Контрольная работа: Теорія ймовірностей та математична статистика

Міністерство освіти і науки України

Донбаський державний технічний університет

Кафедра Вищої Математики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

По дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика”

Варіант №26

(завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)

Виконала: студентка групи

Перевірила: доцент кафедри вищ. мат.

Алчевськ 2009

РОЗДІЛ I “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”

ЗАВДАННЯ №1

14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Для білої:

Для чорної:

Загальна вірогідність:

або

ЗАВДАННЯ №2

2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:

Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:

ЗАВДАННЯ №3

4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при  випробуваннях вона в середньому відбувається в  випадках.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

ЗАВДАННЯ №4

12) Проведено  незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія  з імовірністю .

I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно  разів;

II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до  разів.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

I)

1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:

2) Знайдемо :

3) Знайдемо :

4) Шукана ймовірність:

II)

За інтегральною теоремою Лапласа:

1) Знайдемо межі інтеграла  і :

2) Знайдемо функції Лапласа  і :

3) Шукана ймовірність:

ЗАВДАННЯ №5

11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:

2) Складемо закон розподілу для :

3) Дисперсію знайдемо за формулою:

4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:

5) Знайдемо функцію розподілу:

6) Графік цієї функції має вигляд:

ЗАВДАННЯ №6

15) Випадкова величина  задана функцією розподілу:

Знайти:

I) щільність розподілу ймовірності;

II) математичне сподівання;

III) дисперсію випадкової величини;

IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал ;

V) Накреслити графіки функцій  і .

РОЗВ’ЯЗАННЯ

I) щільність розподілу ймовірностей:

II) математичне сподівання:

III) дисперсія:

IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу

V) Графіки функцій  і :

ЗАВДАННЯ №7

2) Відоме математичне сподівання і дисперсія  випадкової величини .

Знайти:

I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал ;

II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число .

РОЗВ’ЯЗАННЯ

I) Імовірність влучення випадкової величини  у інтервал :

II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:

РОЗДІЛ II

14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”

перший інтервал 21-25

Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:

2) Побудуємо гістограму частот:

3) Побудуємо полігон частот:

4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:

5) Графік розподілу емпіричної функції:

6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:

6.1) Складемо заповнимо таблицю:

6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:

6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): .

6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль :

3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2

“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”

За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:

1. Побудувати діаграму розсіювання.

2. Записати емпіричну функцію.

3. Записати систему нормальних рівнянь.

4. Скласти розрахункову таблицю.

5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.

Уважаючи, що залежність між змінними  й має вигляд , знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:

РОЗВ’ЯЗАННЯ

По вибірці спостережень побудуємо в системі координат  и  діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:

Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію . Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:

Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ():

Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, одержимо .

5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:

6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3

“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”

Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу  (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. (тис. кВт×год) дано у таблиці:

За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.

Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями  і  середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між  і  існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:

1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між  і .

2. Скласти рівняння прямих регресії  на  та  на .

3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).

РОЗВ’ЯЗАННЯ

1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:

2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.

За хибний нуль  узята варіанта , а за хибний нуль  узята варіанта , які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.

3) У кожній клітці, у якій частота , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти  на .

4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця .

5) Множимо варіанту  на  й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.

6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток  записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами , після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок .

Потім множимо варіанту и на  й результат записуємо в останньому рядку.

7) Обчислюємо  й :

8) Обчислюємо допоміжні величини  й :

9) Обчислимо  й :

10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:

Тому що , цей зв'язок зворотній.

11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:

.

Обчислимо , , ,  :

12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:

13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:

14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:

Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то

Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх – задовільне.