3. Дедуктивная полнота.

Аксиоматическая система должна в явном виде содержать полный набор первоначальных утверждений, необходимый и достаточный для дедуктивного построения всех выводов данной теории. Если некоторая теория содержит интуитивно полученный вывод, который не противоречит другим выводам этой теории и ее аксиомам и при этом дедуктивно не выводится из этих аксиом, аксиоматическая система должна быть дополнена еще одним необходимым первоначальным утверждением, либо некоторые первоначальные утверждения должны быть усилены так, чтобы этот вывод можно было бы получить как их следствие. При этом очень велика вероятность того, что такое усиление аксиоматической системы не только даст обоснование этому интуитивному выводу, но и даст нам несколько новых, неожиданных выводов.

К сожалению, теории частенько грешат дедуктивной неполнотой двух родов. Первый род неполноты связан с тем, что разработчики теории, а потом и её исследователи, некие вещи считают настолько очевидными, что, по их мнению, они даже не требуют вербализации. Иногда это действительно так и есть, а иногда так только кажется, и усомнившийся в очевидности становится автором ещё одной новой теории. Как бы там ни было, только произнесение, фиксирование таких скрытых элементов теории позволяет нам самим убедиться и показать всем остальным, что очевидное действительно очевидно. Даже теория Евклида не убереглась от такого недостатка, полагая, например, в неявном виде однородность и изотропность пространства. Если бы эта аксиома в явном виде присутствовала в теории Евклида, многие споры между приверженцами его теории и других теорий были бы просто невозможны, т.к. наличие в двух теориях двух разных аксиом однозначно делает их разными теориями.

Второй род неполноты связан с тем, что и некоторые определения содержат в себе аксиомы в скрытом виде. Д.С.Милль утверждал, что всякое определение содержит в себе аксиому. А.Пуанкаре считал, что аксиомы геометрии суть не более, чем замаскированные определения. Хотя, казалось бы, что аксиома в неявном виде, зафиксированная в определении, лучше совсем не зафиксированной, очевидной аксиомы, в действительности это не такое уж преимущество. Такая скрытая аксиома

9

также выведена из-под целенаправленной критики, из-под критического осмысления ее в качестве именно аксиомы, что затрудняет выявление всех возможных противоречий.

Требование дедуктивной полноты вполне оправдано, но выполнить его нелегко. Однако, очень важно, чтобы это требование осознавалось как важная цель аксиоматизации.