Курсовая работа: Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Федеральное агентство по образованию РФ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)

Кафедра: «Высшая математика»

Хасянова А.Ф.

Проверил: Матвеева С.В

Дата_______________

Оценка_____________

Омск-2010

Содержание

1. Введение. Исходные данные

2. Вариационный ряд

3. Интервальный вариационный ряд

4. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х

5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона

6. Теоретическая функция плотности рассматриваемого закона распределения «Построение ее на гистограмме»

7. Проверка критерия Пирсона

Вывод

1. Исходные данные варианта №20

Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

Выборка содержит 100 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n=100.

2. Построение вариационного ряда

Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х(1) ≤ х(2) ≤…≤ х(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами.

Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. 2).

Таблица 2

3. Построение интервального вариационного ряда

Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x(i) и обозначается mi; при этом , где n – объем выборки.

Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой и обозначается Pi*,

т.е.  – число (частота) попаданий значений X в i-й разряд,  n – объем выборки.

Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что  т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия:

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия.

1.  Находим размах выборки R = xmax – xmin. Имеем R = 102,21-3,59=98,62 .

2.  Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса:  где n – объем выборки, К– число частичных интервалов . ,

3.   ∆=10

4.  Определяем начало первого частичного интервала

После разбиения на частичные интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые ≥ нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. 3).

Таблица 3

Где -плотность относительной частоты

-середина частичных интервалов

4.  Построение гистограммы

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению  – плотность частоты (или  – плотность частности).

По данным таблицы 4 строим гистограмму (рис. 1).

Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности)  случайной величины Х. Площадь гистограммы равна единице.

Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности

По данным наблюдений статистическое среднее  и выборочное среднее квадратическое отклонение у* по значению почти совпадают. Учитывая данный факт, а также вид гистограммы можно предположить, что случайная величина имеет равномерное распределение.

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о равномерном законе распределения генеральной совокупности Х.

5.  Оценка числовых характеристик и параметров закона распределения

Оценками математической статистики называют приближенные значения числовых характеристик или параметров законов распределения генеральной совокупности Х вычисленные на основе выборки.

Оценка называется точечной, если она определяется числом или точкой на числовой оси.

Оценка (как точечная, так и интервальная) является случайной величиной, так как она вычисляется на основе экспериментальных данных и является функцией выборки.

При вычислении точечных оценок для удобства берут не сами элементы выборки, а середины частичных интервалов из интервального вариационного ряда (табл. 1) и применяют формулы:

где n - объем выборки, – i-й элемент выборки

Составим таблицу для нахождения  и

Таблица 4

6. Равномерный закон

интервальный вариационный генеральный совокупность

Выдвинута гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по равномерному закону

найдем функцию плотности равномерного закона вычислив оценки параметров  и

 ,

Т.к М(x)= , , D(x)=

Таблица 5

После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, нанесем их прямо на гистограмму, получая тем самым кривую функции плотности

7  Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона

В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = ч2.

Пирсон доказал, что значение статистического критерия не зависит от функции  и от числа опытов n, а зависит от числа частичных интервалов  интервального вариационного ряда. При увеличении ч2, и находится по формуле:

К = или К =

Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице 5.

Таблица 6

Чтобы найти значение надо воспользоваться табличными распределениями  в которых значение сл. величины находят по заданному уровню значимости  и вычисленному числу степеней свободы

R- число частичных интервалов в таблице 1 но если в некоторых из интервалов значения то надо объединить расположенные рядом интервалы так, чтобы  тогда число

R-это число из необъединенных интервалов

i- число неизвестных параметров

В рассматриваемом эмпирическом распределении не имеются частоты, меньшие 5. Случайная величина ч2 (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение ч2 с числом степеней свободы

1) К =

уровень значимости б =1–=0,05

,

найдем по таблице значений  критическое значение для б = 0,05 и  =9

Имеем =16.9. Так как  то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости б.

2)=,

=

3) M(x)= ,

M(x)=

4) D(x)=

D(x.1)=

5) Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством ; P()= Это означает, что нулевую гипотезу можно считать правдоподобной и гипотеза Но принимается

Вывод: В ходе расчетно-графической работы мы установили, что генеральная совокупность X распределена по равномерному закону, проверив это по критерию Пирсона. Определили параметры и числовые характеристики закона и построили для них доверительные интервалы.