалаврская работа Студентки IV курса ...
Чтобы найти неопределённыйинтеграл от какой-нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как ...
Это общая проблема объём интегрировании обыкновенных дифференциальныхуравнений, которую Ньютон решает главным образом с помощью бесконечных рядов, содержит в частности задачу ...
МАТЕМАТИКА Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления математики. Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории ...
Операция нахождения неопределенногоинтеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке а; b , когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке а; b ...
Курсовая работа Выполнила студентка факультета математики 4 курс 4 группа Клочанова Ольга Михайловна Российский государственный педагогический ...
Такая задача сводится, в современных обозначениях, к решению дифференциальногоуравнения ydy/dx = k/y, где k - постоянная.
Заслугой Лейбница является и применение к интегрированию и функций и дифференциальныхуравнений бесконечных рядов с использованием метода неопределенных коэффициентов (последний ...
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Поволжская государственная ...
Формула Ньютона-Лейбница Площадь криволинейной трапеции и интеграл
Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм.
. 
, 
, 
, 
,
,
.
Тогда получим
будем
иметь
